第一節 國中生學習理化的困難
國中生學習理化的困難，文獻提到許多困難以及迷思概念，以下從不同角度審視，
分成比率困難、圖形困難、物理方程式三部份述之。
比、比值（ratios）、比率（rates）三個相似但定義不同的名詞，以下分別作解釋。
比為兩數量的一種對等關係，可寫成 a：b 形式，其中前面的數字稱為前項，後面的數 字稱為後項（Lamon, 1995)。若將 a：b 中的前項除以後項所得到的商，稱為比值（ratios），
比值通常以分數形式呈現，可寫為a/b （Lamon；Milgram & Wu., n.d.），a 和 b 須為同一 量度，可能為人、時間、長度等等。例如：一長方形長比寬為 7 比 3，寫成比值為 7/3。
比值不可任意相加，例如：甲班男生 10 人，女生 30 人，男生比女生比值為 1/3；乙班 男生 14 人，女生 16 人，男生比女生比值為 7/8，不可直接將兩比率相加。比值的單位 必須相同，例如：四公里（km）比 8000 公尺（m），須把兩者單位換成一樣後，再以比 例表示，可一齊換成公尺或換成公里（Milgram & Wu., n.d.）。Milgram & Wu (n.d.)表示 若 A 和 B 為不同量度，那 A/B 就稱為比率（rates）。速度為常見的比率，速率的定義可 以寫為距離除以時間，距離和時間不同向度，單位也不同。但同量度可以作換算，例如：
1 公里=1000 公尺，1 小時=3600 秒，故可作換算 36km/hr=10m/s。比率可以反推回去，
例如物體作等速度運動，歷經一段時間後，便可推算速度變化值為多少。
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在物理中有很多公式皆是以比值形式表示其概念之間的關係，比值定義是以兩個物 理量去定義一個新的物理量，例如：密度、速度、功率、比熱…等（艾文華，2011）。
比率是探討兩個不同度量之間的變化關係（葉建德、劉祥通，2005）。當比率式中出現 bad numbers （壞數字）或 bad ratios （壞比率）時，或當比率小於 1（f(x)<x），會使 題目變得困難（Vergnaud, 1988）。Vergnaud（1988）將比率問題分為簡單比率問題、複 合比例問題。簡單比例問題中兩個變量有一定的關係，例如：價格、密度一致。如果物 品價錢不為定值，變速度運動、會改變的密度這樣的題目就無法應用乘法比例。
比例問題類型大致上分為哪幾種？根據題目的語意結構不同，可將比例問題分為熟 知的量數（well-chunked measures）、部分-部分與整體（part-part-whole）、相關聯的集合
（associated sets）、等比例放大縮小（stretchers & shrinkers） （Lamon, 1993）。比率在 許多領域都有使用到，舉例來說，在物理學上有速度、密度、力、壓力…等，比率為兩 值組成（Brown, Küchemann, & Hodgen, 2010）。研究提到兩個相等比值所構成的比例關 係，具有共變性與不變性（郭佩儀，2007）。例如每隻筆五元，五隻筆二十五元，每隻 種類有很多，如流程圖、示意圖、組織圖、剖面圖 （Winn, 1991；引自藍雅齡，1988）。
二維座標可以幫助學生更了解圖和讀圖（Friel, Bright, & Curcio, 1997）。學生理解二維座 標的程度大致可分成五個階層：(1) 第一階層：根本不了解何謂測量，對測量量沒有概 念。(2) 第二階層：了解一維測量，但在二維測量就無法理解。(3) 第三階層：受試者
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發現只有一維測量條件不足，似乎不足以將欲表達資料用點呈現出來，開始有需加入二 維測量的觀念。(4) 第四階層：不是很成熟的二維測量。(5) 第五階層：真正成熟的二 維測量(廖德富, 1996)。
圖形提供學生另外的管道學習，對抽象概念的學習能夠更具體，圖形也可提高學生 學習動機，集中學生注意力等功能（張玉枝，2001）。在沒有具體的數字可以計算二維 座標係當中，促使往抽象的層次思考問題。凡牽扯到以二維座標的圖形輔助比率構念的 教學，以二維座標的圖形作為輔助說明的工具（葉建德、劉祥通，2005）。但也有研究 提到學生常常對於圖形描繪的資訊理解感到困難（Shah & Hoeffner, 2002）。
會影響學生讀圖的三個主要因素：圖的視覺特徵（例如：格式、動畫、顏色、使用 的說明、大小等等）、讀者本身的知識以及對圖的架構和基模的理解、圖的內容和讀者 原本具有知識以及預期會從圖中得到什麼資料內容（Shah & Hoeffner, 2002）。圖可以幫 助學生更了解其訊息，讀圖的過程大致可以分為三個階段：從圖中找資料數據、插入新 語句和找資料的關係、從資料推斷和從圖中解釋關係確認（Friel, Bright, & Curcio, 1997）。
在讀運動圖形，學生有許多的迷思概念。陳秋萍（2004）以 TUG-K 測驗探討國三 學生在運動學圖形的表現，結果發現學生在讀運動學關係圖時，常產生錯誤的想法，詮 釋方式錯誤。學生在加速度圖感到最困難，其次為速度圖、位置圖。對運動學圖形理解 較好的學生明顯具有較正面的態度，認為閱讀運動學關係圖可以減少閱讀題目的時間，
比只有文字可以更清楚表達題意。而對運動學圖形理解較差的學生容易有錯誤的看法，
認為閱讀運動學關係圖反而會增加閱讀題目的時間，造成困擾。
在運動學圖三種常見的錯誤：（1）以為圖上的圖就是實際上的運動情形（2）對直 線斜率和點的高度感到困惑（3）有很多學生對 v-t 圖產生很多錯誤的想法。學生在找「斜
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率」比找「點」來得困難，對於區分 x-t、v-t、a-t 圖也感到困難。
表 2-1-1 運動學圖形國中生的答對率（引自陳秋萍，2004）
類型 題目求解 答對率
x-t 圖 判斷速度 51
v-t 圖 判斷加速度 40
v-t 圖 判斷位移 49
a-t 圖 判斷速度變化 23
學生對於區分運動學的 x-t 圖、v-t 圖、a-t 圖感到困難，大多學生認為判斷點較容易，
判斷斜率較不易（Beichner, 1994)。
許多研究顯示，對讀運動學圖形較差的學生，當情境較難時，會直接將 Y 軸讀出來 的值視為答案，甚至在計算速度時忽略截距，仍將 Y 軸數值直接除 X 軸數值；在求速 率的時候，也常常直接將線段的高度視為斜率，沒有考慮出發點的位置；也將各時段運 動狀態混淆，對於平均速度、瞬時速度混淆，或是平均加速度與瞬時加速度混淆。學生 常將「位置-時間圖」、「速度-時間圖」、「加速度-時間圖」混淆，「速度-時間圖」關係圖 中線段為「斜直線」時，學生會以為物體為等速度運動而非實際等加速度運動。研究顯 示，讀運動學圖形可能會影響學生的因素有：對運動學的了解程度、題目文字敘述、讀 圖方式（先看圖或是文字說明）、對自我的預期、題目圖形中運動的複雜度等。綜合學
生在運動學圖形詮釋的過程常見的錯誤類型（陳秋萍，2004；Beichner, 1994）：
一、題目文字說明混淆：學生在解題時易受文字影響，如「最大」、「最小」、「變化量」
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等文字。例如當題目文字敘述「最大」時，學生常不去思考基本觀念，而是直接 去尋找線段高度最高或是斜率最大的線段。
二、將圖形直接視同軌跡：學生常無法作抽象思考，將「位置-時間圖」上的線段直 接視為物體運動的軌跡圖，線段若向上表示物體向上運動；若線段為曲線，表示 物體走曲線。直線運動讀圖能力較差的學生在進行位置、速度、加速度關係圖在 轉化時，容易看題幹圖形直接選答相似的圖形。
三、斜率視為高度：學生常將斜率與高度弄混，直接將 Y 軸的數值視為斜率。
四、名詞觀念混淆：學生常以為當物體運動加速度一定時，速度也保持一定。
五、斜率定義混淆：學生常不考慮起始位置，直接將 Y 除 X 求斜率。
六、圖形混淆：「位置-時間圖」、「速度-時間圖」、「加速度-時間圖」的混淆。
Beichner（1994）認為在運動學圖形，學生常常有一些迷思概念，例如找不到彎曲 線的斜率，或是當直線沒有通過原點，則不會求斜率。老師教學時的用詞也很重要，老 師的用語常常會影響學生的學習。學生思維能力，難將 v-t 圖斜率所代表的意義具象化，
則無法思考其概念。形象思維發展的如何或許為理解 F-m 圖和 v-t 圖的重點（陳國慶，
2011）。
研究顯示，學生在運動學上常見的錯誤不是來自於迷思概念，而是誤解題意或其他 簡單的錯誤。錯誤可能發生因為學生讀錯任何一軸，錯誤不盡然指出學生的觀念是錯的，
例如位置和時間的關係圖中，有兩條斜率不同的直線詢問學生哪個物體在 t=2 時速度比 較大，學生通常選位置離遠點較遠的物體 B（Hale, 2000）。
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圖 2-1-1 學生易讀錯軸例子（引自 Hale, 2000）
學生的困難在於運動改變的基礎觀念，這因個人經驗而異，應幫助學生察覺迷思概 念經由活動連結數學觀念和實際經驗。研究顯示學生通常認為 x-t 圖 v-t 圖類似，數學和 圖表有時會加深學生的困惑。例如：V0=-0.5m/s, a=-2m/s 請學生描述運動狀態，大多學 生會覺得困難，無法正確地說出。運動學圖形的變量，包含位置、速度、加速度（Hale, 2000）。
物理方程式用來表達精確的程序化，並且可以應用回答答案，成功的學生學習了解 方程式基本的觀念（Sherin, 2001）。物理知識主要由公式構成，若想學好理化，則必須 了解公式的意涵，若只是記公式而非了解其真正意涵，則無法正確理解及活用（邱新生，
2001；范建東，2000）。學生腦中存放著許多先前概念，這些概念具有廣泛性、頑固性、
負遷移性等特點，這些特點會使學生難以理解物理、老師在教學上難失力。若要讓學生 真正學好物理，必須重視學生的概念轉變過程，否則只是會計算，不懂得物理概念（王 宇航、郭玉英、曾路，2006）。
物理方程式有許多符號。符號本身是一刺激，這些刺激能引起人對它的固定反應，
此為經過制約過程。符號本身無法代表概念，而是此符號所代表的意義。凡是具有共同 屬性一類事務的全體，我們稱此名稱或符號所代表者為概念。語文符號在抽象概念學習 者非常重要。小紅方形有大小、顏色、形狀三種屬性，概念中屬性越少，限制越少，越
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容易學。概念中屬性越多，學習起來較為困難。符號意義化賦予某種符號的特定意義，
符號表徵的抽象化超越最初學習的特定意義，抽象並擴大而為概念（王克先，1968）。
學生太過依賴公式，又缺乏速率、距離以及時間的基本概念，只是一味看數字去套 公式以求得解答（陳秋萍，2004）。Sherin（2001）將公式歸納成幾種型式，其中將 v=v0+at
學生太過依賴公式，又缺乏速率、距離以及時間的基本概念，只是一味看數字去套 公式以求得解答（陳秋萍，2004）。Sherin（2001）將公式歸納成幾種型式，其中將 v=v0+at