從現場教學觀點探討學生學習具乘法結構的國中物理概念之困難

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(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班碩士論文指導教授：譚克平博士. 從現場教學觀點探討學生學習具乘法結構的國中物理概念之困難 On learning difficulties of similar symbolic forms in Physics by junior high school students from the perspective of Multiplicative Structures. 研究生：黃昕樺. 中華民國 102 年 7 月.

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(3) 從現場教學觀點探討學生學習具乘法結構的國中物理概念之困難中文摘要本研究旨在從乘法結構觀點瞭解學生學習國中理化中物理公式的學習困難。研究分為三個部份：一為對國中理化常見的單元進行概念分析、二為針對加速度和牛頓第二運動定律兩單元，蒐集民國 91 年到 101 年國中基測相關題目、乘法結構試題及翰林版習題中相關題目進行任務分析、三為由研究者自行編製的乘法結構測驗中，測驗 ∆𝑉. 𝐹. ∆𝑡. 𝑚. 學生的表現。乘法結構測驗使用調查法，工具為研究者研發，以 a= 、a= 此兩公式為例，以研究者自行編製不同結構題目進行施測。根據 Vergnaud（1988）提出的三種乘法結構：、ƒ(x)=αx、ƒ(λx+λ’x)= λƒ(x)+ λ’ƒ(x)中，此乘法結構為一種解題策略，研究者將此三種方法應用於物理中，稱為比例法、定義法、拆開法，研究者考慮在物理中成反比情況和公式法的拆開算法，另外提出三種乘法結構. 1 λ. α. 、ƒ(x)= 𝑥 、ƒ(x+x’)= αx+αx’。題目結構會影響學. 生使用的乘法結構，根據不同題目結構易使用何種乘法結構，研究者將區分為：定義結構、比例解構、拆開結構題目。施測題目包含此三種結構題目及反比題目，經由預試以及專家審查題目後進行施測。研究對象採用方便取樣，為新北市某國中三年級的學生，以研究者曾經任教過的三個班級進行施測，捨去幾乎完全空白的無效試卷後，採用有效問卷共 40 份。根據受試者表現以及高低分各取三位學生進行訪談，以了解學生解題想法以及所使用的乘法結構，再據學生作答以及晤談結果分析，除歸納學生學習困難外，盼從數學角度了解學生在物理公式上的困難。本研究重要的發現如下：(1) 學生會因題目結構不同而使用不同的乘法結構解題。 (2) 使用比例法時，有些學生無法掌握不變量且易忽略物理條件及意義。 (3) 學生對於變化量、牛頓、分析受力感到困難。 (4) 學生對不同乘法結構看法迥異。 (5) 基測題目聯結數越多其答對率越低。關鍵字：任務分析、乘法結構、物理概念、物理公式. I.

(4) On learning difficulties of similar symbolic forms in Physics by junior high school students from the perspective of Multiplicative Structures Abstract The purpose of this study was to explore junior high school students’ difficulties in learning physics equations when studying Physics and Chemistry with multiplicative structures. This study contains three parts. The first part analyzed the concepts of the common units in junior high school Physics. The second part collected the questions from the Basic Competence Test for Junior High School Students from 2002 to 2012, the multiplicative structure test questions, and exercises published by Han-Lin regarding the two units, acceleration and Newton's second law of motion, for the task of analyses. The third part tested students’ performances using the multiplicative structure test developed by the researcher. The method adopted for the multiplicative structure test was the survey method. The research tool was developed by the researcher. Two examples were used in ∆𝑉. 𝐹. the test, a= ∆𝑡 and a=𝑚. The test was performed with questions of different structures designed by the researcher. Vergnaud (1988) proposed three multiplicative structures:.. 、ƒ(x)=αx、. ƒ(λx+λ’x)= λƒ(x)+ λ’ƒ(x). Applying a multiplicative structure is a strategy to resolve a question. The researcher applied these three methods in physics and named them the proportion method, the definition method, and the decomposition method. After considering the cases of inverse ratio and calculations through decomposition of formulas in physics, the researcher proposed another three multiplicative structures: 1 λ. α. 、ƒ(x)= 𝑥 、ƒ(x+x’)= αx+αx’. Structures of questions might influence students’. choices of multiplicative structures to be applied. The researcher categorized questions based on suitable multiplicative structures as questions of definition structures, questions of proportion structures, and questions of decomposition structures. The test contained questions from all these three categories and inverse questions. After the pre-test and after the questions were reviewed by the experts, the test was performed. The research subjects were selected using convenience sampling. They were all third-grade students from a junior high school in New Taipei City. The test was performed in the three classes which the researcher had taught before. After the invalid questionnaires which were almost blank were discarded, a total of 40 valid questionnaires were used. II.

(5) Based on the participants’ performances and scores, three students of high scores, three of medium scores, and three of low scores were selected for interviews in order to find out their thoughts and multiplicative structures they used. According to their answers and the interviews, it was hoped that, besides summarizing students’ difficulties in learning, their difficulties regarding physics equations could also be explored from the aspect of mathematics. The important findings of this study are as below: Students used different multiplicative structures to solve questions of different structures. When using the proportion method, some students had problems with invariants and therefore may have easily overlooked physical conditions and meanings. Students felt frustrated with variables, Newton’s laws, and analyses of force. Students had different views on multiplicative structures. Higher number of associations of the task analysis on the questions from the Basic Competence Test for Junior High School Students led to lower percentage of correct answers.. Keywords: task analysis; multiplicative structures; physics conception; physics equation. III.

(6) 目. 錄. 第壹章緒論 ................................................................................................................. 1 第一節研究背景與動機 ..................................................................................... 1 第二節研究目的與研究問題 ............................................................................. 7 第三節名詞釋義 ................................................................................................. 9 第四節研究範圍與限制 ....................................................................................11. 第貳章文獻探討 ....................................................................................................... 13 第一節國中生學習理化的困難 ....................................................................... 13 第二節乘法結構 ............................................................................................... 20 第三節任務分析 ............................................................................................... 26. 第參章研究方法 ....................................................................................................... 29 第一節研究設計 ............................................................................................... 29 第二節研究對象 ............................................................................................... 33 第三節研究工具研發 ....................................................................................... 34 第四節研究流程 ............................................................................................... 43 第五節資料處理 ............................................................................................... 45. IV.

(7) 第肆章資料分析 ....................................................................................................... 46 第一節國中物理概念分析 ............................................................................... 46 第二節國中物理加速度相關題目任務分析 ................................................... 53 第三節乘法結構在物理中的分析比較 ........................................................... 75 第四節乘法結構測驗量化分析 ....................................................................... 83 第五節訪談資料及乘法結構測驗質化分析 ................................................... 92. 第伍章討論與建議 ................................................................................................. 100 第一節概念分析與任務分析研究發現之討論 ............................................. 100 第二節乘法結構測驗之研究討論 ................................................................. 105 第三節建議 ..................................................................................................... 117. 參考文獻 ................................................................................................................... 122 附錄 ........................................................................................................................... 127 附錄一. 乘法結構試題 ................................................................................... 127. 附錄二. 半結構晤談流程表 ........................................................................... 133. 附錄三. 翰林版習題任務分析 ....................................................................... 134. 附錄四. 乘法結構測驗評分標準 ................................................................... 138. V.

(8) 表次. 表 1-1-1 國中理化中乘法公式總表……………………………………………………02 表 1-3-1 三種乘法結構以及計算方法不同之處………………………………………10 表 2-1-1 運動學圖形國中生的答對率（陳秋萍，2004）……………………………16 表 3-1-1 研究變項………………………………………………………………………30 表 3-1-2 不同乘法結構算式及思考方法………………………………………………31 表 3-3-1 乘法結構試題題本架構………………………………………………………34 表 3-3-2 第一部分前十二題的架構圖（□為題目所求）……………………………..37 表 3-3-3 第一部分後十二題的架構圖（□為題目所求）……………………………..38 表 3-3-4 題目設計包含不同架構－擴分與約分題目……………………………….…39 表 3-3-5 第 B01-1、B01-2、B01-3 題修改過程…………………………………….…40 表 3-3-6 第 A11-1p、A11-2p、A11-3p 題修改過程……………………………….…..41 表 3-3-7 第一部分乘法結構雙向細目表……………………………………………….42 表 4-1-1 國中力學單元觀念及所需數學背景知識…………………………………….49 表 4-1-2 加速度在 F=m×a 和a 表 4-1-3 F=m×a 和a 表 4-2-1 a 表 4-2-2. ∆𝑉 ∆𝑡. ∆𝑉 ∆𝑡. ∆𝑉 ∆𝑡. 兩公式的比較……………………………………51. 兩公式在二維座標圖形上的意義……………………….52. 基測題目中各題答對率及任務分析的要件、聯結、階層數……….61. F=m×a 基測題目中各題答對率及任務分析的要件、聯結、階層數……..61. 表 4-3-1 F=m×a 中討論不同情況下正反比關係……………………………………..77 表 4-3-2 F=m×a 中不同情景所對應的 Vergnaud 第一型乘法結構公式………….....78 表 4-3-3 F=m×a 中不同情景所對應的 Vergnaud 第二型乘法結構公式…………….79. VI.

(9) 表 4-3-4 將以上所歸納的乘法結構拆開使用及對應 Vergnaud 的第三種乘法結構…80 表 4-3-4 物理中具乘法公式計算所使用的乘法結構總表…………………….…….…82 表 4-4-1 乘法結構測驗刪掉樣本之個人資料（單位：人）…………………….….…83 表 4-4-2 第一部份及第三部份各題的鑑別度及難度………………………………..…84 表 4-4-3 不同結構題目彼此的相關係數…………………………………………..……86 ∆𝑉. 表 4-4-4 F=ma 和 a= ∆𝑡 各結構的答對率………………………………………….…....89 表 4-4-5 各種變異數解釋學生整體表現之迴歸係數參數表………………………......90 表 4-4-6 各種變異數解釋學生整體表現之迴歸係數參數表………………...…..…….91 表 5-1-1. 加速度題目中以 v-t 圖解和代公式的任務分析步驟比較…………………103. 表 5-2-1. 定義法中使用不同的計算寫法………………………………………….…..108. 表 5-2-2. 學生在 A02-g 中使用定義法中不同的計算寫法…………………………..108. 表 5-2-3 學生在數學題中答題結果（單位：人次）…………………….……………115 表 5-2-4 學生在物理-等加速度運動題中答題結果（單位：人次）………….………115. VII.

(10) 圖次. 𝐹. 圖 1-2-1 a=𝑚 和 a. ∆𝑉 ∆𝑡. 兩公式共同蘊含加速度關係圖…………………………..……7. 圖 2-1-1 學生易讀錯軸例子（引自 Hale, 2000）………………………………………..18 圖 2-1-2 常見公式形式（引自 Sherin, 2001）……………………………………………19 圖 2-3-1 比例法和定義法比較（改編自 Vergnaud, 1988）……………………………….21 圖 2-3-2 描述兩側量空間（引自 Vergnaud, 1982）………………………………………22 圖 2-3-3 描述同測量系統之間的轉換（引自 Vergnaud, 1982）…………………………23 圖 2-3-4 描述不同測量系統之間的轉換（引自 Vergnaud, 1982）………………………23 圖 2-3-5 雙數線 Double Number Line（改編自 Küchemann, Hodgen, 1997）……………24 圖 2-3-6 乘法題目反向題目形式（引自 Vergnaud, 1982）……………………………….24 圖 3-4-1 本研究流程圖…………………………………………………..……………….44 圖 4-2-1 基測題目中任務分析中的聯結數量與答對率關係圖(斜線為趨勢線)…...….62 圖 4-2-2 基測題目中任務分析中的要件數量與答對率關係圖(斜線為趨勢線)…...….62 圖 4-2-3 基測題目中任務分析中的階層數量與答對率關係圖(斜線為趨勢線)…...….62 圖 4-2-4 基測題目中任務分析中a. ∆𝑉 ∆𝑡. 和 F=m×a 的學生答對率關係圖…...…………63. 圖 4-2-5 乘法結構任務分析中每題題目與學生答對率關係圖…...……………………74 圖 4-4-1 乘法結構測驗中男、女生在各題的答對率折線圖……………………………86 圖 4-4-2 乘法結構測驗中補習有無在各題的答對率折線圖……………………………88 圖 4-4-3 乘法結構測驗中對理化成績自評非常好及非常差的各題答對率………..….89 圖 4-5-1 編號 30113 學生對於 F-a 圖不同斜率關係解讀錯誤…………………………92 圖 4-5-2 編號 30309 學生認為不同斜率代表正加速或減速……………………………93 圖 4-5-3 編號 30203 學生作答錯誤使用正比擷取圖……………………………………94 VIII.

(11) 圖 5-2-1. 編號 30308(上)與 30112(下)學生填寫題目時無參考公式計算錯誤………107. 圖 5-2-2. Vergnaud 第二型乘法結構對應不同系統之間轉換………………..………108. 圖 5-2-3. a= ∆𝑡 -定義結構題目中學生所使用不同定義法表示形式……………...…...109. 圖 5-2-4. 一般乘法結構的題目之下學生所使用的乘法結構長條圖………..……….110. 圖 5-2-5. 比例結構的題目之下學生所使用的乘法結構長條圖……………………..110. 圖 5-2-6. 拆開結構的題目之下學生所使用的乘法結構長條圖……………………..111. 圖 5-2-7. 定義結構的題目之下學生所使用的乘法結構長條圖……………………..111. 圖 5-2-8. 一般乘法題目 A02-g 中學生在數字簡單的時候使用比例形式拆開法…..112. 圖 5-2-9. 表格題目中學生使用拆開法………………………………………………..113. ∆𝑉. 圖 5-2-10 編號 30309 學生在實際作答時先換算成一牛頓對應的加速度……….…..113 圖 5-2-11 編號 30309 先將數字換成整數後再作計算……………………..…………..113 圖 5-2-12 編號 30305 使用比的形式（左）、30203 學生使用比值形式（右）…………114 圖 5-2-13. 概念較差的學生比例法列式並未考慮寫法是否正確…………………….114. IX.

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(13) 第壹章緒論. 本研究旨在探討學生在國中學習物理乘法公式時學習的困難，以及了解在不同情景之下學生所使用的乘法結構策略。本章包括研究背景與動機、研究目的與研究問題、名詞釋義、研究範圍與研究限制。. 第一節研究背景與動機. 現今教育環境不斷改變，教育新一代的專業教師應能靈活轉換教學策略，使學生更能參與課程（楊明獻，2010）。研究者本身在國中階段最不喜愛的科目為理化，在國中時期時，對於物理中的許多公式、符號、計算、表格和圖形覺得十分複雜。回想起來，當時即使是答對的題目其實並非真正了解其背後的物理觀念，而只是代公式用數學湊合算出，加以選出答案。在實際教書後，研究者發現對於一般的國中生來說，理化是一門非常頭痛的科目，尤其在物理計算，有些學生認真聽講，懂得現象概念，但在獨自面對題目時，卻又答不出來；有些學生則是完全放棄觀念理解，看到題目即湊數字拼答案。從上課狀況來看，學生容易缺乏信心、委靡不振，從考試成績來看，理化總是所有科目中成績偏低的，且無論題目如何簡單，學生表現仍然不甚理想。實際教學環境中，理化課堂上學生表現出的焦慮情緒會使學習效率低，效率低又使情緒不佳，不斷循環下，造成情緒上以及學習上都有負面的影響（何東興，2005）。九年一貫課程綱要中分段能力指標提到，學生學習後應具有組織、歸納、推斷的能力，但從評量來看，學生能達到這樣能力的人少之又少。研究者不禁想問，對國中生來說，理化到底難在哪裡？希冀學生能有的能力基於研究者的背景，欲了解學生在理化學習的困難之處，國中生光是了解理化中的符號就有很大的問題，對於英文符號的害怕感、對中文讀題能力的不足、對數學. 1.

(14) 運算不熟悉、對物理概念的迷思…等，都有可能造成學生在學習理化上的困難。. 而若欲幫助國中生在理化的學習，勢必要能了解他們到底不懂在哪，相信這是所有身為國中理化老師想知道，也想努力欲解決的方向。在理化中有許多公式，公式有不同形式（Form），而像 F=m×a、V=I×R、M=V×D…等，這些公式的形式皆為「○ = ○×○」，但在不同單元裡面，當符號代表不同意義時，學生卻表現非常不一樣，是否因為其背後物理概念的難度所造成的差異？還是因為題目變化多寡所造成的困難？在此研究中，研究者希望能深入了解在此公式形式○ = ○×○中，不同的物理觀念導致學生作答的困難。以下為筆者整理國中階段理化中屬於「○ = ○×○」型的乘法公式總表：. 表 1-1-1 國中理化中乘法公式總表. 國二上. D. 𝑉. 𝑃%. 𝑉. 𝑚𝑜𝑙𝑒. 國二下. 國三上. 𝑀. ∆𝑥 ∆𝑡. 𝑚 𝑀. 𝑀. 𝑀質 𝑀液 𝑚𝑜𝑙𝑒質 𝑉液 ∆𝑉 ∆𝑡. a. 𝑓. 𝑣 𝜆. 𝑠. 𝐻 𝑚 × ∆𝑇. 𝑘. 𝐹 ∆𝑥. 𝑃. 𝐹 𝐴. 𝐹. 𝑚𝑎. 𝑊 P. 國三下. 𝑉. 𝐸 𝑄. P. I×𝑉. 𝑅. 𝑉 𝐼. 𝐼. F×𝑆. 𝐵. V 物 × 𝐷液. 𝐿. F×𝑑. 𝑊 𝑡. 𝑄 𝑡. 每個公式中蘊含著不同的物理概念，困難也不盡相同。而在國內研究理化學習方面，研究多著重於理化的某些單元，探討學生困難方面，多著重於探討概念部分，包含迷思概念或另有概念。廖焜熙（2001）針對整理民國 65 年至民國 86 年國內國中理化教材的 2.

(15) 實證研究發現：在課程的主要實證研究方向為診斷某一科學概念的理解情形；在實驗教材方面，主要發展科學過程技能、評量工具、診斷學習工具此三方面為主軸；而在物理、化學等科學課程中，探討與其他學科課程之間無關係的相關研究相對少，應加強相關的實證研究。. 傳統的物理教學觀認為：透過教師講解科學知識，再讓學生做大量的題目練習，學生就能夠了解科學概念（王宇航、郭玉英與曾路，2006）。但其實在物理教材中有許多部份，包含「數學」、「代號(符號)」、「圖表」，以及背後的「物理概念」，每個環節都可能造成學生學習的困難。. 舉例來說，代數符號語言在物理上擔當非常重要的角色，它能精確且簡潔表述公式間的關係（Sherin, 1996），但物理代號和數學計算對學生來說是困難的（何東興，2005），物理很常使用代號，每個代號有不同的意義，且代號與代號之間常利用數學的形式來表達彼此間的關係。老師希望學生能更了解其符號的意義，以及他們在使用符號計算時，是了解其意義的。用符號和圖表去表達概念，學生較能集中注意力在課堂上，也較能了解其概念的關係（Vergnaud, 1988）。Sherin 指出在教學現場，學生容易照著題目字面上的意思憑印象寫題目，或死記如何運用代號的流程。學生學習概念時容易鬆散沒有架構，但發展統整的架構是很重要且是必要的。Vergnaud（1982）認為有許多不同的程序和觀念，和不同的符號表述，這些皆包含在學生的課程內。在實際教學現場常常學習區分乘法、除法、分數、比率、線性方程式、數字分析、和向量空間等等，但這些數學名詞並非獨立，在題目中會同時出現，故要區分是困難也很不合理的。表示理化概念的想法時，數學的語言符號變得非常重要，尤其在物理方面。物理好的人大多具備很好的數學能力，數學好的人物理不見得好，故要使物理學得好，擁有數學能力是必要的，數學能力在理化學習中是一項重要的關鍵（何東興，2005）。老師可以幫助學生學習數學，但學生學習並非只有在教室內，老師必須注意學生「未經訓練的數學」觀念的累積，並且試著去 3.

(16) 發現以及轉變的可能性（Harel & Confrey, 1994）。圖形方面，在教科書中常被拿來使用，因為圖形能夠幫助學生學習，了解科學和社會科學的資料（何東興，2005；Shah & Hoeffner, 2002）。但學生在學習圖形時，是否真的能夠掌握呢？許多研究指出學生在圖形上有許多迷思概念，學習理化時使用圖形來表達對學生是好還是壞呢（陳東營、張惠博，1999）？. 在物理中，最重要的仍為物理概念。尤其在國中理化科所需要的計算主題相較高中物理並不多，國中教師應讓學生在學習理化時，真正了解理化概念，甚至能達到在日常生活中就能夠想起理化概念甚至應用理化的層次（艾文華，2011；陳東營、張惠博，1999）。在國中生理化解題過程，根據陳東營與張惠博研究指出國中生理化解題過程，可歸納成兩種：一為不了解代號定義就直接套公式為主的解題過程，二為清楚了解代號定義做計算的解題過程，分為公式組和主要概念組。若屬於不了解代號定義的學生，只是找到數據後直接代入，題目變化時，通常無法應用；清楚了解代號定義的學生，能與日常生活經驗做連結，他們習慣以圖像方式思考，對問題深入了解。陳東營與張惠博也提到影響國中生解題具有差異的因素包括：一、學生的因素：1.學生理解概念的程度、2.學生統整知識的方式、3.學生了解題意的程度、4.學生形成等式的過程。二、教師因素：1. 教師如何呈現理化概念、2. 教師解題教學題目的類型、3. 教師在教學強調的解題策略。徐順益（1999）認為解題能力含一般性和特定性兩層面，一般性層面為解題者在解題過程中能啟動的策略原則等宏觀系統，特定性層面包括宏觀系統底下的細節，並納入特定領域所需的事實、概念、程序、法則等。當物理應用在生活情境，例如運動學問題時，學生會覺得困難。特別的是即使學生了解數學的觀念，在運動圖形中仍有許多困難。 4.

(17) 學生的困難在於基礎觀念，基礎觀念的形成依個人經驗而異，學生會建立一些不正確但可以支持事實的原則，使得有些理化的迷思概念是來自於生活經驗（Hale, 2000）。但有時某些天真的想法卻可以提供一個基本的概念，支持他們對理化觀念的想法（Sherin, 2001）。物理概念多為抽象，學生腦中若沒有建立正確的物理知識和圖像，則無法將物理概念運用至新情境中（陳國慶，2011）。學生的概念架構發展從他們日常經驗中逐漸成熟，然而通常他們直覺地解讀這個世界與科學概念解釋並非相同。教師了解學生現有想法，發展成複雜的觀念是由許多小步驟組成的，錯誤的步驟可能會讓現象變得奇怪或無法解釋，而產生迷思概念。迷思概念被稱為先前概念，並非科學信仰，天真的理論混淆觀念，或是概念上錯誤的理解（Alwan, 2011）。科學的發展是為了幫助解決問題（Vergnaud, 1982）。在學生解決問題的歷程中，可分成五要素：問題轉譯、問題整合、解題計畫、解題執行、解題監控。其中問題轉譯為了解題目意思；問題整合為學生快速掌握題目大意後判斷該題目屬於何種類型題目，以及題目所牽涉到的不同單位轉換；解題計畫為學生須將目標分成幾個次目標，依序解題；解題執行為列出式子後的實際解題；解題監控為學生在解題過程中能隨時察覺自己的解題狀況，並時時回頭檢視以及調整（陳瓊瑜，2002）。利碧嘉的 ELPS 模式主要把學習分成經驗（E）和語言（L），相當於連結學生的直觀概念，語言可強化直觀概念，也可連結圖象（P），最後引入整個概念的表達符號（S）（引用自鄭振初，2011）。以理化為例，學生先讀懂題意，與知識背景結合後，連結圖象，最後以公式表達。在國高中所學到的物理中，比熱和電壓問題對學生來說比體積的問題來得困難許多（Vergnaud, 1988）。根據筆者教學經驗，在國中物理單元中，M=V×D 對學生來說比較簡單，V=I× R又太抽象，加速度同時融合兩個公式，且難度適中，對學生又有挑戰性，故本研究選用加速度相關觀念來分析。而學生在加速度有較多的迷思概念（陳秋萍， 2004），也是研究者想探討的原因之一。 5.

(18) 總結上述，若學生在使用符號、圖形時，若能理解其意義，則能幫助學習；若無法了解，則反而會造成學習的困難。而數學在物理上是很重要的能力，物理中用到大量數學，若數學能力不夠支持物理，會造成學習障礙。迷思概念是學生進行學習前已有的先備知識，對於現象知識的解釋異於專家課本，可能會表現在圖形、符號使用、數學使用、日常生活等各種形式上。研究者與指導老師討論在物理中有許多「○ = ○×○」的形式，無論每個公式的物理意義不同，或是即使題目的類型不同，其解法皆為乘法列式，故希望能從數學的角度來幫助了解學生學習物理的困難。在過去數學教育的文獻當中，可發現若把乘法視為具有不同乘法結構（multiplicative structure）的話，對於瞭解學生的學習表現有幫助，但由於本研究的主題是物理的運動學與力學方面，若把乘法結構視為是在物理情景中的解題策略可能更為有用。在此提到的乘法結構為數學列式的表示方法，是一種解題策略。乘法結構是否能套用在物理中思考？乘法結構所蘊含的意義在物理和數學不盡相同，在物理中所有乘法結構策略皆是從公式出發，且可解釋生活中的許多現象。課堂上老師教法皆相同，反觀實際面對題目作答時，學生是否皆使用相同的乘法結構策略呢？研究者希望能了解學生在不同的物理題目類型中的乘法結構策略，以及分析學生使用的方法，嘗試推測學生是否了解其背後的物理意義，盼能更了解學生學習的困難。在教學現場中，同樣形式（Form）的題目，當背後物理觀念不同時，學生的表現也不同。若能從乘法結構中探討學生在物理的表現，以了解學生學習物理的部分困難，進而了解學生計算物理時使用數學的實際的想法來修正教學，將會對學生有很大的幫助。. 6.

(19) 第二節研究目的與研究問題. 研究者基於上述研究背景與動機，本研究目的為：探討國中學生在學習物理乘法公式的困難以及了解在不同情景之下，學生所使用的乘法結構策略。根據研究目的，研究者從物理公式的形式（Form）著手，物理公式中同時包含物理概念以及數學，而在國中理化的眾多公式中，以○ = ○×○形式的公式最常見。在此乘法形式的公式所延伸的題目，學生使用的解法皆為乘法。但學生並非只使用單一乘法結構去解題，在不同的領域、題目形式中、或是不同背景的學生，會使用的乘法結構也會因此不同。學生所使用的乘法結構可視為一種習慣的心智模式，可能經由老師教學或向他人學習獲得。基於數學在物理的重要性，若能了解學生在物理中，在不同情景下使用的乘法結構，更能了解學生在面對物理情境的想法，進而修正教學。研究者希望能了解學生學習物理公式的困難，但物理公式眾多，族繁不及備載，無法逐一討論。在眾多公式中，選出符合物理公式形式（Form）為「○ = ○×○」、物理觀念難度適中、對學生具有挑戰性、可與其他公式比較者，與指導老師多次討論，決定討論 ∆𝑉. 𝐹. 有共同物理概念-「加速度」的公式：加速度基本定義（a= ∆𝑡 ）以及加速度與力的關係（a=𝑚）。. 圖 1-2-1. 𝐹. a=𝑚 和 a. ∆𝑉 ∆𝑡. 兩公式共同蘊含加速度關係圖. 7.

(20) 為了要達到前述的研究目的，本研究欲探討以下研究問題： 1a. 對「○ = ○×○」型中常見的國中理化公式進行基本物理概念分析，並從現場教學、與資深教師討論、以及文獻探討，可整理出一般學生對 F=ma 的學習困難為何？ 2a. 從國中基測近十年題目、國中自然與生活科技翰林版本習題中，針對牛頓第二運動定律、加速度定義的相關題目進行任務分析，可比較實際考試時學生所面臨任務和教師教學時的落差？可否從基測任務分析中線索預測學生的答對率？ 2b. 從乘法結構試題進行任務分析，可否能從任務分析的線索探討不同乘法結構學生的答對率？ ∆𝑉. 3a. 當學生在解 F=ma 與 a= ∆𝑡 的不同結構題目時，他們會傾向使用何種乘法結構的策略來進行解題？他們採用不同方法的原因為何？ ∆𝑉. 3b. 從乘法結構測驗中，可瞭解學生對於解 F=ma 與 a= ∆𝑡 題目所遇到的困難為何？是否能看出學生在學習哪一公式較為困難？. 8.

(21) 第三節名詞釋義. 有關本研究的重要名詞定義如下：一、比率比率與比不同，比率為探討兩個不同測度數量之間的比值，稱為比率。以密度為例，密度為質量和體積此兩種不同物理量的比值（葉建德、劉祥通，2005)。在題目中兩數量需符合固定倍數關係、情境可類推性、對應關係意義化三種條件，使用比的符號，才具意義性（林碧珍，2010）。比率可同時約分、擴分，且具有共變性和不變性。二、公式形式（Form）：物理有許多不同意義的代號所組成的公式，這些物理方程式精確地表達物理概念之間的相關，這些概念之間的數學運算子可能為「=」、「+」、「-」、「×」「÷」等。數學、物理中能夠歸納許多不同的公式，這些公式若擁有的概念（變數）個數相同、且數學運算子也相同時，可以歸納成同一型式（Form）。例如：V=I×R、F=m×a，其形式皆為○=○×○。物理公式中有許多形式，在此研究中只討論簡單乘法形式，不考慮其他公式的形式。三、乘法結構：乘法結構在此為學生所使用的解題策略。在物理「○=○×○」形式中，計算所用到乘法結構策略可歸納成三種：定義法、比例法、拆開法。定義法為探討背後物理意義，由定義去解題；比例法為了解其倍數關係，用比例擴分或約分去解題，其倍數背後無概念；拆開法為觀察其規律，用累加或減法計算，或以拆開方法方便計算。. 9.

(22) 表 1-3-1 三種乘法結構以及計算方法不同之處乘法結構. 計算方法. 定義法比例法. 從物理概念，能瞭解兩系統之間的定量為物理量只看同系統的倍數關係，其倍數本身無意義、單位. 拆開法. 發現規律，累加計算或使用拆開方法. 四、牛頓力學：力學以牛頓三大運動定律和萬有引力為基礎，故又稱為牛頓力學（林清凉、戴念祖， 2005）。牛頓力學第二定律 F  ma 在慣性系： F 是力， a 是物體的加速度，m 是物體的慣性質量（張元仲，2005）。. 10.

(23) 第四節研究範圍與限制. 因受限研究時間與樣本取得限制等因素的影響，本研究的範圍與限制如下：一、研究範圍 1、乘法結構部分的研究樣本選自新北市汐止區的學生，研究對象為新北市某完全中學國中部三年級學生，不一定可代表全部同年齡國中學生的認知與想法。 2、僅針對國中自然與生活科技第五冊中的加速度以及牛頓第二運動定律單元進行設計，而不涉及其他單元。二、研究限制 1、本研究對象的選取方式方便取樣，僅以筆者任教學校國中部三年級學生和北區學校作為研究的範圍，其研究結果比較與所取樣本或學校有關，而不宜過度引申。 2、圖的類型相當多，本研究工具中所採用的圖，僅針對運動學及力學中的二維圖形作為探討範圍。 3、本研究所有的測驗皆由研究者自行編製，且第一次實施，仍有許多改進之空間。 4、本研究主要探討學生在理化運動學、牛頓力學兩公式中的學生的思維及所使用的乘法結構，若要推論至數理其他主題，必須謹慎考量。 5、本研究對象因受到學生填寫意願、學生面臨升學等因素，故回收的有效份數只有約 40%。有一點不太理想，然而由於本研究為結合物理與教學的跨學科研究，是屬於創新的探索性研究，而且以回收的有效答案中可判斷這些學生有認真作 11.

(24) 答，故仍有參考的價值，因此本研究對這些學生作答小心進行分析，所得之研究結果宜視為是可推廣至學習同類型的認真學生，而不宜過分推廣至所有國中的學生。再者，本研究結果宜視為是屬於初步探索的結果，可供日後更大型研究作參考的依據，進一步澄清本結果的有效性。研究結果在探討學生困難可作討論，但在答對率等統計結果，會因回收的份數而有不同，在此不宜過度延伸。. 12.

(25) 第貳章文獻探討. 本章針對相關文獻作系統之回顧分析，說明乘法結構相關的研究及對理化難處探討。內容共分為五節：國中生學習理化的困難、變異理論、乘法結構、任務分析、學習心理學。. 第一節國中生學習理化的困難. 國中生學習理化的困難，文獻提到許多困難以及迷思概念，以下從不同角度審視，分成比率困難、圖形困難、物理方程式三部份述之。比、比值（ratios）、比率（rates）三個相似但定義不同的名詞，以下分別作解釋。比為兩數量的一種對等關係，可寫成 a：b 形式，其中前面的數字稱為前項，後面的數字稱為後項（Lamon, 1995)。若將 a：b 中的前項除以後項所得到的商，稱為比值（ratios），比值通常以分數形式呈現，可寫為a/b （Lamon；Milgram & Wu., n.d.），a 和 b 須為同一量度，可能為人、時間、長度等等。例如：一長方形長比寬為 7 比 3，寫成比值為 7/3。比值不可任意相加，例如：甲班男生 10 人，女生 30 人，男生比女生比值為 1/3；乙班男生 14 人，女生 16 人，男生比女生比值為 7/8，不可直接將兩比率相加。比值的單位必須相同，例如：四公里（km）比 8000 公尺（m），須把兩者單位換成一樣後，再以比例表示，可一齊換成公尺或換成公里（Milgram & Wu., n.d.）。Milgram & Wu (n.d.)表示若 A 和 B 為不同量度，那 A/B 就稱為比率（rates）。速度為常見的比率，速率的定義可以寫為距離除以時間，距離和時間不同向度，單位也不同。但同量度可以作換算，例如： 1 公里=1000 公尺，1 小時=3600 秒，故可作換算 36km/hr=10m/s。比率可以反推回去，例如物體作等速度運動，歷經一段時間後，便可推算速度變化值為多少。 13.

(26) 在物理中有很多公式皆是以比值形式表示其概念之間的關係，比值定義是以兩個物理量去定義一個新的物理量，例如：密度、速度、功率、比熱…等（艾文華，2011）。比率是探討兩個不同度量之間的變化關係（葉建德、劉祥通，2005）。當比率式中出現 bad numbers （壞數字）或 bad ratios （壞比率）時，或當比率小於 1（f(x)<x），會使題目變得困難（Vergnaud, 1988）。Vergnaud（1988）將比率問題分為簡單比率問題、複合比例問題。簡單比例問題中兩個變量有一定的關係，例如：價格、密度一致。如果物品價錢不為定值，變速度運動、會改變的密度這樣的題目就無法應用乘法比例。比例問題類型大致上分為哪幾種？根據題目的語意結構不同，可將比例問題分為熟知的量數（well-chunked measures）、部分-部分與整體（part-part-whole）、相關聯的集合（associated sets）、等比例放大縮小（stretchers & shrinkers）（Lamon, 1993）。比率在許多領域都有使用到，舉例來說，在物理學上有速度、密度、力、壓力…等，比率為兩值組成（Brown, Küchemann, & Hodgen, 2010）。研究提到兩個相等比值所構成的比例關係，具有共變性與不變性（郭佩儀，2007）。例如每隻筆五元，五隻筆二十五元，每隻筆的價錢固定為五元，此為不變性；原本為一隻筆，變成五隻筆，原本一隻筆的五元也同樣乘以五，此為共變性。圖形方面，過去的圖形研究指出，圖形為一種多功能教學媒體。可經由許多不同方法以增進學生的學習成效。圖形在教科書和教育軟體是非常常被使用的，圖形能夠幫助學生了解科學和社會科學的資料。然而，學生常常對於圖形描繪的資訊理解有困難（Shah & Hoeffner, 2002）。圖形能呈現概念之關係，利用空間上來對概念作解釋說明，圖形的種類有很多，如流程圖、示意圖、組織圖、剖面圖（Winn, 1991；引自藍雅齡，1988）。二維座標可以幫助學生更了解圖和讀圖（Friel, Bright, & Curcio, 1997）。學生理解二維座標的程度大致可分成五個階層：(1) 第一階層：根本不了解何謂測量，對測量量沒有概念。(2) 第二階層：了解一維測量，但在二維測量就無法理解。(3) 第三階層：受試者 14.

(27) 發現只有一維測量條件不足，似乎不足以將欲表達資料用點呈現出來，開始有需加入二維測量的觀念。(4) 第四階層：不是很成熟的二維測量。(5) 第五階層：真正成熟的二維測量(廖德富, 1996)。圖形提供學生另外的管道學習，對抽象概念的學習能夠更具體，圖形也可提高學生學習動機，集中學生注意力等功能（張玉枝，2001）。在沒有具體的數字可以計算二維座標係當中，促使往抽象的層次思考問題。凡牽扯到以二維座標的圖形輔助比率構念的教學，以二維座標的圖形作為輔助說明的工具（葉建德、劉祥通，2005）。但也有研究提到學生常常對於圖形描繪的資訊理解感到困難（Shah & Hoeffner, 2002）。會影響學生讀圖的三個主要因素：圖的視覺特徵（例如：格式、動畫、顏色、使用的說明、大小等等）、讀者本身的知識以及對圖的架構和基模的理解、圖的內容和讀者原本具有知識以及預期會從圖中得到什麼資料內容（Shah & Hoeffner, 2002）。圖可以幫助學生更了解其訊息，讀圖的過程大致可以分為三個階段：從圖中找資料數據、插入新語句和找資料的關係、從資料推斷和從圖中解釋關係確認（Friel, Bright, & Curcio, 1997）。在讀運動圖形，學生有許多的迷思概念。陳秋萍（2004）以 TUG-K 測驗探討國三學生在運動學圖形的表現，結果發現學生在讀運動學關係圖時，常產生錯誤的想法，詮釋方式錯誤。學生在加速度圖感到最困難，其次為速度圖、位置圖。對運動學圖形理解較好的學生明顯具有較正面的態度，認為閱讀運動學關係圖可以減少閱讀題目的時間，比只有文字可以更清楚表達題意。而對運動學圖形理解較差的學生容易有錯誤的看法，認為閱讀運動學關係圖反而會增加閱讀題目的時間，造成困擾。在運動學圖三種常見的錯誤：（1）以為圖上的圖就是實際上的運動情形（2）對直線斜率和點的高度感到困惑（3）有很多學生對 v-t 圖產生很多錯誤的想法。學生在找「斜. 15.

(28) 率」比找「點」來得困難，對於區分 x-t、v-t、a-t 圖也感到困難。. 表 2-1-1 運動學圖形國中生的答對率（引自陳秋萍，2004）類型. 題目求解. 答對率. x-t 圖. 判斷速度. 51. v-t 圖. 判斷加速度. 40. v-t 圖. 判斷位移. 49. a-t 圖. 判斷速度變化. 23. 學生對於區分運動學的 x-t 圖、v-t 圖、a-t 圖感到困難，大多學生認為判斷點較容易，判斷斜率較不易（Beichner, 1994)。許多研究顯示，對讀運動學圖形較差的學生，當情境較難時，會直接將 Y 軸讀出來的值視為答案，甚至在計算速度時忽略截距，仍將 Y 軸數值直接除 X 軸數值；在求速率的時候，也常常直接將線段的高度視為斜率，沒有考慮出發點的位置；也將各時段運動狀態混淆，對於平均速度、瞬時速度混淆，或是平均加速度與瞬時加速度混淆。學生常將「位置-時間圖」、「速度-時間圖」、「加速度-時間圖」混淆，「速度-時間圖」關係圖中線段為「斜直線」時，學生會以為物體為等速度運動而非實際等加速度運動。研究顯示，讀運動學圖形可能會影響學生的因素有：對運動學的了解程度、題目文字敘述、讀圖方式（先看圖或是文字說明）、對自我的預期、題目圖形中運動的複雜度等。綜合學生在運動學圖形詮釋的過程常見的錯誤類型（陳秋萍，2004；Beichner, 1994）：一、題目文字說明混淆：學生在解題時易受文字影響，如「最大」、「最小」、「變化量」 16.

(29) 等文字。例如當題目文字敘述「最大」時，學生常不去思考基本觀念，而是直接去尋找線段高度最高或是斜率最大的線段。二、將圖形直接視同軌跡：學生常無法作抽象思考，將「位置-時間圖」上的線段直接視為物體運動的軌跡圖，線段若向上表示物體向上運動；若線段為曲線，表示物體走曲線。直線運動讀圖能力較差的學生在進行位置、速度、加速度關係圖在轉化時，容易看題幹圖形直接選答相似的圖形。三、斜率視為高度：學生常將斜率與高度弄混，直接將 Y 軸的數值視為斜率。四、名詞觀念混淆：學生常以為當物體運動加速度一定時，速度也保持一定。五、斜率定義混淆：學生常不考慮起始位置，直接將 Y 除 X 求斜率。六、圖形混淆：「位置-時間圖」、「速度-時間圖」、「加速度-時間圖」的混淆。 Beichner（1994）認為在運動學圖形，學生常常有一些迷思概念，例如找不到彎曲線的斜率，或是當直線沒有通過原點，則不會求斜率。老師教學時的用詞也很重要，老師的用語常常會影響學生的學習。學生思維能力，難將 v-t 圖斜率所代表的意義具象化，則無法思考其概念。形象思維發展的如何或許為理解 F-m 圖和 v-t 圖的重點（陳國慶， 2011）。研究顯示，學生在運動學上常見的錯誤不是來自於迷思概念，而是誤解題意或其他簡單的錯誤。錯誤可能發生因為學生讀錯任何一軸，錯誤不盡然指出學生的觀念是錯的，例如位置和時間的關係圖中，有兩條斜率不同的直線詢問學生哪個物體在 t=2 時速度比較大，學生通常選位置離遠點較遠的物體 B（Hale, 2000）。. 17.

(30) 圖 2-1-1 學生易讀錯軸例子（引自 Hale, 2000）學生的困難在於運動改變的基礎觀念，這因個人經驗而異，應幫助學生察覺迷思概念經由活動連結數學觀念和實際經驗。研究顯示學生通常認為 x-t 圖 v-t 圖類似，數學和圖表有時會加深學生的困惑。例如：V0=-0.5m/s, a=-2m/s 請學生描述運動狀態，大多學生會覺得困難，無法正確地說出。運動學圖形的變量，包含位置、速度、加速度（Hale, 2000）。物理方程式用來表達精確的程序化，並且可以應用回答答案，成功的學生學習了解方程式基本的觀念（Sherin, 2001）。物理知識主要由公式構成，若想學好理化，則必須了解公式的意涵，若只是記公式而非了解其真正意涵，則無法正確理解及活用（邱新生， 2001；范建東，2000）。學生腦中存放著許多先前概念，這些概念具有廣泛性、頑固性、負遷移性等特點，這些特點會使學生難以理解物理、老師在教學上難失力。若要讓學生真正學好物理，必須重視學生的概念轉變過程，否則只是會計算，不懂得物理概念（王宇航、郭玉英、曾路，2006）。. 物理方程式有許多符號。符號本身是一刺激，這些刺激能引起人對它的固定反應，此為經過制約過程。符號本身無法代表概念，而是此符號所代表的意義。凡是具有共同屬性一類事務的全體，我們稱此名稱或符號所代表者為概念。語文符號在抽象概念學習者非常重要。小紅方形有大小、顏色、形狀三種屬性，概念中屬性越少，限制越少，越. 18.

(31) 容易學。概念中屬性越多，學習起來較為困難。符號意義化賦予某種符號的特定意義，符號表徵的抽象化超越最初學習的特定意義，抽象並擴大而為概念（王克先，1968）。學生太過依賴公式，又缺乏速率、距離以及時間的基本概念，只是一味看數字去套公式以求得解答（陳秋萍，2004）。Sherin（2001）將公式歸納成幾種型式，其中將 v=v0+at 歸納為 Base±change 型，有些學生會寫成 v=v0+1/2at2 ，顯然是與其他運動公式 X=X0+1/2at2 混淆。同樣型式的公式，也會因為背後的物理意義不同而有不同的難度。例如有一堆砂子，質量隨時間增加，增加速度為 R，原本質量為 P，可寫成 M=P+Rt，這樣的題目所有學生答對且無任何問題。但對於 v=v0+at 學生仍然覺得很難理解。可能原因為此公式中速度和加速度的定義都有時間，此兩個概念都與比率有相關，或 a 和 v 可能不同方向，造成正負號不同，容易混淆。. 圖 2-1-2 常見公式形式（引自 Sherin, 2001）. 理化在某些主題，例如「光、影」、「牛頓力學」、「物質變化」等主題學生學習起來比較困難，因此學生會出現一些錯誤的觀念。這些錯誤的觀念稱為「迷思概念」，或稱「另有架構」（廖焜熙，2001）。學生的困難在於基礎觀念，基礎觀念的形成因人而異，迷思概念來自於生活經驗，學生會建立一些不正確但可以支持事實的原則（Hale, 2000；Sherin, 2001）。這些變量以及變量之間的轉換也是造成學生學習物理的困難。 19.

(32) 第二節乘法結構. 概念教學可以有很多不同的形式，數學學習首重結構概念，不應只有結果的計算記述，重視數學結構和概念對應，學生對概念的理解才能更深（鄭振初，2011）。乘法推理在每個領域每天生活中是一個關鍵能力，甚至在數學研究中也是。然而乘法推理是複雜的概念領域，Increasing Competence and Confidence in Algebra and Multiplicative Structures（ICCAMS）為四年研究計畫，以乘法推理作為其一主題，對各領域都有幫助（Brown、Küchemann, & Hodgen, 2010）。此研究結果顯示三分之二的八年級生和超過一半的九年級生無法處理當比率為非整數時的乘法題目。有研究指出學生的概念很弱，無法掌握題目概念。從各方面理由可見，教學並非很成功。在純數學計算上，5×3 和 3×5 並沒有什麼太大的區別，兩者答案都等於 15，甚至有些人會將此數學式子拆開，寫成：5×3=3×5=5+5+5=3+3+3+3+3。但在理化上，每一個數字背後可能擁有不同的單位和物理概念，在做乘法運算時就有很大的不同。乘法結構中，同型線性方程式：ƒ (x+x’)=ƒ(x)+ ƒ(x’)、ƒ (λx)=λƒ(x)、ƒ(λx+λ’x’)= λƒ(x)+ λ’ƒ(x’)，這些解法在課堂中不常教學生，也不適合直接教導學生。但若學生理解，在面對問題時可以使用，以幫助延伸他們對題目的看法（Vergnaud, 1982）。 Vergnaud（1988）認為在數學題目中可歸納出三種乘法結構： ƒ (λx)=λƒ(x) ，找 λ ƒ(x)=αx，找 α ƒ(λx+λ’x)= λƒ(x)+ λ’ƒ(x)，找 λ 和 λ’ 物理中○ = ○×○形式，也多用此三種方法解題。在 ƒ (λx)=λƒ(x)，λ 為一數字沒有物 20.

(33) 理意義，稱之為比例法；在 ƒ(x)=αx，α 有其物理意義，稱之為定義法；ƒ(λx+λ’x)= λƒ(x)+ λ’ƒ(x)，非正統數學會使用的算法，多用於非整數的時候，稱之為拆開法。拆開法類似「街頭數學」（street math）的算法，街頭數學與一般學校所使用的數學語言並不相同，在訓練有素的人眼裡看似步驟繁多瑣碎，但對於沒有學過很正統數學算法的人來說，自有邏輯。例如：買 4 台車，一台車價錢 10 元，一共多少錢？計算方法可以記為 4×10、 10×4 或是其他方法。計算方法若是將一台乘以 4，車的價錢 10 元也乘 4，此「4」無單位，只是利用比例關係求得答案，使用比例法；若計算方法為將 4 台車乘以每台車所花費的錢 10 元，乘的「10」有單位為元/台（每台多少錢），為定義法；若將每台車的價錢加 4 次，記為 10+10+10+10 元，此為拆開法。在算的過程中，即使都寫為 4×10，但其關係結構是非常不同的。甚至有些思考是錯的，得到答案卻是正確的，例如： 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4 元，雖然算出來答案正確，但在此題目中是無意義的。. 圖 2-2-1 比例法和定義法比較（改編自 Vergnaud, 1988）陳瓊瑜（2002）發現國小學生在解題過程中，常無法運用乘法概念知識來協助其辨識問題類型，導致用加法解題，或先用加法列式再用乘法解題。低數學能力者在解題執行時乘法仍停留在累加，步驟較多。加法策略叫做建造策略（build up）（kuchemann, 1981； Hart, 1981)，或稱為比率分解（rated decomposition）（Vergnaud, 1983），或是比率加法（rated additon）（Carraher, 1986），變量隨著另外一變量改變的一致性（Brown, Küchemann, 21.

(34) & Hodgen, 2010）。乘法結構依附在部分的加法結構下，但乘法結構仍有自己的本質組成，無法完全縮小在加法之下（Vergnaud, 1982）。 Vergnaud（1982）在乘法結構中有很詳盡敘述，首先以兩個測量空間 M1 和 M2 之間的簡單比例舉例，此兩側量空間描述一個情況包括：等加交換（人或物體）、一致價錢（物品或消費）、等速度運動或平均速度一致（經過時間和距離）、密度（線、面、體積）相同。可寫成：. 圖 2-2-2 描述兩側量空間（引自 Vergnaud, 1982）. 例如小明買四個蛋糕，每個 15 元，一共要付多少錢？在此例子中，M1 是蛋糕數量， M2 是花費的錢，a=15，b=4。要如何求出答案，可能使用數量之間操作，先了解 1 和 b 之間的關係，了解 M1 之間的轉換為乘以 b 倍，再連結到 M2 之間的轉換，將 a×b。「 ×b」是一個數字操作，並沒有任何單位，它是由兩個相同類型的數字組成的比率。此方法為此文所敘述的比例法。. 22.

(35) 圖 2-2-3 描述同測量系統之間的轉換（引自 Vergnaud, 1982）. 學生也可能使用方程式操作，連結 1 如何變成 a，應用在 b 如何轉換成 x。. 圖 2-2-4 描述不同測量系統之間的轉換（引自 Vergnaud, 1982）. 在上圖中×a 是一個方程式操作因為它代表著 M1 和 M2 之間轉換的一致性，他的單位是此兩維的商，例如每塊蛋糕的錢。此方法為本文所說的定義法。而另一種方法 a+a+a+…（b 次），但他並非乘法算式，它只能顯現數字的步驟是倚賴加法，在本文中為拆開法。跟它對稱的有 b+b+b+…（a 次），但這樣描述是沒有意義的。 Double Number Line（DNL，雙數線）常用在教育上。常用在溫標換算，成比例關係。此種計算方法可以視為比例法。DNL 可用於擴分或約分皆可，學生在解題時若能用此方法，一目了然（Küchemann, Hodgen, 1997）。拆開法在表格題、圖題或是文字題皆可使用。在簡單比率問題中，三種乘法結構都是可行的，使用公式算出答案者可能會. 23.

(36) 居多，尤其在高中更是明顯。即使學校老師提供其他方法，然而只要提供方法中有一種為公式解，學生大多會使用此方法。並非所有題目都可以使用拆開法，例如：題目不提供實際數字，只提供變量之間的關係的條件，此時無法使用加法策略，若學生仍使用加法策略時容易錯誤（Küchemann, Hodgen）。. 圖 2-2-5 雙數線 Double Number Line（改編自 Küchemann, Hodgen, 1997）. 在比率的乘法中，依難度將學生分為四個階段：第一、簡單整數比。像是×2 或×3，包括對半。第二、比率包含×1.5，或使用建造策略（building up）：總數再加上總數的一 2. 半。第三、問題包含分數或像是×1 或學生可能使用建造策略或分數乘法。第四、非整 3. 數的放大（例如 5：3）或連續排列的量問題，無法使用建造策略，使用建造策略無意義（Brown, Küchemann, & Hodgen, 2010）。 Vergnaud（1982）認為乘法題目困難的地方在於反向題目，形式可寫為：. 圖 2-2-6 乘法題目反向題目形式（引自 Vergnaud, 1982）. 24.

(37) 例如：小美要分享她的糖果給小華和小一，她媽媽給她 12 顆糖，每一個人會拿到幾顆糖果？在此題中，a = 3，b = 12，M1 是小孩的數量，M2 是糖果的數量。這類型的題目在數字上將 c 除 b。有些學生在×b 變為÷b 時會覺得困難，會偏好假設 x，以 x×b=c 列式找出答案。這有點類似在減法題目中使用加法，去避免反向題目中困難。但只有在整數且數字小的時候才有意義。然而當標準的程序為 c 除 b 時，學生容易計算錯誤。概念有分成以下類型：一、結合概念：同時具備相加性質稱為結合概念。二、分離概念：概念中屬性的組合可以為兩者選一，或是為兩者兼具的情形。三、相關概念：概念中各屬性具有特殊關係。原則為兩個或多個概念間關係的陳述。概念分為「數」概念，有些概念表示各概念間有特殊關係。只有各概念間關係確定才稱為原則，例如把乘改加，最後數字即跟著改變。概念會隨著原則改變而改變，沒有概念就無原則（王克先，1968）。. 25.

(38) 第三節任務分析. 對學生來說，學習是一項重要的任務，要件為達到任務解決所經歷的各步驟，為連結「任務（task）」與「目標」之間的重要步驟。在問題解決之中，未完成的事件解決稱為任務，而完成任務的每一小步驟就是要件或稱成分（component）（羅幼瓊、林清文， 2009）。數年來，任務分析已成功地被用來了解人類行為。用以記錄任務過程與狀況的方法與標記方式並已被建立（Kirwan & Ainsworth, 1992，reference Schraagen, Chipman & Shalin , 2000）。Resnick(1967)提到任務分析可以具體指出和驗證學習層次的方法，所以教學計劃能夠提供最適合孩子自然程序獲得去設計，在廣泛的種教學方法中將有助於學習。Resnick, Wang & Kaplan(1973)提到發展一連串層次結構的策略像是掌握目標為較低層次（簡單任務），有利於學習更高的目標（複雜任務），以及更高階層能力的表現出任務實際預測較低階層的能力。舉例來說，可將每個目標分成多個要件，之間有線聯結。. 圖 2-3-1 任務分析圖（引自 Resnick et al, 1982）. 每個要件包含課程目標，可以呈現學生不同接階層的進步，在每個單元具體呈現等級的關係，在課堂上若強調分類的技能和概念，概念包含多元分析和一系列的交互作用， 26.

(39) 這樣分類的技能和概念對了解全盤數學是必要的，但數學課堂中老師卻不教，皆是以分開的語言所呈現。少有研究對試題做事前任務分析，如何分析試題難度，大致上可分成事前標定以及事後標定兩種方式。試題的難度分析，以往多以答對率表示，此種方法數據明確，且簡單易操作；但只能在事後得知，相當被動，且很容易受到受試者的程度而影響。學生在解答試題為一複雜過程，若能從事前就對每道試題有一較細緻的分析，或許能提高在試題難度分析的準確性，同時也可作為教師從學生認知心理設計教學的重要指引。試題的任務分析難度與實際通過率有很大的相關，事前評定方法具有充分的信效度，事前評定試題的難度越高，通過率越低（羅幼瓊、林清文，2009）。任務分析法的母群體為要件而非當事人，分析探究當事人是如何達成任務解決，經歷何種要件以達成的（羅幼瓊、林清文，2009）。任務描述的目的為呈現資料分析的架構，可以顯而易見內涵資訊（蘇家弘、黃室苗，2011）。為了界定達成任務可能地方法，研究者必須能精確地分辨達成任務過程中必要與非必要的要求為哪些（Schraagen, Chipman & Shalin , 2000）。Resnick, Wang & Kaplan (1973)的研究提到系統性的任務分析方法，是針對某個問題設計一連串的目標，並提供最理想解題流程教學，讓學生跟著解題流程，可以較流暢的學習一系列的學科技巧和觀念。以數學舉例來說，首先可先讓學生用活動理解操作型定義數字概念，再將兩者結合，讓學生能推斷一個抽象的「數字」概念，可以讓學生舉一反三，並且在推斷結論的同時，也對數字有一個概略的觀念；這就是學校課程的目標。在定義組合裡的每種學習行為，都屬於一種分析方法，確認學生是否已具備熟練的解題技巧與必備的觀念。這些以任務分析方法為基礎，要有特定並具有連貫性的學習目標。藉由從較廣義的觀念轉換到較狹義的觀念，這些連貫性的學習目標可將學習簡化到最佳程度。以早期學習與認知發展為基礎的相關文獻，聯結分析能力和推導出連貫性結果的這些論文推論出數種可以在各種課程中實行的討論方法；結果可使用在課程本身的改進，或是測驗其他討論變數的成效，都可以考慮實際應用。任務分析的功用在於可經由問題設計詳細的 27.

(40) 任務分析程序去達到學習目標。唯有透過細微且精確分析，及有信度的行為評估系統才能了解人類基本的行為與行為的限制。因此研究者須蒐集大量的任務範本來提升研究的精確度（Schraagen, Chipman & Shalin , 2000）。. 28.

(41) 第參章研究方法. 本研究分為三個部分：概念分析、任務分析、乘法結構測驗結果分析。由於乘法結構測驗須進行施測，故以下針對乘法結構測驗進行說明。研究採調查法，包括量和質兩部分，量的部分研究者事先根據研究目的設計題目並且以專家審查具有專家效度，先行實施預試及確認專家效度後再正式實施測驗。質的部分採用分析學生作答和半結構晤談，目的為深入瞭解學生對於加速度題目概念的理解和所使用的乘法結構策略。以下依序介紹研究設計、研究對象、研究工具研發、研究流程共四節，分別敘述如下：. 第一節研究設計. 為了解學生學習困難之處，藉由操縱題目結構（定義結構、比例結構、拆開結構、 ∆𝑉. 𝐹. 一般乘法結構）以及不同觀念題目（a= ∆𝑡 、a=𝑚），了解學生所使用的乘法結構，及學生對不同乘法結構使用的認知。題目有不同結構，在此只討論定義、比例、拆開結構，根據題目解題時方便使用的乘法結構，將題目區分為定義、比例、拆開結構，而一般乘法結構為三種乘法結構策略皆可使用。. 本研究主軸為探討學生學習物理的困難，並在不同情景下觀察學生所使用的乘法結構策略。乘法結構策略可分成三類：定義法、比例法、拆開法，根據待答問題，研究者設計題目包含以下兩個面向：. ∆𝑉. 𝐹. 一、物理題目：包含加速度基本定義（a= ∆𝑡 ）以及加速度與力的關係（a=𝑚）兩概念，將其中題目結構分為一般簡單乘法結構、定義結構、比例法結構、拆開法結構。一. 29.

(42) 般簡單乘法結構題目為了解學生在面對三種方法皆可使用時，學生所使用的乘法結構，可比對學生在其他結構所選用的乘法結構是否一致。另外研究者放入兩題選擇題，以了解學生除了優先選用解法之外的其他解法，藉此更深入了解學生想法。在定義結構、比例法結構、拆開法結構中，比較學生答對率，並分析歸納在此題目結構下，學生使用的方法，以利從數學觀點了解學生在物理上的困難之處。二、判斷不變量：無論使用何種乘法結構，學生是否能掌握題目中的變量和不變量皆非常重要，在此簡單測驗學生是否能夠掌握不變量。. 表 3-1-1 研究變項操縱變項. 研究母群體. 運動學題目、力學題目兩公式（𝑎. ∆𝑉 ∆𝑡. 、𝑎. 𝐹 𝑚. ）. 題目結構：. 測量結果. 預測. 使用乘法結構. 學生在物理的表現、推廣至物理其他公式. 學生答對率掌控不變量. 定義、比例、拆開、一般乘法外在變項：對理化的自我期許、性別、之前學習自然學科的成效、教師期望、學生家庭的背景、班級讀書風氣、數學程度、補習理化的人數、練習程度. 在物理中「○ = ○×○」類型的公式中的題目中，有各種不同類型或不同結構，但無論是何種類型題目，皆可以 Vergnaud 所提到的三個乘法公式作為計算，可能其中一種方法，或其中兩種方法，或三種方法皆可行。除了此三種方法外，並沒有其他的方法。 30.

(43) 舉例來說：【例題】以一台車在地面上作等加速度直線運動，3 秒內速度變化量為 4m/s，請問從一開始計時過 9 秒後，此車的速度變化量應為多少 m/s？表 3-1-2 不同乘法結構算式及思考方法乘法結構. 算式 ∆V 4. 定義法. ×. 𝟒. ×. 𝟒. 𝟑. ∆t. 先算出加速度，其加速度有意. 3. 義、單位. m/s. □. 思考方法. 2. 9 𝟑. m/s. 2. 𝟒. □=9× 𝟑=12. 比例法. 公式 a=∆V/∆t a 為定值時，∆V∝∆t ∆V 4. 只看倍數關係，其倍數本身無意義、單位. ∆t 3. ×3. ×3. □ 9 □=4× 3=12 拆開法. 拆開思考，當∆V 每增加 4 時，t 增加 3. V=3+3+3=9 m/s. 數學和物理雖為不同科目，但在實際情況以及文獻探討中，數學能力的好壞深深影響物理成績。研究者希望從學生使用的乘法結構策略中探討國中物理的困難之處，以幫助瞭解學生學習的困難。乘法結構多為數學研究，將乘法結構拿至物理需注意公式形式（form）是否為○=○×○；本研究主要探討在物理上比例形式應用的題目，必須有「不變. 31.

(44) 量」時才可探討。主要探討乘法結構與物理觀念方向如下：一、瞭解學生在物理中所使用乘法結構為何。二、同樣題目結構但不同觀念題目是否使用相同乘法結構？三、不同題目結構下，學生是否會因題目結構不同而改變使用的乘法結構策略？學生原本對使用乘法結構策略的傾向是否會影響在不同題目結構的答對率？四、學生是否能判斷須有「不變量」才能計算？首先探討學生在一般簡單乘法結構題目中所使用的乘法結構，以瞭解學生傾向之乘法結構。並於「定義結構、比例法結構、拆開法結構」此三種結構題目中，控制題數、 ∆𝑉. 題目難度（步驟數）、所求物理量，以 a= ∆𝑡 、F=ma 兩公式概念進行出題。學生作答後，分析學生在不同結構題目中的答對率，討論其結果、未來教學或相關研究的改進及建議。除量化分析外。質化部份，本研究將分析學生算式、質化半結構晤談相關資料，以了解學生真實想法。. 32.

(45) 第二節研究對象. 本研究的研究對象依研究設計，分為預試和正式施測及深入晤談三階段。茲將各階段所欲選取的研究對象作一敘述。一、預試本研究自行發展工具，選取研究者之前任教學校的一個班級，取樣成績較佳學生，共 5 名。再隨機抽樣高一、高二自然組及社會組的學生進行施測，共 3 名。二、正式施測本研究方法採「方便取樣」，運動學課程在國三上學期第一次段考，牛頓力學在第二次段考，又考慮研究地點限制，樣本對象以大台北地區國中三年級學生為主。發放試卷共 101 份，其中因部分學生未完成考卷且幾乎為空白，故 40 人列入統計結果，61 份中除其中 1 份有寫下算式留下參考解題作法，其餘刪除。三、抽樣深入晤談學生本研究為深入了解為何學生使用不同乘法結構以及更深入了解其學生困難，受詮釋能力和背景知識等因素影響，故抽取測驗成績前 27%及後 27%的學生，以及在物理上使用乘法結構差異很大的學生，並且有意參加晤談的同學，男女不拘。. 33.

(46) 第三節研究工具研發. 本研究主要希望能從數學的角度去了解學生在學習物理上的困難，以幫助學生更能理解他們在計算物理時，所列出的乘法式中所代表的意義。本研究工具中，必須包含如何評量出學生在不同結構題目中，所使用的不同乘法結構策略，以及瞭解他們在使用時的錯誤。但目前在許多研究文獻中，多為探討物理概念的困難，並沒有能夠測驗學生在物理學科使用乘法結構策略的工具，故研究工具必須由研究者自行設計。評量為達到上述目的，研究者設計一連串不同結構的計算題，題本中包含三個部分：第一部分為測量出學生在不同題目結構中，所使用的乘法結構、第二部分為了解學生在數學和物理題目上所偏好使用乘法結構的差異、第三部分為學生是否能判斷不變量，以及當兩物理量成反比的題目。以下為整理試題題本的總架構，施測時間共 45 分鐘，題目共 34 題，其中第二部分每題包含三題子題。. 表 3-3-1 乘法結構試題題本架構題本內容. 試題測驗概念. 第一部分. 物理 F=ma、a= ∆𝑡. 學生在不同題目結構中，所使用的乘法結構. 24. 第二部分. 數學、速度. 學生在數學和物理題目上所偏好使用乘法結構的差異. 2. 1. 學生是否能判斷不變量 2. 當兩物理量成反比時學生的答對率. 8. 第三部分. 測驗目的 ∆𝑉. ∆𝑉. 物理 F=ma、a= ∆𝑡. 34. 題數.

從現場教學觀點探討學生學習具乘法 結構的國中物理概念之困難

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