二 二、 、 、數學建模的題材及其方法 、 數學建模的題材及其方法 數學建模的題材及其方法 數學建模的題材及其方法
2.1 數學建模的題材 數學建模的題材 數學建模的題材 數學建模的題材
人類的文明從遠古時代至今，進步的程度之大非筆墨所能形容，累積下來的學問 知識更如浩瀚汪洋難以計數。在這些進步背後，數學的發展佔了相當重要的地位，倘 若微積分沒有被發明的話，整個近代史將大為改寫。隨著人類生活日趨複雜，所產生 的問題也就層出不窮，很多都需要依靠數學來提供解決之道。
在今日的許多學術領域中，數學是不可或缺的工具，不論是自然科學、人文社會 科學、航太空程、電機工程…等，都需要使用數學當做進行研究的工具，誠所謂數學 為科學之母，而這些運用數學來解決問題的過程正都是數學建模。以下列舉出近代諸 多科學的研究中，需要用數學建立模型的各種領域 (Arnold, 2003)：
1. 人文社會科學領域
(1) 人類學或考古學：分類的技巧、碎片或頭顱的重建。
(2) 犯罪偵查學：指紋辨識、面貌識別。
(3) 金融：風險分析、選擇權的估價。
(4) 政治學：選舉的分析。
2. 生命科學領域
(1) 生物學：人類的基因工程、人口動態、物種的演化、疾病的傳播、動植物的培 育 (遺傳學)。
(2) 醫學：輻射治療計畫、X 光片拍攝、血液循環模型。
(3) 藥物學：對蛋白質的分子的修飾、新化合物的掃描。
(4) 神經系統科學：神經網路、在神經裡的信號發送。
3. 自然科學領域
(1) 天文學：行星的系統的探測、宇宙的起源。
(2) 氣象學：氣預測、氣候預測 (全球暖化、什麼引起臭氧洞？)。
(3) 物理學：基本粒子追蹤、量子領域理論預測、雷射。
(4) 化學：分子模型、電子結構計算。
(5) 流體力學：紊流、風的路徑。
4. 資訊科學領域
(1) 計算機科學：影像處理、資料搜尋、比對。
(2) 人工智慧：計算機視覺、機器人技術、語音識別。
5. 空間科學領域
(1) 航運科學：空中交通安排、汽車和飛機的自動駕駛儀、軌道計畫、飛行模擬、。
(2) 建築學：虛擬現實。
6. 工業工程領域
(1) 生產與運作管理：生產計畫與批量問題，庫存管理，物流與供應鏈管理。
(2) 決策分析：投資分析、產品開發、市場行銷、可行性研究。
(3) 多目標決策：企業經營管理、工程項目管理、交通運輸管理、環境保護與管理、
工程設計與工藝、公共事業規劃。
2.2 數學建模的方法 數學建模的方法 數學建模的方法 數學建模的方法
在數學解題中往往不止一種解法，一般來說，模型建立的方法也不止一種，例如 最短路線問題，可以用圖論方法，也可以用線性規劃方法，有時還可以用動態規劃的 方法 (劉承平，2002)。由此可見數學建模具有相當的難度，建模的過程就如同藝術 家雕塑作品般，不同的欣賞角度與不同的思考方向都可能成就不同的作品。就數學建 模而言，對同一現象可以有不同的模型來描述，從而會得到不同的答案，而且這些答 案不會只有一個是對的，而其他是錯的，差別只在於模型與實際現象的合適與否 (林 國源，2005)。
在進行建模時，隨著問題的性質、建模目的不同，以及建模者本身的知識與專長 領域的不同，所用的建模方法也就會不同。有時並不一定有現成可用的方法，需要建 模者發揮創造力，找出解決問題的關鍵所在，以及解決問題的策略。例如牛頓在推導 萬有引力定律時發現原有的數學工具根本無法用來研究變化的運動，為了研究工作的 需要創建了微積分； 尤拉為了研究柯尼斯堡七橋問題發明了圖論。
綜上所述，數學建模的方法可說是充滿無限的可能，所呈現出來的模型也各異其 趣。但是在建模的過程中所使用的策略以及基本原則仍有許多共同點，在中學進行的 數學建模，著重的應該就是讓學生在建模的過程體會到數學建模的精神。以下歸納出 幾點在數學建模過程中所用的思考方法（徐全智，2003）：
1. 明確問題明確問題明確問題明確問題
(1) 清楚建模的目的。
(2) 條件與數據分析：建模中所給的條件和數據通常不是恰到好處，可能有不足的 條件、數據，也可能有多餘的條件、數據，需要視情況加以增加或減少。另外 還需考慮數據是否可靠，所給的條件有何意義？哪些條件是本質的？哪此條件 是可以變動的？
(3) 將問題分解為初態、目標態、以及從初態到目標態的過程：初態為我們現在所 有的條件、數據；目標態為我們想要達到的；過程則是應該要做什麼。一般數 學解題中，初態與目標態都很明確，但在數學建模中的初態與目標態都要盡很 大的努力才能分析出來。
2. 思考方式思考方式思考方式思考方式
(1) 群體思考：數學建模經常需要不同專長的人相互合作，各自發揮自己的專長。
在眾人的腦力激盪之下，有時就會出現意想不到的好方法。群體思考的過程中，
需要建立在相互平等、相互尊重的基礎上，制定一些交流、討論的原則，以減 少無謂的爭辯，最後才發現彼此之間並沒理解對方的想法。
(2) 發散性思考
提問題法：這個問題和什麼問題相似？假如變動問題的某些條件將會怎樣？
將問題分解成若干部分再考慮會怎樣？重新組合又會怎樣？還可以做什麼 工作？還有沒有需要進一步完善的內容？
關鍵詞聯想法：抓住問題或方案的關鍵詷，然後不受任何約束地讓想法浮 現，並把聯想到的內容記在卡片上，再在這些卡片的激發下產生新的想法，
進一步想出新的主意。經過這樣一個過程後，再把卡片相互搭配，形成解決 問題的初步思路與步驟。
3. 作假設作假設作假設作假設
(1) 關於是否包含某些因素的假設。
(2) 關於條件相對強弱及各因素影響相對大小的假設。
(3) 關於變量間關係的假設。
(4) 關於模型適用範圍的假設。
有些假設的必要性在模型求解過程中才會發現，所以在建模的各個階段都應注 意你的工作是建立在什麼假設的基礎上。
Arnold (2003) 針對數學建模一般的規則，提出以下建議：
1. 看看其他相似情況中的數學建模，調整他們的模型適合到你目前的狀況。
2. 蒐集、探究了解問題所需要的背景資訊。依預期或希望的等級，將有用的資訊排 序。
3. 找出所有相關的量，並且使他們精確，以及所有量必須有的限制（正負、極限的 狀況），哪個限制嚴格？哪個寬鬆？找出所有量與量之間重大的關係（如方程式、
不等式），再從蒐集的資料來驗證他們的關係。試著將量與量化簡合併。
4. 找出所有的目標 (包括會衝突的)。
5. 開始一個簡單的模型；當它們變得明瞭可用，或者有必要時，再增加細節進去，
以得到較好的模型。
6. 扮演像惡魔般唱反調的人，去挖掘與想出你模型中的弱點。
7. 建立一個模型的等級：從粗糙的、高度簡化的模型到考慮所有已知細節的模型。
有沒有較簡單資料建立的雛型？有沒有模型簡化後的極端事例？有沒有非常有趣 的事例幫你發現困難的地方？
8. 在進行總時間的三分之一之後，試著做出一個簡單的模型報告。用剩餘時間改進 或者根據你的經驗擴展模型，使它們變得更多用途並且優良，再美化論文的編製。
9. 良好的溝通對於團隊工作是必要的。
10.不要沮喪，失敗是告知你在了解問題中遺漏了重要的細節－要利用這訊息！很少 有完美的解決辦法，建模是找到令人滿意的妥協方案的藝術。從最高的標準開 始，再降低它們直到能接受的底限。如果你早有結果，再次提升你的標準。
11.及時完成你的工作。