教學前後學生解題表現

本節主要目的是分析在學生教學前、後正整數乘法概念測驗的解題表 現，茲就教學前、後成就測驗、後測不同能力組別、不同乘法情境結構類 型和不同位數的乘法，四方面加以分析。

壹、教學前、後比較：

針對學生所學正整數乘法概念前、後測成績，總分各為 14 分，進行 成對樣本 t 檢定，探討教學前、後學生在正整數乘法概念上是否有差異，

其結果如下表：

表 4-1-1  學生教學前、後測成對 t 檢定摘要表

組別 個數 平均數 標準差 自由度 t 值 p-value 後測-前測 224 2.24 3.16 223 10.6 .000

由表 4-1-1 可知顯著性 p-value=0.00＜0.05，推得學生在教學前和教學 後的學習成就達顯著差異，表示學生在教學後正整數乘法概念統計量上是有 差異的，教學後學生的表現進步，正整數乘法概念更為清楚。

貳、不同組別教學前、後比較：

將學生依據總分的表現高低排列，取兩端的 27％為分別為高、低分 組，其餘則為中分組，探討教學前、後不同能力組別的學生在正整數乘法 概念上是否有差異，其結果如下表：

表 4-1-2  學生教學前、後測不同能力組別成對 t 檢定摘要表

組 別 平均數 標準差 自由度 t 值 p-value

低分組後測-前測 0.56 3.19 79 1.579 .118 中分組後測-前測 2.46 2.77 80 7.944 .00

高分組後測-前測 4.16 2.53 62 13.054 .00 由表 4-1-2 可看出低分組的顯著性 p-value=0.118＞0.05 表示學生前 測與後測並未達顯著差異，探究可能原因是低分組學生可能為學習低成就 者，原本的正整數乘法概念表現就不佳，後測成績只略為進步，分析其試 卷發現他們對於題目的語意並不了解，乘法概念缺乏，許多學生以加法或 減法來解題，教學對他們並沒有多大的影響，所以表現還是不盡理想；中 分組與高分組的前測和後測均達顯著差異，表示這兩組學生經由教師教學 後，對正整數乘法的概念較為了解，成績明顯進步。高分組學生成績大幅 提昇，可見經過教學後，學生正整數乘法概念更明瞭。

參、不同乘法情境結構概念分析比較：

本研究依據 Vergnaud（1983）的乘法語意結構，將試題分為量數同構 型乘法問題、叉積型乘法問題、多重比例型乘法問題，探討教學前、後不 同情境結構的問題，學生在正整數乘法概念上是否有差異，其結果如下表：

表 4-1-3 學生教學前、後測不同乘法情境結構成對 t 檢定摘要表

組別 平均數 標準差 自由度 t 值 p-value 量數同構型後測-前測 0.5 1.14 223 6.504 . 000 叉積型後測-前測 0.96 1.48 223 9.67 .000 多重比例型後測-前測 0.79 1.97 223 6.011 .000

由上表可知：在三種乘法情境結構類型中，量數同構型、叉積型和多 重比例型均達顯著差異，在不同乘法情境結構試題中學生的解題表現有所 不同，顯示教學後對學生的影響，也就是乘法情境結構類型會影響學生的 解題表現。

肆、不同位數之乘法概念分析比較：

由教學前、後比較得知後測成績明顯比前測進步，但是正整數乘法概 念學習成就測驗中包含數種不同位數之乘法子概念，研究者根據雙向細目 表將試題分為五個子概念：「多位數乘以一位數概念」、「二位數乘以整十 概念」、「二位數乘以二位數概念」及「三位數乘以二位數概念」「四或五 位數乘以二位數概念」，進一步進行分析各個子概念，以了解在教學前、

後，學生的乘法子概念是否產生顯著差異？結果如下：

表4-1-4 學生教學前、後測不同位數乘法成對t檢定摘要表

組別 平均數 標準差 自由度 t 值 p-value 多位數乘以一位數後測-前測 0.18 0.99 223 2.71 .007 二位數乘以整十後測-前測 0.46 0.96 223 7.132 .000 二位數乘以二位數後測-前測 0.3 0.7 223 6.488 .000 三位數乘以二位後測-前測 0.73 1.17 223 9.291 .000 四、五位數乘以二位數後測-前測 0.57 1 223 8.555 .00

由表 4-1-4 可看出正整數乘法不同位數的五個子概念中均達顯著差 異，顯示學生經由教師教學後對不同位數的正整數乘法的概念較為清楚，

教學後解題表現較教學前明顯進步，顯示教學對於學生的學習成效有顯著 的影響。

第二節 教學前後學生正整數乘法概念結構圖形分析

壹、教學前後能力值相近似平均值之知識結構

在知識結構差異性的研究中，其基本假設是專家（標準參照）與生手

（研究對象）的知識結構組織和關係有所不同；故以全對的作答結果作為 標準參照知識結構圖，希望了解在教學前、後學生的知識結構圖有何改 變。以標準參照的知識結構圖為準如圖4-2-1，與受試學生正整數乘法概 念學習成就測驗所得的知識結構圖做比對。

圖4-2-1 標準參照之知識結構

1. 量數同構型&二位數乘以整十 2. 量數同構型&多位數乘以一位數 3. 量數同構型&三位數乘以二位數 4. 多重比例型&二位數乘以整十 5. 叉積型&四或五位數乘以二位數 6. 叉積型&二位數乘以二位數 7. 多重比例型&二位數乘以二位數 8. 叉積型&二位數乘以整十

9. 叉積型&三位數乘以二位數 10.多重比例型&多位數乘以一位數 11.量數同構型&四或五位數乘以二

位數

12.多重比例型&三位數乘以二位數 13.叉積型&多位數乘以一位數 14.多重比例型&四或五位數乘以二

位數

表4-2-1 學生前後測原始分數及能力值

原始分數平均 能力值平均

前測 6.81 -0.01

後測 9.05 0

分別選出兩名最接近前測能力值平均的學生做為代表，進行前、後測 知識結構圖分析比較。

圖4-2-2 實例一前測 圖4-2-3 實例二前測

由圖4-2-2至4-2-3可以發現前測中學生的概念與專家的知識結構差 距甚大，學生在量數同構型概念上皆有精確鏈結關係（即概念與概念的鏈 結正確）且以倍數問題為乘法基本概念（概念1、概念2、概念11）。而由 實例中也發現（概念2、概念8、概念7、概念12、概念5），學生都以多位 數乘以一位數為乘法直式運算基本概念，漸漸發展為四、五位數乘以二位 數之複雜演算。可見已知多位數乘以一位數概念對四年級學童來說是相當 重要的，也可以說學好多位數乘以一位數概念可以幫助四年級學童學習不 同位數與數值大小的正整數乘法概念，與課本的編排方式相符。

圖4-2-4 實例一後測 圖4-2-5 實例二後測 由圖4-2-4、4-2-5可以看出，兩位學生前測時（概念11、14），四、

五位數乘以二位數概念有些許混亂的情形，並有缺失鏈結關係（即概念與 概念該有的鏈結關係卻沒有存在），而在教學後，四、五位數乘以二位數 概念的缺失鏈結大部分已連結上，其後測知識結構圖也更接近標準參照的 知識結構圖，具有較多的精確鏈結關係。雖然實例一後測學生是以概念 11、12為核心概念，標準參照結構是以概念12、14為核心概念，但兩者之 間均有概念12為多重比例情境類型，概念11為四、五位數乘以二位數；概 念12為三位數乘以二位數，概念14為四、五位數乘以二位數。

由圖4-2-5明顯可知，實例二學生的量數同構型情境概念（概念1、2、

11）雖在前測時有一些正確的鏈結關係由簡單的二位數乘以整十至困難的 四、五位數乘以二位數，但後測卻發現量數同構型情境概念之間的精確鏈 結關係不見了，產生了缺失鏈結關係，從其前、後測鏈結關係混亂，推論 實例二後測學生的正整數乘法概念其實並不穩固，教師應給予不同情境類 型試題練習，透過理解並將觀念與計算結合，以達到精熟學習。

從以上二個圖顯示前測的多個缺失鏈結關係，後測時已可以看出進 步，較接近標準參照的知識結構圖，透過教師的教學與講解，學生在相同

位數不同乘法情境類型的正整數乘法概念中已產生連結。

貳、正整數乘法成就測驗原始分數相同知識結構之差異

隨著多元評量的思潮的興起，傳統的紙筆評量方式，數學測驗分數相 分的學生評估其能力亦相同，已不合時宜，對於學生的學習能力指標，不 再是以一個總分或排名來代表學生之學習成果，教育改革風潮之後，重視 的是數字背後所代表的函意，並對學生之學習成果提出更進一步的解釋與 說明。本部分主要分析正整數乘法成就測驗分數相同學生其知識結構圖形 之差異，茲就後測不同正整數乘法能力組別加以討論，其結果分述如下：

一、在乘法表現高能力組別中，正整數乘法測驗分數相同學生其知識結構 圖形之差異情形

隨機挑選測驗分數為13分之學生，其後測的圖形為圖4-2-6至圖 4-2-9，由圖可知：高能力別的後測知識結構圖形與標準參照的知識結構 圖相似。但四位學生的知識結構圖並不完全相同，相關的鏈結將概念分為 四區，但在概念與概念之間的鏈結方式不同，實例一的第一區以概念12為 中心，向外鏈結2、3、5概念，第二區以概念1為中心，向外鏈結4、6、7 概念，第三區以概念14為中心，向外鏈結8、11概念，第四區以概念9、10、

13所形成的直線鏈結；實例二學生第一區為以概念12為中心，向外鏈結2、

3、5概念，第二區以概念1、4、6、7所形成的直線鏈結，第三區以概念8、

11、14所形成的直線鏈結，第四區以概念9、10、13所形成的直線鏈結；

實例三學生第一區為以概念2、3、5、12概念所形成的直線鏈結，第二區 以概念1、4、6、7所形成的直線鏈結，第三區以概念8、11、14所形成的 直線鏈結，第四區以概念9、10、13所形成的直線鏈結；實例四學生和標 準參照的知識結構圖只有三區相似，第一區為以概念2、3、5、12概念所 形成的直線鏈結，第二區以概念8、11、14所形成的直線鏈結，第三區以

綜合來說，在乘法能力高組別中，正整數乘法測驗分數相同的學生其 知識結構圖形表徵並不相同，仍有差異。

圖4-2-6 高分組實例一後測 圖4-2-7 高分組實例二後測

圖4-2-8 高分組實例三後測 圖4-2-9 高分組實例四後測 二、在乘法表現中能力組別中，正整數乘法測驗分數相同學生其知識結構

圖形之差異情形

隨機挑選測驗分數為10分之學生，其後測的圖形為圖4-2-10至圖

4-2-13，由圖可知： 中能力組別的後測知識結構圖形與標準參照的知識 結構圖有差異，連結的鏈結比標準參照的知識結構圖少。但四位學生的知

4-2-13，由圖可知： 中能力組別的後測知識結構圖形與標準參照的知識 結構圖有差異，連結的鏈結比標準參照的知識結構圖少。但四位學生的知