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理學院應用科技學程
碩
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關 於 高 中 學 生 數 學 建 模 指 導 之 研 究
A Study of Mathematical Modeling
for Senior High School Students
研 究 生：劉宗滎
指導教授：黃大原 博士
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關於高中學生數學建模指導之研究
A Study of Mathematical Modeling
for Senior High School Students
研 究 生：劉宗滎 Student：Tzong-Ying Liu
指導教授：黃大原 Advisor：Tayuan Huang
國 立 交 通 大 學
理學院應用科技學程
碩 士 論 文
A ThesisSubmitted to Degree Program of Applied Science and Technology College of Science
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Degree Program of Applied Science and Technology June 2007
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
關於高中學生數學建模指導之研究
研究生：劉宗滎 指導教授：黃大原 博士
國立交通大學理學院應用科技組碩士班
摘 要
數學建模是國內數學教育改革中一個新興的議題，尤其是新修訂的高中數學課程綱 要（草案）中，即明確指出要發展學生數學建模的基本能力。 本論文首先針對數學建模作理論上的介紹（第一章），探討學習數學建模的意義， 以及數學建模在國內外的發展狀況。數學建模之受到重視，實肇因於透過數學解決現實 生活中的問題，許多人文社會及自然科學的學術研究都需要數學的參與。在高中的數學 基礎教育階段，指導學生進行簡易的數學建模，培養數學建模的思維亦有其意義（第二 章）。從近幾年的大學入學考試試題中，可以發現數學建模概念題是相當受重視的，這 些題目可以成為我們指導學生進行數學建模的題材(第三章)。 許多數學軟體可以協助我們解決數學建模中不可避免要處理的各種數據資料，其 中亦有免費的自由軟體如 Scilab 及 Maxima。本論文將對它們的功能做簡單的介紹，並 實際運用於數學建模的過程中（第四章）。結合前述理論上的探討，我們將針對研究過 程中所探討的數學建模相關課題作細部介紹(第五章)。 關鍵字：數學建模、數學教育、數學軟體A Study of Mathematical Modeling
for Senior High School Students
Studend：Tzong-Ying Liu Advisor：Tayuan Huang
Degree Program of Applied Science and Technology
College of Science
National Chiao Tung University
Abstract
Mathematical modeling is a current issue in mathematics education in Taiwan or even worldwide; in particular, the ability of handling mathematical modeling is among the core abilities claimed in the Mathematics Curriculum (draft 2006) for the senior high school students in Taiwan.
Mathematical modeling will be first recalled from the theoretical view point in Chapter 1, including its significance, the status in developing mathematical modeling in Taiwan and other countries. It must be emphasized that the problems in real life have continuously been solved by mathematical ideas and methods as well in the framework of mathematical modeling, and mathematics has always played a vital role in academic researches such as humanities and social sciences, natural sciences. The significances of instructing students with the abilities in thinking and handling mathematical modeling will be surveyed in Chapter 2. The concept of mathematical modeling has also been one of the focuses in the college
entrance examination recently, some of these problems are collected in Chapter 3 followed by some detailed analysis from the view points of mathematical modeling.
Many mathematical softwares, including freewares such as Scilab and Maxima, are now available for treating complicated and huge mount numerical data involved in mathematical modeling. Their functions used in the processes of mathematical modeling will be provided in Chapter 4. Some problems with real immediate applications involved in this research are provided in the final Chapter 5 together with detailed analysis.
誌 謝
論文能夠順利完成，首先最要感謝指導教授黃大原老師兩年來辛苦指導，除了在研 究上的指引外，在撰寫論文的架構與編排也給予許多寶貴的建議，並讓我學習到從事研 究的態度與思考的方法，使我獲益良多，在此致上最誠摯的謝忱。 感謝專班主任莊祚敏老師對於專班同學的照顧，給予同學適時的支援與鼓勵。感謝 蔡文賢老師與交大物理所林登松老師在專題研討課程的指導，使我們作專題報告能夠切 中要點，對於問題的思考更加透澈。感謝交大資工所陳榮傑老師在編碼學上的指導，擴 展我對數學應用的認識。感謝交大資工所蔡文能老師引導我進入Java程式設計的世界， 使我對於物件導向程式有更深刻的了解。此外還要感謝在專班演講的所有老師，犧性周 末或晚上的時間講述您們專業領域的研究，讓從大學畢業多年後再重回學生的我能充實 新知、增廣見聞。 感謝陽明高中林清波校長與所有同仁，對我的支持與關懷，讓我能在工作之餘順利 完成進修。感謝仁杰、秉鈞、弘毅、建佳及專班同學一起陪伴我走過這段忙碌卻充實的 日子，雖然大家平時各有工作事業，見面機會不多，但課堂上彼此之間的討論交流確實 讓我獲益良多，為這兩年的學習增添許多色彩。 由衷地感謝我的家人，尤其是賢內助君蓉的體諒與支持鼓勵，讓我能専心於課業， 還有生我育我的父母親，你們都是支持我完成進修的推手。 二年的研究所生涯中，要感謝的人很多，無法在此一一表達，謹向所有關心我、 協助我的人，表達最誠摯的謝意。目
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頁次 中文摘要 ……… i 英文摘要 ……… ii 誌謝 ……… iii 目錄 ……… iv 表目錄 ……… vi 圖目錄 ……… vii 一、 數學建模概論……… 1 1.1 什麼是數學建模……… 1 1.1.1 為什麼要學數學建模……… 2 1.1.2 各國數學建模發展概況……… 4 1.2 數學建模的分類……… 11 1.3 數學建模步驟……… 12 二、 數學建模的題材及其方法……… 16 2.1 數學建模題材……… 16 2.2 數學建模方法……… 17 三、 中學數學中的數學建模……… 21 3.1 課程中的數學建模教材……… 21 3.2 升學考試題目……… 27 3.3 北京高中數學知識應用競賽……… 39 四、 數學建模和資訊科技的結合……… 48 4.1 意義闡釋……… 48 4.2 Maxima……… 49 4.2.1 Maxima 基本功能……… 50 4.2.2 運用 Maxima 實例－影院座位設計……… 54 4.3 Scilab……… …… 60 4.3.1 Scilab 中的矩陣運算介紹……… 61 4.3.2 運用 Scilab 軟體實例－賽揚獎模型……… 63 五、 數學建模實例……… 68 5.1 最優化模型……… 68 5.1.1 單變數函數的極值……… 68 5.1.2 多變數函數的極值……… 74 5.2 微分方程與指數模型……… 76 5.2.1 馬 爾薩斯 (Malthus)模型……… 76 5.2.2 Lo g i s t i c 模 型 … … … 78 5.2.3 藥物吸收代謝模型……… 79 5.3 線性迴歸模型……… 83 5.3.1 最小平方法原理……… 84 5.3.2 線性迴歸模型應用……… 85
頁次 5.4 群試(Group testing)模型……… 89 5.4.1 d-disjunct 矩陣…… ……… 89 5.4.2 DNA 檢驗……… 91 六、 結論……… 95 參考文獻 ……… 96
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頁次 表 4-3-1 投手表現紀錄……… 63 表 4-3-2 2004 年投手表現紀錄……… 66 表 5-1-1 3 1 3 2 2 4k k y= − + 的函數值……… 72 表 5-1-2 飼料所含維他命……… 75 表 5-2-1 血液中酒精濃度……… 81 表 5-2-2 血液中酒精濃度函數值……… 82 表 5-3-1 迴歸模型估算的成績……… 88 表 5-3-2 兩個舉重模型成績比較……… 88 表 5-4-1 δ(5, 2, 3)矩陣……… 90
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頁次 圖 1-3-1 葉其孝數學建模流程圖……… 12 圖 1-3-2 袁震東數學建模流程圖……… 13 圖 4-2-1 Maxima 程式的主畫面……… 49 圖 4-2-2 Maxima 兩個多項式相加……… 50 圖 4-2-3 Maxima 解二元一次方程式……… 51 圖 4-2-4 Maxima 求三角函數值……… 51 圖 4-2-5 Maxima 求反三角函數值……… 52 圖 4-2-6 輸入∑的求值範圍……… 52 圖 4-2-7 ∑求值的運作畫面……… 52 圖 4-2-8 Maxima 求函數微分與積分……… 53 圖 4-2-9 Maxima 解三元一次方程組……… 53 圖 4-2-10 Maxima 求反矩陣……… 54 圖 4-2-11 電影院座位直角坐標……… 56 圖 4-2-12 觀眾視角的函數圖形……… 56 圖 4-2-13 輸入視角與仰角的函數……… 57 圖 4-2-14 求視角總和的函數……… 57 圖 4-2-15 電 影 院 地 板 傾 斜 角 函 數 圖 形 … … … 58 圖 4-2-16 觀眾仰角與地板傾斜角關係圖……… 58 圖 4-2-17 電影院墊高地板座位圖……… 59 圖 4-2-18 電影院座位優化設計圖……… 60 圖 4-3-1 Scilab 程式主畫面……… 60 圖 4-3-2 Scilab 輸入矩陣……… 61 圖 4-3-3 Scilab 矩陣中列運算……… 62 圖 4-3-4 Scilab 矩陣中列運算……… 62 圖 4-3-5 Scilab 矩陣相乘……… 62 圖 4-3-6 將投手紀錄建立在 Scilab 中……… 64 圖 4-3-7 用 Scilab 求模糊評判矩陣……… 65 圖 4-3-8 用 Scilab 計算最後結果……… 66 圖 5-1-1 3 1 3 2 2 4k k y= + − 函數圖形……… 71 圖 5-1-2 3 273 3 3 3 ( )x ( x) y − = + 函數圖形……… 74 圖 5-1-3 二元一次聯立不等式圖形……… 75 圖 5-2-1 用 Maxima 解方程式……… 77 圖 5-2-2 Logistic 函數圖形……… 79 圖 5-2-3 單房室模型示意圖……… 80 圖 5-2-4 血液中酒精濃度函數圖形……… 83 圖 5-3-1 在 Excel 中的舉重比賽資料……… 86 圖 5-3-2 體 重 與 總 成 績 散 布 圖 … … … 86 圖 5-3-3 繪 製 迴 歸 直 線 … … … 87 圖 5-3-4 迴歸直線圖型與方程式……… 87 圖 5-4-1 將 DNA 藉由奈米粒子組合……… 92 圖 5-4-2 δ(6, 2, 3)矩陣…… ……… 93
一
一
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一、
、
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、 數學建模概論
數學建模概論
數學建模概論
數學建模概論
1.1
什麼是數學建模
什麼是數學建模
什麼是數學建模
什麼是數學建模
應用數學去解決實際問題時，首先要建立「數學模型」(Mathematical Model)。數 學模型是對實際問題的一種數學表述，具體地說，數學模型是關於部分現實世界為某 種目的的一個抽象、簡化的數學結構，而這也是既關鍵又困難的步驟。而「數學建模」 則是建立數學模型的整個「過程」，數學建模是一種數學思考模式運用數學的語言和 方法將複雜的實際問題經由抽象、簡化而建立為數學結構，並解決實際問題的一種有 力的數學手段。而過程中，調查、蒐集數據資料、觀察實際對象的特徵和規律，建立 反映實際問題的數量關係，利用數學的理論和方法去分析、解決問題，這都需要深厚 的數學基礎。此外，敏銳的洞察力和想像力，及對實際問題濃厚的興趣和廣博的知識 也是不可或缺的。因此，數學建模可以充分發揮以數學解決實際問題的功能，真正表 現出數學的意義 (姜啟源，1992)。 數學建模是一門將應用領域轉化為良好數學形式的藝術，其數學形式所具有的理 論與數值分析，提供一個對原始問題的深刻理解與解答，並且是有用的指引 (Arnold, 2004)。實際問題一般都是極其複雜的，人們不可能一絲不差地用數學將其複製出來。 為了用數學來描述實際問題，研究者必須從實際問題中抽象出它的本質屬性，抓住主 要因素，去除次要因素，經過必要的精煉簡化，建立起相應的「數學模型」 (楊啟帆， 2006)。數學模型模仿了一個現實系統，但建立數學模型並非以模仿為目標，而是為 了解決實際問題 (徐全智，2003)。因此藉由數學模型中的推理所求得的解，最後仍 要回歸到現實世界中檢驗，確認結果的正確性。 就認知的觀點，數學活動的特徵是多樣的記號表徵與二種變換。一種是同系統表徵內的處理，另一種則是不同系統表徵之間的轉換。數學建模活動的認知特徵在於物 理世界、數學世界與各世界之內和兩種世界之間的變換。在這些變換中，不只需要利 用數學思維來解決現實問題，同時也必須透過對於現實問題的了解來建立數學模型。 各種臆測、判斷和假設、尋找對應關係、合理解釋都包含在建模活動之中 (林福來， 2003)。
1.1.1
為什麼要學數學建模
為什麼要學數學建模
為什麼要學數學建模
為什麼要學數學建模
數學建模已經被廣泛應用於工程、物理、生物或社會科學。在應用和發展模式的 過程中，創造、直觀和遠見都扮演重要的角色，這也使得數學建模成為具有挑戰性的 學習活動 ( Murthy et al., 1990 )。長久以來，年輕學子也一直對數學的學習有極大的 困難，甚至感到恐懼，而這些學習困難不外乎是感覺到「數學是枯燥無趣又與生活無 關的符號遊戲」。由於教師們太注重數學形於外的符號運算與證明，又太強調數學問 題的答案，使得學生在學習初期便感覺數學與現實生活脫節，同時也養成只重視求答 案的計算技巧而忽略了思考推理過程的心態 (鄭英豪，2005)。而學習數學建模是從 理論數學訓練到問題導向的數學專門知識的重要步驟，並且使學生適應於現代科技文 化的挑戰 (Arnold, 2004)。以下從其他層面來看學習數學建模的意義，分述如下： 1. 培養學生數學應用能培養學生數學應用能培養學生數學應用能培養學生數學應用能力力力：在中學數學教育中，學生所學的數學是抽象化之後的理力 論，並且是屬於片段的知識，無法將所學知識串連起來。而數學建模的過程就是應用 數學的思想和方法去尋求對科學事實和現實世界現象的認識和理解的過程，是用數學 的知識去解決生產生活乃至學習中的各種實際問題的過程。數學建模融入數學課程教 學是培養學生應用數學的意識、興趣和能力。讓學生學會用數學的思維方式觀察周圍 的事物，用數學的思維方法分析、解決實際問題。而在數學課中要培養學生數學應用 意識和能力，數學的建模是關鍵 (張珠寶，2005)。人類的認知活動按照 Bloom(1956)的分類，由淺到深的順序可以分成知識 (knowledge)、理解(comprehension)、應用(application)、分析(analysis)、綜合(synthesis) 以及評估(evaluation)等層次。目前數學教育中，學生是被動接受知識，所做的數學解 題練習僅止於提高對於定理的熟練度與理解程度，少部分能加以應用在真實世界，更 不用說能達到綜合與評估這些層次了。數學建模正是一個能提供學生更大的發揮空 間，在建模當中將所學的數學加以綜合，並且要對數學模型加以評估。 2. 提供學生合作學習的環境提供學生合作學習的環境提供學生合作學習的環境提供學生合作學習的環境：在廿一世紀的今天，許多行業都不是個人單打獨鬥就 能完成工作，需要整個團隊分工合作來達成任務。目前中學的課程中，都還是重視在 個人的學習成效，部分在考試中成績表現優異的學生其實非常缺乏與他人溝通合作的 能力。在學校的教育應該要多加以重視這種能力的培養，才符合現代的潮流。傳統上， 分組合作學習只見於工藝、家政、童軍等藝能科目以及物理、化學的實驗上。而藉由 數學建模，無論是課堂中的學習活動或參加校外競賽的過程都充分的提供了學生具體 實踐合作學習的環境。合作學習給學生自由創造的空間，提升學生個人的創造力，讓 學生在合作環境中，透過討論活動，培養學生的組織思考能力；數學建模的對象或主 題常常是一些非數學領域的實際問題，也因此超越了個別能力的範圍，即使是老師也 未必能給予具體的協助；因此，藉由數學建模活動搭建出的平台，透過資料蒐集、查 閱文獻資料、上網尋找相關知識、學會分工合作發揮個人的潛在價值與能力 (林國 源，2005)。 3. 培培培培養學生創造力養學生創造力養學生創造力養學生創造力：數學建模中，學生需要運用所瞭解的數學關係以及各種數學能 力，將訊息重新聯結並連結對應物理和數學世界的假設和推論結果，這過程常常是一 種發現、發明或再創新。所以如果想提昇學生的數學創造力，具有豐富思維過程的建 模活動則是一個恰當的媒介。如果配合恰當的教學方式，透過數學建模活動培養數學 創造力不失為一種有效的方法。因此，設計具有豐富數學思考和情境轉換的活動則成 為培養數學創造力的研究重點之一 (林福來，2003)。多數的創意靈感並非發生在一 瞬間，要了解一個問題需要時間反覆思考推敲，若要能發揮創意則要更多的時間。在
數學建模中學生有充分的時間去思考如何解決問題，不需如同考試時擔心時間不夠寫 不完，能夠大膽地去嘗試各種可能，即便是犯了錯無妨。有時候一個看似錯誤的答案， 可能只是因為不符合老師的觀點而已 (J.S Robert, 2003)。 4. 對於數學對於數學對於數學對於數學教育的改革教育的改革教育的改革：它把數學從教師、黑板、粉筆的傳統教學模式轉變為以教教育的改革 師為主導，以學生為主體，從實際問題入手，把數學知識、數學軟體、電腦加以結合， 學生自己設計實驗步驟創造性地解決問題的現代教學模式。它解決了數學教學中實驗 難以開展的問題，在數學理論與實際問題之間搭起了一座橋樑，使數學在解決實際問 題中得到了充分的展現，也為學生運用創造性思維解決問題，提供了一個展示才華的 舞臺。數學建模本身就是教學方式、教學內容、教學手段上的教學改革，它已經成為 高等教育改革的濫觴，直接推動著高等教育的全面發展 (魏福義，2003)。數學為科 學之母，是科學研究的基礎，而科學發展又是一個國家國力的關鍵指標，因此數學教 育實在是關係著國家的強盛興衰。在目前數學教育中，太偏重各種純數學題目的解題 技巧，而忽略了如何運用數學在真實情境問題。因此對大部分學生而言，學數學只是 一個考試的工具而已，這實在是很讓人遺憾的事。
1.1.2
各國數學建模發展概況
各國數學建模發展概況
各國數學建模發展概況
各國數學建模發展概況
在數學教育中引進數學建模最早是由美國開始，主要是透過數學建模競賽吸引學 生的參與，慢慢擴大影響力。之後中國與台灣的學者也注意到這股潮流，開始推動數 學建模。茲將各國的發展概況分述如下：1. 美國美國美國：美國：：：1975 年美國的數學科學學會 (Conference Board of the Mathematical Science，簡稱 CBMS)在「K-12 級中學數學的概觀與分析」(Overview and Analysis of School Mathematics K-12)文件中，建議把數學建模放到高中課程中去。美國的全國數 學教師會議 (National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM)把數學建模融
進中學教材作為 1981-1990 年數學教學改革的目標。1989 年，全國的全國研究會議 (National Research Council)提出對未來數學教育的報告(A Report to the nation on the Future of Mathematics Education)中，把數學建模列入了數學教育改革最急需的項目。 1989 年 NCTM 的中學數學課程和教學評估標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)文件中，對各年級數學課程都列出了問題解決能力標準，並強 調「數學建模」作為問題解決一個側面的重要性 (施羿如，2005)。。。另外 1985 年開始。 就由數學與其應用聯盟 (The Consortium for Mathematics and Its Applications ，簡稱 COMAP)主辦全國性的「大學生數學建模競賽」 (Mathematical Contest of Modeling， 簡稱 MCM)，1999 年 COMAP 將此項活動往下延伸，開始辦理全美國高中生的數學 建模競賽 (簡稱 HiMCM)，COMAP 這個組織的贊助單位包含了許多國家級的學術研 究機構與政府部門，其中甚至還包含了美國的國家安全局 (National Security Agency)，可見美國各界極為重視數學建模的教育。 2. 中國中國中國中國大陸大陸大陸大陸：：：：中國大陸從 1992 年開始由中國民間的「中國工業與應用數學學會」主 辦全國性的大學生數學建模競賽 (CUMCM )，1994 年起改由「國家教委高教司」和 中國工業與應用數學學會共同舉辦，每年一次。在中學階段，也從 1997 年起舉辦「北 京高中數學知識應用競賽」，將數學建模的精神向下札根。2003 年時將數學探究、數 學建模、數學文化三個主題列入「普通高中數學課程標準」，建議在教材中應該提供 一些適合學生水平的數學建模問題和背景材料供學生和教師參考；教材中可以提供 一些由學生完成的數學建模案例，以激發學生的興趣。詳細內容如下： (1) 數學探究數學探究數學探究 數學探究 數學探究即數學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習 的過程。這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適 當的數學結論或規律，給出解釋或證明。 數學探究是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，有助於學生初步瞭解數學 概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關係，初步嘗試數學研究的過程，體
驗創造的喜悦，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神；有助於培養學生勇於質 疑和善於反思的習慣，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力；有助於發展學生 的創新意識和實踐能力。 要求：
數學探究課題的選擇是完成探究學習的關鍵。課題的選擇要有助於學生對數學的 理解，有助於學生體驗數學研究的過程，有助於學生形成發現、探究問題的意識， 有助於鼓勵學生發揮自己的想像力和創造性。課題應具有一定的開放性，課題的 預備知識最好不超出學生現有的知識範圍。數學探究課題應該多樣化，可以是某 些數學結果的推廣和深入，不同數學內容之間的聯繫和類比，也可以是發現和探 索對自己來說是新的數學結果。也可以從教師提供的案例和背景材料中發現和建 立，應該特別鼓勵學生在學習數學知識、技能、方法、思想的過程中發現和提出 自己的問題並加以研究。學生在數學探究的過程中，應學會查詢資料、收集資訊、閱讀文獻。學生在數學 探究中，應養成獨立思考和勇於質疑的習慣，同時也應學會與他人交流合作，建 立嚴謹的科學態度和不怕困難的精神。在數學探究中，學生將初步瞭解數學概念 和結論的產生過程，體驗數學研究的過程和創造的喜悦，提高發現、提出、解決 數學問題的能力，發揮自己的想像力和創新精神。
高中階段至少應為學生安排一次數學探究活動，還應將課內與課外結合起來。 課程標準中並不對數學探究的課時和內容做具體安排，學校和教師可根據各自的 實際情況，統籌安排數學探究活動的內容和時間。例如，可以結合方程的近似求 解、導數的應用等內容安排數學探究活動。 說明與建議： 教師應努力成為數學探究課題的創造者，有比較開闊的數學視野，瞭解與中學數 學知識有關的擴展知識和內在的數學思想，認真思考其中的一些問題，加深對數 學的理解，提高數學能力，為指導學生進行數學探究做好充分的準備，並累積指 導學生進行數學探究的資源。教師要成為學生進行數學探究的組織者、指導者、
合作者。教師應該為學生提供較為豐富的數學探究課題的案例和背景材料；引導 和幫助而不是代替學生發現和提出探究課題，特別應該鼓勵和幫助學生獨立地發 現和提出問題；組織和鼓勵學生組成課題組合作地解決問題；指導和幫助學生養 成查閱相關的參考書籍和資料、在電腦網路上查找和引證資料的習慣；一方面應 該鼓勵學生獨立思考，幫助學生建立克服困難的毅力和勇氣，另一方面應該指導 學生在獨立思考的基礎上用各種方式尋求幫助；在學生需要的時候，教師應該成 為學生平等的合作者，教師要有勇氣和學生一起進行探究。教師應該根據學生的 差異，進行有針對性的指導。在鼓勵學生創新的同時，允許一部分學生可以在模 仿的基礎上發揮自己的想像力和創造力。
數學探究的結果以課題報告或課題論文的方式完成。課題報告包括課題名稱、問 題背景、對事實的觀察分析、對結果的猜測、對結果的論證、合作情形、對探究 結果的體會或評論、引證的文獻資料等方面。可以通過小組報告、班級報告、答 辯會等方式交流探究成果，通過師生之間和學生之間的討論來評價探究學習的成 績，評價主要是正面鼓勵學生的探索精神，肯定學生的創造性勞動，同時也指出 存在的問題和不足。
數學探究報告及評語可以記入學生成長記錄，作為反映學生數學學習過程的資料 和推薦依據。對於學生中優秀的報告或論文應該給予鼓勵，可以採取表揚、評獎、 推薦雜誌發表、編輯出版、向大學推薦等多種形式。
教材在適當的章節應該提供一些數學探究課題的案例和背景材料，可以提供一些 由學生完成的數學探究的案例，可以為教師指導數學探究學習提供一些參考性的 建議。 2. 數學建模數學建模數學建模數學建模 數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次 數學教育重要和基本的內容。數學建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了 自主學習的空間，有助於學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與
日常生活和其他學科的聯繫，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應 用意識；有助於激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。 要求：
在數學建模中，問題是關鍵。數學建模的問題應是多樣的，應來自於學生的日常 生活、現實世界、其他學科等多方面。同時，解決問題所涉及的知識、思想、方 法應與高中數學課程內容有聯繫。通過數學建模，學生將瞭解和經歷解決實際問 題的全過程，體驗數學與日常生活及其他學科的聯繫，感受數學的實用價值，增 強應用意識，提高實踐能力。每一個學生可以根據自己的生活經驗發現並提出問 題，對同樣的問題，可以發揮自己的特長和個性，從不同的角度、層次探索解決 的方法，從而獲得綜合運用知識和方法解決實際問題的經驗，發展創新意識。
學生在發現和解決問題的過程中，應學會通過查詢資料等手段獲取資訊。學生在 數學建模中應採取各種合作方式解決問題，養成與人交流的習慣，並獲得良好的 情感體驗。
高中階段至少應為學生安排一次數學建模活動。還應將課內與課外結合起來，把 數學建模活動與綜合實踐活動結合起來。課程綱要中不對數學建模的課時和內容 做具體安排，學校和教師可根據各自的實際情況，統籌安排數學建模活動的內容 和時間。例如，可以結合統計、線性規劃、數列等內容安排數學建模活動。 說明與建議：
學校和學生可根據各自的實際情況，確定數學建模活動的次數和時間安排。數學 建模可以由教師根據教學內容以及學生的實際情況提出一些問題供學生選擇；或 者提供一些實際情景，引導學生提出問題；特別要鼓勵學生從自己生活的世界中 發現問題、提出問題。
數學建模可以採取課題組的學習模式，教師應引導和組織學生學會獨立思考、分 工合作、交流討論、尋求幫助。教師應成為學生的合作夥伴和參謀。數學建模活 動中，應鼓勵學生使用電腦、計算器等工具。教師在必要時應給予適當的指導。
教師應指導學生完成數學建模報告，報告中應包括問題提出的背景、問題解決方 案的設計、問題解決的過程、合作過程、結果的評價以及參考文獻等。
評價學生在數學建模中的表現時，要重過程、重參與。不要苛求數學建模過程的 嚴密、結果的準確。評價內容應關注以下幾個方面： 創新性：問題的提出和解決的方案有新意。 現實性：問題來源於學生的現實。 真實性：確實是學生本人參與制作的，資料是真實的。 合理性：建模過程中使用的數學方法得當，求解過程合乎常理。 有效性：建模的結果有一定的實際意義。 以上幾個方面不必追求全面，只要有一項做得比較好就應該予以肯定。
對數學建模的評價可以採取答辯、報告、交流等形式進行，通過師生之間、學生 之間的提問交流給出定性的評價，並且應該特別鼓勵學生工作中的巧思。數學建 模報告及評價可以記入學生成長記錄，作為反映學生數學學習過程的資料和推薦 依據。對於學生中優秀的論文應該給予鼓勵，可以採取表揚、評獎、推薦雜誌發 表、編輯出版、向大學推薦等多種形式。
教材中應該提供一些適合學生水準的數學建模問題和背景材料供學生和教師參 考；教材中可以提供一些由學生完成的數學建模的案例，以激發學生的興趣。 3. 數學文化數學文化數學文化數學文化 數學是人類文化的重要組成部分。數學是人類社會進步的產物，也是推動社會發 展的動力。通過在高中階段數學文化的學習，學生將初步瞭解數學科學與人類社會發 展之間的相互作用，體會數學的科學價值、應用價值、人文價值，開闊視野，尋求數 學進步的歷史軌跡，激發對於數學創新原動力的認識，受到優秀文化的薰陶，領會數 學的美學價值，從而提高自身的文化素養和創新意識。 要求： 數學文化應盡可能有機地結合高中數學課程的內容，選擇介紹一些對數學發展起
重大作用的歷史事件和人物，反映數學在人類社會進步、人類文明發展中的作 用，同時也反映社會發展對數學發展的促進作用。
學生通過數學文化的學習，瞭解人類社會發展與數學發展的相互作用，認識數學 發生、發展的必然規律；瞭解人類從數學的角度認識客觀世界的過程；發展求知、 求實、勇於探索的情感和態度；體會數學的系統性、嚴密性、應用的廣泛性，瞭 解數學真理的相對性；提高學習數學的興趣。 3. 台灣台灣台灣台灣：有鑒於國內各級學校的老師與學生長期面對沒有標準答案、甚至沒有答案 的數學及自然科學題目的經驗，致使國人特有的創造力無法提升，更缺乏整合，所以 一群遍及理、工、農、生命科學、資訊、商學、及教育背景的教授、研究生，結合實 際面對學生的中等學校教師和社會人士於 2003 年 1 月 18 日共同發起「數學建模與創 意學會」(林國源，2005)，並於同年舉辦第一屆「台灣大專學生數學建模競賽」與第 一屆「全國高中職數學作文競賽」，以鼓勵學生從問題中培養思考能力及發揮創造力。 思源科技教育基金會為鼓勵學生從日常生活中熟悉的情境題目出發，拓展思考的 深度及廣度，重視解題過程中思考能力的發展，並嘗試建構模型，從中領略數學平易 近人的一面，並培養團隊合作精神，於 2004 年起多次舉辦了高中生數學專題競賽。 因為思考與分析步驟是高科技業中創造力來源的基礎。 交通大學為培養科學、科技各領域，以數學模式及電腦模擬計算為腦具與工具之 研發人才，於 2006 年 9 月設立「數學建模科學計算所」，並將於 2007 年招收碩士生 10 名。而在 2007 年 1 月時，舉辦了校內第一屆數學建模競賽，提供同學們利用所學、 發揮想像力、思考力，使用數學建模的形式來解決問題，並提供書面表達與口頭表達 之訓練機會。
1.2 數學建模的分類
數學建模的分類
數學建模的分類
數學建模的分類
數學模型可以按照問題本身所處的領域和解決問題的方法，以及按照人們的各種 不同意願有各種不同的方式分類 (任善強，1998)。下面是幾種常見的分類： 1. 按應用領域按應用領域按應用領域按應用領域分分分 分 對一些人們較為重視或對人類活動影響較大的實際問題的數學模型，可以按照 研究課題的實際範疇來加以分類，例如人口模型、生命系統模型、交通流模型、經 濟模型、基因模型、腫瘤模型、傳染病模型 (楊啟帆，2006)、環境模型、生態模 型、水資源模型、城市規劃模型、生產過程模型等。 2. 按採用方法按採用方法按採用方法按採用方法分分分 分 可分為初等數學模型、幾何模型、微分方程模型、圖論模型、馬可夫鏈模型、 規劃論模型、機率模型、統計模型、系統動力學模型、模糊數學模型等。 3. 按按按按變量性質分變量性質分變量性質分變量性質分 根據變量是確定的還是隨機的可分為確定性模型和隨機模型。根據變量是連續 的還是離散的可分為離散模型和連續模型。按變量是否因時間關係而變化可分為靜 態模型和動態模型等。 4. 按建模目的按建模目的按建模目的按建模目的分分分 分 可分為描述模型、仿真模型、分析模型、預測模型、優化模型、決策模型、控 制模型等。同樣的對象由於不同的建模目的可以有不同的模型。 5. 按照對模型結構和參數的了解程度按照對模型結構和參數的了解程度按照對模型結構和參數的了解程度按照對模型結構和參數的了解程度分分分 分 (1)白箱模型：研究對象的結構和參數都已知的，稱為白箱模型。如力學、電學等 一些學科中所研究問題的機理已相當清楚以及相應的工程技術問題。 (2)黑箱模型：研究對象的結構和參數都未知的，稱為黑箱模型。如生命學科、社 會學科中，很多不清楚當中運作模式的現象。 (3)灰箱模型：研究對象的參數未知的，稱為灰箱模型。結構中包含已知的與許多 未知、不確定的資訊，如經濟、生態、氣象、管理、社會、生命等系統中的現象。 這三個模型間沒有確切的界線，隨著科學技術不斷發展，以及人們投入愈來 愈多的研究，黑箱問題逐漸變灰，灰箱問題逐漸變白。
1.3 數學建模步驟
數學建模步驟
數學建模步驟
數學建模步驟
數學建模問題通常通常很難直接套用數學上現有結論，參賽者需要具有良好的數 學建模思想、創造性的思維能力、邏輯推理能力和計算能力 (張珠寶，2005)。數學 建模的範圍相當廣泛，現實生活中只要是需要用到數學來解決的問題，都是數學建 模的一部分。有些問題的數學模型已經在學習數學的過程中被建構好，通常這些問 題的條件比較簡化且充分。大部分沒有在數學教育中建構出模型的問題則較為複雜， 要自行建立模型解決問題。首先要先了解數學建模的步驟，熟悉數學建模的步驟，有 助於我們從千頭萬緒，或不知如何下手的問題當中，找到一個遵循的原則。 1. 葉其孝 (1998)：數學建模可用框圖 1-3-1 說明就是框圖的多次循環執行的過程。 圖 1-3-1 葉其孝數學建模流程圖 實際問題 抽象、簡化、明確變量和參數 根據某種定律或規律建立變量和參數間 的一個明確的數學 解析地或近似地求解該數學問題 解釋、驗證 投入使用 通 過 通不過合理 不合理 準 備 假 設 建 模 求 解 應 用 驗 證 (1) 實際問題往往是極為複雜的。抓住主要方面來先進行定量研究，這是抽象和簡 化的過程。正確的抽象和簡化常不是一次能完成的。而變量和參數的確定不僅重 要，往往也是複雜和困難的。 (2) 應用某種規律建立變量、參數間的明確數學關係。規律可以是物理學或其他學科 的定律，而明確數學關係可以是等式、不等式及其組合的形式，甚至是個明確的 算法。在這一二兩個階段中，能用數學語言把實際問題的各方面「翻譯」成數學 問題是極為重要的。 (3) 框圖中形成數學模型的求解，可能對數學提出挑戰性強的問題，因而從數學角 度不一定能短時間求得完全解決；當不能完全解決時，先考慮近似求解。而這不 僅限於數學模型的求解這一階段，而是遍及建模的每一階段之中，因此數學建模 過程往往是多次循環執行的。 (4) 數學的求解將它們「翻譯」成與實際問題有關的語言，才能讓有關領域的專家 來判定，培養「雙向」翻譯的能力是進行建模的重要基礎。建模是否正確必須驗 證，通過才能付之使用，因而解釋和驗證是不可少的。 (5) 成功的數學建模特別需要想像力和聯想力，正如偉大的物理學家愛因思坦所指 出的「想像力比知識更重要，因為知識是有限的；而想像力卻抓住了整個世界， 激勵著產生進化的進步」。 (6) 好的數學建模必須要有各領域的專家合作，因此數學建模的過程是個跨學科的合 作過程。 2. 袁震東 (2002)：數學建模是一個「迭代」的過程，可以用框圖 1-3-2 來表示。 圖 1-3-2 袁震東數學建模流程圖
其文字表述如下： (1) 建模準備：要求建模者深刻了解實際問題的背景，明確建模的目的，進行深入細 緻的調查研究，盡量掌握建模對象的各種信息和數據，尋找實際問題的內在規律； 一般地說，這是一個向實際工作者學習的過程。 (2) 作假設：現實問題涉及面廣，數學模型不能面面俱到，應該把實際問題適當地簡 化或理想化，這就必須作一定的假設，假設應該符合實際背景。 (3) 建立模型：根據問題的要求和假設，利用恰當的數學方法建立各種量之間的數學 關係。建立數學模型時應使用何者方法，應視實際問題而定。遇到離散的問題可 以用處理離散問題的數學方法，如規劃論、網絡優化、馬可夫鏈等。遇到連續的 問題應用處理連續問題的數學方法，如微積分、微分方程、變分法、平穩過程等 等。一般地說，在建立數學模型時可能用到數學的任何一分支，同一個實際問題 還可以用不同方法建立不同的數學模型。當然，在達到預期目標前提下，應該採 用盡可能簡單的數學方法建立容易實現的數學模型，以便讓更多人接受和使用這 種模型。 (4) 模型求解：包括求解各種類型的方程，大多數模型需要上計算機計算，求解還包 括畫圖、列表和證明定理以及製作計算機程式等。 (5) 討論與驗證：根據模型的特點和模型求解結果，進行分析討論，如算法的穩定性、 精度影響。根據計算結果對問題作出解答、預測或提題最優決策和控制方案。最 後將模型的結果與實際情況相比較，檢驗模型是否合理，說明模型的使用範圍及 注意事項。 (6) 模型應用：把所得到的數學模型應用到實際問題中去。 應該指出建立模型是一個過程，不是一種死板的步驟，如果在討論和驗證時發現 型確實合理，當然可將模型投入應用，如果發現模型不合理，那就必須修改假設，重 新建模，重新求解，再作驗證。這一過程可以循環往復，直至得到滿意的結果為止。
3. 楊啟帆(2006)：建立數學模型的過程大致可以分為以下步驟。 (1) 了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數據資料。這一步驟可以 看成是建模準備，沒有對實際問題的較為深入了解，建模就無從下手。為了對實 際問題有所了解，有時還要求建模者對實際問題作一番深入細緻的調查研究。 (2) 在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出起主要 作用的因素，經必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。這一步驟為 建模的關鍵所在，因為其後的工作都是建立在這些假設的基礎之上。 (3) 在所作的假設之上，利用適當的數學工具去描述各變量之間的關係，建立相應的 數學結構，即建立數學模型。採用什麼數學結構、數學工具要看實際問題的特徵， 並無固定的模式，可以說，數學的任何分支在建模中都有可能被用到，而同一實 際問題也可以用不同的數學方法建立起不同的數學模型。一般而言，在能夠達到 預期目的的前提下，所用的數學工具越簡單越好。 (4) 模型求解。為了得到結果，建模者還應當對模型進行求解，在難以得出解析解時， 應當借助計算機求出數值解。 (5) 模型的分析與檢驗。建立數學模型研究實際課題，得到的只是假如假設正確， 就會有什麼結果。那麼假設是否正確或者是否基本可靠呢？建模者還應當對結果 進行檢驗。建立數學模型的目的是為了認識世界，建模的結果應當能解釋已知現 象，預測未來的結果，只有經得起實踐檢驗的結論才能被人們廣泛地接受。如果 檢驗結果與事實不符，只要不是在求解中存在推導或計算上的錯誤，那就應該分 析檢查假設中是否有不合理的地方或錯誤的地方，修改假設重新建模，直至結果 滿意。
二
二
二
二、
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、數學建模的題材及其方法
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數學建模的題材及其方法
數學建模的題材及其方法
數學建模的題材及其方法
2.1 數學建模的題材
數學建模的題材
數學建模的題材
數學建模的題材
人類的文明從遠古時代至今，進步的程度之大非筆墨所能形容，累積下來的學問 知識更如浩瀚汪洋難以計數。在這些進步背後，數學的發展佔了相當重要的地位，倘 若微積分沒有被發明的話，整個近代史將大為改寫。隨著人類生活日趨複雜，所產生 的問題也就層出不窮，很多都需要依靠數學來提供解決之道。 在今日的許多學術領域中，數學是不可或缺的工具，不論是自然科學、人文社會 科學、航太空程、電機工程…等，都需要使用數學當做進行研究的工具，誠所謂數學 為科學之母，而這些運用數學來解決問題的過程正都是數學建模。以下列舉出近代諸 多科學的研究中，需要用數學建立模型的各種領域 (Arnold, 2003)： 1. 人文社會科學領域 (1) 人類學或考古學：分類的技巧、碎片或頭顱的重建。 (2) 犯罪偵查學：指紋辨識、面貌識別。 (3) 金融：風險分析、選擇權的估價。 (4) 政治學：選舉的分析。 2. 生命科學領域 (1) 生物學：人類的基因工程、人口動態、物種的演化、疾病的傳播、動植物的培 育 (遺傳學)。 (2) 醫學：輻射治療計畫、X 光片拍攝、血液循環模型。 (3) 藥物學：對蛋白質的分子的修飾、新化合物的掃描。 (4) 神經系統科學：神經網路、在神經裡的信號發送。 3. 自然科學領域 (1) 天文學：行星的系統的探測、宇宙的起源。(2) 氣象學：氣預測、氣候預測 (全球暖化、什麼引起臭氧洞？)。 (3) 物理學：基本粒子追蹤、量子領域理論預測、雷射。 (4) 化學：分子模型、電子結構計算。 (5) 流體力學：紊流、風的路徑。 4. 資訊科學領域 (1) 計算機科學：影像處理、資料搜尋、比對。 (2) 人工智慧：計算機視覺、機器人技術、語音識別。 5. 空間科學領域 (1) 航運科學：空中交通安排、汽車和飛機的自動駕駛儀、軌道計畫、飛行模擬、。 (2) 建築學：虛擬現實。 6. 工業工程領域 (1) 生產與運作管理：生產計畫與批量問題，庫存管理，物流與供應鏈管理。 (2) 決策分析：投資分析、產品開發、市場行銷、可行性研究。 (3) 多目標決策：企業經營管理、工程項目管理、交通運輸管理、環境保護與管理、 工程設計與工藝、公共事業規劃。
2.2 數學建模的方法
數學建模的方法
數學建模的方法
數學建模的方法
在數學解題中往往不止一種解法，一般來說，模型建立的方法也不止一種，例如 最短路線問題，可以用圖論方法，也可以用線性規劃方法，有時還可以用動態規劃的 方法 (劉承平，2002)。由此可見數學建模具有相當的難度，建模的過程就如同藝術 家雕塑作品般，不同的欣賞角度與不同的思考方向都可能成就不同的作品。就數學建 模而言，對同一現象可以有不同的模型來描述，從而會得到不同的答案，而且這些答 案不會只有一個是對的，而其他是錯的，差別只在於模型與實際現象的合適與否 (林 國源，2005)。在進行建模時，隨著問題的性質、建模目的不同，以及建模者本身的知識與專長 領域的不同，所用的建模方法也就會不同。有時並不一定有現成可用的方法，需要建 模者發揮創造力，找出解決問題的關鍵所在，以及解決問題的策略。例如牛頓在推導 萬有引力定律時發現原有的數學工具根本無法用來研究變化的運動，為了研究工作的 需要創建了微積分； 尤拉為了研究柯尼斯堡七橋問題發明了圖論。 綜上所述，數學建模的方法可說是充滿無限的可能，所呈現出來的模型也各異其 趣。但是在建模的過程中所使用的策略以及基本原則仍有許多共同點，在中學進行的 數學建模，著重的應該就是讓學生在建模的過程體會到數學建模的精神。以下歸納出 幾點在數學建模過程中所用的思考方法（徐全智，2003）： 1. 明確問題明確問題明確問題明確問題 (1) 清楚建模的目的。 (2) 條件與數據分析：建模中所給的條件和數據通常不是恰到好處，可能有不足的 條件、數據，也可能有多餘的條件、數據，需要視情況加以增加或減少。另外 還需考慮數據是否可靠，所給的條件有何意義？哪些條件是本質的？哪此條件 是可以變動的？ (3) 將問題分解為初態、目標態、以及從初態到目標態的過程：初態為我們現在所 有的條件、數據；目標態為我們想要達到的；過程則是應該要做什麼。一般數 學解題中，初態與目標態都很明確，但在數學建模中的初態與目標態都要盡很 大的努力才能分析出來。 2. 思考方式思考方式思考方式思考方式 (1) 群體思考：數學建模經常需要不同專長的人相互合作，各自發揮自己的專長。 在眾人的腦力激盪之下，有時就會出現意想不到的好方法。群體思考的過程中， 需要建立在相互平等、相互尊重的基礎上，制定一些交流、討論的原則，以減 少無謂的爭辯，最後才發現彼此之間並沒理解對方的想法。 (2) 發散性思考
提問題法：這個問題和什麼問題相似？假如變動問題的某些條件將會怎樣？ 將問題分解成若干部分再考慮會怎樣？重新組合又會怎樣？還可以做什麼 工作？還有沒有需要進一步完善的內容？
關鍵詞聯想法：抓住問題或方案的關鍵詷，然後不受任何約束地讓想法浮 現，並把聯想到的內容記在卡片上，再在這些卡片的激發下產生新的想法， 進一步想出新的主意。經過這樣一個過程後，再把卡片相互搭配，形成解決 問題的初步思路與步驟。 3. 作假設作假設作假設作假設 (1) 關於是否包含某些因素的假設。 (2) 關於條件相對強弱及各因素影響相對大小的假設。 (3) 關於變量間關係的假設。 (4) 關於模型適用範圍的假設。 有些假設的必要性在模型求解過程中才會發現，所以在建模的各個階段都應注 意你的工作是建立在什麼假設的基礎上。 Arnold (2003) 針對數學建模一般的規則，提出以下建議： 1. 看看其他相似情況中的數學建模，調整他們的模型適合到你目前的狀況。 2. 蒐集、探究了解問題所需要的背景資訊。依預期或希望的等級，將有用的資訊排 序。 3. 找出所有相關的量，並且使他們精確，以及所有量必須有的限制（正負、極限的 狀況），哪個限制嚴格？哪個寬鬆？找出所有量與量之間重大的關係（如方程式、 不等式），再從蒐集的資料來驗證他們的關係。試著將量與量化簡合併。 4. 找出所有的目標 (包括會衝突的)。 5. 開始一個簡單的模型；當它們變得明瞭可用，或者有必要時，再增加細節進去， 以得到較好的模型。
6. 扮演像惡魔般唱反調的人，去挖掘與想出你模型中的弱點。 7. 建立一個模型的等級：從粗糙的、高度簡化的模型到考慮所有已知細節的模型。 有沒有較簡單資料建立的雛型？有沒有模型簡化後的極端事例？有沒有非常有趣 的事例幫你發現困難的地方？ 8. 在進行總時間的三分之一之後，試著做出一個簡單的模型報告。用剩餘時間改進 或者根據你的經驗擴展模型，使它們變得更多用途並且優良，再美化論文的編製。 9. 良好的溝通對於團隊工作是必要的。 10.不要沮喪，失敗是告知你在了解問題中遺漏了重要的細節－要利用這訊息！很少 有完美的解決辦法，建模是找到令人滿意的妥協方案的藝術。從最高的標準開 始，再降低它們直到能接受的底限。如果你早有結果，再次提升你的標準。 11.及時完成你的工作。
三
三
三
三、
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、中學數學中的數學建模
中學數學中的數學建模
中學數學中的數學建模
中學數學中的數學建模
3.1 課程中的數學建模
課程中的數學建模
課程中的數學建模
課程中的數學建模
目前在高中數學課程中，雖然並沒有特別提到數學建模，但是仍然可以在課本的 例題或習題上看到數學建模的概念。尤其是在函數的部分，不論是二次函數、指數函 數、三角函數，都跟現實生活息息相關。陳宜良教授(2005)：「函數的操作可以延伸 函數在具體世界的應用，我們建議應加入函數的操作及其應用。」「大陸在這一方面 十分著重，在介紹基本函數時都會以具體實例引入，舉例來說，指數函數的介紹是透 過具體實例 (如：細胞的分裂，考古中所用的 C14 的衰減，藥物在人體內殘留量的變 化 )，瞭解指數函數模型的實際背景，體會引入有理指數冪的必要性。我國綱要應該 增加函數應用的說明。」民國九十八年將實施的高中數學課程綱要(草案)中即指出 「注意歸納思維的訓練，讓學生發現規律性，發展數學建模基本能力」。 數學知識的掌握不全是教出來的，而是自己做出來的。數學建模正好是一個學數 學、用數學、做數學的過程，它實現了學和用的統一 (袁震東，2005)。數學建模的 能力並非一朝一夕就能養成，在中學階段，可以從簡單的生活情境問題來當作起步， 奠立數學建模的基礎。在這些基礎之上可以將問題的來源更生活化，更貼近實際；條 件和結論更模糊；可用信息和最終結論更有待學生自己去挖掘。 在中學開展數學應用與建模活動的關鍵是尋找適合學生參與的「好的問題」，教 師在選擇這些問題時，應特別注意以下幾點(嚴士健，2003)： 1. 應努力選擇與學生的生活實際相關的問題，並減少對問題不必要的人為加工和刻 意雕琢。 2. 數學建模問題應努力表現出建模的全過程，而不僅僅是解決問題本身。 3. 數學建模選用的問題最好有較為寬泛的數學背景，有不同的層次，以便於不同水 平學生的參與，並注意問題的可擴展性和開放性。 4. 應鼓勵學生在問題分析解決的過程中使用計算工具和電腦軟體。 5. 提倡教師自己動手，因地制宜地蒐集、編制、改造數學應用或建模問題，以更適合學生的使用，並根據學生的實際情況採取適當的教學策略。 我們從高中數學課本南一版當中，整理了目前高中數學之建模概念問題，並分成 以下幾種類型：極值問題、指數模型、線性規劃、機率與期望值、幾何模型、統計。
A. 極值問題
極值問題
極值問題
極值問題
1. 用一堆木板，製成 80 公尺長的柵欄，去圍成一個矩形的院子，院子的一側是房屋 的牆，不必再用柵欄去圍，怎樣設計可使所圍成的院子的面積最大？ (第一冊) 2. 果園種了 30 棵檸檬樹，平均每棵年產 400 個檸檸，根據業者經驗，在此果園中每 加種一棵檸檬樹，則每棵年產量平均減少 10 個，問應加種幾棵才能使年總產量最 多？ (第一冊)B. 指數模型
指數模型
指數模型
指數模型
1. 假設光線通過一塊玻璃板，它的強度就會失掉 10％。現在要把 n 塊玻璃板重疊， 使通過它們的光線強度是原來光線強度的 5 3 以下，則 n 最少是多少？ (第二冊) 2. 有一食品實驗室，混和甲、乙兩種菌類製成一種新食品。調查後發現“乙菌數目” 是“甲菌數目”的1000倍以上時，新食品才受歡迎。又知道甲菌一日後增加一倍，乙 菌增加三倍 (成為原來的四倍)。現在取同數量的甲、乙兩種菌，讓它們同時繁殖。 請問至少第幾天後 (取整數) 混和甲、乙兩種菌類才能製成受歡迎的食品？ (第二冊) 3. 在西元2000年，臺灣地區的人口數是23×106人 (二仟三百萬人) ，如果每年人口數 平均成長率為1％，那麼從2000年算起， x 年後臺灣地區的人口數表成 x 的函數 為f (x)。(1) 試求 f (x)。(2) 估測西元2010年臺灣地區的人口數。 (第二冊) 4. 假設一般病人服某種藥品，服藥後t小時，殘留在胃裡的藥量有M( t )＝450×0.64t (毫 克) ，試問服該種藥品後1.5小時，殘留在病人胃裡的藥量大約有多少毫克？ (第二冊)5. 生物體內的放射性碳 C14不斷衰變，經過 t 年其殘餘量 a'與原始含量 a 之間的函數 關係是 a'＝a．e-kt (e＝2.71828…) ，其中 k 是常數，並且已知 C14的半衰期 ( a ' a ＝ 2 1 ) 是 5570 年。中國大陸出土的一些古蓮子，測得 a ' a ＝87.9％，那麼這些古蓮子是多 少年前的遺物？ (第二冊) 6. 阿財到銀行存入一百萬元，定期存款年利率為7％，每年複利計息一次，阿財希望 本利和達二百萬元（本金的2倍） 時，能一次領回，請偏勞您為阿財算一算，至少 需要幾年 (取整數) ？ (第二冊) 7. 假設世界人口自 1980 年起，五十年內每年的增長率均固定。已知 1987 年 7 月 11 日世界人口達 50 億人 (聯合國將 7 月 11 日定為“世界人口日”) ，1999 年第 60 億 人誕生在東歐賽拉耶佛。試根據上述資料，推估在哪一年，世界人口將達 70 億人？ (第二冊) 8. 假設某一種放射性同位素每年的蛻變率 (衰變率) 為 10％，剛開始時該同位素的 質量是 500 克。(1) 求 t 年後該同位素的質量 f (t) 。(2) 計算同位素的“半衰期” (由 500 克衰變到 250 克所需的時間) 時，您必須去解哪一個指數方程式？算出半衰期 需多少年？ (第二冊) 9. 阿財剛上高中時，他的儲蓄已累積四萬元，現在他又選擇一家銀行，把四萬元存 入，年利率 8％，每年複利計息一次。 (1)求 n 年後，阿財的本利和有多少元？ (2) 當他的本利和累積到五萬元，需要多少年？ (第二冊) 10. 西元 1980 年中國大陸的人口數是 995×106人 (九億九仟伍佰萬人) ，假設每年人 口數平均成長率為 1.4％，試算一算到西元 2000 年時，中國大陸的人口約有多少 (百萬) 人？ (指自然成長，排除移居國外或外來移民) 。 (第二冊) 11. 假設開車發生車禍的百分率 R 與駕駛者血液中酒精濃度 x 的關係可以用下列 數學模式表示：R＝3．10 k x，其中 k 是一個常數。假設血液中酒精濃度為0.06
時的車禍發生率為10％ (R＝10) 。 (1) 求 k 之值。 (2)若要使車禍百分率降至 5％以下，必須規定駕駛者血液中酒精濃度不得高於多 少？ (數學乙上冊) 12. 心理學家有時候用數學模式：L (t) ＝A (1－10-k t) 來描述在時間 t 時的學習量 L( t )，其中A與k都是常數。假設有一學生需要背熟100個英文單字，心理學家發 現這個學生在10分鐘時背熟10個單字。根據這些資料，這個學生至少要學習多 久，才能背熟80個以上的單字。 (數學乙上冊) 13. 物理學家定義聲波強度為：單位面積中，聲波轉換成能量的數量。例如：人耳所 能偵測到頻率為 100 赫 (hertz) 的最小聲音大約是每平方米 10-12瓦 (walt) 。因 為聲波強度可以從很小到很大，所以一般都取其對數來表示音量：L (I) ＝10 log 0 I I ，其中 I0＝10-12 (瓦/平方米) ，I 為聲波強度 (單位：瓦/平方米) ，L (I) 為 音量，單位為分貝 (decibels) 。若音量在 70 分貝以上，一般人就會覺得不舒服， 問聲波強度在哪一範圍時，音量會超過 70 分貝。 (數學乙上冊) 14. 假設在一個社區裡有一個謠言在傳播，下列的數學模式可以表示這個謠言流傳的 速度：N＝P (1－10-0.1d ) ，其中P表示這個社區的總人口，N表示謠言開始流傳後 第d天以內已經聽到這個謠言的人口數。設某一社區有2000人，則一個謠言從開 始流傳最少要幾天才會有1200人以上聽到這個謠言？ (數學乙上冊)
C. 線性規劃
線性規劃
線性規劃
線性規劃
1. 某化學製造公司有兩家工廠生產同一種產品，A工廠每月最多可生產120公噸，B 工廠每月最多可生產160公噸，該公司希望每月總共最少要生產200公噸。依據經 驗，A工廠每生產1公噸的產品，則產生10公斤的一氧化氮飄入空氣中，汙染空氣， 而B工廠每生產1公噸的產品，則產生15公斤的一氧化氮汙染空氣。問A，B兩工廠 每月各要生產多少產品才能符合需求，且對空氣的汙染減至最低？ (數學乙上冊)2. 某一信託基金公司想要投資A，B兩種債券，最多共1000萬元。A債券比較安全，但 利潤較低，其利潤為8％，B債券利潤為12％。假設該基金規定投資B債券不得多於 600萬元，而投資A債券最少250萬元。問A、B兩債券應各投資多少，才能獲得最大 利潤？ (數學甲上冊)
D. 機率與期望值
機率與期望值
機率與期望值
機率與期望值
1. 老張過去買釋迦的經驗是平均 5 個中就有 1 個釋迦內長蟲不能吃須丟掉，因此有次 到水果攤買釋迦時向老板抱怨，老板說今天釋迦每斤 70 元，如果老張要求當場打 開，則售價提高至每斤 80 元，但如打開有蟲可退回。試以“期望值”的觀點來看， 老張應否要求打開？ (第四冊) 2. 網球一盤比賽先勝 6 局者贏，贏一盤可得獎金 1000 元，甲、乙兩人實力相當，但 甲已連勝 5 局，請問如果因下雨不再繼續比賽，則甲、乙兩人如何分配獎金才公平？ (第四冊) 3. 醫學上常利用心電圖篩檢心臟疾病，根據統計，有 90% 的心肌梗塞病患可由心電 圖篩檢出來 ( 即有 10% 的心肌梗塞病患未被查出 )，但也有 5% 健康者的心電圖 會被誤判為患有心肌梗塞。如果某城市有 0.2% 的市民患有心肌梗塞的疾病,請問若 某人的心電圖檢查結果被判定為患有心肌梗塞，則他真正患有心肌梗塞疾病的機率 是多少？ (數學甲上冊) 4. 假設有一家租車公司有三個門市，顧客可以從其中任一門市租車而在任一門市還 車。如果 P = 5 . 0 1 . 0 1 . 0 3 . 0 7 . 0 1 . 0 2 . 0 2 . 0 8 . 0 是一個轉移矩陣，它的第 ( i , j ) 元 pij表示從 j 門市 租的車在 i 門市還的機率。例如 p12 = 0.2 表示在第二門市租出去的車子中有 20 100 是在第一門市還的。若剛開始時各門市各有 200 輛車，則經過一段時間後，這三處 門市的車子大約各有多少輛？ ( 假設每天每輛車都有人租 ) (數學甲上冊)E. 幾何模型
幾何模型
幾何模型
幾何模型
1. 甲船從碼頭朝東方駛離時，乙船恰在碼頭的北方 7 公里處，正駛向碼頭。甲、乙 兩船的航速分別為每小時 60 公里，30 公里。問經過多少分鐘後，兩船相距最近？ 又最近距離是多少？ (第二冊) 2. 有一塊寬 4 公尺、長 6 公尺的白鐵板，今在四角各截去一個相同的小正方形，然 後摺成一個無蓋的長方體蓄水槽，若要求水槽的容積不小於 8 立方公尺(鐵板厚度 不計)，那麼四角被截去的小正方形邊長若干？ (第一冊) 3. 站在瞭望臺O點處發現正北方，仰角60°之A點處有一架飛機保持500 3 公尺高度， 等速朝東飛行，5秒後測得該飛機B點處的仰角為30°。試問： (1)OC與OD的長度是多少？(2) 該飛機的速度為何？ (第二冊) 4. 兩名搬家工人正要將一個大衣櫃搬出房間，已知此衣櫃的長為 1.5 公尺，寬為 0.8 公尺，高為 2.5 公尺；房門的寬為 1.2 公尺，高為 2.2 公尺，請問此衣櫃的傾斜度 要在多少度以下，才能順利通過房門？ (第二冊) 5. 某公園內有一半徑50公尺的圓形池塘，池塘內有美麗的荷花與錦鯉。為方便遊客 觀賞，並使整體景觀更為雅緻，打算在池塘上建造一座“T”字型木橋。試問這座木 橋總長最長有多長？ (第二冊) 6. 在馬戲團中常演出砲彈人的節目：一個人從大砲中射出，飛到對面的安全網中。 如果大砲的仰角為θ (0°＜θ＜45°) ，且砲彈人被射出的初速為v0公尺/秒，則此人被 射出的水平距離為R＝ 8 . 9 0 v sin2θ (公尺) 。 如果安全網架設距大砲30公尺到40公尺之範圍內 (安全網長度10公尺) ,且砲彈人 被射出的初速為19.6公尺/秒，則大砲的仰角應在哪一個範圍之內才安全？ (數學乙上) 7. 有一張矩形會議桌，寬 1.2 公尺、長 3 公尺，今要裁一塊桌布，使它的面積不大於 桌面的 2 倍，並且從桌面四邊垂下的長度要相等。應如何裁剪？ (第一冊)
F. 統計
統計
統計
統計
1. 甲合約：若有一批零件共 10000 件，合約規定抽取 100 件零件，如有 2 件或 2 件 以上不良品時退貨，否則接受此批零件。乙合約：若有一批零件共 10000 件，合約 規定抽取 50 件零件，如有 1 件或 1 件以上不良品時退貨，否則接受此批零件。假 設已知一批貨的不良率是 2％，這兩份合約哪一份對生產者較有利？ (數學乙上) 2. 蒐集臺灣地區 8 個地點的公告地價與市價 ( 單位：萬元/坪 ) 如下： 公告地價 ( x ) 12 10 22 30 8 40 20 18 市價 ( y ) 15 11 28 40 10 72 39 25 若某塊土地公告地價是每坪28萬元，試利用迴歸式預測其市價。 (數學乙上)
G. 其他
其他
其他
其他
1. 桌面上放了 15 粒棋子，甲、乙兩人輪流取棋子，每次至少拿 1 粒，至多拿 3 粒， 規定：拿到最後一粒棋子的人獲勝。你有制勝的策略嗎？ (第一冊) 2. 有一項運動協會，要從 250 位會員代表中選出 7 位理事，250 位代表每人投一票 互選。如果你想選上理事，至少要得多少選票，纔能保證當選？ (第一冊) 3. 某公司有甲、乙、丙三條生產線，現欲生產三萬個產品，如果甲、乙、丙三條生 產線同時開動，則需 10 小時；如果只開動乙、丙兩條生產線，則需 15 小時；如果 只開動甲生產線 15 小時，則需再開動丙生產線 30 小時，才能完成所有產品。問： 如果只單獨開動甲、乙、丙生產線，則各需幾小時，才能生產三萬個產品？ (第三冊)3.2 升學考試中的數學建模題目
升學考試中的數學建模題目
升學考試中的數學建模題目
升學考試中的數學建模題目
考試中的數學問題，依解題的層次可以分成概念試題、程序試題、解題試題，概 念試題是在檢定考生對數學基本定義、觀念或者概念的瞭解、表達與辨識程度。概念性試題可分為如下三大類：基本概念題、定理概念題、建模概念題。其中建模概念題 在測試學生將問題轉換成可以用代數結構、幾何操作或自建模型解釋的能力 (許志 農，2004)。 分析近幾年的升學考試試題，可以發現試題中有愈來愈多情境試題的趨勢，所謂 情境試題意指數學試題本身是具有情境的，此類試題在於測驗學生是否能將情境與所 學的數學相連結(融合)，進而解決問題(許志農，2004)。要解這些情境試題，需要具 備一定的數學能力，且將所學的數學知識融會貫通，加以綜合應用，還有對問題的洞 察力與思考能力也相當重要。 以下蒐集了近幾年在升學考試出現的情境題或建模概念題，這些題目的深度與廣 度都高出課本的例題，不過仍符合高中學生的程度，因此要在高中進行數學建模的活 動時，這些題目可以當做很好的指引。有些題目我們僅保留題幹部分，做了若干刪減， 並不是完整的問題，依 3.1 節的分類方式加以整理，詳列如下：
