概念教學可以有很多不同的形式，數學學習首重結構概念，不應只有結果的計算記 述，重視數學結構和概念對應，學生對概念的理解才能更深（鄭振初，2011）。乘法推 理在每個領域每天生活中是一個關鍵能力，甚至在數學研究中也是。然而乘法推理是複 雜的概念領域，Increasing Competence and Confidence in Algebra and Multiplicative Structures（ICCAMS）為四年研究計畫，以乘法推理作為其一主題，對各領域都有幫助
（Brown、Küchemann, & Hodgen, 2010）。此研究結果顯示三分之二的八年級生和超過一 半的九年級生無法處理當比率為非整數時的乘法題目。有研究指出學生的概念很弱，無 法掌握題目概念。從各方面理由可見，教學並非很成功。
在純數學計算上，5×3 和 3×5 並沒有什麼太大的區別，兩者答案都等於 15，甚至 有些人會將此數學式子拆開，寫成：5×3=3×5=5+5+5=3+3+3+3+3。但在理化上，每一 個數字背後可能擁有不同的單位和物理概念，在做乘法運算時就有很大的不同。
乘法結構中，同型線性方程式：ƒ (x+x’)=ƒ(x)+ ƒ(x’)、ƒ (λx)=λƒ(x)、ƒ(λx+λ’x’)= λƒ(x)+
λ’ƒ(x’)，這些解法在課堂中不常教學生，也不適合直接教導學生。但若學生理解，在面 對問題時可以使用，以幫助延伸他們對題目的看法（Vergnaud, 1982）。
Vergnaud（1988）認為在數學題目中可歸納出三種乘法結構：
ƒ (λx)=λƒ(x) ，找 λ
ƒ(x)=αx，找 α
ƒ(λx+λ’x)= λƒ(x)+ λ’ƒ(x)，找 λ 和 λ’
物理中○ = ○×○形式，也多用此三種方法解題。在 ƒ (λx)=λƒ(x)，λ 為一數字沒有物
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理意義，稱之為比例法；在ƒ(x)=αx，α 有其物理意義，稱之為定義法；ƒ(λx+λ’x)= λƒ(x)+
λ’ƒ(x)，非正統數學會使用的算法，多用於非整數的時候，稱之為拆開法。拆開法類似
「街頭數學」（street math）的算法，街頭數學與一般學校所使用的數學語言並不相同，
在訓練有素的人眼裡看似步驟繁多瑣碎，但對於沒有學過很正統數學算法的人來說，自 有邏輯。例如：買 4 台車，一台車價錢 10 元，一共多少錢？計算方法可以記為 4×10、
10×4 或是其他方法。計算方法若是將一台乘以 4，車的價錢 10 元也乘 4，此「4」無單 位，只是利用比例關係求得答案，使用比例法；若計算方法為將 4 台車乘以每台車所花 費的錢 10 元，乘的「10」有單位為元/台（每台多少錢），為定義法；若將每台車的價錢 加 4 次，記為 10+10+10+10 元，此為拆開法。在算的過程中，即使都寫為 4×10，但其 關 係 結 構 是 非 常 不 同 的 。 甚 至 有 些 思 考 是 錯 的 ， 得 到 答 案 卻 是 正 確 的 ， 例 如 ： 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4 元，雖然算出來答案正確，但在此題目中是無意義的。
圖 2-2-1 比例法和定義法比較（改編自 Vergnaud, 1988）
陳瓊瑜（2002）發現國小學生在解題過程中，常無法運用乘法概念知識來協助其辨 識問題類型，導致用加法解題，或先用加法列式再用乘法解題。低數學能力者在解題執 行時乘法仍停留在累加，步驟較多。加法策略叫做建造策略（build up）（kuchemann, 1981；
Hart, 1981)，或稱為比率分解（rated decomposition）（Vergnaud, 1983），或是比率加法
（rated additon）（Carraher, 1986），變量隨著另外一變量改變的一致性（Brown, Küchemann,
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& Hodgen, 2010）。乘法結構依附在部分的加法結構下，但乘法結構仍有自己的本質組成，
無法完全縮小在加法之下（Vergnaud, 1982）。
Vergnaud（1982）在乘法結構中有很詳盡敘述，首先以兩個測量空間 M1和 M2之間 的簡單比例舉例，此兩側量空間描述一個情況包括：等加交換（人或物體）、一致價錢
（物品或消費）、等速度運動或平均速度一致（經過時間和距離）、密度（線、面、體積）
相同。可寫成：
圖 2-2-2 描述兩側量空間（引自 Vergnaud, 1982）
例如小明買四個蛋糕，每個 15 元，一共要付多少錢？在此例子中，M1是蛋糕數量，
M2是花費的錢，a=15，b=4。要如何求出答案，可能使用數量之間操作，先了解 1 和 b 之間的關係，了解 M1之間的轉換為乘以 b 倍，再連結到 M2之間的轉換，將 a×b。「 ×b」是 一個數字操作，並沒有任何單位，它是由兩個相同類型的數字組成的比率。此方法為此 文所敘述的比例法。
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圖 2-2-3 描述同測量系統之間的轉換（引自 Vergnaud, 1982）
學生也可能使用方程式操作，連結 1 如何變成 a，應用在 b 如何轉換成 x。
圖 2-2-4 描述不同測量系統之間的轉換（引自 Vergnaud, 1982）
在上圖中×a 是一個方程式操作因為它代表著 M1和 M2之間轉換的一致性，他的單 位是此兩維的商，例如每塊蛋糕的錢。此方法為本文所說的定義法。
而另一種方法 a+a+a+…（b 次），但他並非乘法算式，它只能顯現數字的步驟是倚 賴加法，在本文中為拆開法。跟它對稱的有 b+b+b+…（a 次），但這樣描述是沒有意義 的。
Double Number Line（DNL，雙數線）常用在教育上。常用在溫標換算，成比例關 係。此種計算方法可以視為比例法。DNL 可用於擴分或約分皆可，學生在解題時若能 用此方法，一目了然（Küchemann, Hodgen, 1997）。拆開法在表格題、圖題或是文字題 皆可使用。在簡單比率問題中，三種乘法結構都是可行的，使用公式算出答案者可能會
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居多，尤其在高中更是明顯。即使學校老師提供其他方法，然而只要提供方法中有一種 為公式解，學生大多會使用此方法。並非所有題目都可以使用拆開法，例如：題目不提 供實際數字，只提供變量之間的關係的條件，此時無法使用加法策略，若學生仍使用加 法策略時容易錯誤（Küchemann, Hodgen）。
圖 2-2-5 雙數線 Double Number Line（改編自 Küchemann, Hodgen, 1997）
在比率的乘法中，依難度將學生分為四個階段：第一、簡單整數比。像是×2 或×3，
包括對半。第二、比率包含×1.5，或使用建造策略（building up）：總數再加上總數的一 半。第三、問題包含分數或像是×123或學生可能使用建造策略或分數乘法。第四、非整 數的放大（例如 5：3）或連續排列的量問題，無法使用建造策略，使用建造策略無意義
（Brown, Küchemann, & Hodgen, 2010）。
Vergnaud（1982）認為乘法題目困難的地方在於反向題目，形式可寫為：
圖 2-2-6 乘法題目反向題目形式（引自 Vergnaud, 1982）
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例如：小美要分享她的糖果給小華和小一，她媽媽給她 12 顆糖，每一個人會拿到 幾顆糖果？在此題中，a = 3，b = 12，M1是小孩的數量，M2是糖果的數量。這類型的 題目在數字上將 c 除 b。有些學生在×b 變為÷b 時會覺得困難，會偏好假設 x，以 x×b=c 列式找出答案。這有點類似在減法題目中使用加法，去避免反向題目中困難。但只有在 整數且數字小的時候才有意義。然而當標準的程序為 c 除 b 時，學生容易計算錯誤。
概念有分成以下類型：一、結合概念：同時具備相加性質稱為結合概念。二、分離 概念：概念中屬性的組合可以為兩者選一，或是為兩者兼具的情形。三、相關概念：概 念中各屬性具有特殊關係。原則為兩個或多個概念間關係的陳述。概念分為「數」概念，
有些概念表示各概念間有特殊關係。只有各概念間關係確定才稱為原則，例如把乘改加，
最後數字即跟著改變。概念會隨著原則改變而改變，沒有概念就無原則（王克先，1968）。
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