一、 數學建模概論
1.1 什麼是數學建模
1.1.2 各國數學建模發展概況
在數學教育中引進數學建模最早是由美國開始，主要是透過數學建模競賽吸引學 生的參與，慢慢擴大影響力。之後中國與台灣的學者也注意到這股潮流，開始推動數 學建模。茲將各國的發展概況分述如下：
1. 美國美國美國：美國：：：1975 年美國的數學科學學會 (Conference Board of the Mathematical Science，簡稱 CBMS)在「K-12 級中學數學的概觀與分析」(Overview and Analysis of School Mathematics K-12)文件中，建議把數學建模放到高中課程中去。美國的全國數 學教師會議 (National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM)把數學建模融
進中學教材作為 1981-1990 年數學教學改革的目標。1989 年，全國的全國研究會議 (National Research Council)提出對未來數學教育的報告(A Report to the nation on the Future of Mathematics Education)中，把數學建模列入了數學教育改革最急需的項目。
1989 年 NCTM 的中學數學課程和教學評估標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)文件中，對各年級數學課程都列出了問題解決能力標準，並強 調「數學建模」作為問題解決一個側面的重要性 (施羿如，2005)。。。另外 1985 年開始。 就由數學與其應用聯盟 (The Consortium for Mathematics and Its Applications ，簡稱 COMAP)主辦全國性的「大學生數學建模競賽」 (Mathematical Contest of Modeling，
簡稱 MCM)，1999 年 COMAP 將此項活動往下延伸，開始辦理全美國高中生的數學 建模競賽 (簡稱 HiMCM)，COMAP 這個組織的贊助單位包含了許多國家級的學術研 究機構與政府部門，其中甚至還包含了美國的國家安全局 (National Security Agency)，可見美國各界極為重視數學建模的教育。
2. 中國中國中國中國大陸大陸大陸大陸：：：：中國大陸從 1992 年開始由中國民間的「中國工業與應用數學學會」主 辦全國性的大學生數學建模競賽 (CUMCM )，1994 年起改由「國家教委高教司」和 中國工業與應用數學學會共同舉辦，每年一次。在中學階段，也從 1997 年起舉辦「北 京高中數學知識應用競賽」，將數學建模的精神向下札根。2003 年時將數學探究、數 學建模、數學文化三個主題列入「普通高中數學課程標準」，建議在教材中應該提供 一些適合學生水平的數學建模問題和背景材料供學生和教師參考；教材中可以提供 一些由學生完成的數學建模案例，以激發學生的興趣。詳細內容如下：
(1) 數學探究數學探究數學探究 數學探究
數學探究即數學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習 的過程。這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適 當的數學結論或規律，給出解釋或證明。
數學探究是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，有助於學生初步瞭解數學 概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關係，初步嘗試數學研究的過程，體
驗創造的喜悦，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神；有助於培養學生勇於質 疑和善於反思的習慣，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力；有助於發展學生 的創新意識和實踐能力。
要求：
數學探究課題的選擇是完成探究學習的關鍵。課題的選擇要有助於學生對數學的 理解，有助於學生體驗數學研究的過程，有助於學生形成發現、探究問題的意識，有助於鼓勵學生發揮自己的想像力和創造性。課題應具有一定的開放性，課題的 預備知識最好不超出學生現有的知識範圍。數學探究課題應該多樣化，可以是某 些數學結果的推廣和深入，不同數學內容之間的聯繫和類比，也可以是發現和探 索對自己來說是新的數學結果。也可以從教師提供的案例和背景材料中發現和建 立，應該特別鼓勵學生在學習數學知識、技能、方法、思想的過程中發現和提出 自己的問題並加以研究。
學生在數學探究的過程中，應學會查詢資料、收集資訊、閱讀文獻。學生在數學 探究中，應養成獨立思考和勇於質疑的習慣，同時也應學會與他人交流合作，建 立嚴謹的科學態度和不怕困難的精神。在數學探究中，學生將初步瞭解數學概念 和結論的產生過程，體驗數學研究的過程和創造的喜悦，提高發現、提出、解決 數學問題的能力，發揮自己的想像力和創新精神。
高中階段至少應為學生安排一次數學探究活動，還應將課內與課外結合起來。
課程標準中並不對數學探究的課時和內容做具體安排，學校和教師可根據各自的 實際情況，統籌安排數學探究活動的內容和時間。例如，可以結合方程的近似求 解、導數的應用等內容安排數學探究活動。
說明與建議：
教師應努力成為數學探究課題的創造者，有比較開闊的數學視野，瞭解與中學數 學知識有關的擴展知識和內在的數學思想，認真思考其中的一些問題，加深對數 學的理解，提高數學能力，為指導學生進行數學探究做好充分的準備，並累積指 導學生進行數學探究的資源。教師要成為學生進行數學探究的組織者、指導者、合作者。教師應該為學生提供較為豐富的數學探究課題的案例和背景材料；引導 和幫助而不是代替學生發現和提出探究課題，特別應該鼓勵和幫助學生獨立地發 現和提出問題；組織和鼓勵學生組成課題組合作地解決問題；指導和幫助學生養 成查閱相關的參考書籍和資料、在電腦網路上查找和引證資料的習慣；一方面應 該鼓勵學生獨立思考，幫助學生建立克服困難的毅力和勇氣，另一方面應該指導 學生在獨立思考的基礎上用各種方式尋求幫助；在學生需要的時候，教師應該成 為學生平等的合作者，教師要有勇氣和學生一起進行探究。教師應該根據學生的 差異，進行有針對性的指導。在鼓勵學生創新的同時，允許一部分學生可以在模 仿的基礎上發揮自己的想像力和創造力。
數學探究的結果以課題報告或課題論文的方式完成。課題報告包括課題名稱、問 題背景、對事實的觀察分析、對結果的猜測、對結果的論證、合作情形、對探究 結果的體會或評論、引證的文獻資料等方面。可以通過小組報告、班級報告、答 辯會等方式交流探究成果，通過師生之間和學生之間的討論來評價探究學習的成 績，評價主要是正面鼓勵學生的探索精神，肯定學生的創造性勞動，同時也指出 存在的問題和不足。
數學探究報告及評語可以記入學生成長記錄，作為反映學生數學學習過程的資料 和推薦依據。對於學生中優秀的報告或論文應該給予鼓勵，可以採取表揚、評獎、
推薦雜誌發表、編輯出版、向大學推薦等多種形式。
教材在適當的章節應該提供一些數學探究課題的案例和背景材料，可以提供一些 由學生完成的數學探究的案例，可以為教師指導數學探究學習提供一些參考性的 建議。
2. 數學建模數學建模數學建模數學建模
數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次 數學教育重要和基本的內容。數學建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了 自主學習的空間，有助於學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與
日常生活和其他學科的聯繫，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應 用意識；有助於激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。
要求：
在數學建模中，問題是關鍵。數學建模的問題應是多樣的，應來自於學生的日常 生活、現實世界、其他學科等多方面。同時，解決問題所涉及的知識、思想、方 法應與高中數學課程內容有聯繫。通過數學建模，學生將瞭解和經歷解決實際問 題的全過程，體驗數學與日常生活及其他學科的聯繫，感受數學的實用價值，增 強應用意識，提高實踐能力。每一個學生可以根據自己的生活經驗發現並提出問 題，對同樣的問題，可以發揮自己的特長和個性，從不同的角度、層次探索解決 的方法，從而獲得綜合運用知識和方法解決實際問題的經驗，發展創新意識。
學生在發現和解決問題的過程中，應學會通過查詢資料等手段獲取資訊。學生在 數學建模中應採取各種合作方式解決問題，養成與人交流的習慣，並獲得良好的 情感體驗。
高中階段至少應為學生安排一次數學建模活動。還應將課內與課外結合起來，把 數學建模活動與綜合實踐活動結合起來。課程綱要中不對數學建模的課時和內容 做具體安排，學校和教師可根據各自的實際情況，統籌安排數學建模活動的內容 和時間。例如，可以結合統計、線性規劃、數列等內容安排數學建模活動。
說明與建議：
學校和學生可根據各自的實際情況，確定數學建模活動的次數和時間安排。數學 建模可以由教師根據教學內容以及學生的實際情況提出一些問題供學生選擇；或 者提供一些實際情景，引導學生提出問題；特別要鼓勵學生從自己生活的世界中 發現問題、提出問題。
數學建模可以採取課題組的學習模式，教師應引導和組織學生學會獨立思考、分 工合作、交流討論、尋求幫助。教師應成為學生的合作夥伴和參謀。數學建模活 動中，應鼓勵學生使用電腦、計算器等工具。教師在必要時應給予適當的指導。
教師應指導學生完成數學建模報告，報告中應包括問題提出的背景、問題解決方
教師應指導學生完成數學建模報告，報告中應包括問題提出的背景、問題解決方