Vinner(1983)認為在學習概念時，個體比較需要的是概念意像而不是概念定義，因 為在思考時通常想到的是概念意像，但是正式學習時則需要概念定義，而在進行教學時，
學生通常是經過概念意像先輸出，而非直接透過概念定義。Skemp(1987)認為個體必須 透過過去經驗，藉由例子與反例找出共通性與相似性，抽象化後的結果就稱為概念。
一、 APOS 理論簡介
APOS 理論（Action-Process-Object-Schema Theory）： 在學生學習的心智結構 上，APOS 理論提供了一個很清晰的模式。學生會思考如何將數學問題，建構出 解決問題的行動 （action）、過程（process）和物件（object），然後將整個過程組 織成一個解題的基模（schema），最後再使用基模來解決問題（Dubinsky，1991）。
1. 行動（action）：是一個可重複的物體上或心智上的操作，個體在接收外在訊息 時，透過提示一步一步的引導而完成，個體所操作的可以是一個具體的東西，
也可以是腦中想像的東西，或者是一個概念。
2. 過程（process）：當整個行動可以在腦中操作，不需一些特殊步驟再操作一遍 的時候，我們就說這個行動已經被「內化」成一個過程。
3. 物件（object）：過程可以產生新的過程，也可以倒回來到行動，也可以跟其他 的過程產生結合。而當一個過程在腦中形成，並且能夠在其他的行動中被轉換 的時候，我們就稱此時的過程已經被膠囊化（encapsulated）為一個物件。
4. 基模（Schema）：當過程與物件內化後，能與其他概念、圖形做連結，這整個 學習過程組織成為一個心智結構圖，一個解題的基模，最後再使用這些基模來 解決問題。而基模能夠再組織成更高的基模。
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圖 2-3 APOS 理論架構圖
APOS 理論中另外也使用三階段來描述 Schema 的發展，內化階段（intra level）外 化階段（inter level）內外化階段（trans level）。在第一個內化階段，關注在個體基模的 組件上，這主要包括系統組件之間的對應關係，個體發現在基模中具有共同特性的物件 可以構成一個集合，這些連結都是局部的特定的，能察覺不同行動、過程和物件之間的 關係，但它們可能仍是孤立的。隨著知識的發展，開始建立這些物件之間的關係，並開 始發展背後的推理，在這一點上，基模被認為處於外化階段。當一個人開始看基模作為 一個整體，將前一階段所發現的關係利用不同行動、過程和物件之間的關係建構成一個 一致的結構，而且個體可以確定其是否適用於某些特定的問題上，就稱為到了內外化階 段。
二、起源分解
APOS 理論的應用是以起源分解 (genetic decomposition)來描述個體如何建構出某 個數學概念的心智結構，是對某個概念的假設性學習模型，描述學習者在學習特定的數 學概念時所需要的心智結構，它可以解釋學習表現何以會有差異，能幫我們了解大部分 學習者概念建構的軌道，但不同的學生會依循不同的軌道，經由實證研究支持的起源分 解，就可以視為學生建構概念的合理描述(Marcela Parragues, Asuman Oktac,2010、Cottrill, J.,1996)。某個特定概念的起源分解並不是唯一的，只是暫時性的，可由實徵性的研究加
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以修改、調整，再作為下一輪教學實驗的設計架構。Dubinsky 認為一個人是無法直接學 習到數學概念的，人必須透過心智結構(mental structure)來使所學習的數學概念產生意義，
而教學的目的就是如何幫助學生去建立適當的心智結構。透過 APOS 理論和起源分解我 們可以觀察學習者建構知識的過程，也可獲知學習者是否掌握正確概念，更可以解釋學 生的概念是如何形成的，教學者也能從中發現學習者的困難進行教學活動的修改。
APOS 理論中，一個概念的 preliminary Genetic Decomposition 有幾種可能的來源，
我們可以從研究人員教與學的經驗，研究人員關於 APOS 理論的知識，課程分析等來獲 得起源分解初稿。一個概念可能有好幾個不一樣的動作、過程與物件，起源分解幫助我 們描述這些結構彼此之間的關係，藉由教學的回饋，可以比較出學習者在各個結構的狀 況，可能找到學習者在任務中的不同表現，藉由這樣的分析結果，就可以成為起源分解 的心智結構。研究者參考線性規劃歷史、教科書課程與課綱的探討、表徵理論、OECD 模型、學習困難之處，由研究與一位資深數學教育專家和兩位博士班研究生、數位數學 教育研究所的同學們經討論數次修改後，發展出線性規劃的起源分解初稿，一個線性規 劃可能的學習軌道，由此得到一個中學生學習線性規劃的學習歷程與心智結構，每個起 源分解圖皆按照 APOS 理論顯示相關心智機制與結構，說明如圖 2-3，並作為之後學習 活動之設計參考。
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Action：透過一步步的指令，指出自變數與應變數，並能發現他們之間的關係。
Process：透過重複操作，能在心智中，反思變亮與條件之間存在著一特定關係。
Object：可以將題意中的變亮與關係用 x,y 的符號表示(含限制條件、目標函數)
Process：反思出目標函數的自辯量必須要同時滿足多個限制條件。
Object：可將題意視為滿足多個限制條件下個數對(x,y)，可得函數值的最大(小)為何?
Object：二元一次方程式
0
by c
ax
(先備知識)Object：二元一次方程式
0
by c
ax
的圖形 (先備知識)Action：布置(給定)一個二元一次方程式
1 0
int int
eriorizati on
22 Process：反思同一側的點代入皆可得到同號
Object： 在直線
ax by c
0某側取一點代入若大(小)於 0，則與該點所23
Action 透過一步步的指令，
指出變量與限制條件，
Pr ocess
得到一個目標函數。
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Object
一個線性規劃問題若有最佳解，則最佳解只可能發生在可行解區域的頂點或是邊界上
Pr ocess：要得到最佳解，
必須先透過題意找到目標函數、解區域。
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