單變數函數的極值

一個典型的問題是：「一條長度 l 的繩子，將其圍成矩形，面積最大是多少？」

這個題目很容易可以轉化為數學模型，在現實生活中可能出現的狀況就如同「95 年 大學入學指定考試數學乙」中的一道題目：「一農夫想用 66 公尺長之竹籬圍成一長 方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬 2 公尺的出入口。此農夫所能圍成的最大 面積為多少平方公尺？」不過，常常在我們面臨實際問題的時候，很多條件都是 模糊的，不是馬上就找到所需要用的數學方法。例如 2006 年「中國大學生數學建 模競賽」的試題 C，題目如下：

「我們只要稍加留意就會發現銷量很大的飲料 (例如飲料量為 355 毫升的可口可 樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易開罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。看來，這並非

偶然，這應該是某種意義下的最優設計。當然，對於單個的易開罐來說，這種最優設 計可以節省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易開罐的話，

可以節約的錢就很可觀了。

現在就請你們小組來研究易開罐的形狀和尺寸的最優設計問題。具體說，請你們 完成以下的任務：

1．取一個飲料量為 355 毫升的易開罐，例如 355 毫升的可口可樂飲料罐，測量你們 認為驗證模型所需要的資料，例如易開罐各部分的直徑、高度，厚度等，並把資 料列表加以說明；如果資料不是你們自己測量得到的，那麼你們必須注明出處。

2．設易開罐是一個正圓柱體。什麼是它的最優設計？其結果是否可以合理地說明你 們所測量的易開罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。

3．設易開罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個 正圓柱體。

什麼是它的最優設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易開罐的形狀 和尺寸。

4．利用你們對所測量的易開罐的洞察和想像力，做出你們自己的關於易開罐形狀和 尺寸的最優設計。」

即便這個問題已經述敘很完整了，但該用哪些條件來解決問題並不算明確，需要 仔細思考推敲。其實這個問題在本質上仍和菜圃那道問題是相同的，也就是說要製造 355 毫升的飲料罐，形狀或尺寸要如何設計會讓使用材料最少？或者反過來，以同樣 的材料，要設計怎樣的形狀或尺寸的飲料罐，可以讓容積最大？

建立模型初步就是簡化題目的假設條件。恰如 1997 年「第一屆北京中學生數學

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另外再配合使用 Excel 電子試算表，也能很快計算出大量的函數值加以觀察

旅遊折扣票價，免費交運的行李數為兩件，每件箱體三邊之和不超過 62 英寸（158

和有最大值。此時兩個箱子都是正立方體的形狀，一個邊長為 ≈ 規劃」(Linear Programming)來解。以95年「大學入學指定考試數學乙」中一題為例：

「為預防禽流感，營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位的營養 素A、至少 72 單位的營養素B和至少 60 單位的營養素 C 給他的雞群。