第壹章 緒論
第一節 研究背景與動機
在數學中，線性規劃指的是目標函數和約束條件皆為線性的最優化問題，線性規劃 是最優化問題中的一個重要領域，求解線性規劃問題的基本方法之一是單純形法，現在 已有單純形法的標準軟體，可在電腦上求解約束條件和決策變數數達 10000 個以上的線 性規劃問題。而後又有改進單純形法、對偶單純形法、原始對偶方法、分解演算法和各 種多項式時間演算法。相對於我國中學數學的線性規劃，只有兩個變數的線性規劃問題，
採用圖解法求解，這種方法僅適用於只有兩個變數的線性規劃問題，它的特點是演算法 比前面提到的方法更為簡化，透過圖解法求最佳解是可以幫助理解線性規劃的基本概念，
但其概念結構的複雜是否因為只有兩個變數而變得簡單呢?還是與多個變數的結構一樣 複雜呢?線性規劃在高中數學中一直佔有相當重要的地位，儘管受限於數學知識，高中 課程只介紹平面(二維)的狀況，卻也是將來更深一層的線性規劃課程的先備知識。
高中課綱(99 課綱)從多元表徵與數學素養的觀點論述：「中學數學中，在線性規劃 這一節裡，直線為其幾何圖像，二元一次方程式為其代數表現，線性規劃課題則為其應 用，將直線與具體世界做連結，可使學生體認到數學的應用性與普遍性。」以數學建模 的觀點來看，中學的線性規劃課程是可以理解如何「利用數學解決實際問題」的極佳例 子 (蘇俊鴻，2014)。線性規劃也是眾多領域解決問題的一種方法之一，例如在經濟管理、
交通運輸、工農業生產、作業研究、經濟學和商業管理領域中，線性規劃被大量應用於 降低生產成本、提高經濟效果、提升產值與營收等最優化相關問題。比如 105 年大學指 考數學乙就設計了一題一間公司欲向政府承租土地如何得到最大獲利的現實問題，都是 我們在生活中的確會去關心的議題，透過線性規劃概念的幫助，提供了人們作為決策的 一個方向，亦符合數學素養內涵中，根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與 資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思 與判斷 (李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏 (2013)，教育部提昇國民素養實施方案─數 學素養研究計畫結案報告)。
由國家教育研究院發布的十二年國民教育課程總綱中，數學領域強調以素養為導向，
其核心素養在藉由單元之間數學觀念的統整，強化生活情境與問題理解，學習由不同面
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向分析問題與解決問題，並將生活問題經由觀察，找出相關性，做成數學推測，找到解 決方法。素養中學習重點的第一點學習表現的認知面中，有一向度為連結與應用，能夠 連結並應用數學的概念、程序或方法到日常生活或專業學科情境，即為線性規劃的學習 主題，並能以具體的情境或問題來引發學生學習動機。而線性規劃課題可以提供學生數 學建模的機會，這也是新課綱中所推薦的素養能力。再者新課綱亦強調數學教學、數位 工具，資訊融入教學兩面向：
一、透過科技幫助同學了解數學原理
由於數位工具日漸普及，討論未來應該具備的數學素養時，我們不能夠不考慮數位 工具（含計算機、數學軟體、多媒體、網路雲端等）與數學學習之間的關係。數位工具 可以將數學概念視覺化、可以協助整理和分析資料、可以做正確和更有效率的計算以幫 助學生探索數學概念，更聚焦於決策判斷、反思和推理等問題解決的活動。(數學素養 研究計畫結案報告)
二、應用科技解決數學問題
在提升國民素養實施方案數學素養研究計畫當中，針對如何提升數學素養的目標，
第四點即善於利用計算器與數位工具，數位科技強大的計算威力與模擬效果不僅能豐富 數學家的想像，也逐漸改變部分數學家思考的模式。因此數位科技的使用能力，也就構 成核心數學素養的一部份。(數學素養研究計畫結案報告)
下面為近三年學測指考有關線性規劃的問題以及答對率。
題目 104 學測 105 學測 103 數乙 104 數乙 105 數乙 106 數乙 答對率 31% 31% 57% 62% 47% 56%
表 1-1 資料來源：大考中心
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而在 103~106 年的學科能力測驗與指定考科數學乙中，線性規劃的相關問題共出現 六次，答對率介於 31%~62%，不難看出學生在解決線性規劃的問題時，還是有將近一 半甚至快要七成的同學沒有辦法回答出正確答案。
又根據謝佩君(2006)分析了二元一次不等式及線性規劃單元概念之答對率及主要錯 誤類型，並作了以下小結：
(1)二元一次不等式部分，發現學生多半是背誦公式解題，當背錯或忘記公式，則出現錯 誤。
(2)在"可行解區域求目標函數的最佳解"及"平行線法與頂點原理的原因與運用"二部分 表現不佳，表示學生對於如何求極值並沒有真正的理解，只會機械式的代頂點求極值。
因此，如何透過更好的教學模式來幫助同學理解線性規劃的原理，進而提升、改善 學生解決線性規劃問題的能力，是現在值得我們去研究並且深入探討的。
「2008-2011 教育部中小學資訊教育白皮書」發展並推廣各校在教學上應用資訊科 技的特色與典範為目標，於實驗學校中設置 e 化專科教室，鼓勵教師利用 e 化教室發展 各種運用資訊科技於教學的創新教學模式並善用數位教學資源與資訊科技教學設備，以 整合、應用資訊科技於教學，期望改善教學模式，達成創新教學目標，提升教學品質與 成效。而教育部公佈的「國民教育階段九年一貫課程總綱綱要」（教育部，1998），其中 在「課程目標」及「基本能力」兩項當中，也都明白、確實規定學校教育須引導學生培 養『運用科技與資訊的能力』。
當硬體設備不斷更新時，教材教法卻始停滯不前，若教師還停留在以過去的知識，
教育現在的學生，使其適應未來的生活的教學歷程，是十分危險的。(李政蒲、許銘津、
陳承泰，2009)根據文獻指出電腦輔助與傳統教學混合使用，其效果特別顯著（Dalton &
Hannafin，1988）。左台益(2002)認為數學的學習可佈置一資訊學習環境，使學生透過電 腦操作實驗，使之從具體事物、圖形表徵中模擬、操作、發展推理論述的符號語言，對 於學習能力的開拓有幫助。此外，在 Moyer 的研究中，虛擬教具往往提供視覺和符號表 示之間的明確聯系，這一發現有利於學生學習
(Moyer&Bolyard,2002;Moyer,Bolyard&Spikell,2002，Suh & Moyer,2007)，將科技工具融 入數學教學已經是現今的趨勢，適當的使用科技工具，學生能夠學到更多的數學概念
（Dunhan & Thomas 1994；Sheets 1993；Rojano 1996）。Pea(1985)認為應用科技工具可
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以在短時間內做大量計算得到數值，讓複雜的過程被簡化，同時對於心理層次的活動有 助益。
電腦的應用已帶給了教育改革極大的啟示，從早期的電腦輔助教學系統（CAI），到 今日的網際網路虛擬教室，都給了我們的教學更大的彈性。以數學學習為例，透過電腦 動畫的演示，可以幫助學生處理抽象的數學概念，或是運用演示的特別效果可加強處理 學生常犯錯誤，鞏固學生未能掌握的重要數學概念等（江紹祥，1999）。這些適時的利 用電腦輔助教學不但可以帶給學生更多元化、個別化、生動化的學習空間，對於提昇學 習效果更是有明顯的成效。(謝哲仁，2004)。
如何讓學生重拾信心與學習動力，是我們身為教育工作者必須要去思考的問題，應 該要想辦法幫助他們找到適合的學習方法。美國數學教師協會 NCTM ( 2000) 即指出，
科技在教師教學與學生學習數學上是必要的，它影響著教師的教學以及增強學生的學習 態度。從數學結構、脈絡深入了解學生學習線性規劃的困難就是一項研究議題，究竟學 生在學習線性規劃的原理時，他們的概念結構發展為何?是否真正理解?值得我們去探討。
以及如何順應時勢，利用科技輔助學習，設計一個適當的學習線性規劃原理的動態幾何 環境，透過感受利用動態幾何學習來幫助學生學習線性規劃的原理，若有技巧性地去使 用，也能成為學生學習的另一種輔助工具。
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