第二章 機構之分析理論與合成方法
2.2 機構運動分析方法
本節將介紹開放式運動鏈以及封閉式機構的運動分析。進行分析前，須先指定 機構中的地桿(ground)，及所要分析相對於地桿之運動的桿件：端效器(end-effector)，
其次定義出從地桿至端效器的路徑，每一路徑皆可視為一條運動鏈。對於開放式運 動鏈，單條運動鏈的末端即為端效器的位置。封閉式機構分析則是找出每一條運動 鏈所產生之運動的交集運動，記作{𝐿(𝑛, 𝑚)}，其中𝑛為地桿的桿件編號，𝑚為端效 器的桿件編號，𝑚相對於𝑛之運動即為要分析的運動。
舉例來說，從圖 2.1 中可以發現階層中沒有單一的位移次群可表達 5 自由度之 運動，但可由其他運動鏈組合才能達成，在此以雙平面運動之串聯為例，構成三個 方向的平移及兩個方向的旋轉運動。將 3 自由度的{𝐺(𝐰)}可拆解成三個由旋轉接 頭𝑅及平移接頭𝑇之 1 自由度李次群的串接，假設給予三條相異的線(𝑁1, 𝐰)、(𝑁2, 𝐰)、
(𝑁3, 𝐰)，可得：
{𝐺(𝐰)} = {𝑅(𝑁1, 𝐰)}{𝑅(𝑁2, 𝐰)}{𝑅(𝑁3, 𝐰)}
{𝐺(𝐰)}
= {𝑅(𝑁1, 𝐰)}{𝑅(𝑁2, 𝐰)}{𝑇(𝐮)}{𝐺(𝐰)}
= {𝑅(𝑁1, 𝐰)}{𝑇(𝐮)}{𝑅(𝑁2, 𝐰)}{𝐺(𝐰)}
= {𝑇(𝐮)}{𝑅(𝑁1, 𝐰)}{𝑅(𝑁2, 𝐰)}{𝐺(𝐰)}
= {𝑅(𝑁1, 𝐰)}{𝑇(𝐮)}{𝑇(𝐯)}{𝐺(𝐰)}
= {𝑇(𝐮)}{𝑅(𝑁1, 𝐰)}{𝑇(𝐯)}{𝐺(𝐰)}
= {𝑇(𝐮)}{𝑇(𝐯)}{𝑅(𝑁1, 𝐰)}其中𝐮 ≠ 𝐯 , ∀𝐮 ⊥ 𝐰 , ∀𝐯 ⊥ 𝐰。上列各恆等式中，並非表示任意的旋轉運動可與平移 運動互相調換，而是以可造成運動{𝐺(𝐰)}為出發點，列出所有可能的運動鏈組合。
若以接頭𝑅及𝑃表示能更直接地連結到運動鏈的型式，如圖 2.2 所示，若不考 慮運動鏈路徑的順序，三種組合與其交錯排列之組合皆可完成平面運動，即𝑅𝑅𝑅、
𝑅𝑅𝑃、𝑅𝑃𝑃。
圖 2. 2 產生平面運動{𝐺(𝐰)}之等效運動鏈 [7]
接著，在串聯兩個平面運動{𝐺(𝐮)}及{𝐺(𝐯)}前，須先了解只要𝐮 ≠ 𝐯，此兩平面 運動間必有一非空集合之交集，即{𝐺(𝐮)} ∩ {𝐺(𝐯)} = {𝑇(𝐰)}，得到𝐰會同時垂直於 𝐮 和 𝐯 ， 可 由 向 量 積 𝐮 × 𝐯/|𝐮 × 𝐯| 得 到 。 兩 運 動 之 串 聯 以 乘 積 表 示 成 {𝐿} = {𝐺(𝐮)}{𝐺(𝐯)}，由於{𝐺(𝐮)}及{𝐺(𝐯)}皆包含{𝑇(𝐰)}，{𝐺(𝐮)}{𝐺(𝐯)}將會有兩個{𝑇(𝐰)}，
但因為乘積封閉性的關係，{𝑇(𝐰)}2 = {𝑇(𝐰)}，多餘的一個{𝑇(𝐰)}可直接在運算式 中 消 去 。 圖 2.3 則 為 其 中 一 種 雙 平 面 運 動 鏈 之 可 能 ， 選 擇 {𝐺(𝐮)} = {𝑅(𝐴, 𝐮)}{𝑅(𝐵, 𝐮)}{𝑅(𝐶, 𝐮)}及{𝐺(𝐯)} = {𝑇(𝐰)}{𝑅(𝐷, 𝐯)}{𝑅(𝐸, 𝐯)}，因此在串聯之後，
多餘的{𝑇(𝐰)}不會對 5 自由度之運動鏈有額外的運動狀態，將從運動鏈式中去除，
構成{𝐺(𝐮)}{𝐺(𝐯)} = {𝑅(𝐴, 𝐮)}{𝑅(𝐵, 𝐮)}{𝑅(𝐶, 𝐮)}{𝑅(𝐷, 𝐯)}{𝑅(𝐸, 𝐯)}，在空間中構成 一3𝑇 − 2𝑅之機構。
圖 2. 3 雙平面運動鏈 [7]
然而，3𝑇 − 2𝑅的運動鏈不只能從{𝐺(𝐮)}{𝐺(𝐯)}中獲得，{𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)}也能推得 擁有三個方向的平移及兩個方向的旋轉 5 自由度運動。不同於{𝐺(𝐮)}{𝐺(𝐯)}的是，
{𝑋(𝐮)} ∩ {𝑋(𝐯)} = {𝑇} ， 因 此 可 分 別 將 {𝑋(𝐮)} 及 {𝑋(𝐯)} 視 為 {𝑅(𝐴, 𝐮)}{𝑇} 與 {𝑇}{𝑅(𝐵, 𝐯)} ， 則 {𝐿} = {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)} = {𝑇}{𝑅(𝐴, 𝐮)}{𝑅(𝐵, 𝐯)} ， 如 圖 2.4 所 示 之 𝑃𝑃𝑃𝐻 − 𝐻，其中𝑃𝑃𝑃𝐻原屬於{𝑋(𝐮)}，最右邊的𝐻則是從{𝑋(𝐯)}去除三個重複方向 的平移自由度而剩下之接頭。
圖 2. 4 {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)}運動鏈 [14]
其次，對於封閉機構而言，端效器的位置不再一定位於運動鏈的末端，因此欲 求的運動方法則會是各個運動鏈的交集。例如給予一個單迴路機構(single loop mechanism)：𝑅𝐮𝐴𝑇𝐯𝑅𝐮𝐵𝑅𝐮𝑁𝑅𝐯𝑁𝑅𝐰𝑁，地桿介於𝑅𝐱𝐴及𝑅𝐰𝑁之間，端效器介於𝑅𝐮𝐵及𝑅𝐮𝑁之間，
則自地桿至端效器間產生兩條路徑，即𝑅𝐮𝐴𝑇𝐯𝑅𝐮𝐵和𝑅𝐮𝑁𝑅𝐯𝑁𝑅𝐰𝑁的運動鏈，故兩運動鏈產 生的運動為：
{𝐺1} = {𝑅(𝐴, 𝐮)}{𝑇(𝐯)}{𝑅(𝐵, 𝐮)}
{𝐺2} = {𝑅(𝑁, 𝐮)}{𝑅(𝑁, 𝐯)}{𝑅(𝑁, 𝐰)}
將以上兩運動進行交集分析，運算程序如下：
{𝐿} = {𝐺1} ∩ {𝐺2}
{𝐿}
= {𝑅(𝐴, 𝐮)}{𝑇(𝐯)}{𝑅(𝐵, 𝐮)} ∩ {𝑅(𝑁, 𝐮)}{𝑅(𝑁, 𝐯)}{𝑅(𝑁, 𝐰)}{𝐿}
= {𝐺(𝐮)} ∩ {𝑆(𝑁)}{𝐿}
= {𝑅(𝑁, 𝐮)}得知此機構的兩條運動鏈分別產生兩個不同方向的三自由度平面運動，端效器的 運動為以(𝑁, 𝐮)為軸線之旋轉運動。
接著是歐丹聯軸器(Oldham coupling)的分析，由 2 個𝑅接頭和 2 個𝑃接頭組成 的 4 連桿機構，如圖 2.5 所示。
圖 2. 5 歐丹聯軸器 [10]
聯軸器的主要研究就是其輸出端的運動，以桿 1 為地桿、桿 4 為端效器，則地 桿與端效器間的兩條運動鏈分別為𝑅𝐤𝐴𝑇𝐢𝑇𝐣及𝑅𝐤𝐵，其中𝐢及𝐣的方向構成一個垂直於𝐤 的二維平移運動，因此兩條運動鏈的運動可分別寫為：
{𝐺1} = {𝑅(𝐴, 𝐤)}{𝑇(𝐢)}{𝑇(𝐣)}
{𝐺2} = {𝑅(𝐵, 𝐤)}
以上兩運動之交集即是端效器相對於地桿的運動，記作{𝐿(1 , 4)}。
{𝐿(1, 4)} = {𝐺1} ∩ {𝐺2}
{𝐿(1 , 4)}
= {𝑅(𝐴, 𝐤)}{𝑇(𝐢)}{𝑇(𝐣)} ∩ {𝑅(𝐵, 𝐤)}{𝐿(1 , 4)}
= {𝑅(𝐴, 𝐤)}{𝑇(𝑃𝑙𝐤)} ∩ {𝑅(𝐵, 𝐤)}{𝐿(1 , 4)}
= {𝐺(𝐤)} ∩ {𝑅(𝐵, 𝐤)}{𝐿(1 , 4)}
= {𝑅(𝐵, 𝐤)}經上述分析的結果為以 k 方向為軸的旋轉運動，證實可為聯軸器。
從前一聯軸器中，將其虛線框內的構件擴充成另一較複雜之聯軸器，由 4 個𝑅 接頭及 2 個𝑃接頭組成的 6 連桿機構，如圖 2.6 所示。
圖 2. 6 4𝑅2𝑃聯軸器 [15]
設以桿 1 為地桿、桿 6 為端效器，則自地桿至端線器間產生之路徑分別為 𝑅𝐤𝐴𝑇𝐣𝑅𝐣𝐵𝑅𝐣𝐶𝑇𝐢及𝑅𝐤𝐷的運動鏈，其中𝐢及𝐣皆為垂直於 k 的方向，此兩條運動鏈的運動 可寫為：
{𝐺1} = {𝑅(𝐴, 𝐤)}{𝑇(𝐣)}{𝑅(𝐵, 𝐣)}{𝑅(𝐶, 𝐣)}{𝑇(𝐢)}
{𝐺2} = {𝑅(𝐷, 𝒌)}
以上兩運動之交集即為端效器相對於地桿的運動，記作 {𝐿(1, 6)}。
{𝐿(1, 6)} = {𝐺1} ∩ {𝐺2}
{𝐿(1 , 6)}
= {𝑅(𝐴, 𝐤)}{𝑇(𝐣)}{𝑅(𝐵, 𝐣)}{𝑅(𝐶, 𝐣)}{𝑇(𝐢)} ∩ {𝑅(𝐷, 𝐤)}{𝐿(1 , 6)}
= {𝑅(𝐴, 𝐤)}{𝑇(𝐣)}{𝐺(𝐣)} ∩ {𝑅(𝐷, 𝐤)}{𝐿(1 , 6)}
= {𝑅(𝐴, 𝐤)}{𝑋(𝐣)} ∩ {𝑅(𝐷, 𝐤)}{𝐿(1 , 6)}
= {𝑋(𝐤)}{𝑋(𝐣)} ∩ {𝑅(𝐷, 𝐤)}{𝐿(1 , 6)}
= {𝑅(𝐷, 𝒌)}利用李群理論及位移李次群的運動表示法，可得輸出端的運動為以 k 方向為軸的 旋轉運動，證實有達到聯軸器的功能。
i j
k
1
1 2
3
4 5
6
不僅是單迴路機構，李群亦可用於分析由多隻腳組成的並聯機構(parallel mechanism)，即多迴路機構(multiple loop mechanism)。只要將多隻腳的並聯機構視 為多個閉迴路運動鏈來分析，在此舉一個機構為例，如圖 2.7 所示，最上端的桿件 為端效器的位置，每隻腳最下端的桿件為地桿，故此機構含有 5 隻由 5 自由度運 動鏈組成的腳。
圖 2. 7 五腳並聯機構 [13]
從 腳 A 到 腳 E 的 運 動 分 別 為 ： {𝑋(𝐮)}{𝑅(𝑀1, 𝐯)} ， {𝑅(𝑁1, 𝐯)}{𝑋(𝐮)} ， {𝑋(𝐯)}{𝑅(𝑀2, 𝐮)}，{𝑅(𝑁2, 𝐮)}{𝑋(𝐯)}，{𝑋(𝐯)}{𝑅(𝑀3, 𝐮)}，端效器的運動應為以上這 五種運動的交集運動。在此先將令腳 A 和腳 B 組成運動鏈{𝐿1}、腳 C 和腳 D 組成 {𝐿2}，接著進行{𝐿1}及{𝐿2}之交集運算，腳 E 則放到最後做結合運算，可先得到兩 條運算式：
{𝐿1} = {𝑋(𝐮)}{𝑅(𝑀1, 𝐯)} ∩ {𝑅(𝑁1, 𝐯)}{𝑋(𝐮)}
{𝐿
1}
= {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)} ∩ {𝑋(𝐯)}{𝑋(𝐮)}{𝐿
1}
= {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)}地桿
端效器
{𝐿2} = {𝑋(𝐯)}{𝑅(𝑀2, 𝐮)} ∩ {𝑅(𝑁2, 𝐮)}{𝑋(𝐯)}
{𝐿
2}
= {𝑋(𝐯)}{𝑋(𝐮)} ∩ {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)}{𝐿
2}
= {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)}將以上兩分析結果再進行一次交集運算，並將此結果與腳 E 的運動作交集，可得 以下兩條運算式：
{𝐿3} = {𝐿1} ∩ {𝐿2}
{𝐿
3}
= {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)} ∩ {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)}{𝐿
3}
= {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)}{𝐿} = {𝐿3} ∩ {𝑋(𝐯)}{𝑅(𝑀3, 𝐮)}
{𝐿}
= {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)} ∩ {𝑋(𝐯)}{𝑋(𝐮)}{𝐿}
= {𝑋(𝐮)}{𝑋(𝐯)}{𝐿}為交集運算的最終結果，故得知圖 2.7 中並聯機構的端效器運動為以𝐮及𝐯兩方 向為旋轉軸的雙𝑋運動。