Scilab 中的矩陣運算介紹

1. 矩陣的輸入

例如要建立一個

















=

9 8 7

6 5 4

3 2 1

A 的矩陣，則直接輸入以下這個指令：

[A]=[1, 2, 3 ; 4, 5, 6; 7, 8, 9]

，結果如圖 4-3-2 所示

圖 4-3-2 Scilab 輸入矩陣

2. 取矩陣中的某一行向量

例如要取 A 的第三行，並命名為 V 向量，則輸入

V=A( : , 3)

3. 求矩陣的某一列之總和

例如要求第三列的總和，則輸入

sum( A ( 3 , : ))

4. 將矩陣的某一列乘以一個數

例如將矩陣的第二列中每個元乘以 2，則輸入

A( 2, : ) = A( 2 , : ) * 2

圖 4-3-3 Scilab 矩陣中列運算 5. 將某一列乘以一個數加到另一列

例如將 A 的第一列乘以 - 8 加到第二列，則輸入

A(2, : ) = A(1, :)*( -8)+A(2, : )

圖 4-3-4 Scilab 矩陣中列運算 6. 矩陣相乘

例如 1 0 1 2 1 1

B  

=  − ，計算 B*A

圖 4-3-5 矩陣相乘

4.3.2 數學建模中運用 數學建模中運用 數學建模中運用 Scilab 軟體 數學建模中運用 軟體 軟體－ 軟體 － － －賽揚 賽揚 賽揚 賽揚獎模型 獎模型 獎模型 獎模型

旅美職棒好手王建民去年表現大放異彩，拿下美國聯盟勝投王(與 Santana 並列)，

甚至有機會問鼎投手的最高榮譽－賽揚獎。表 4-3-1 中是 2006 年美國聯盟勝投數前 三名的投手之主要紀錄，試建立一個數學模型說明誰最有機會得獎。

表 4-3-1 投手表現紀錄

Player 勝投數 防禦率 投球局 WHIP K/9 J Santana 19 2

.

77 233

.

2 1

.

0 9

.

4 C Wang 19 3

.

63 218 1

.

3 3

.

1 J Garland 18 4

.

51 211

.

1 1

.

4 4

.

8 F Garcia 17 4

.

53 216

.

1 1

.

3 5

.

6 R Johnson 17 5 205 1

.

2 7

.

6 K Rogers 17 3

.

84 204 1

.

2 4

.

4 J Verlander 17 3

.

63 186 1

.

3 6

.

0

【思維分析】首先要對這些棒球統計資料的專有名詞加以了解，這些資料的意義及計 算公式如下：

a. 防禦率(ER)=

投球局數 責任失分 9×

，亦即代表投手平均在投九局的情況下，扣除隊友失誤 因素後，投手本身被對方得到的分數，這個值愈低愈好。

b. K/9 =

投球局數 三振數 9×

。代表投手平均一場球(九局)中，可以用三振製造出局數的能力，

一位強力投手通常具備很好的三振能力。

c. WHIP=

投球局數 保送數

被安打數 )

( +

。代表投手平均在一局中被對方上壘的人數。

賽揚獎（Cy Young Award）指的是美國職棒大聯盟每年頒給投手的一項榮耀。這 個獎項最初是於 1956 年由會長福特·弗立克（Ford Frick）所提議，用來紀念 1955 年 過世的棒球名人堂投手賽·揚（Cy Young）。最初的 11 年（1956 年至 1966 年）間，兩 個聯盟每年只選出一位受獎者。當弗立克於 1967 年退休後，就變成每個聯盟各選出

一位受獎者。

這個獎項是由全美棒球記者協會（Baseball Writers Association of America，簡稱 BBWAA）的 28 個成員所票選出來的。每個成員選出自己心目中各個聯盟最好的前三

(2) 建立模糊綜合判斷矩陣

令

∑

=

=

⁵

1 j

ij j

i

a r

b ．

, 得

B = [0

.

328, 0

.

097, 0

.

089, 0

.

113, 0

.

142, 0

.

102, 0

.

128]

圖 4-3-8 用 Scilab 計算最後結果 (4) 結果說明：

從原始數據來看，Santana 表現都是所有人之冠，得獎是意料中之事，最後投票結 果也確實是 Santana 獲得這個獎項。而王建民得分與 Santana 相差許多，只勝過 Garland，主要在於三振數太低。若將勝投數權重加大，令 A=[2, -1, 1, -1, 0.5]，重 新計算結果，得到

B = [ 0.367, 0.213, 0.176, 0.181, 0.186, 0.185, 0.192 ]

這樣的結果似乎比較合理些。

(5) 模型檢驗：

以 2004 年的美國聯盟資料來驗證

表 4-3-2 2004 年投手表現紀錄

Player 勝投數 防禦率 投球局數 WHIP K/9 C Schilling 21 3.26 226.2 0.91 8.06

J Santana 20 2.61 228 0.68 10.46 B Colon 18 5.01 208.1 1.03 6.83 K Rogers 18 4.76 211.2 1.17 5.36

將表中的資料表示成矩陣形式C_ij(i=1,2,3,4,5,6,7;j =1,2,3,4,5)，得到

五 五 五

五、 、 、 、數學建模實例 數學建模實例 數學建模實例 數學建模實例

5.1 最優化模型 最優化模型 最優化模型 最優化模型

現實生活中，許多問題都存在一個最佳狀態的解，例如最短路徑、最少時間、最 大收益…等，在資源有限、空間有限的情況下，得到最佳化結果是現代化社會所追求 的目標。日常生活中，所看到所用到的東西，在我們沒注意到的地方或許都隱藏著設 計者的巧思。例如從物品的形狀來說，為什麼馬路上的人孔蓋是設計成圓形較好，而 不是方形？為什麼金屬罐飲料是設計成圓柱體，鋁箔包飲料是長方體？從尺寸來說，

為什麼同樣 355 毫升的易開罐飲料幾乎都差不多大小？

每種求最佳解的方法往往都成為數學的一門分枝，或是需要綜合幾個不同的領 域，形成一個新的數學領域，其中有許多問題已經被研究出來，成為經典案例。

5.1.1 單變數函數的極值 單變數函數的極值 單變數函數的極值 單變數函數的極值

一個典型的問題是：「一條長度 l 的繩子，將其圍成矩形，面積最大是多少？」

這個題目很容易可以轉化為數學模型，在現實生活中可能出現的狀況就如同「95 年 大學入學指定考試數學乙」中的一道題目：「一農夫想用 66 公尺長之竹籬圍成一長 方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬 2 公尺的出入口。此農夫所能圍成的最大 面積為多少平方公尺？」不過，常常在我們面臨實際問題的時候，很多條件都是 模糊的，不是馬上就找到所需要用的數學方法。例如 2006 年「中國大學生數學建 模競賽」的試題 C，題目如下：

「我們只要稍加留意就會發現銷量很大的飲料 (例如飲料量為 355 毫升的可口可 樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易開罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。看來，這並非

偶然，這應該是某種意義下的最優設計。當然，對於單個的易開罐來說，這種最優設 計可以節省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易開罐的話，

可以節約的錢就很可觀了。

現在就請你們小組來研究易開罐的形狀和尺寸的最優設計問題。具體說，請你們 完成以下的任務：

1．取一個飲料量為 355 毫升的易開罐，例如 355 毫升的可口可樂飲料罐，測量你們 認為驗證模型所需要的資料，例如易開罐各部分的直徑、高度，厚度等，並把資 料列表加以說明；如果資料不是你們自己測量得到的，那麼你們必須注明出處。

2．設易開罐是一個正圓柱體。什麼是它的最優設計？其結果是否可以合理地說明你 們所測量的易開罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。

3．設易開罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個 正圓柱體。

什麼是它的最優設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易開罐的形狀 和尺寸。

4．利用你們對所測量的易開罐的洞察和想像力，做出你們自己的關於易開罐形狀和 尺寸的最優設計。」

即便這個問題已經述敘很完整了，但該用哪些條件來解決問題並不算明確，需要 仔細思考推敲。其實這個問題在本質上仍和菜圃那道問題是相同的，也就是說要製造 355 毫升的飲料罐，形狀或尺寸要如何設計會讓使用材料最少？或者反過來，以同樣 的材料，要設計怎樣的形狀或尺寸的飲料罐，可以讓容積最大？

建立模型初步就是簡化題目的假設條件。恰如 1997 年「第一屆北京中學生數學

3

另外再配合使用 Excel 電子試算表，也能很快計算出大量的函數值加以觀察

旅遊折扣票價，免費交運的行李數為兩件，每件箱體三邊之和不超過 62 英寸（158

和有最大值。此時兩個箱子都是正立方體的形狀，一個邊長為 ≈ 規劃」(Linear Programming)來解。以95年「大學入學指定考試數學乙」中一題為例：

「為預防禽流感，營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位的營養 素A、至少 72 單位的營養素B和至少 60 單位的營養素 C 給他的雞群。

這三種營養素可由兩種飼料中獲得，且知第一種飼料每公斤售價 5 元並含有 7 單位

A(0, 42)代入，P= 168

B(6, 21)代入，P= 30 + 84 = 114 C(18, 3)代入，P= 90 + 12 = 102 D(24, 0)代入，P= 120

故農場主人每天使用第一種飼料 18 公斤，第二種飼料 3 公斤，可以使得 花費最少，每天為 102 元。

5.2 微分方程與指數模型 微分方程與指數模型 微分方程與指數模型 微分方程與指數模型

在許多實際問題中，有時要直接找出變數之間的函數關係較為困難，但導出包含 未知函數的導數或微分的關係式較為容易時，可先列出微分方程式與初始值，再解微 分方程來得到所要求的函數模型。例如人口的成長、藥物在體內的分佈、傳染病的擴 散…等。

5.2.1 馬爾薩斯 馬爾薩斯 馬爾薩斯 (Malthus)模型 馬爾薩斯 模型 模型 模型

馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料後發現，人口淨增長率 r 基本上是 一常數，假設 N( t )為時刻 t 的人口數，則 r

dt dN N1 ⋅ =

，可得到N(t)=N₀e^r(t−t0)，其 中 No=N( to )為初始時刻 t = to的人口數。

除了人口之外，放射性物質的質量變化、人體內藥物的吸收也都可由微分方 程的建立，得到指數形式的模型。其中，放射性物質的衰減率與尚存物質的原子 數成正比，而裡面藥物被吸收的速率與藥物的數量成正比。

在「第二屆北京中數學生數學知識競賽」中出了這樣一道試題：人們早就發 現了放射性物質的衰減現象，最常見的放射性物質之一是碳-14，他常用來確定有 機物的年代。比如，一段骨骼含少量的碳-14，它在骨骼的含碳量占有一定比例，

一旦有機物死亡，它就不能通過與外界環境的相互作用(例如呼吸)獲得碳-14，並 且還要不斷衰減。

已知放射性物質的衰減服從指數規律：C(t)=C₀e^−rt，其中 t 表示衰減的時間，

C₀表示放射性物質的原始質量，C(t)表示經衰減了 t(年)後尚存的質量，e≒2.72 是 一個非常重要的常數。為計算衰減的年代，通常給出該物質質量衰減一半的時間，

稱其為該物質的半衰期，碳-14 的半衰期大約是 5730 年，由此可確定係數。人們又 知道，放射性物質的衰減速度是與其質量成正比的。

1950 年在巴比倫發現一根刻有 Hammurabi 王朝字樣的木炭，當時測定，其碳 -14 分子的衰減速度為 4.09（個/每克每分鐘），而新砍伐燒成的木碳-14 的衰減速度 為 6.68（個/每克每分鐘），請估算出其 Hammurabi 王朝所在年代。

【解】由碳-14 的半衰期為 5730 年，得到1 _{0 0} ⁵⁷³⁰ 2

C =C e^{− ×}r 。將兩邊的 C0消掉，並

且取自然對數，得 1

ln 5730

2= − r，可以解出 r≈ 1.21×10^-4。

再由題目所提供「放射性物質的衰減速度與其質量成正比」，不妨令 C0=6.68，

∴4.09=6.68e^−rt。將等式兩邊同除以 6.68，再同時取自然對數，得到 4.09

ln6.68 = − 。 rt 將 r =1.21×10^-4代入上式，最後得出 t≈ 4055。

因此 Hammurabi 王朝約在西元前 2100 年前。

以上的運算過程，可以用 Maxima 軟體來輔助，實作情形如圖 5-2-1 所示：

圖 5-2-1 用 Maxima 解方程式

5.2.2 Logistic 模型 模型 模型 模型

圖 5-2-2 Logistic 曲線

Logistic 模型用途十分廣泛，除了用於預測人口增長外，也可用於疾病傳播，謠 言的傳播，銷售預測等。但這個模型的最大缺點是飽和係數 K 的值不容易確定 (劉承 平，2002)。

在 92 年「大學推甄入學學科能力測驗」中，曾以這個模型當成命題的來源，

題目如下：「根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後，t 小時之內聽到該訊息 的人口是全鎮人口的100(1 2 )%− ^−kt ，其中 k 是某個大於 0 的常數。今有某訊息，假 設在發布後 3 小時之內已經有 70%的人口聽到該訊息。又設最快要 T 小時後，有 99%的人口已聽到該訊息，則 T 最接近下列哪一個選項？」

另外在南一版的高中課本數學乙上冊中的一道題目，所用的也是Logistic模型，

另外在南一版的高中課本數學乙上冊中的一道題目，所用的也是Logistic模型，

在文檔中 關於高中學生數學建模指導之研究 (頁 70-0)