共同特徵

由上一小節之分析結果可發現，當一個不連續可動機構於某一個運動模式中 作動時，會使另一個運動模式無法展現。而在特定條件或位置下，可以進行運動模 式的變換。亦能解釋為此機構具有這兩種運動，但該兩種運動無法共存、無法同時 表現。這樣的現象就如同將兩種不同運動的簡單機構，依據某種法則而結合在一起，

本節將設法找出這個法則。

對於前一小節所分析之現有不連續可動機構，分別觀察自地桿至端效器兩端 的運動鏈，兩運動鏈中各有部分接頭屬於一種運動模式，部分接頭屬於另一運動模 式。且其中分屬不同運動模式的接頭順序為交錯或刻意變換，使得兩運動模式之完 整運動鏈於該機構迴路中被打斷。也就是說，構成同一運動模式之數個接頭不完全 為相鄰連接的。選取文獻[20]所提出之6𝑅不連續可動機構為例(圖 3.2)，在運動模 式{𝑅(𝑂₁, 𝐮)}下參與運動的接頭為𝑅_𝐳^𝑂_𝟏¹ 和𝑅_𝐳^𝑂_𝟓²，而此兩個接頭恰好可組成一個使端效 器運動為{𝑅(𝑂₁, 𝐮)}之二連桿機構，此機構自地桿至端效器兩端之路徑的運動鏈分 別為𝑅_𝐳^𝑂_𝟏¹及𝑅_𝐳^𝑂_𝟓²；另一運動模式{1/𝐺(𝐰)}下會運動的接頭有𝑅_𝐳^𝑂_𝟐¹、𝑅_𝐳^𝐴_𝟑、𝑅_𝐳^𝐵_𝟒、𝑅_𝐳^𝑂_𝟔²，可 組成一個使端效器運動為{1/𝐺(𝐰)}之四連桿機構，此機構自地桿至端效器兩端之 路徑的運動鏈為𝑅_𝐳^𝑂_𝟐¹𝑅_𝐳^𝐴_𝟑及𝑅_𝐳^𝑂_𝟔²𝑅_𝐳^𝐵_𝟒。

若將上述兩種機構各自的兩條運動鏈分別進行相同順序之結合，並以符號「×」

來劃分左右端分別為二連桿與四連桿機構的運動鏈運動。因此自地桿至端效器兩 端之路徑的運動鏈分別為𝑅_𝐳^𝑂_𝟏¹𝑅_𝐳^𝑂_𝟐¹𝑅_𝐳^𝐴_𝟑及𝑅_𝐳^𝑂_𝟓²𝑅_𝐳^𝑂_𝟔²𝑅_𝐳^𝐵_𝟒，產生的運動分別為：

{𝐺₁} = {𝑅(𝑂₁, 𝐳_𝟏)} × {𝑅(𝑂₁, 𝐳_𝟐)}{𝑅(𝐴, 𝐳_𝟑)}

{𝐺₂} = {𝑅(𝑂₂, 𝐳_𝟓)} × {𝑅(𝑂₂, 𝐳_𝟔)}{𝑅(𝐵, 𝐳_𝟒)}

結果獲得此機構之運動為：{𝐿(6,3)} = {𝐺₁} ∩ {𝐺₂} = {𝑅(𝑂₁, 𝐮)}{1/𝐺(𝐰)}。

由上式得到的機構並非具有不連續可動性，而是一種 2 自由度之連續可動機 構，於文獻[20]末亦有提及。若變更運動鏈中的接頭次序，並選擇與文獻[20]中不 同的組成，將𝑅_𝐳^𝑂_𝟏¹𝑅_𝐳^𝑂_𝟐¹𝑅_𝐳^𝐴_𝟑改為𝑅_𝐳^𝑂_𝟐¹𝑅_𝐳^𝑂_𝟏¹𝑅_𝐳^𝐴_𝟑，將𝑅_𝐳^𝑂_𝟓²𝑅_𝐳^𝑂_𝟔²𝑅_𝐳^𝐵_𝟒改為𝑅_𝐳^𝑂_𝟔²𝑅_𝐳^𝐵_𝟒𝑅_𝐳^𝑂_𝟓²，此時自地桿 至端效器兩端運動鏈的運動分別為：

{G₁} = {𝑅(𝑂₁, 𝐳_𝟐)}{𝑅(𝑂₁, 𝐳_𝟏)}{𝑅(𝐴, 𝐳_𝟑)}

{G₂} = {𝑅(𝑂₂, 𝐳_𝟔)}{𝑅(𝐵, 𝐳_𝟒)}{𝑅(𝑂₂, 𝐳_𝟓)}

進行分析後成功獲得不連續可動的現象。而此具有兩個運動模式之結果為：

{𝐿(6,3)} ⊇ {𝑅(𝑂₁, 𝐮)} ∪ {1/𝐺(𝐰)}

上述的運動雖與文獻中之機構產生的運動相同，但從接頭的組成順序上來看，

已是完全不同的機構所產生的運動，此不同組成之機構如圖 3.5 所示。

圖 3. 5 不同組成之6𝑅不連續可動機構

然而，若僅鎖定接頭的旋轉方向，此機構與文獻[20]之不連續可動機構有相同 的組成方式，僅地桿及端效器的設置位置恰好相反。若考慮旋轉軸所經過的點和端 效器兩端之運動鏈，則文獻中的機構為𝑅_𝐮^𝑂1𝑅_𝐰^𝑂1𝑅_𝐰^𝐴𝑅_𝐰^𝐵𝑅_𝐮^𝑂2𝑅_𝐰^𝑂2，與圖 3.5 的機構 𝑅_𝐰^𝑂1𝑅_𝐮^𝑂1𝑅_𝐰^𝐴𝑅_𝐮^𝑂2𝑅_𝐰^𝐵𝑅_𝐰^𝑂2仍有些許不同。此外，整理所有接頭之重新組合狀況，可得到

𝑅

𝑅

𝑅

𝑅

𝑅

𝑅

1

2

3

4 5 𝐮 6

𝐰

另一種具有不連續可動性之機構為𝑅_𝐮^𝑂1𝑅_𝐰^𝑂1𝑅_𝐰^𝐴𝑅_𝐮^𝑂2𝑅_𝐰^𝐵𝑅_𝐰^𝑂2。

以同樣的方法對上述其他的不連續可動機構進行嘗試，將發現皆符合這些現象，

因此合理歸納出第一類不連續可動機構之共同特徵如下：

1. 此類 DMM 可視為由兩個獨立的機構所組成

2. 此類 DMM 擁有的兩種運動模式即為前述之兩機構產生的運動 3. 上述兩機構的結合為一組機構的接頭穿插至另一組機構中

3.4 小結

本章節將文獻提出之各種不連續可動機構進行與文獻中略微不同的運動分析，

並嘗試改變其中一現有例之接頭的連接次序，或利用重新選取地桿及端效器的位 置來找出新機構，最後整理出幾項各種不連續可動機構擁有的共同特徵。

第四章 不連續可動機構之合成與分析

4.1 設計合成方法

利用上一章節所歸納之不連續可動機構的共同特徵，推衍出合成此類機構的 方法，機構之合成流程如圖 4.1。合成方法中主要是運用位移李次群理論與排列組 合，企圖尋找能產生設定之運動模式的不連續可動機構，以下將對此流程之各步驟 逐一說明。

圖 4. 1 不連續可動機構合成流程圖 一、選擇運動模式

首先需要決定預期的運動目標，由於機構中任兩桿件間之運動未必有兩個運 動模式，故須設定地桿及端效器的位置。設定運動目標後，可加入其他限制或條件，

選擇運動模式

列舉原生機構

結合原生機構

改變接頭連接次序

初步篩選判斷

分析個別案例

確認不連續可動性

二、列舉原生機構

進行合成前，須先分析期望的運動模式，盡可能地列出可達成此運動模式的單 迴路最簡易機構，在此將之命名為「原生機構(primitive mechanism, PM)」。這些能 滿足此運動的機構多從文獻中取得，若無法找出完全符合之機構，則只須找出端效 器運動結果有包含該運動的機構即可。

三、結合原生機構

從各運動模式之數個原生機構中各選一種，照兩種先後次序分別進行結合。若 兩目標運動之運動鏈直接結合後有多餘的自由度，應在符合限制條件下去除多餘 的接頭。在下一章節之合成中，此過程採用一接頭同時屬於兩原生機構，並將此接 頭稱為「共同接頭」。此步驟中產生之可能機構數量將遽增，故若有另設特殊條件，

應於此步驟中套用，以減少機構數量，便於後續步驟進行。將此步驟所得之機構命 名為「組合機構(combined mechanism, CM)」。接著整理各組合機構，扣除完全相同 者，並尋找可產生相同運動的其他組合機構。

四、改變接頭連接次序

將上一步驟之結果運動鏈的接頭進行次序交換，處理方法為：將分屬於兩種運 動模式之接頭相互交錯調換。例如一組合機構的其中一條運動鏈是由分屬於𝐴、𝐵 兩種運動模式之接頭所組成，以𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵表示，則調換屬不同運動模式之接頭位置 可得𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵、𝐴𝐵𝐵𝐴𝐵……等組合。

有鑑於進行先前步驟時，已將各運動模式機構之接頭排列全數列出，此步驟中 只會變換不同模式的接頭排列順序，以避免產生重複的排列，同一模式的接頭將不 互相調換。由於進行排列組合整理時之複雜性，後續舉例中將會對接頭簡化，減少 視覺上的混淆，更全面地找出其他擁有相同運動的機構，並將結果命名為「交錯機 構(reordered mechanism, RM)」。

五、初步篩選判斷

由於步驟四中須考慮所有接頭之排列組合，可能產生連續可動機構，因此將其 結果與步驟三的組合機構進行比對，排除與組合機構重複的交錯機構。此外，須確 認 由 地 桿 至 端 效 器 兩 端 之 運 動 鏈 的 運 動 序 列 ， 例 如 ： 兩 運 動 鏈 分 別 為 {𝑇(𝐲)}{𝑇(𝐳)}{𝑅(𝐴, 𝐱)}及{𝑇(𝐳)}{𝑅(𝐴, 𝐱)}{𝑇(𝐲)}，形式表現上看似不同，但經分析後 皆為{𝐺(𝐱)}。因此這兩條運動鏈之運動序列相同，可視為不同形式的同一運動鏈，

亦屬須被排除之情形。經過上述兩種刪減的過程，預期剩下的生成機構即為需求之 機構──含有多種目標運動模式之不連續可動機構。

六、分析個別案例

後續將以實例說明不連續可動機構之合成過程，找出合成結果後，會使用電腦 軟體 SolidWorks 2013 建立模型來模擬機構之各運動狀態，並匯入 Adams 2013 取 得運動模擬之各參數數據。列舉例子將為具 (1) {1/𝑆(𝑂₁)}及{1/𝑆(𝑂₂)}、

(2) {1/𝐺(𝐲_𝟏)}及{1/𝐺(𝐲_𝟐)}、(3) {𝑅(𝐱)}、{𝑅(𝐲)}及{𝑅(𝐳)} 運動模式之不連續可動機 構，其中例(1)與例(2)將各有兩個相異的機構範例。

七、確認不連續可動性

分析建模之機構運動結果，是否符合不連續可動機構的基本條件：具兩種或以 上不可共存之運動模式，且運動模式為合成目標之運動設定，進而確定其不連續可 動性。

與文獻[25]之主要差異在於，文獻中認為經過步驟五後所剩下的所有交錯機構，

皆可成為不連許可動機構。然而，本研究經過更多的實例驗證，發現多數的結果皆 非不連續可動機構。因此仍需要經過個例驗證，才能明確地證實該機構是否具有不 連續可動性。

4.2 合成具{1/𝑆(𝑂 ₁ )}及{1/𝑆(𝑂 ₂ )}運動模式之不連續可動機構

本節首先選擇一較簡單的不連續可動機構作為第一個例，設定合成目標的運 動模式為文獻[20]中，含兩不同球心之球面運動的不連續可動機構，故設定運動模 式為{1/𝑆(𝑂₁)}及{1/𝑆(𝑂₂)}。

4.2.1 列舉原生機構

{1/𝑆(𝑂₁)}及{1/𝑆(𝑂₂)}兩運動模式皆屬{1/𝑆(𝑂)}，為{𝑆(𝑂)}之 1 維次流形，是 一種位於一球心為𝑂之球面上的 1 維運動，即一任意曲線，且曲線上任一點至球心 𝑂之距離固定。由於要考慮端效器與地桿，故產生兩種運動方式。而在此討論坐擁 不同之球心的兩運動模式，即𝑂₁ ≠ 𝑂₂。

產生機構的第一種 {1/𝑆(𝑂)}組成方式為𝑅_𝐯^𝑂_𝟏𝑅_𝐯^𝑂_𝟐∗ 𝑅_𝐯^𝑂_𝟒𝑅_𝐯^𝑂_𝟑，以 ∗ 代表端效器的位 置，如圖 4.2 所示。

圖 4. 2 𝑅_𝐯^𝑂_𝟏𝑅_𝐯^𝑂_𝟐 ∗ 𝑅_𝐯^𝑂_𝟒𝑅_𝐯^𝑂_𝟑機構 𝑂

𝑅_𝐯^𝑂_𝟏

𝑅_𝐯^𝑂_𝟐

𝑅_𝐯^𝑂_𝟑

𝑅_𝐯^𝑂_𝟒

端效器

地桿

第二種 {1/𝑆(𝑂)} 組成方式為𝑅_𝐯^𝑂_𝟏𝑅_𝐯^𝑂_𝟐𝑅_𝐯^𝑂_𝟑 ∗ 𝑅_𝐯^𝑂_𝟒，如圖 4.3 所示。

圖 4. 3 𝑅_𝐯^𝑂_𝟏𝑅_𝐯^𝑂_𝟐𝑅_𝐯^𝑂_𝟑∗ 𝑅_𝐯^𝑂_𝟒機構

上述兩種機構實際上有相同的組合，但對於不同的地桿與端效器設定，在本文 中將其視為不同機構，以利往後之步驟的進行。

4.2.2 結合原生機構

將以上兩種各產生{1/𝑆(𝑂₁)}及{1/𝑆(𝑂₂)}的原生機構進行結合。若將兩種原生 機構直接結合會得到 8 桿機構，但經過分析之結果會得非單一自由度的運動模式，

因此無論機構具有不連續可動性與否，將不易利用電腦模擬結果來觀察；若為了減 少桿建的數目而使用過多的共同接頭形成 6 桿機構，所擁有的運動模式將不會完 全與目標相同。詳細對於 8 桿機構與 6 桿機構的情況將於本節末討論。因此設定 桿件的數量為 7，且使用一個共同接頭，來減少額外的衍伸問題。共同接頭是指從 兩運動的原生機構中，各選一個接頭來作為共用，且此共同接頭須為兩基礎運動鏈 結合時鄰接的地方。

由於共同接頭必為兩運動之原生機構共有的接頭，所以此接頭的運動需要同 𝑂

𝑅_𝐯^𝑂_𝟏

𝑅_𝐯^𝑂_𝟐

𝑅_𝐯^𝑂_𝟑

𝑅_𝐯^𝑂_𝟒

地桿 端效器

此對之命為𝑅_𝐰^𝑂，點𝑂僅表示𝑂₁和𝑂₂連線上之任一點。

表 4. 4 兩球面混合之簡寫組合機構

𝐴₁𝐴₁𝐵₁𝐵₁∗ 𝐵₁𝐴₁ 𝐴₁𝐴₁𝐵₂∗ 𝐵₂𝐵₂𝐴₁ 𝐴₁𝐴₁𝐵₃𝐵₃𝐵₃∗ 𝐴₁ 𝐴₁𝐴₁∗ 𝐵₄𝐵₄𝐵₄𝐴₁ 𝐵₁𝐵₁𝐴₁𝐴₁∗ 𝐴₁𝐵₁ 𝐵₂𝐴₁𝐴₁∗ 𝐴₁𝐵₂𝐵₂ 𝐵₃𝐵₃𝐵₃𝐴₁𝐴₁∗ 𝐴₁ 𝐴₁𝐴₁∗ 𝐴₁𝐵₄𝐵₄𝐵₄ 𝐴₂𝐴₂𝐴₂𝐵₁𝐵₁∗ 𝐵₁ 𝐴₂𝐴₂𝐴₂𝐵₂∗ 𝐵₂𝐵₂ 𝐴₂𝐴₂𝐴₂𝐵₃𝐵₃𝐵₃∗ □ 𝐴₂𝐴₂𝐴₂∗ 𝐵₄𝐵₄𝐵₄ 𝐵₁𝐵₁𝐴₂𝐴₂𝐴₂∗ 𝐵₁ 𝐵₂𝐴₂𝐴₂𝐴₂∗ 𝐵₂𝐵₂ 𝐵₃𝐵₃𝐵₃𝐴₂𝐴₂𝐴₂∗ □

此時若考慮要置入共同接頭𝑅_𝐰^𝑂，除含有□之機構必須在此空缺處填入𝑅_𝐰^𝑂之外，

其他插入位置為𝐴接頭與𝐵接頭之連接處。以𝐴₁𝐴₁𝐵₁𝐵₁∗ 𝐵₁𝐴₁為例，𝑅_𝐰^𝑂可置入的位 置如圖 4.4 所示。

圖 4. 4 組合機構之𝑅_𝐰^𝑂 插入範例

4.2.3 改變接頭連接次序

對兩運動之簡寫組合機構進行接頭交錯，交錯的方法為：先列出端效器兩端之 接頭組各別的所有排列可能，再合併兩側的組合。例如機構𝐴₁𝐴₁𝐵₁𝐵₁ ∗ 𝐵₁𝐴₁之端 效器左側為𝐴₁𝐴₁𝐵₁𝐵₁，其其他排列有𝐴₁𝐵₁𝐴₁𝐵₁、𝐴₁𝐵₁𝐵₁𝐴₁……等六種可能，端效 器右側之排列可能為𝐵₁𝐴₁或𝐴₁𝐵₁，因此兩側合併之結果則為𝐴₁𝐵₁𝐴₁𝐵₁∗ 𝐵₁𝐴₁、 𝐴₁𝐵₁𝐵₁𝐴₁∗ 𝐵₁𝐴₁、𝐴₁𝐵₁𝐴₁𝐵₁∗ 𝐴₁𝐵₁、𝐴₁𝐵₁𝐵₁𝐴₁ ∗ 𝐴₁𝐵₁……等共十二種可能，而組

對兩運動之簡寫組合機構進行接頭交錯，交錯的方法為：先列出端效器兩端之 接頭組各別的所有排列可能，再合併兩側的組合。例如機構𝐴₁𝐴₁𝐵₁𝐵₁ ∗ 𝐵₁𝐴₁之端 效器左側為𝐴₁𝐴₁𝐵₁𝐵₁，其其他排列有𝐴₁𝐵₁𝐴₁𝐵₁、𝐴₁𝐵₁𝐵₁𝐴₁……等六種可能，端效 器右側之排列可能為𝐵₁𝐴₁或𝐴₁𝐵₁，因此兩側合併之結果則為𝐴₁𝐵₁𝐴₁𝐵₁∗ 𝐵₁𝐴₁、 𝐴₁𝐵₁𝐵₁𝐴₁∗ 𝐵₁𝐴₁、𝐴₁𝐵₁𝐴₁𝐵₁∗ 𝐴₁𝐵₁、𝐴₁𝐵₁𝐵₁𝐴₁ ∗ 𝐴₁𝐵₁……等共十二種可能，而組