第一節 中學線性規劃的課程歷史發展與結構
(1) 線性規劃的高中課程發展與教材整理：
時間 簡介
民國 51 年 各家課本都有「直線系」單元，包括平行直線系，還有過一 點的直線系，但並沒有聯立線性不等式，也就沒有線性規劃 民國 53 年 李新民教授很具有原創力地設計一個只有 2 個變數的典型
問題，將它設置在第四冊 第五章「不等式」的 5-4 節 民國 62 年 只有東華版在第六冊第四章〈總複習〉的「4-4 不等式與極值
問題」裡，內容只有一題關係到線性規劃
民國 72 年
全國統一使用的部編版，在第一冊第三章〈直線方程式與二 元一次不等式〉的「3-4 二元一次聯立不等式與線性規劃」裡，
正式上了標題。3-4 的內容完整地從平行直線系發展到頂點 法。
民國 88 年 移至數學甲第六冊第四章不等式 民國 95 年 移至數學甲第六冊第二章不等式
民國 99 年
移至第三冊第二章為直線與圓，其中第一節為直線方程式及 其圖形，第二節為線性規劃。是根據課綱精神，為了學完直 線方程式應有直接的應用。
民國 108 年
在 10 年級時的直線方程式單元中，先介紹二元一次不等式。
並將線性規劃移至十二年級的選修數學乙。新課綱的理念之 一，將較困難單元的學習，第一次先建立以符號表達基本觀 念，第二次教學再進入形式運思，也就是抽象概念與公式使 用的部分。(106 年數學領域課程手冊)，從大考試題也可看出 新課綱課程如此安排的端倪，103-106 連續四年在數學乙都有 考出相關概念，而數學甲則無。
表 2-1 引自：100 單維彰 高中課程裡的線性規劃，99 課綱，108 課綱，課程手冊 高中數學 99 課綱裡，第三冊第二章為直線與圓，其中第一節為直線方程式及其圖
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形，第二節為線性規劃。將原 98 暫綱選修數學（一）之線性規劃移至數學（三），是為 了學完直線方程式應有直接的應用，依據 99 課綱中希望將代數、幾何與應用緊密結合 的精神，讓同學在線性規劃這一節裡，將直線與具體世界做連結，並且體認到數學的應 用性與普遍性(99 課綱)。而在教師手冊當中分析出線性規劃此單元又分成兩個小節，第 一小節介紹了二元一次不等式、二元一次不等式的解的代數和幾何意義、二元一次聯立 不等式、二元一次聯立不等式的解的代數和幾何意義。第二小節介紹了可行解、可行解 區域、目標函數，最後是找出最佳解的方法，包含了平行線法還有頂點法。
圖像是直觀的物件，代數則是其抽象的表現，我們可以對它進行形式操作進而解決 問題。以線性規劃單元為例，直線與二元一次聯立不等式的解區域為其幾何圖像表徵，
二元一次方程式、與聯立不等式組與目標函數為其代數表徵，線性規劃課題則為其應用。
數學的學習應把握抽象與具體結合、圖像與符號結合，而廣泛的應用正反映了數學的普 遍性與本質性。(99 課綱)
在新的 108 課綱中，則是準備在 10 年級時的直線方程式單元中，先介紹二元一次 不等式，根據課綱，此段的學習目標為能根據情境設立二元一次不等式，理解其「解」
的意義，並能在坐標平面上畫出「解區域」的圖示，並能以線型不等式表示坐標平面上
（含或不含直線）的半平面區域。而將線性規劃的主題分到 12 年級的選修數學乙，這 是課程手冊的理念之一，將較困難單元的學習，第一次先建立以符號表達數量的基本觀 念，第二次教學再進入形式運思，也就是抽象概念與公式使用的部分。(106 年數學領域 課程手冊)，從大考試題也可看出新課綱課程如此安排的端倪，103-106 連續四年在數學 乙都有考出相關概念，而數學甲則無，似乎近幾年認為應該將線性規劃的課題規類至商 管學群，見圖 2-1。
圖 2-1 引自 108 課綱數學領域
由上述 108 課綱對教材順序的改變，以及研究者根據國民中學數學教材原型 B 冊二
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主類 目
線 性 規 劃
二元一次不等式 可行解、目標函
數 最佳解的求法
次類
目 1.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4 次數 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 4 4 百分
比 8.16 8.16 8.16 8.16 8.16 8.16 8.16 8.16 8.16 8.16 2.04 8.16 8.16 總計
(%)
8.16 40.8 24.48 26.52
合計 次數 49，共 100%
表 2-3 線性規劃高中教科書類目統計表
次類目 1.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4 龍騰順
序 1 2 3 4 5 6 7 10 8 9 x 11 12 翰林順
序 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 11 12 13 南一順
序 1 2 3 4 5 6 7 11 8 9 x 10 12 康熹順
序 1 2 3 4 5 6 7 10 8 9 x 11 12 表 2-4 線性規劃高中教科書類目教學順序表
可以看出四種版本一開始都是先介紹線性規劃，再定義二元一次不等式，隨後解釋 其不等式的解的意義，並證明其解的圖形為半平面，再判別是哪個半平面的方法中，都 提到代點測試(演算法)，然後有一版本是課本直接提到直接使用係數正負配大於小於的 結論(理論分析)，另外三版本則是在教師手冊中額外眉批提到，研究者比較偏向於後者，
主要是因為後者有其證明過程的影子在裡面，使用結論時可以聯想到證明，再者若是遇
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(2) 線性規劃的表徵形式、轉換：
Vinner(1983)對於抽象概念的認知結構，主要將它分成兩種元素，概念心像(concept images)與概念定義(concept definition)，概念定義是以正確且非循環式的方法來解釋概念 的方式，其表現方式常以文字和語意來呈現，Tall&Vinner(1981)認為不論是機械式或是 有意義的學習，個體都有可能得到概念定義，可以是學習得到的也可以是學習者自己建 立的，而此定義有可能與客觀的概念有所不同，例如直接定義
a b a b
cos
時，學 習者可能不知道隱含了投影、做功的意涵在其中，而此概念的特性就可能會被學習者忽 略掉(沈湘屏，2016)。而概念心像還可分為心智圖像與概念屬性兩個部分，心智圖像指 的是心中對於某個概念形成的圖像集合，包含圖像的視覺表徵、圖形、式子或是符號。性質與運算指此概念的特殊性或是可加以操弄的方式，例如線性方程組的解有三種可能 的情況，恰有一解、無解跟無限多解，空間中兩向量
A
、B
，而(A B A
)
(A B B
)
0 ， 這些都是一些概念的性質，會包含在個體的概念意像裡面。在 108 課綱數學領域的草案中，二元一次不等式所對應到的學習表現為：理解並欣 賞幾何的性質可以透過坐標而轉化成數與式的關係，而數與式的代數操作也可以透過坐 標產生對應的幾何意義，能熟練地轉換幾何與代數的表徵，並能用於推論及解決問題。
線性規劃所對應到的學習表現為：理解不等式之解區域的意涵，並能用以解決問題。(課 程手冊 p.169,171,263)由此可看出線性規劃的原理中，幾何與代數的表徵之間的轉換的 重要性。Lesh(1987)提出表徵為溝通的媒介，強調表徵之間的關係包含轉換與轉移。
Kaput(1989)提出合適的教學應藉由使用表徵形式及結構來建立與表達數學意義。數學意 義的建立主要有兩個部分：
一、不同表徵之間的轉移：包含數學表徵之間的轉移，以及數學表徵系統與非數學表 徵系統之間的轉移。
二、表徵之內的轉換：(1)藉由圖像與程序性的學習，透過特定表徵記號的操弄。(2)心 智物件建立後，對於操弄物件後反思到過程，成為新的物件之後再有新的操弄、反思成 過程概念。
Vinner(1983)認為在非正式的學習概念時，個體需要的是概念心像，而不是概念定 義。透過 Lesh、Kaput 的表徵理論探討線性規劃知識，可以發現線性規劃單元中，二元
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一次不等式的解的表徵有兩種，數對(x,y)和它在平面上對應到的點，從二元一次方程式 的圖形是直線，一元一次不等式的圖形是射線，延伸到二元一次不等式的解的圖形為半 張平面上的所有的點，概念上都是無限多解，但是轉換成了面的概念，而二元一次聯立 不等式的圖形就是各個半平面交集出來的區域，通常稱之為解區域，而解區域中的點為 可行解，由原本的線的表徵擴大成面的表徵。平行線法裡，每一個數對對應到的函數值，
同一時間也對應到平面上的一條平行線，也對應到一個 x 軸截距，要能理解三個表徵之 間的關係還有連結舊知識，同一直線上的相異兩點代入的值均相等，來建立平行線法。
所以學生要建構並發展完整的線性規畫概念結構，必須經過表徵之間的轉移與表徵之內 的轉換，來整合各種表徵。學生是否能妥善整合並選擇合適的表徵形式來建構概念物件 並處理問題，勢必要使用理想的工具，讓多重表徵能夠更直觀容易的呈現，最好能有動 態鏈結的效果，教師如何透過其他的工具來幫助學生建構、統整這些表徵與相關的數學 概念，值得研究。
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(3) 線性規劃的特質與概念學習狀況
研究者發現線性規劃問題與 OECD 的數學模型類似(圖 2-2)，
圖 2-2
搭配其模型發展本研究提出一個中學生學習線性規劃可以分為四個層次如下：
(一) 將現實世界的應用問題轉為數學符號、式子，進而變成數學世界的問題
(二) 能知道二元一次不等式，理解其「解」的意義，並能在坐標平面上畫出解的圖示，
並能以線型不等式表示坐標平面上（含或不含直線）的半平面區域。
(三) 在一個情境中先獲得一個線性聯立不等式，並明白其可行解、可行解區域還有目標 函數的意義。
(四) 操作平行線法或者是頂點法找出此問題之最佳解，再還原到現實世界當作原問題的 一個答案。
其中第一層關係到文字敘述與數學符號表徵之間的轉換，第二層則是整合方程式與 不等式在代數表徵與幾何表徵上的連結，第三層利用上一層延伸出聯立不等式的代數與 幾何表徵以及可行解皆可對應到目標函數的值，第四層為目標函數在解區域中使用平行 線法或頂點法，同時注重代數結構與幾何結構連結的過程。在每一層當中，個體學習的 困難點究竟是形成相關數學概念亦或者是在表徵之間的轉換，以及進行線性規劃的問題
其中第一層關係到文字敘述與數學符號表徵之間的轉換，第二層則是整合方程式與 不等式在代數表徵與幾何表徵上的連結，第三層利用上一層延伸出聯立不等式的代數與 幾何表徵以及可行解皆可對應到目標函數的值，第四層為目標函數在解區域中使用平行 線法或頂點法，同時注重代數結構與幾何結構連結的過程。在每一層當中，個體學習的 困難點究竟是形成相關數學概念亦或者是在表徵之間的轉換，以及進行線性規劃的問題