數學建模步驟

數學建模問題通常通常很難直接套用數學上現有結論，參賽者需要具有良好的數 學建模思想、創造性的思維能力、邏輯推理能力和計算能力 (張珠寶，2005)。數學 建模的範圍相當廣泛，現實生活中只要是需要用到數學來解決的問題，都是數學建 模的一部分。有些問題的數學模型已經在學習數學的過程中被建構好，通常這些問 題的條件比較簡化且充分。大部分沒有在數學教育中建構出模型的問題則較為複雜，

要自行建立模型解決問題。首先要先了解數學建模的步驟，熟悉數學建模的步驟，有 助於我們從千頭萬緒，或不知如何下手的問題當中，找到一個遵循的原則。

1. 葉其孝 (1998)：數學建模可用框圖 1-3-1 說明就是框圖的多次循環執行的過程。

圖 1-3-1 葉其孝數學建模流程圖 實際問題

抽象、簡化、明確變量和參數

根據某種定律或規律建立變量和參數間 的一個明確的數學

解析地或近似地求解該數學問題

解釋、驗證

投入使用

通過 通不過

合理

不合理

準 備 假 設 建 模

求 解 應 用 驗 證

(1) 實際問題往往是極為複雜的。抓住主要方面來先進行定量研究，這是抽象和簡 化的過程。正確的抽象和簡化常不是一次能完成的。而變量和參數的確定不僅重 要，往往也是複雜和困難的。

(2) 應用某種規律建立變量、參數間的明確數學關係。規律可以是物理學或其他學科 的定律，而明確數學關係可以是等式、不等式及其組合的形式，甚至是個明確的 算法。在這一二兩個階段中，能用數學語言把實際問題的各方面「翻譯」成數學 問題是極為重要的。

(3) 框圖中形成數學模型的求解，可能對數學提出挑戰性強的問題，因而從數學角 度不一定能短時間求得完全解決；當不能完全解決時，先考慮近似求解。而這不 僅限於數學模型的求解這一階段，而是遍及建模的每一階段之中，因此數學建模 過程往往是多次循環執行的。

(4) 數學的求解將它們「翻譯」成與實際問題有關的語言，才能讓有關領域的專家 來判定，培養「雙向」翻譯的能力是進行建模的重要基礎。建模是否正確必須驗 證，通過才能付之使用，因而解釋和驗證是不可少的。

(5) 成功的數學建模特別需要想像力和聯想力，正如偉大的物理學家愛因思坦所指 出的「想像力比知識更重要，因為知識是有限的；而想像力卻抓住了整個世界，

激勵著產生進化的進步」。

(6) 好的數學建模必須要有各領域的專家合作，因此數學建模的過程是個跨學科的合 作過程。

2. 袁震東 (2002)：數學建模是一個「迭代」的過程，可以用框圖 1-3-2 來表示。

圖 1-3-2 袁震東數學建模流程圖

其文字表述如下：

(1) 建模準備：要求建模者深刻了解實際問題的背景，明確建模的目的，進行深入細 緻的調查研究，盡量掌握建模對象的各種信息和數據，尋找實際問題的內在規律；

一般地說，這是一個向實際工作者學習的過程。

(2) 作假設：現實問題涉及面廣，數學模型不能面面俱到，應該把實際問題適當地簡 化或理想化，這就必須作一定的假設，假設應該符合實際背景。

(3) 建立模型：根據問題的要求和假設，利用恰當的數學方法建立各種量之間的數學 關係。建立數學模型時應使用何者方法，應視實際問題而定。遇到離散的問題可 以用處理離散問題的數學方法，如規劃論、網絡優化、馬可夫鏈等。遇到連續的 問題應用處理連續問題的數學方法，如微積分、微分方程、變分法、平穩過程等 等。一般地說，在建立數學模型時可能用到數學的任何一分支，同一個實際問題 還可以用不同方法建立不同的數學模型。當然，在達到預期目標前提下，應該採 用盡可能簡單的數學方法建立容易實現的數學模型，以便讓更多人接受和使用這 種模型。

(4) 模型求解：包括求解各種類型的方程，大多數模型需要上計算機計算，求解還包 括畫圖、列表和證明定理以及製作計算機程式等。

(5) 討論與驗證：根據模型的特點和模型求解結果，進行分析討論，如算法的穩定性、

精度影響。根據計算結果對問題作出解答、預測或提題最優決策和控制方案。最 後將模型的結果與實際情況相比較，檢驗模型是否合理，說明模型的使用範圍及 注意事項。

(6) 模型應用：把所得到的數學模型應用到實際問題中去。

應該指出建立模型是一個過程，不是一種死板的步驟，如果在討論和驗證時發現 型確實合理，當然可將模型投入應用，如果發現模型不合理，那就必須修改假設，重 新建模，重新求解，再作驗證。這一過程可以循環往復，直至得到滿意的結果為止。

3. 楊啟帆(2006)：建立數學模型的過程大致可以分為以下步驟。

(1) 了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數據資料。這一步驟可以 看成是建模準備，沒有對實際問題的較為深入了解，建模就無從下手。為了對實 際問題有所了解，有時還要求建模者對實際問題作一番深入細緻的調查研究。

(2) 在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出起主要 作用的因素，經必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。這一步驟為 建模的關鍵所在，因為其後的工作都是建立在這些假設的基礎之上。

(3) 在所作的假設之上，利用適當的數學工具去描述各變量之間的關係，建立相應的 數學結構，即建立數學模型。採用什麼數學結構、數學工具要看實際問題的特徵，

並無固定的模式，可以說，數學的任何分支在建模中都有可能被用到，而同一實 際問題也可以用不同的數學方法建立起不同的數學模型。一般而言，在能夠達到 預期目的的前提下，所用的數學工具越簡單越好。

(4) 模型求解。為了得到結果，建模者還應當對模型進行求解，在難以得出解析解時，

應當借助計算機求出數值解。

(5) 模型的分析與檢驗。建立數學模型研究實際課題，得到的只是假如假設正確，

就會有什麼結果。那麼假設是否正確或者是否基本可靠呢？建模者還應當對結果 進行檢驗。建立數學模型的目的是為了認識世界，建模的結果應當能解釋已知現 象，預測未來的結果，只有經得起實踐檢驗的結論才能被人們廣泛地接受。如果 檢驗結果與事實不符，只要不是在求解中存在推導或計算上的錯誤，那就應該分 析檢查假設中是否有不合理的地方或錯誤的地方，修改假設重新建模，直至結果 滿意。