研究者依據架構，共發展10個動態幾何環境教學活動輔助學生學習線性規劃的原理，可 見附件。以下挑選部分進行說明，完整的學習活動GGB相關圖片與檔案和連結請見附件 2。
一、二元一次不等式的解的概念與解的幾何概念 GGB網址：https://ggbm.at/Nh74QKwV
圖 3-3 GGB 活動檔範例一
1. 在右圖中的 A 點可以移動，左邊的框框預設為不打勾，這樣學生在操作時較不會一 下子看到太多資訊而覺得負荷太重。做第二題跟第三題時，可以把前面的題目消去，
專注在要解的題目上。
2. 右邊則是動態鏈結環境，只能移動 A 點不能移動直線。學習者操弄 A 點時，代數呈 現其值，藉此幫助同學觀察點跟值的變化，反思點在線上與線外的差別，期望操作 者透過一到三題內化不等式的解的概念為過程。在第四題時
4. 若
P
(x
0,y
0)為不等式ax by c
0的解，則下列選項何者正確? (單選題) (A)ax
0 by
0 c
0 (B)ax
0 by
0 c
0 (C)ax
0 by
0 c
0(D)
ax
0 by
0 c
無法確定大於等於或小於 0則是可以直接在卷上完成，期望透過剛才的經驗以及此題的答案幫助同學膠囊化出
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解的概念物件。而對照組則是預設全部打勾且不能移動任何物件，全部活動的呈現 方式對照組皆是如此，以下不一一贅述。
二、同側之點代入會滿足同號以及二元一次不等式的解的圖形 GGB 網址：https://www.geogebra.org/m/WGdJYK9y
圖 3-4 GGB 活動檔範例二
1. 在勾選 A 點與 B 點的框框時，會顯現 A、B 兩點以及兩組文字物件，而只有 A、B 兩點可以供操作者移動，會鏈結到文字物件。勾選直線 x+y=2 的圖形則是該條直線，
勾選 x+y
≧2
不等式的圖形，則是顯示紅色區塊且含直線，勾選 x+y<2 的圖形則是 藍色區塊且是虛線。2. 第五題期望操作者透過移動 A、B 兩點，觀察其同時在右側或左側或異側時，不等 號的關係，並透過經驗內化成為同側異側與不等號的概念過程，再由第七與八題嘗 試膠囊化為概念物件，同一側的所有點可以用一個不等式來表示，且能分辨有等號 與沒有等號的差別。
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三、解區域的判別方法(演算法則) GGB：https://ggbm.at/WgWvYtNa
圖 3-5 GGB 活動檔範例三
1. 此題若勾選顯示第 11 題的圖形，則會出現 f: x+y=2 還有 E1、E2，若勾選顯示第 12 題的圖形，則顯示 g:x+2y-2=0 與 其他文字物件。
2. 期望第 11 題可以由之前的同側異側概念反思得到若(0,0)代入是小於，則與(0,0)該點 同側的平面即為小於 0 的解。第 12 題期望同學可以將此結論根據自行輸入直線的係 數去操弄，根據文字物件給的提示得到大量經驗後得到解區域的演算法則。
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四、解區域的判別方法(理論分析)
https://ggbm.at/JaQUK7TR
圖 3-6 GGB 活動檔範例四
1. 布置一個 2x+y>0 與-2x+y>0 的解區域，分別用紅色與藍色表示，並且可以用勾選框 框來顯示或隱藏，以及環境中有一個 A 點可以供操作者移動且呈現兩個文字物件做 動態鏈結。
2. 第九題期望學習者透過 A 點的移動與值的變化還有與兩條直線的相對位置，觀察結 果是大於還是小於，題意中亦強調要注意 x 的係數，反思出點代入時會因係數正負 而有不同的結果。而下一題則是期望學習者歸納演繹出係數的正負與解區域的理論 分析判別方法。
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五、平行線法的原理
GGB：https://www.geogebra.org/m/EDz8zhET
圖 3-7 GGB 活動檔範例五
1. 布置一個環境，有一條不能移動的過原點的直線，以及一條可以移動Ｂ點的平行線。
2. 第十五題學習者可以透過操弄移動Ｂ點，觀察幾何表徵與代數表徵的變化，反思出 越右邊值越大。第十六題歸納出大小變化與ｘ軸截距的關係，期望學習者膠囊化出 平行線法的物件。
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六、在解區域中由平行線法找出極值
GGB：https://www.geogebra.org/m/cEqgy6WY
圖 3-8 GGB 活動檔範例六
1. 布置一個環境，可以透過勾選一個一個呈現資訊。有一條可以移動Ｐ點的直線，以 及其代數表徵。
2. 第十七題學習者可以透過操弄移動Ｐ點，觀察幾何表徵與代數表徵的變化，由平行 線法再反思出最佳解的可能位置會在頂點上。第十八題期望學習者得到最佳解會產 生在頂點的物件。
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第肆章 線性規劃在動態幾何環境下教學實驗
第二個研究問題為高一生在動態幾何學習環境下學習線性規劃的成效為何?第三章 說明如何設計動態幾何學習環境，然而學生透過此環境教學後的成效為何?與靜態紙本 環境進行教學的成效有何差異?以下說明研究方法、發現與討論。
第一節 研究方法