探討教學前後正整數乘法的知識結構-以四年級為例

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所教學碩士論文. 指導教授︰易正明. 教授. 探討教學前後正整數乘法的知識結構－以四年級為例. 研究生：徐素貞. 撰. 中華民國九十六年七月.

(2) 摘. 要. 本研究的主要目的在探討國小四年級學生正整數乘法的解題表現，針對不同乘法情境結構、不同的位數和數值概念，發現學生正整數乘法的迷思概念進而提供有效的教學策略，並配合徑路搜尋法找出學生知識結構圖變化。研究者以台中縣國民小學的四年級學童為研究對象，共計 227 人。研究工具為「自編正整數乘法的學習成就測驗」，並以 SPSS、BILOG、SAS、 KNOT 等軟體進行統計資料分析。本研究主要發現如下：一、教學前後，學生的解題表現達顯著水準差異。二、不同情境類型問題會影響學生解題的表現，量數同構型問題和多重比例型表現較叉積型問題佳，表現最佳的是量數同構型問題，表現最差的是叉積型問題。三、前測能力值近似平均值的學生，其知識結構亦不同。四、原始分數相同之學生，其知識結構並不相同。五、以集群分析方法能將學生有效分群，各群的錯誤類類型不相同，原始分數最高分、中等分以及最低分的三群，其知識結構亦有很大的差距。六、學生運算正整數乘法的錯誤有：乘除法運算不熟練，九九乘法背錯或進位加法計算錯誤、數字較大學生易出錯、不了解題意任意使用運算符號解題、解題未完成、缺乏數學基本知識和概念、算式表徵不完整、文字題單位沒寫或單位寫錯。本研究結果與發現，可提供有關國小學童面對正整數乘法文字題知識結構的診斷及補救教學之參考。關鍵字：正整數乘法、知識結構、徑路搜尋. I.

(3) Abstract This research purpose focuses on discussing student’ s positive integer multiplication problem solving performance of grade 4th elementary school. In following conditions, different multiplication situation structure, different figure and value concept, how these students solve these problems and provide effective teaching strategies. We develop the student’ s knowledge structure by Path Analysis method. Drawing on a sample of 227 the grade 4th students of. Tai-Chung County public elementary school, The research tool, the achievement test of integer multiplication, is developed by researcher self, and analysis the data by the software of SPSS, BILOG, SAS, KNOT. This results of this research found as following： 1 、 The student's problem-solving performance between teaching method putting into practice before and later had a statistically significant. .. 2、The different type of questions will affect the student problem-solving performance. It shows the same configuration question solving ability is better than the one relating cross product question. 3 、 The student’ s score, proximate mean value, on the prior test. Their knowledge structures are also different. 4、Even the raw score are same. Student’ s knowledge structures are different. 5、Dividing all sample into three groups by Cluster Analysis . They are high, middle, and low score. As to each group's error type is different, it indicates the knowledge structure of each group are also different. II.

(4) 6、The errors operating the positive integer multiplication include:. not skilled. while the division operation, not familiar with the multiplication table, not good at deal with the number when it is big, used the mathematics symbol wrongly, not completed the whole solving process, lacked the basic mathematics knowledge and concepts, not fully developed mathematical formula construction, and make mistakes in writing unit form. These findings suggest some references how to treat and diagnose student’ s knowledge structure relating positive integer multiplication when make the remedial teaching plan.. Key words: Positive Integer Multiplication, Knowledge Structure, Path Finder.. III.

(5) 目. 錄. 第一章緒論 ................................1 第一節第二節第三節第四節第五節. 研究動機...........................................1 研究目的...........................................4 待答問題...........................................5 名詞解釋...........................................5 研究限制 ..........................................6. 第二章文獻探討 ............................8 第一節第二節第三節. 乘法概念...........................................8 知識結構..........................................26 徑路搜尋..........................................30. 第三章研究方法 ...........................34 第一節第二節第三節第四節第五節. 研究架構..........................................34 研究對象..........................................35 研究工具..........................................36 研究流程..........................................42 資料處理..........................................43. 第四章研究結果與討論 .....................44 第一節第二節第三節. 教學前後學生解題表現..............................44 教學前後正整數乘法概念結構圖形分析................48 集群分析探討教學前後正整數乘法概念結構圖形........57. 第五章結論與建議 .........................73 第一節第二節. 結論..............................................73 建議..............................................76. IV.

(6) 參考文獻 ...................................78 一、中文部分 .............................................78 二、英文部分 .............................................81. 附錄 .......................................83 附錄一正整數乘法學習成就測驗預試試題 ....................83 附錄二正整數乘法學習成就測驗正式試題 ....................86. V.

(7) 表目錄表 2-1-1. Schwartz 模式之乘的結構 …………………………………12. 表 2-1-2. Vergnaud 模式乘除概念類型 ………………………………13. 表 2-1-2. Vergnaud 模式乘除概念類型（續） ………………………14. 表 2-1-3. Nesher 模式之乘的結構 ……………………………………15. 表 2-1-4. Usiskin & Bell 模式之乘的結構 …………………………16. 表 2-1-5. Greer 模式之乘的結構. ……………………………………17. 表 2-1-6. 各模式之乘除類型比較. ……………………………………18. 表 2-1-7. 數學解題之歷程. 表 2-2-1. 多向度量尺、集群分析與徑路搜尋之內涵、特色與限制…29. 表 3-2-1. 預試施測樣本大小總. ………………………………………35. 表 3-2-2. 正式施測樣本大小總. ………………………………………35. 表 3-3-1. 預試試題雙向細目表. ………………………………………36. 表 3-3-2. KMO 與 Bartlett 檢定 ………………………………………39. 表 3-3-3. 最大變異法轉軸後之因素矩陣(一). ………………………39. 表 3-3-4. 最大變異法轉軸後之因素矩陣(二). ………………………40. 表 4-1-1. 學生教學前、後測成對 t 檢定摘要表. 表 4-1-2. 學生教學前、後測不同能力組別成對 t 檢定摘要表………45. 表 4-1-3. 學生教學前、後測不同乘法情境結構成對 t 檢定摘要表…46. 表 4-1-4. 學生教學前、後測不同位數乘法成對 t 檢定摘要表………47. 表 4-2-1. 學生前後測原始分數及能力值. 表 4-3-1. 後測集群分析分群情形及相關資料分析表. 表 4-3-2. 第一群學生前測和後測的能力組別比較. …………………67. 表 4-3-3. 第二群學生前測和後測的能力組別比較. …………………68. 表 4-3-4. 第三群學生前測和後測的能力組別比較. …………………69. ……………………………………………19. VI. ……………………44. ……………………………49 ………………57.

(8) 表 4-3-5. 第四群學生前測和後測的能力組別比較. …………………70. 表 4-3-6. 第五群學生前測和後測的能力組別比較. …………………71. VII.

(9) 圖目錄圖 2-3-1. 接近性矩陣與徑路搜尋網路………………………………32. 圖 3-1-1. 研究架構圖…………………………………………………34. 圖 3-4-1. 研究流程……………………………………………………42. 圖 4-2-1. 標準參照之知識結構………………………………………48. 圖 4-2-2. 實例一前測…………………………………………………49. 圖 4-2-3. 實例二前測…………………………………………………49. 圖 4-2-4. 實例一後測…………………………………………………50. 圖 4-2-5. 實例二後測…………………………………………………50. 圖 4-2-6. 高分組實例一後測…………………………………………52. 圖 4-2-7. 高分組實例二後測…………………………………………52. 圖 4-2-8. 高分組實例三後測…………………………………………52. 圖 4-2-9. 高分組實例四後測…………………………………………52. 圖4-2-10. 中分組實例一後測…………………………………………53. 圖4-2-11. 中分組實例二後測…………………………………………53. 圖4-2-12. 中分組實例三後測…………………………………………54. 圖4-2-13. 中分組實例四後測…………………………………………54. 圖4-2-14. 低分組實例一前測…………………………………………55. 圖4-2-15. 低分組實例一後測…………………………………………55. 圖4-2-16. 低分組實例三後測…………………………………………55. 圖4-2-17. 低分組實例四後測…………………………………………55. 圖 4-3-1. 第一群錯誤類型一…………………………………………58. 圖 4-3-2. 第一群錯誤類型二…………………………………………58. 圖 4-3-3. 第二群錯誤類型一…………………………………………59. 圖 4-3-4. 第二群錯誤類型二…………………………………………59. VIII.

(10) 圖 4-3-5. 第二群錯誤類型三 …………………………………………59. 圖 4-3-6. 第二群錯誤類型四 …………………………………………59. 圖 4-3-7. 第三群錯誤類型一 …………………………………………59. 圖 4-3-8. 第四群錯誤類型一 …………………………………………60. 圖 4-3-9. 第四群錯誤類型二 …………………………………………60. 圖 4-3-10. 第四群錯誤類型 ……………………………………………60. 圖 4-3-11. 第四群錯誤類型 ……………………………………………60. 圖 4-3-12. 第五群錯誤類型 ……………………………………………61. 圖 4-3-13. 第五群錯誤類型 ……………………………………………61. 圖 4-3-14. 第一群實例一 ………………………………………………63. 圖 4-3-15. 第一群實例二 ………………………………………………63. 圖 4-3-16. 第一群實例三 ………………………………………………63. 圖 4-3-17. 第一群實例四 ………………………………………………63. 圖 4-3-18. 第二群實例一 ………………………………………………65. 圖 4-3-19. 第二群實例二 ………………………………………………65. 圖 4-3-20. 第二群實例三 ………………………………………………66. 圖 4-3-21. 第二群實例四 ………………………………………………66. 圖 4-3-22. 第五群實例一 ………………………………………………66. 圖 4-3-23. 第五群實例二 ………………………………………………66. 圖 4-3-24. 第五群實例三 ………………………………………………67. 圖 4-3-25. 第五群實例四 ………………………………………………67. IX.

(11) 第一章緒論本研究旨在探討國小四年級學童其正整數乘法的知識結構，利用徑路搜尋分析了解學童解題概念，本章共分為五節，第一節敘述本研究之研究動機，第二節敘述研究之目的，第三節敘述研究之待答問題，第四節界定本研究的相關名詞，第五節論及研究之限制。. 第一節研究動機教育是幫助兒童成長的事業，教師是兒童智慧成長的響導，響導必須了解旅途的終點及出發點，同時能密切注意兒童的學習過程給予適當的引導，而評量只是了解學生學習成果的ㄧ種手段，依Webb（1993）的定義：評量是對於ㄧ個或一群學生之知識綜合解釋。教學與評量是ㄧ體兩面，兩者缺一不可，透過評量來了解教學的成效，教師用心改進其教學方法，教師及學生透過評量結果，了解學生的學習情形，而調整教學方法與學習策略；教育行政機構也需透過評量活動及客觀的評鑑，了解教育政策的缺失，進而修正政策，促進教育績效。教學評量可幫助學生達成課程目標。但評量及其結果不可以被解釋為教育經驗的終點；反之，它是達成教育目標的手段。透過教師安排一個適合學生學習的環境，運用生活中的情境來佈題，使學生學習的舊經驗能與歷程不斷連結並產生意義，讓學生去解釋自己的想法，也了解、思考別人的想法，最後能完成學習。國民小學九年一貫課程綱要中，國民教育數學課程的目標，須能反映下列理念：(一)數學能力是國民素質的一個重要指標；(二)培養學生正向的數學態度，了解數學是推進人類文明的要素；(三)數學教學（含教材、課本及教學法）應配合學童不同階段的需求，協助學童數學智能的發展； (四)數學作為基礎科學的工具性特質（教育部，2000）。在數學課程教學 1.

(12) 上，常將課程分成二階段：第一是觀念、第二是計算。然而計算並不只是機械式計算或運算而已，一般認為純熟的進行解題才可稱為熟練數學的計算或運算，這必須在學生能在理解數學概念或演算規則的情況下才能達到。熟練的演算數學問題，需同時連結與落實新、舊數學的觀念。所謂演算能力是透過理解並能將觀念與計算結合的能力，演算是學童獲得新數學經驗的方法，學生學習下一階段新主題所需的具體經驗是由新的經驗而形成。學童能充分運用加、減法以及個位數乘法的演算能力，和能養成簡單心算的能力，來累積計算多位數的經驗是透過傳統的直式乘法。這種能力能增強學童的自信心，是因為學童對數字的內在邏輯有較流暢的感覺。相反的，沒有效率、容易造成錯誤的演算法，卻會加深學習的沮喪感，使學童逐漸放棄學習。在一般教師數學教學經驗中，加、減、乘、除，一直是學童在數學領域學習的重點，而乘法概念更是其中重要的一個環節。在一般人的直觀看法，以及傳統的數學教育課程中，皆認為加減法是乘除法的前身或基礎（林慧麗，1991）。而從二年級上學期才開始接觸乘法概念的學童，剛具有加法、減法概念的基礎，對於乘法一直有著模糊的概念。學生的解題依抽像的程度可分為直接表徵、加法運算、乘法運算，直接表徵是指以具體物呈現問題的情境，然後依賴一一點數具體物來求得答案，只是數詞序列的使用，不需要計算；加法運算是指需要使用到加法的合成運算，可能會用到具體物，也可能只是心算或達到自動化計算；乘法運算則是指使用乘法事實或推衍乘法事實來找答案（陳淑琳，2002）。可見學生學習乘法的概念是由加法延伸而來，四年級學生以達到合成性巢狀數數概念（李光榮， 1997）。在日常生活中，正整數的乘法是常使用的一部份，正整數乘法被視為是最簡單的乘法運算（林原宏，1994；Bell,Greer,Griomison,＆ Mangan,1989）。因各家版本的不同課程的安排上，對於正整數乘法的教 2.

(13) 材內容著墨的重點也不同。甯自強（1993c）主張正整數乘除法運思的啟蒙主要是源於解決量的單位量間的變換問題。乘法被視為把新單位量所表示的量化為原單位量表示的量之單位量轉化活動。許美華（2000）不少學童在教學單位轉換與倍數的觀念以後，對於高低階兩個單位之間的關係仍無法完全理解；對於倍數語言的轉換雖然流利，卻無法適切的解釋與表徵出倍數的意義。不同類型與數字大小不同的乘法問題對學童的解法產生了影響，因此教師在教學過程中可以利用各種類型或數字大小不同的乘法問題來幫助學童增加解題策略的種類與了解乘法的意義。陳淑琳（2002）在解題執行的錯誤方面，發現學童會受數值的影響，當數值大時計算容易發生錯誤；運用乘法計算試題中容易發生的錯誤則有加法計算的錯誤、單位數的錯誤、單位量的錯誤、混淆兩階單位的錯誤、基本乘法的錯誤。而學童粗心大意、舊經驗不了解題意與不了解乘法的意義，均是造成學童解題表現不理想的原因。黃韋蓉（2004）發現學童在乘法問題中的解題表現大部分的學童都使用乘法解題（直式或橫式），此外題目的呈現方式也影響學童的解題模式，當呈現一題乘法文字題時，單位量與單位數的出現順序不同，對學童的解題有相當的影響，有部分的學童會直接以題目中數字出現的順序作為列式的順序。研究者在七年中年級的教學過程中也發現學童解題常依據數字出現的順序解題，對於乘法概念是懂非懂，單純的計算問題大部分學童能透過熟練的直式乘法解題，少部分學童對於計算乘法進位有問題，不了解直式乘法的意義；學童在應用文字題解題方面表現較不理想，可見學童在乘法概念學習中只了解機械式的計算，乘法概念還須再加強。運用徑路搜尋所繪製出來的知識結構圖，可以供作分析、診斷學生的錯誤概念之用，進而能夠針對學習缺陷之處提出適當的補救措施，可以改進傳統紙筆評量方法之不足，提供極具參考價值的診斷資訊（余民寧、林 3.

(14) 曉芳、蔡佳燕，2001)。Jonassen, Beissner, & Yacci（1993）指出，徑路搜尋法除了可以提供客觀的知識結構指數作為評量依據外，亦可以概念聯結的網路結構方式來表徵知識結構，藉此提供個體概念組織的重要訊息。因此本研究選用徑路搜尋來分析國小學童之正整數乘法概念知識結構，以瞭解學童正整數乘法概念之知識結構圖。近年來針對乘除法的研究不在少數，但是針對四年級正整數乘法的解題探討卻屈指可數，故本研究擬用徑路搜尋之分析技術，來測量教學前、後學生正整數乘法文字題知識結構的改變，藉以了解學童在教學前、後知識結構之間的差異，以瞭解學生的學習歷程，以便教師在教學歷程中掌握學生學習的迷思。. 第二節研究目的本研究主要目的在於探討國小學童正整數乘法的迷思概念，並針對不同情境類型的乘法問題（量數同構型、叉積型與多重比例型三種）與不同大小的數字範圍（多位數乘以一位數、二位數乘以整十、二位數乘以二位數、三位數乘以二位數與四、五位數乘以二位數）對學生的解題活動會造成的影響，提供一些教學策略，讓學生了解自己存在那些迷思概念，能及早改進。透過徑路搜尋的方法，探討教學前、後學生的知識結構圖的差異，並以集群分析探討不同集群的學童，其知識結構圖的差異。. 4.

(15) 第三節待答問題基於上述研究動機與研究目的，本研究之待答問題分述如下：一、教學前、後，學生在正整數乘法類型其解題能力是否有差異？（一）以多變量變異數分析全體學生教學前、後的解題表現？（二）分析不同乘法情境類型概念，教學前、後學生的解題表現？？（三）分析不同位數之乘法概念，教學前、後學生的解題表現？二、探討教學前、後，正整數乘法概念其知識結構圖的差異？（一）比較教學前、後能力值相近似平均值之知識結構。（二）分析教學前、後，原始分數相同但能力值不同的學生，其知識結構圖的差異。三、運用集群分析探討教學前、後，正整數乘法概念其知識結構圖的差異。 (一) 運用集群分析探討正整數乘法概念學習成就表現。 (二) 運用集群分析探討正整數乘法概念學習成就知識結構。（三）運用集群分析探討教學前、後正整數乘法概念能力組別學習成就表現。. 第四節名詞解釋（一）四年級學生本研究中所指的四年級學生是指於九十二學年度入學的學生，並在二、三、四年級接受過正整數乘法概念教學的學生。學生所使用的版本為康軒版數學教科書。. 5.

(16) （二）集群分析集群分析是多變量分析的一種，根據相似性客觀地將相似者歸集在同一集群，有階層集群分析 (hierarchical cluster analysis) 和非階層集群分析 (non- hierarchical cluster analysis) 兩種。本研究所利用的集群分析方法是 K 平均數法 (K-means methods) ，即先假定集群的個數為 K，將所有觀察值分成 K 群，然後依各觀察值到中心點距離遠近重新移動，使各觀察值將移至最靠近的群體中，此時再計算各群體的新中點，這時繼續再移動各觀察值到最近的群，這樣不斷重複，直到不能再重新分派為止。. （三）知識結構所謂知識結構 (knowledge structure) ，係指學習者透過內在的認知歷程，將數個單一概念組合之後所形成的組織。. （四）徑路搜尋徑路搜尋是 1985 年由美國新墨西哥州立大學 R. W. Schvaneveldt 教授領導的團隊開發出來的知識結構分析方法，可用來評量、表徵、分析學習者在某個學習領域所習得的知識結構。其軟體稱為知識網路組織工具 (Knowledge Network Organizing Tool，簡稱 KNOT) ，用以分析知識結構。. 第五節研究限制本研究為立意取樣，以台中縣國民小學四年級227位學生為研究對象，學校位於都市與鄉村的邊陲地帶，故所得結果不宜推論至其他都會地區、不同年級的國小學生與使用不同版本之四年級學生。本研究以國小四年級學童為對象，針對正整數乘法概念進行研究，並. 6.

(17) 透過徑路搜尋的方法，探討學生在教學前、後其解題表現與知識結構差異。在研究過程中，由於一些難以控制的客觀因素的影響，故產生研究的限制：一、樣本的限制考慮研究者的能力、時間及經費等因素，本研究樣本來自於台中縣國民小學做為研究對象，因此對研究結果的推論有所保留。二、研究內容上本研究旨在探討國小四年級學生之正整數乘法概念其解題表現與知識結構，然而，在教育現場中，影響學生正整數乘法概念建立的因素頗多：學生個人情緒不佳或身體不適；學校外在因素如活動過多影響學生學習成效；師生關係緊張造成學生不願意學習；題目因素上，本研究就情境類型 (量數同構型、叉積型及多重比例型)加以探討，其他因素則不包括在本研究的範圍內。三、研究方法上的限制測量知識結構的方法相當多，各有其特色與限制。本研究透過徑路搜尋的方法，探討學生教學前、後正整數乘法概念知識結構圖的差異，其餘測量知識結構方法，則不包括在本研究的範圍內。. 7.

(18) 第二章文獻探討本研究的目的在於了解教學前、後學生正整數乘法的知識結構的改變，在本章節分三節將探討學生有關乘法概念、知識結構、徑路搜尋之相關文獻。. 第一節乘法概念壹、概念的學習現代二十一世紀是屬於知識經濟時代，運用概念學習可以讓我們掌握龐大的知識庫增進學習，認知發展理論認為有意義的知識是從內心產生的，並不是從外面強行獲得的，真正的知識需要洞察和了解，藉由洞察或了解的學習實際上是一種解決問題的過程。獲取知識需要的不僅是累積資訊而已，真正的學習意味著改變思考模式。更明確地說，學生改變思考方式是因為知識的連結改變組織知識的方式。數學的發展所需要的，除了儲存起來的資訊之量的改變外，還有思考方面質的改變也很重要。對知識的發展而言，改變思考模式是很重要的。余民寧（1997）認為當學生在從事一項新學習任務時，其所帶入學習中的最重要事項就是概念，透過概念的學習與傳達，學生才能獲得新知識。一、概念的定義概念可以定義為以同一種類或同一詞彙命名的物件（objects）或事件（events）的共同屬性（common attributes）（Tennyson & Park, 1980）。概念是包括主要屬性(attribution)或特徵(features)的同類事物之總稱 (鄭麗玉，1993)，例如，桌子有許多種類與造型，吃飯的餐桌、寫字用的書桌、會議桌、辦公桌…等，但是它們有共同的特徵，有一個朝上的平面，可以讓人們處理事情的地方，這就是「桌子」的概念。概念的基本意義為個人對一組觀察事物或其特質的行為反應，可分為具體的概念(concrete concept)與定義的概念(defined concept)，具體的概念如「鳥」、「圖」、「顏色」…等，以視覺上的特徵為分類的依據；後 8.

(19) 者如「溫度」、「舅舅」、「聲音」…等，無法從視覺上予以界定，而必須以語言、文字或其他知覺來說明(徐綺穗，1995)。一個概念是一個象徵的建構(symbolic construction)，它用來代表外界事物或事件的共同性，概念之所以形成，是由於我們能夠對外界的事物進行歸類 (鄭昭明，1997)。藉著概念的形成，我們將訊息按概念分類處理，不須每一事物給一個名稱，可節省許多字彙及記憶上的負擔，因此可據以進行推理、決策或問題解決等思考活動，故概念形成可說是思考的基礎(鄭麗玉，1993)。二、概念的本質 Jantz 把概念的本質分成下列七點來說明（引自王啟章，2005）： 1.概念本身可以分門別類某些概念有固定的規則結構，主要屬性是以附加的方式結合，叫「連言概念」，如三角形是平面圖形，有三個邊、三個角，這些主要屬性缺一不可；某些概念的規則結構是不固定的，叫「選言概念」，如「分數」可能是比例、一個數或一個線段、…等，但不能同時涵蓋全部；另一種型式的概念是規則結構視相互間的關係而定，叫「關係概念」，如公因數是描述兩者中有相同因數的關係。因此不同型式的概念需要利用不同的教學策略。 2.概念須透過正例與反例來學習如正三角形是三角形(正例)，而非四邊形(反例)。 3.概念受社會背景所影響在社會及行為科學中，需透過社會背景或文化環境來為概念下操作性定義。 4.概念有定義及標記定義及標記令使用這個概念的人能相互溝通、了解，定義是明確的，但標記卻是人任意發明的，知道標記並不等於學生理解這個概念， 9.

(20) 也有可能因此造成誤導。 5.概念有主要屬性屬性可以幫助描述和定義概念，有些屬性是主要的，透過數個主要屬性(critical attributes)共同詮釋一個概念，如正三角形的主要屬性有：它必須是三角形、每個邊相等，且每個角相等。 6.概念有非主要屬性有些屬性只代表不重要的部分而對概念本身不具影響，稱為「非主要屬性」(noncritical. attributes)，例如大小是正三角形的非主要. 屬性。所有概念均包含主要屬性與非主要屬性，但有時學生會對兩者難以區別，甚至混淆。 7.概念學習牽涉概念性及程序性知識「概念性知識」(conceptual knowledge)包含基於某些標準來定義概念的能力，以及確認概念間關係的能力，當學生知道正三角形的主要屬性並能陳述清楚時，表示他有概念性知識；「程序性知識」(procedural knowledge)是關於區別相似概念的能力，當學生能應用定義，區別正三角形和其他種類圖形的不同時，他就具有程序性知識。概念學習在教育上的涵義即是藉由將概念具體意義化，幫助學生在概念的學習上有所了解，以促進學生能以抽象的方式使用具體概念，概念學習可視為是思考與解決問題的歷程。（余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001）數學概念的學習是一個包含聯結與認知因素的信息加工過程,其過程是由概念形成、概念同化以及數學語言學習去獲取概念意象, 再經過知覺水平應用與思維水平應用, 逐步形成概念域和概念系。形成概念域和概念系是數學概念學習的一個本質特徵（喻平、馬再鳴，2002）。. 10.

(21) 貳、乘法情境模式數學概念的發展是由具體的活動開始發展，隨著數學概念的擴展，讓學生在數學結構與真實情境中的關係愈難理解。而情境模式恰好提供真實情境與數學概念之間連結的某種管道（Greer，1994）。許多學者從各種不同的觀點，將乘法的情境加以模式化，其中因分類觀點不同而有不同之模式，如：Vergnaud (1983)從概念場中的乘法結構之觀點、Schwartz (1981)從內涵量和外延量的區別、Usiskin & Bell (1983) 是採用乘法應用的觀點對乘除法進行分析、Greer (1987)從情境和數系的雙向度觀點及Nesher (1987)是從語意的觀點對乘除法問題進行分析。茲將五種模式加以說明。一、Schwartz 模式 Schwartz (1981)的乘法結構是從問題中內涵量(intensive measures)和外延量(extensive measures)考慮。將乘除法分為(I, E, E ’ )、(E, E’ , E’’ )、(I, I’ , I’ ’)及(S, E, E’)的結構。E代表外延量，可經由數數或測量所直接獲得的量，可區分為離散量與連續量，外延量只包含一個向度(requirement)，用以計算、測量、數值，如：3公升、20 圈，可以直接相加且是整體測量的， I代表內涵量，內涵量是指兩個向量之間關係的描述，它源於外延量，是由二個外延量組成的，不可以直接相加，而且是局部可測量的。S為一常量(scalar)是沒有向度的量，S值通常是倍數、折扣、加成等。 Schwartz (1981)將乘除問題類型分為四種，如表2-1-1：. 11.

(22) 表2-1-1. Schwartz模式之乘的結構. 類型 (I, E, E’ ) 結構. 關係依三個量是已知或未知的關係，分為 (一)I ×E＝E’、 (二)E’/E＝I、 (三)E’/I＝E 三種類型。. 範例 (一) I ×E＝E’ 每人有 4 顆糖果，5 人共有幾顆糖果？ (二) E’/E＝I 有 27 顆糖果，分給 9 人，每人可得幾顆糖果？ (三)E’/I＝E 有 35 顆糖果，每人 5 顆，可以分給幾個人？ (E, E’, E’’ ) E×E’＝E’’ 布卡有 6 件 T 恤和結構由一個外延量 E 8 件牛仔褲，由 T 和另一個外延恤和牛仔褲搭配成量 E’ 相乘而產外出服，請問布卡生第三個外延可搭配出幾種不同量 E’’ 的外出服？ I×I’＝I’’ 是由一個內涵汽車一小時可行駛 (I, I’, I’’ ) 量 I 乘上另一個 80 公里，一天共可結構內涵量 I’而產跑幾公里？生第三個內涵量 I’’ S 為一常量布卡有 24 張遊戲是沒有向度的王卡，加魯的遊戲 (S, E, E’ ) 量，S 值通常是王卡是布卡的 4 結構倍數、折扣、加倍，請問加魯的遊成等戲王卡有多少張？. 說明相當於 Vergnaud 之量數同構型. 相當於 Vergnaud 之叉積型. 相當於 Nesher 之比較型問題. 二、Vergnaud 模式 Vergnaud(1983)指出單一的概念並不能只用一種情境說明，而且單一的情境也不能只用一種概念分析，必須以概念體(Conceptual fields)來研究，而所謂的概念體就是分析某一概念所需的一組情境。要熟悉概念場必須了解很多不同概念。就乘法結構的概念場而言需要使用一組乘法加法 12.

(23) 或結合如此運算的情境。這些情境可分為量數同構型（isomorphism of measuers）、叉積型（product of measuers）和多重比較型（multiple proportion）。表 2-1-2 類型. Vergnaud 模式乘除概念類型關係. 範例. 探討二個度量空間 M1 與 M2 的直接比例關係，每個度量空間均包含二個相異的數，M1 包含 x1 與 x2， M2 包含 f(x1)與 f(x2)，故其結構是探討四個值的關係。量數同構型. M1 M2 x1 f(x1) x2 f(x2) 在同一度量空間內 x1 與 x2、f(x1)與 f(x2)是常數倍的關係，在不同二度量空間內 x1 與 f(x1)、x2 與 f(x2)是函數的關係，依未知數所在的位置不同，分為「f(x2)：最終量未知」也就是「乘法」問題、「f(x1)：最初量未知」也就是「等分除」問題「x2：變換量未知」也就是「包含除」問題、及「x1：基本量未知」也就是「三的規律」問題。. 13. 類型. 每人有6顆巧克力球，7 「乘人共有幾顆巧克力法」球？問題將 32 枝鉛筆，平分給「等 8 人，每人得到幾枝鉛分筆？除」問題將 32 枝鉛筆平分給小「包朋友，每人得到 8 枝，含可分給幾人？除」問題超級市場裡 3 個布丁「三賣 27 元，布卡買 9 個的規布丁，需付多少元？律」問題.

(24) 表 2-1-2. Vergnaud 模式乘除概念類型（續）. 類型. 關係. 叉積型. 叉積是兩集合的積集合，由有序對所構成的集合，它由二個度量空間 M1 與 M2 的叉積合成，而產生第三個度量空間 M3。 (M2) x2 (M1) x1 f(x1, x2) (M3) 依未知數所在的位置分為兩類：「x1、 x2：最初量未知」也就是「除法」問題、「f(x1, x2)：複合量未知」也就是「乘法」問題。探討三個度量空間 M1、M2 與 M3，而 M3 度量空間與另外兩個獨立的度量空間 M1 和 M2 成比例關係。 (M2) x2 x2’ x1 f(x1, x2) (M1) f(x1’, x1’ x2’ ) (M3) 依所含的幾個量是否為 1，而分成兩類：(一)當六個值中的兩個值為 1 時，是探討四個值的關係，屬於「4 的規則」問題。依未知數所在的位置不同，可以區分為「乘法」問題、「等分除」問題、「包含除」問題；(二) 已知六個值中的五個值，求第六個值，則為「5 的規則」問題。. 多重比例型. 14. 範例. 類型. 張叔叔有一塊長方形的稻田，面積是800平方公尺，已知稻田的寬為40公尺，請問張叔叔這塊長方形稻田的長是多少公尺？張叔叔有一塊長方形的稻田，長為 20 公尺、寬為 4 公尺，請問張叔叔這塊長方形的稻田面積是多少？. 「除法」問題. 張叔叔家有5人，每人每天喝了2公升的水，請問張叔叔家4天一共喝了多少公升的水？張叔叔家有5人，4天共喝了40公升的水，請問張叔叔家每人每天喝了多少公升的水？張叔叔家有5人，每人每天喝了2公升的水，請問 60公升的水足夠供應張叔叔家幾天的飲用水？. 「乘法」問題. 張叔叔家有 5 人，兩人每週喝了 24 公升的水，請問張叔叔家 28 天一共喝了多少公升的水？. 「5 的規則」問題. 「乘法」問題. 「等分除」問題「包含除」問題.

(25) 三、Nesher 模式 Nesher (1987)參考 Vergnaud (1983)和 Schwartz (1981)乘法結構模式，將乘法問題分類為函數規則(mapping rule)問題、比較型(compare) 問題、乘法叉積(cartesian)問題三種，每一種類型命題結構可分為三部分，如表 2-1-3：表 2-1-3. Nesher 模式之乘的結構. 類型函數規則問題. 比較型問題. 乘法叉積問題. 範例布卡有4盒牛奶糖，一盒有12顆牛奶糖，請問布卡共有幾顆牛奶糖？. 說明 1.第一部份：說明一般的術語，有n 個x，每一個x有y，即存在有一個敘述是描述兩個值p(x,y)。(4盒牛奶糖、12顆) 2.第二部份：呈現一個映射規則是每一個x對應到y的關係，說明p(x,y) 中x與y的關係。(一盒有12顆牛奶糖) 3.第三部分：求共有多少個 y？(布卡共有幾顆牛奶糖）小智有 4 枝原子 1.第一部份：有一參考集合(基準筆，小丸的原子量)y有n個元素(小智有4枝原子筆)。筆數量是小智的 2.第二部份：有一特殊的函數關係， 3 倍，請問小丸有將每一個參考集合(基準量)y中的元多少枝原子筆？素對應到比較集合(比較量)x的關係 (當小智有1枝原子筆時，小丸有3 枝)。 3.第三部分：求出比較集合(比較量) 的元素共有多少個？ (小丸有多少枝原子筆) 小桃有 8 件上衣和 9 件裙子，由上衣和裙子搭配成外出服，請問小桃可搭配出幾種不同的外出服？. 1.第一部份和第二部份是描述兩個獨立的集合(8件上衣和9件裙子)。 2.第三部分：求出有多少個 z，z 是一個 x 與一個 y 的交乘積(一件上衣和一件裙子為一種搭配方式）. 15.

(26) 四、Usiskin & Bell 模式 Usiskin & Bell (1983)以乘法應用的觀點，將乘法的意義分成(一) 比例因子類(rate fector)或相同等集合問題(common equivalent set problem)；(二)交叉運作(cross product)或叉積;(三)大小改變類(size change)或常量問題(scalar problem)三種類型，如表2-1-4：表2-1-4 類. Usiskin & Bell模式之乘的結構型. 關. 係. 範. 例. 比例因子類或相同等集合問題. 此類型之基本運算為「比一瓶膠水賣10元，4瓶膠例因子×數量＝另一個水可賣多少元？量」。比例因子(一瓶膠水賣 10 元)×數量(4 瓶)＝另一個量(賣 40 元). 交叉運作或叉積. 由兩個量交互運作之小桃有8件上衣和9件裙後，會得到一個具有複合子，由上衣和裙子搭配成單位的量。外出服，請問小桃可搭配出幾種不同的外出服？第一個量(8 件上衣)×第二個量(9 件裙子)＝另一個具有複合單位的量(72 種不同的外出服)。. 大小改變類或常量問題. 基本的運算型式為：原始小智有 4 枝原子筆，小丸量×改變大小的比率＝改的原子筆數量是小智的 3 變後的量。倍，請問小丸有多少枝原子筆？原始量( 4 枝原子筆)×改變大小的比率(3 倍)＝改變後的量(12 枝原子筆). 五、Greer 模式 Greer (1987)主張透過乘法運算將情境給予模式化，是以符號STS、 SSS、SRS之乘的結構將乘除法問題加以來分類，其中STS是屬於不對稱性， SSS是屬於對稱型，如表2-1-5：. 16.

(27) 表2-1-5 Greer模式之乘的結構類. 型. STS (不對稱性). SSS (對稱性). SRS. 關. 係. 範. 例. 最初量 S 受到一種變換 T (transformation)造成另一個量 S。而依未知數所在的位置不同，又可以分為乘法問題(ST ∣S∣)、等分除問題（∣ S∣TS)、包含除問題(S ∣T∣S)三種類型。. (一) 乘法問題(ST∣S∣) 一條繩子長4公尺，8條繩子的總長是幾公尺？ (二) 等分除問題(∣S∣TS) 一條繩子長8公尺，分成2段，每段長幾公尺？ (三) 包含除問題(S∣T∣S) 一條繩子長 8 公尺，每 1 公尺分成 1 段，共可分成幾段？. 由二個量結合而成為第三個量。可應用於長方形的陣列(rectangular array)、組合 (combinations)、面積 (area)。. (一) 長方形的陣列問題有一張長方形會議桌，桌上擺滿布丁，直看有8行，橫看有4列，請問這張長方形會議桌共有幾個布丁？ (二) 組合問題小桃有8件上衣和9件裙子，由上衣和裙子搭配成外出服，請問小桃可搭配出幾種不同的外出服？ (三) 面積問題有一張長方形圖片，長是 9 公分，寬是 5 公分，請問這張長方形圖片的面積是多少？. 有一種關係 R(relation)存在於二個量中。. 小智有 4 枝原子筆，小丸的原子筆數量是小智的 3 倍，請問小丸有多少枝原子筆？. 以上五種乘法模式的意義是相同的，其差異在於分類的觀點有所不同。茲將其分析比較如表 2-1-6：. 17.

(28) 表 2-1-6. 各模式之乘除類型比較. 分類觀點 Schwartz 1981 內涵量和外延量 Vergnaud 1983 向量空間和向度 Usiskin 1983 應用＆Bell 模. 式. Greer. Nesher. 年代. 1987 對稱型和不對稱型 1987 組成結構. 乘. 除. 類. 型. (E,E’,E’’ ) (I,E,E’). (I,I’,I’’ ) (S,E,E’). 叉積型. 量數同構型. 多重比例型. 交叉運作. 大小改變. SSS. 比例因子型相同集合 STS. 叉積型. 函數規則. 比較型. SRS. 本研究是分析學生在教學前與教學後正整數乘法的解題，以 Vergnaud 模式為依據，因 Vergnaud 模式包含乘法與除法問題，本研究探索之主題為乘法，故工具理論以量數同構型的乘法問題、叉積型的乘法問題和多重比例型的乘法問題三種為基礎，除法部份非本研究主題，故不列入本研究工具之中，此外參考國內外相關研究及數學課程教材，以不同位數（多位數乘以ㄧ位數、二位數乘以整十、二位數乘以二位數、三位數乘以二位數、四或五位數乘以二位數）及數值大小，作為設計題目的依據。. 參、乘法解題歷程美國數學教師協會（NCTM）所公佈的「數學教育原則與標準」中提出數學解題是數學教育的核心能力之ㄧ，九年一貫課程綱要數學學習目標是「獨立思考與解決問題的能力」。可見數學解題在數學教育中佔重要的角 18.

(29) 色。數學解題的歷程中學生必須具備語文知識、事實知識。將問題中所陳述的句子轉譯，以了解問題情境中語句間的關係結構與意義；再將有關的資訊整合成為連貫的問題表徵，運用基模知識，整合過程需要認識問題的類型、認識有關及無關的資料、決定解答問題所需要的資料、用圖畫或符號來表示問題；利用策略知識，應用演算規則來完成解題。如表2-1-7國內外專家學著所提之解題歷程所著重的觀點各有所不同，各階段的劃分亦有所差異，但皆包含先了解問題、再擬定解題計畫與分析、進而執行解題、驗證等步驟，如缺一步驟，即會解題不成功。表2-1-7. 數學解題之歷程. 理論提出者年代杜威 1910 Polya 1945 Schoenfeld 1985. 階段一了解問題辨別問題瞭解問題閱讀. 吳德邦. 1989. 閱讀問題、探究. Mayer. 1992. 問題表徵：問題轉譯. 蔣治邦. 1993. 閱讀問題. 階段二解決問題計劃擬定計劃分析、探索、計劃選擇策略. 問題整合. 使用數學模式理解及簡化問題（引自蕭美琪，2003）. 階段三嘗試解答實行計劃執行. 階段四評估解答做出結論校核解答驗證. 解決問題. 複習、回顧及驗證解答問題解決：解答之實解答之計施畫與監控使用圖形模擬運算或符號來表徵問題. 解題的步驟大致上可分為：瞭解問題、擬定計畫、執行解題、驗證。茲將各階段敘述如下：一、瞭解問題：對於數學問題，受試者首先必須瞭解題意，然後再將文字題語言轉譯為數學語言，此階段對學生而言十分困難。 19.

(30) 二、擬定計畫：瞭解題意之後，學生必須判斷使用何種策略來進行解題。三、執行解題：解題過程中，學生根據擬定好之解題計劃及策略進行解題，隨時修正策略和克服困難以獲得答案。四、驗證：在獲得答案結果後，必須對結果進行驗算以校核答案的正確性，再次確定結果是否正確無誤。王翠玲（2004）高數學解題能力者由於先備知識充分，對於題意的掌握較明確，同時能夠利用舊經驗去選擇有效並且正確的解題策略，進行解題，其中也較會自我質詢策略的適當性及監控解決的方向是否符合題意的要求；至於低數學解題能力者由於先備知識不足，無法確認題意，不是打退堂鼓，就是執行盲目的解題；即使能夠瞭解問題，也常因不能妥當組織相關訊息，而只能作無意義的四則運算。綜合上述，學生的解題歷程基本上是以先瞭解問題之後、擬定解題計畫、而後執行解題、最後才是驗證答案。過程中造成學生發生錯誤解題的原因，可能出現在四個階段中的任一環，因此對於解題錯誤的學生，教師需分析學生問題所在，進而加強學生較弱的部份，提昇學習效果。. 肆、乘法解題表現學生學習的發展是新知識建立在舊知識的基礎之上，加法是乘法的下位概念，學生數數的發展是ㄧ個ㄧ數開始，而後發展成數個ㄧ數，當學生有數個一數時，其乘法概念即產生，也就是學童乘法概念的學習是從加法進入使用乘法來解題。對於正整數乘法意義的看法，Hiebert & Behr（1988）認為可分為三類：即認為乘法是來自累加、直積與指示量的變換合成，其中以認為乘法是累加模式最為兒童所接受。林碧珍（1991）國小兒童對於乘除法應用問題之認知結構的研究結論中提到，學童對於乘除法應用問題的了解，由易到難的題型順序為量數同構型、叉積型、比較型與多重比例型。在比較型、叉積型和多重比例型均. 20.

(31) 受到情境的影響，叉積型問題由易而難是面積問題、陣列型問題、組合型問題。比較型問題由易而難則是比例尺問題、倍數問題、折扣問題。多重比例型所涉及的量有四個已知量則以分離量比連續量容易，五個已知量則以連續量比分離量容易。黃韋蓉（2004）國小二到五年級學童在正整數乘法之解題表現得知，學童在組合型問題的表現最困難，而在其他的問題情境中，學童表現最容易的是乘法的改變與乘法的比較，雖然在乘法的改變比乘法的比較之平均得分較高，但是並沒有顯著性的差異，學童會在此兩個問題情境表現較佳，可能的原因是：在題目中直接看到「倍」的詞語，故可以知道直接使用乘法便可以算出答案。 Christou & Philippou（1998）研究二到四年級學童解一步驟文字題能力，將兒童依答對率高低，以四分位數分成四類；低成就、中下成就、中上成就、高成就，分析他們答對的問題，界定出認知發展的四個層次。其中乘法問題有等組型問題、比例問題、比較型問題、笛卡兒乘積問題及矩形面積問題等五種。處於第一層次的兒童將乘法視為累加，以此概念解等組型問題；第二層次的兒童了解等組型問題的結構；第三層次的兒童能解比較型問題；第四層次的兒童能解簡單的比例問題，但無法解笛卡兒乘積問題。丁春蘭（2003）探討國小六年級學生之乘除文字題的解題能力與後認知之相關性研究中得知，學生在各乘除類型中以量數同構型和比較型的解題表現為最佳叉積型次之，以多重比例型試題為最差，在分析學生錯誤類型中發現比較型問題錯誤最多的是「受多餘資訊干擾」、「選用錯誤符號」兩種；在量數同構型問題中各題錯誤最多的是「受多餘資訊干擾」，在多重群問題和度量累加問題中，就五種正確解題而言，學生使用之頻率高低依序為單價法、比例公式法、倍數法、累加法、交叉相乘法。換言之，學生對於乘的結構問題的解題，較喜歡用不同的度量空間的結構，而較不喜 21.

(32) 歡用相同度量空間二個量的比値。在多重比例型問題中各題錯誤最多的是「只處理兩個向量空間」，顯示學生在涉及三個度量空間的多重比例型試題中，容易只處理兩個度量空間，而忽略第三個度量空間。陳淑琳（2002）國小二年級學童乘法文字題的表現以等組型問題最佳，其次為陣列型問題和比較型問題，最難的是組合型問題。學童會受數值大小的影響，一位數乘以一位數的問題表現最佳，其次為二位數乘以一位數的問題，最難的是一位數乘以二位數的問題，當數值大時計算容易發生錯誤。不同分數組學童的解題歷程也有差異，高分組學童具有較佳的語文及事實知識且不受問題類型與數值大小的影響，計算速度快又正確；中分組學童受問題類型的影響；低分組學童則受問題類型與數值大小的影響。 Peled & Nesher(1988)發現兒童知道乘法問題有不同類型的存在，他們知道乘法的口語關鍵字，不一定會出現在問題中。等組型問題對兒童來說似乎是最簡單的，在三種笛卡兒乘積問題─陣列、面積、組合中，組合型問題是最難的。 Anghileri(1988)的研究探討學前兒童到小學高年級，各個不同階段的學童其對乘法的瞭解發展。分析孩子的解題策略其研究中發現，孩子對語言及訊息處理會造成其乘法的困難；而在計算的策略上，分為：乘法的計數步驟、計算群組、訊息處理能力及使用乘法事實。其建議每個個體都能夠擁有不同的乘法基模，其發展的技巧包含了等組群、陣列和多對一配對的建構，強化促成執行解決乘法問題的步驟。陳國雄（2006）國小四年級學童整數四則運算問題的解題策略與錯誤類型之研究，發現學童在整數四則運算所使用的策略有：使用擅長或最近才教的算法、由數字大小來決定運算符號、先猜測答案是大是小才決定答案。在解題的錯誤類型和原因如下：乘除法運算不熟練、錯用乘法運算符號、缺乏乘法結合律的基模知識、缺乏數學基本知識和概念、錯用資訊及 22.

(33) 已知條件、看錯題目數值、錯誤表徵列式、任意使用運算符號、算式表徵不完整。李俊仁（1992）研究發現國小三年級以後，乘法中常犯錯類型有運算值錯誤：受試者列出九九乘法表的答案，但運算值錯誤，如3×6＝21；運算符號錯誤：受試者用其他符號來運算，如3×6＝9；合法答案錯誤：受試者給的答案也是九九乘法表的答案，但兩個運算值都不是那個答案該有的運算值，如3×6＝16；非合法答案錯誤：受試者給的答案不是九九乘法中的答案，如3×6＝17。許美華（2000）將學生解決乘法問題的錯誤類型分為七類：多單位數、少單位數、加法、減法、二數顛倒、空白及其他。在訪談學生與其數學教師資料中，發現學生發生錯誤的原因大多是粗心、舊經驗影響、不了解題意與不了解乘法的意義所致。正整數乘法被視為最簡單的乘法運算，但有不少學生在教完單位轉換與倍數的觀念後，對於高低階兩個單位之間的關係仍無法完全理解，對於倍數語言的轉換與使用雖然流利，卻無法適切的解釋與表徵出倍數的意義，同時研究發現不同類型的乘法問題（等組型、直積型與比較型三種）與不同大小的數字範圍（一位數乘以一位數、ㄧ位數乘以二位數與二位數乘以一位數）對學生的解題活動會造成影響。陳瓊瑜（2002）研究發現低能力組受試學生在關係語句的理解困難；陳述句的含意的統整，也未能有效的運用乘法基模的知識來判斷問題的類型，尤其容易因單位轉換以及關係語句，而影響題意的整合；低能力組受試的計算技能不夠熟練，其計算的速度較慢，運算的步驟較多，且容易出現計算錯誤的現象；低能力組受試比較缺乏對整體之解題狀況的覺察。梅文慧（2003）所提到之，學生在計算錯誤的原因方面，主要為：因不了解題意而使用錯誤的運算符號計算、位值觀念錯誤所造成的計算方向錯誤及位值重組、兩數位數不同時重複計算的錯誤、進、退位時省略或添加數字造成計算錯誤。 23.

(34) 曾清文（2004）在受試學生的錯誤型態分析中，發現學生在三位數乘以一位數、一位數乘以三位數計算應用能力出現學習困難比率最高，各式錯誤型態中，有些學生是單一能力發生學習困難，有些學生學習出現困難時，亦會伴隨著其他能力學習困難的出現。在比較數學學習困難和數學表現優異學生的差異時，發現學生的乘法概念及進退位的方面為學生易出現的錯誤型態。曹郁玲（2000）國小六年級學生乘法概念數學解題溝通之表現分析，學生的數學解題溝通表現會因乘法概念的不同而有所差異，學生存在著不同的數學溝通類型。苗栗縣政府教育局（2007）九十五學年度辦理國民中小學學生學習成就評量測驗中發現，四年級學生答錯率最高的前 20 題試題中，面積和周長問題佔 7 題，顯示四年級學生對於面積和周長的概念混淆不清。林子幼（2002）新課程對於乘法啟蒙教材的處置上，區分成三個難度：一、能解決單位量的轉換問題；二、能紀錄解決單位量轉換問題的解題過程；三、用×號敘寫解決單位量轉換問題的解題活動紀錄。而乘法事實上是把高階單位表示的量化成低階單位量表示的量的單位量轉化活動，從量數之間的關係加以抽象化和分類，稱為乘法的運算結構。Vergnaud 之研究的長處在於它分析解決問題時所用的運算方法，所以比較偏重乘法的運算結構。一般人認為乘法是三個量數之間的關係，就像加法是三個量數之間的關係一樣。但 Vergnaud 認為乘法是包含有四個量數之間的關係。量數的同構（Isomorphism of measures）這類問題含有成比例的兩種量數，例如：均分--（錢數，人數），速率--（距離，時間），購物--（錢數，物數），線上的密度--（距離，樹數）等等。量數的乘積（Product of measures）此一結構由兩種量數結合成第三種量數，生活中常見的例子有：面積--（長×寬），功--（力×距離），叉積--（襯衫×裙子），體積 --（底面積×高）。多重比例（Multiple proportion）此種題目含有兩種 24.

(35) 量數與第三種量數成比例，例如：牛數、天數、與牛奶產量成比例。綜合而言，關於正整數乘法概念研究已很多，較多用Greer（l992）的情境模式；等組型問題(equal groups)、直積（Catesian product）、長方形面積（ rectangular area ）、比較型乘法（ multiplicative comparison）來分析，較少用Vergnaud（1988）向量空間和向度二方面來討論乘法問題的結構，因此本研究希望藉由Vergnaud的情境模式，透過不同位數和數值大小，了解四年級學生學習正整數乘法概念的迷思，以便進行補救教學，此外較少研究以知識結構觀點來分析學生正整數乘法概念，因此本研究以傳統試卷施測，藉由徑路搜尋法來分析學生正整數乘法概念知識結構，透過概念的連結發現學生解決乘法問題的錯誤類型，進而掌握學生學習迷思概念。. 25.

(36) 第二節知識結構壹、知識結構與知識表徵長久以來不同的學者對知識結構的定義因研究的重點、研究動機、觀點理論的不同，有著不同的見解。張新仁（1993）學習者將所學到的知識，在腦中形成一個有組織的層級架構，即為知識結構。江淑卿、郭生玉(1997) 認為知識結構存在於長期記憶中概念間的關係與組織，有助於個人進行儲存、提取和操弄等訊息的處理歷程。涂金堂（2000）知識結構是學習者經由認知過程，將所接收到的外界環境訊息，在腦中消化、吸收、重新組織成一個層級架構，再將它結構化的結果，也就是說知識結構是儲存在長期記憶中的一種心理結構。由此可知，知識結構的差異影響學生學習成就的表現，但我們無法直接看到知識結構的內涵，在了解知識結構時我們需透過知識表徵而得知。認知心理學家Solso（1995），歸納提出五種有關人類不同的知識表徵結構模式： 1. 群集模式（clustering model）在此模式中，評量方式是給予受試者一些不相關的字，讓受試者將這些字利用自由回憶（ free recall）的方式來分類，而這些被歸類在一起的字就是「群集」，也就是受試者對這些字的知識概念群集表徵。 2. 集合理論模式（set-theoretical model）此模式中，認為概念是以集合（set）或訊息彙整的方式來組織並表徵的，該集合可以以類別或類別之屬性或特徵來加以歸類。 3. 語意特徵比較模式（semantic feature-comparison model）此模式認為受試者是將知識視為以多向度空間所組成，知識概念在記憶中則是以一組「語意特徵」（semantic feature）來表徵的。每個概念意義由界定類別的定義性特徵（definingfeature）和概念所持有的特色 26.

(37) 性特徵（characteristic feature）所組成。 4. 網路模式（network model）在此模式中，知識是以各個獨立單元所聯結形成的網路方式儲存在記憶中，我們之所以能夠記憶每ㄧ個字，是因為它與一個複雜的「關係網路」（network of relationships）聯結在一起的緣故。 5. 神經認知模式（neurocognitive model）：在此模式中，認為知識分散儲存於許多的神經單元，每個神經單元不代表一個概念，知識是存在於神經單元（unit）間的聯結裡，並且以神經網路（neuronetwork）的組織方式來表徵的。余民寧（1997）在Solso（1995）提出的五種知識表徵模式中，認為「網路模式」最具應用價值，因為該理論模式隱含著重大的教育涵義。人類記憶裡的概念之所以能夠牢牢被記住是因為和一個較複雜的「關係網路」連結而且被貯存，所以對教學而言，學習者如果能將舊有的知識結構網路和新知識產生關係聯結，則新知識就能被轉化並記憶下來。. 貳、知識結構的測量知識是很抽象的，我們無法使用一般測量法測量我們的知識。學者對知識在我們腦內是如何組織的，研究出很多知識結構的測量方法。Koubek & Mountjoy（1991）就將測量方法分為四類，但這四類方法也各有其特點和限制（江淑卿、郭生玉，1997）： 1. 晤談法：此法透過晤談、放聲思考、原案分析、觀察或文件分析等過程取向的方法，以分析個體的知識結構。此法特色是能深入了解個體知識結構的內容，而其限制為所獲得的資料需透過主試者主觀的解釋且較難統計。 2. 分類法：此法是透過卡片分類、樹狀結構等分析方法，以分析個體的知識結. 27.

(38) 構。此法的特色是快速簡單，可瞭解結構的特質和變化，而其限制是無法處理團體平均的知識結構，結構性和系統性介於晤談法和量尺法之間，仍需要透過主試者主觀的解釋評分。 3. 圖解法：此法是透過訓練以幫助個體熟悉概念構圖技巧，將個體的概念構圖依據評分系統計分，以評量個體的理解能力。此法的特色是將知識結構的內容進一步量化，而其限制是評分時需要透過主試者主觀的解釋，無法免除主觀經驗影響。 4. 量尺法：此法是透過不同量尺化程序測量知識結構，此法的特色是以客觀和統計的方式，產生圖解以及和知識結構相關的量數，其限制是無法確實瞭解概念接近性所代表的意義。本研究為獲得客觀的數據，以便進行研究分析，故選擇量尺法。有關研究知識結構的量尺法包括集群分析法（cluster analysis）、多向度量尺（multidimen sional scaling，MDS）和徑路探測網路分析（pathfinder network analysis）等，其內涵、特色、限制如下（鍾世帆，2005）：. 28.

(39) 表2-2-1 內涵. 特色. 限制. 多向度量尺、集群分析與徑路搜尋之內涵、特色與限制. 多向度量尺從接近性矩陣，抽離出潛在構面，轉換呈現概念間的距離，即將概念安排在幾個最小數量的向度空間。能掌握知識結構的整體關係。. 集群分析法透過量尺化程序產生階層樹狀表徵，鏈結沒有命名，而以次序性量數呈現鏈結的強度。. 徑路搜尋透過徑路搜尋量尺化算則，將接近性矩陣轉換成徑路搜尋網路、圖解理論距離。. 能掌握知識結構的類別. 須主觀解釋向度的意義. 群聚階層的分割點亦須主觀決定。. 能掌握知識結構中概念間的關係，並能瞭解哪些關係較重要。鏈結沒有命名，較難直接瞭解結構型式，研究時可視需要才為鏈結命名。. 徑路搜尋以結構網路模式表徵知識結構，且可看出概念之間的相關性，因此本研究選用徑路搜尋來分析國小學童正整數乘法概念知識結構，以瞭解學童正整數乘法概念之知識結構圖；並配合集群分析的 K 平均數法（K-means methods），根據相似性客觀地將相似者歸集在同一集群，藉此了解教學前、後測集群分佈情形。. 29.

(40) 第三節. 徑路搜尋. 壹、徑路搜尋介紹徑路搜尋法於1985年由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室 Schvaneveld（1990）與其研究小組，研究發展出用以測量知識結構的方法，設計知識網路組織工具(Knowledge Network Organizing Tool，簡稱 KNOT)，用來執行徑路探測網路分析。在統計上，徑路搜尋網路是以圖解理論為基礎，它是以節點和鏈結相互連接方式來呈現網路結構，它使用徑搜尋量尺化算則(pathfinder scaling algorithm)，來計算節點與節點間的關係和位置，一個節點代表一個概念。而節點與節點之間的關係則為鏈結，但沒有命名，鏈結有鍊値它以距離權值表示其鏈結強度或表示語意上概念關聯的程度，也能預測學習者的學習表現。鏈結的特色是能表徵知識結構中概念與概念間的關係，並藉此了解哪些鏈結間的關係比較重要，但也因鏈結沒有命名，在解讀圖解時較難直接瞭解其網路結構型式 (Schvaneveldt, 1990)。. 貳、徑路搜尋過程徑路搜尋網路分析知識結構的過程大致分為三個步驟：徑路搜尋之引出知識、徑路搜尋之表徵知識結構、徑路搜尋之評價知識結構，茲就三個步驟分別說明及描述如下：（一）徑路搜尋之引出知識知識結構的引發可從字詞聯想法（word association）、卡片分類法（card sorting）、序列回憶法（ordered recall）與相似性評定法等評量方法獲得資料（涂金堂，2001），徑路搜尋法通常採用相似性評定法，產生一個接近性矩陣資料。先選定欲進行研究的一群概念，兩兩成對，由受試者進行判斷各配對概念間的相似性、關連性或心理距離值，如此將可獲得一個對稱性的接近性矩陣（proximity matrix，簡稱 PRX），這個接 30.

(41) 近性矩陣將作為資料分析的輸入值，徑路蒐尋網路分析會將此接近性矩陣轉換成資料網路（DATANET），或稱為完整網路（complete network），資料網路中每條鍊結的鍊值等於接近性矩陣元素的值。理論上，當網路上有 n 個節點，且每個節點間都有連結時，則形成（n（n-1））/2 條聯結鍊。然而相似性評定法雖具備客觀和施測簡易的優點，且研究者在編製量表的同時可以掌握研究所需涵蓋的概念，較具完整性，但發現受試者無法精確掌握其評定的標準，當概念數目較多時，此問題可能更嚴重(黃湃翔， 2004)。為改正上述缺失，本研究以傳統試卷施測，搭配試題反應理論與類似係數，求得學生在正整數乘法概念之接近性矩陣。 (二)徑路搜尋之表徵知識結構徑路搜尋法以網路模式和圖解理論為基礎，主要將知識引出之所產生的概念接近性矩陣資料以徑路搜尋量尺化算則(pathfinder scaling algorithm)轉換成距離矩陣和徑路搜尋網路(PFNET)，徑路搜尋網路重視鏈值，能掌握概念之間的相近性特質。在徑路搜尋量尺化算則在轉換過程中，需先決定 r 和 q 兩個參數，來計算徑路權值，當間接鏈的近似値小於直接鏈的近似値時，則保留間接鏈，淘汰直接鏈；若直接鏈的近似値小於間接鏈的近似値時，則保留直接鏈，淘汰間接鏈，故最後僅會保留權重總和最小的聯結鏈，也就是保留「最短長度的徑路」。今以圖 2-3-1 說明參數 r 和參數 q ： 1.參數 r 參數 r 用來決定兩節點間徑路長度的計算方式，若包含 k 個聯結鏈之路徑 P 的權值為 W(P)，則 W(P)的公式如下： 1/ r. k r  W(P)= wi  ，其中 1 r  i 1 . 當 r =1 時，則徑路的權值等於此徑路中聯結鏈權值的總和，聯結鏈 B-C-D 31.

(42) 的權值為 1+5=6。當 r =2 時，則徑路的權值就是運用歐基里德距離的運算方法，聯結鏈 B-C-D 的權值為 12 5 2  26 。當 r  時，由極限公式. . lim x r y r r .  max(x, y) 可得，徑路的權值等於此徑路中任一聯結鏈的最大 1/ r. 權值，即聯結鏈 B-C-D 的權值為 5。 2.參數 q 參數 q 用來限制 PFNET 網路中，徑路的最大數量聯結鏈，其範圍從 1 到 n-1 之間，n 表示節點數量。例如當 q =2 時，概念 A 與概念 C 間之鏈結方式，其聯結鏈的數目可能為 1 或 2，即可能為聯結鏈 A-C、聯結鏈 A-B-C、聯結鏈 A-D-C、聯結鏈 A-E-C 等，而聯結鏈 A-B-D-C 因聯結鏈數目等於 3，所以並不包含在內。如圖 2-3-1，當 r  , q =4 時，接近性矩陣經徑路搜尋量尺化算則轉換後，得到距離矩陣與最少徑路的徑路搜尋網路(涂金堂，2000；林曉芳、余民寧，2001；許淑貞，2003；黃湃翔，2004)。接近性矩陣. 距離矩陣. A. B. C. D. E. A. 0. 1. 3. 2. 3. B. 1. 0. 1. 4. 6. C. 3. 1. 0. 5. 5. D. 2. 4. 5. 0. 4. E. 3. 6. 5. 4. 0. 最短距離. r  , q =4. A. B. C. D. E. A. 0. 1. 1. 2. 3. B. 1. 0. 1. 2. 3. C. 1. 1. 0. 2. 3. D. 2. 2. 2. 0. 3. E. 3. 3. 3. 3. 0. 徑路搜尋網路. A B C. E D. 圖 2-3-1 接近性矩陣與徑路搜尋網路(改寫自 Goldsmith, Johnson & Acton, 1991) 32.

(43) （三）徑路搜尋之評價知識結構徑路搜尋網路之評價，主要是將受試者的徑路搜尋網路和參照結構進行比較，Goldsmith & Davenport (1990)認為比較兩個徑路搜尋網路的相似程度，可以區分為兩種方式，第一種是以圖形理論為基礎，計算節點之間距離的相關程度，如圖形理論距離指數(graphical theoretical distance，簡稱 GTD 指數)及接近性指數(proximity index，簡稱 PRX 指數)；第二種則以集合理論為基礎，計算兩個網路中相鄰節點交集與聯集的商數平均值，稱為相似性指數(closeness index，簡稱 PFC 指數或 C 指數)。三個指數數值越小表示受試者與參照結構越不相似（鍾世帆，2005）。. 33.

(44) 第三章研究方法本研究主要是在探討研究設計與實施的方式，內容共分為五節。分別敘述本研究的研究架構、研究對象、研究工具、研究流程、資料處理等五節加以說明本研究的歷程。. 第一節研究架構本研究之研究架構如下圖3-1-1 所示：評閱相關知識結構、正整數乘法的問題相關文獻. 正整數乘法概念學習成就前測教師各自教學. 正整數乘法概念學習成就後測. 知識結構 1. 學生知識結構圖與標準參照知識結構圖比較 2. 學生前、後測知識結構圖變化 3. 集群分析. 1. 學生在正整數乘法概念學習成就測驗前、後測的解題表現 2. 學生前、後測知識結構圖的差異 3. 以集群分析方法探討學生前、後測分群情形. 圖 3-1-1 34. 研究架構圖.

(45) 第二節研究對象本研究之對象係台中縣國民小學五年級四個班級的學生為預試施測之對象，正式施測之對象為四年級七個班級的學生。預試施測樣本總數共為127人，如表3-2-1。正式施測樣本總數共為227 人，如表3-2-2。整理後去除填答不完全及不適用的樣本，得有效樣本數為224人。表3-2-1 班級一班二班三班四班合計. 表3-2-2 班級一班二班三班四班五班六班七班合計. 預試施測樣本大小總數男生 17 20 19 18 74. 女生 13 12 14 14 53. 合計 30 32 33 32 127. 女生 15 13 16 17 14 15 18 108. 合計 33 29 33 34 31 32 32 227. 正式施測樣本大小總數男生 19 16 17 17 17 18 15 119. 35.