第四章 結果與討論
第二節 分數乘除法學習的表現結果
一、分數乘除概念與運算的答題情形
將學生每一題的作答情形輸入電腦，統計出國小六年級學生分數乘除概念與 運算的學習成果如圖4-1。
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 1
3 5 7 9 11 13 15 17 19
題 號
人數
答對 答錯
答錯 107 136 90 137 83 87 98 125 175 102 192 171 113 160 77 219 221 213 302 209 答對 274 245 291 244 298 294 283 256 206 279 189 210 268 221 304 162 160 168 79 172 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
圖4-1 分數乘除概念與運算的學習表現統計圖 由圖4-1可以看出學生在這份試卷中的整體答題情形：
第1題到第15題的答對人數，除了第11題之外，其餘皆超過總受測人數（190）
的一半，亦即答對率高於0.5；第16題到第20題的答對人數，皆少於總受測人數 的一半（190），亦即答對率低於0.5，和預試資料比較，發現對台中縣國小六年 級學生而言，第16題到第20題是比較難的題目。將答對率由高到低排列，如表4-4。
表4-4 學生分數乘除概念與運算的學習答對率排序表（由高到低）
排序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 題號 15 5 6 3 7 10 1 13 8 2 答對 304 298 294 291 283 279 274 268 256 245 答對率 0.798 0.782 0.772 0.764 0.743 0.732 0.719 0.703 0.672 0.643
排序 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 題號 4 14 12 9 11 20 18 16 17 19 答對 244 221 210 206 189 172 168 162 160 79 答對率 0.640 0.580 0.551 0.541 0.496 0.451 0.441 0.425 0.420 0.207
接著根據表4-5的數據來了解學生在分數乘除概念與運算的學習成果。請參 見表4-6。
表4-6 分數乘除概念與運算的學習成果統計表 概念建構
能力
概念理解 能力
基本運算 能力
問題解決
能力 平均合計 分數乘整數 0.77 0.74 0.77 0.74 0.76 整數乘分數 0. 77 0.43 0.77 0.43 0.60 分數乘分數 0.76 0.63 0.67 0.64 0.68 整數除整數
等於分數 0.50 0.50 0.50
分數除整數 0.69 0.67 0.70 0.69 整數除分數 0.73 0.57 0.64 0.58 0.63 分數除分數 0.46 0.51 0.46 0.51 0.49 合計 0.70 0.58 0.67 0.59 0.63
由表4-6可知，學生在整體分數乘除的概念建構能力表現出來的答對率是 0.70，概念理解能力表現出來的答對率是0.58；基本運算能力表現出來的答對率 是0.67，問題解決能力表現出來的答對率是0.59。分數乘整數表現出來的答對率 是0.76，整數乘分數表現出來的答對率是0.60，分數乘分數表現出來的答對率是 0.68，整數除整數等於分數表現出來的答對率是0.5，分數除整數表現出來的答 對率是0.69，整數除分數表現出來的答對率是0.63，分數除分數表現出來的答對
率是0.49。整體表現表現出來的答對率是0.63。
從上表亦可知學生在分數乘除法的分類學習上，以分數乘整數表現最好，分 數乘分數及分數除整數表現次之，而整數除整數等於分數及分數除分數的表現不 佳。以學生在分數乘除法能力指標習得的能力來看，在概念建構能力與基本運算 能力上，學生的表現較佳；而分數乘除法概念理解能力與問題解決能力的表現，
仍有進步空間。
二、分數乘除概念與運算試卷各試題的答題結果分析
現在將依照學生分數乘除概念與運算的學習答對率的排序，進行試題分析。
（一）試題分析說明：
1.答題結果：將全部學生在各個選項上的答題人數作量化的統計，了解學生 在分數乘除概念與運算上錯誤類型比例，以進一步研究分析原因。其中選項N表 示學生此題沒有寫答案。
2.答題結果分析：依照雙向細目表及學生答題結果，分析學生的答題情形。
（二）試題分析
2.第5題分析
（1）題目
（5）試問「
4
3×3=？」的計算過程及答案為何？
A. 可以把 3 先約分：
4 3×3=
4 3×3=
4 1
B. 分子和分母同時乘上 3：
4 3 ×3=
3 4
3 3
×
× = 12
9
C. 分子乘上 3 分母不變：
4 3×3＝
4 3×3
=4 9
D. 因為 3×2=6，所以：
4 3×3=
4 6
E. 其他：_______________________
正確答案（ C ）
（2）第5題答題結果
選項 A B C＊ D E＊ N 選答人數 51 17 291 12 7 3 選答比率 0.13 0.04 0.76 0.03 0.02 0.01
（3）第5題答題結果分析
本題以（真）分數乘整數來檢測學生對分數乘法概念的建構能力及基本運算 能力。正確答案是C，有7位學生選E，自行計算的過程及答案都正確，因此亦算 答對，故本題之答對率為0.78，是所有試題中第二高的。0.13的學生選A，是將 誤用了約分的概念。0.04的學生選B，是學生將分子分母同時乘以整數，誤以為 乘法是擴分。0.03的學生選D，是學生在分數乘法計算時，將乘法以加法計算，
而產生錯誤。
3.第6題分析
4.第3題分析
5.第7題分析 E. 其他：__________________________
正確答案是（ B ）
6.第10題分析
其他：________________________
正確答案（ C ）
7.第1題分析
8.第13題分析
（1）題目 (13)陳師傅把一塊長
9
6公尺的木頭，平均切成 3 段，請問每一段木頭的長為幾 公尺?計算過程及答案是下列何者？
A. 9 6÷3＝
3 9
3 6
÷
÷ ＝ 3 2
B. 9 6×3＝
9 6×
1 3＝
9 18＝2
C. 3÷
9 6＝3×
6 9＝
2 9
D. 9 6÷3＝
9 3 6÷
＝9 2
E. 其他:___________________
正確答案（ D ）
（2）第13題答題結果
選項 A B C D＊ E＊
選答人數 34 44 23 220 48 12
選答比率 0.09 0.12 0.06 0.58 0.13 0.03 N
（3）第13題答題結果分析
本題以（真）分數除整數來檢測學生對分數除法概念的理解能力及問題解決 能力。正確答案是D，有48位學生選E，自行計算的過程及答案都正確，因此亦算 答對，故本題之答對率為0.71。0.12的學生選B，是學生不了解題意，缺乏問題 解決能力，將除法以乘法計算。0.09的學生選A，是學生概念錯誤，誤以為除法 是約分。0.06的學生選C，是學生從舊的學習經驗中，習慣以大數除小數所致。
9.第8題分析
10.第2題分析
11.第4題分析
12.第14題分析
（1）題目
(14)大華旅行社今年寒假帶了一群人到北海道看雪，導遊出發前清點一下人 數，男生一共有 30 人，男生人數佔全部人數的
5
3，請問這個旅行團共有幾 人?計算過程及答案是下列何者？
A. 30÷
5
3＝30×
3 5＝
3
150＝50
B. 30×
5
2+30＝
5
60+30＝12+30＝42
C. 30×
5 3＝
5 3 30×
＝ 5
90＝18
D. 30×
5
3+30＝
5
90+30＝18+30＝48
E. 其他:________________________
正確答案（ A ）
（2）第14題答題結果
選項 A＊ B C D E＊ N
選答人數 203 31 54 61 18 14
選答比率 0.53 0.08 0.14 0.16 0.05 0.04
（3）第14題答題結果分析
本題以整數除（真）分數來檢測學生對分數除法概念的理解能力及問題解決 能力。正確答案是A，有18位學生選E，自行計算的過程及答案都正確，因此亦算 答對，故本題之答對率為0.58。0.16的學生選D，是學生對部份—全體概念不清 造成。0.14的學生選C，是關鍵字「佔」的誤用，讓學生以乘法解題。0.08的學 生選B，亦是學生對部份—全體認知不清造成。
13.第12題分析
（1）題目
(12)文正國中一年級學生人數是 210 人，佔全校學生人數的 10
3，請問文正國中，
請問全校學生共有幾人？計算過程及答案是下列何者？
Ａ.一年級的人數除以所佔的比例：210÷
10
3 ＝210×
3 10＝
3
2100＝700
Ｂ.二、三年級的人數加上一年級的人數：210×
10
7 ＋210＝147＋210＝357
Ｃ.一年級的人數加上二、三年級的人數：210×
10
3 ＋210＝63＋210＝273
Ｄ.一年級的人數乘上它所佔的比例：210×
10 3 ＝
10 3 210×
＝21×3＝63 Ｅ. 其他：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正確答案（ A ）
（2）第12題答題結果
選項 A＊ B C D E＊ N
選答人數 195 39 47 76 15 9
選答比率 0.51 0.1 0.12 0.2 0.04 0.02
（3）第12題答題結果分析
和14題類似，但本題提供了解題思考的方向。本題以整數除（真）分數來檢 測學生對分數除法概念的理解能力及基本運算能力。正確答案是A，有15位學生 選E，自行計算的過程及答案都正確，因此亦算答對，故本題之答對率為0.55，
略低於第14題，但僅差距0.04。0.2的學生選D，是關鑑字「佔」的誤用。0.12的 學生選C，是學生對部份—全體概念不清造成。0.1的學生選B，則是學生對題意 認知不清造成，讓學生以乘法解題。
14.第9題分析
分數除法算則。0.09的學生選C，是對分數乘除法、題意不清楚，缺乏問題解決 能力。
15.第11題分析
（1）題目
(11)小華到達美樂買了 9 塊披薩，平均分給 4 個人，全部分完，請問每人可分 得幾塊？計算過程及答案是下列何者？
Ａ. 9－4＝5 5－4＝1 1÷4＝
4
1 所以每人得 4
21塊。
Ｂ. 9÷4＝2… 1 所以每人分得 2 塊，剩下 1 塊。
Ｃ. 9÷4＝2………
4
1 每人分得 2 塊，剩下 4
1塊。
Ｄ. 4÷9＝
9
4 每人分得 9
4塊。
Ｅ. 其他：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正確答案（ A ）
（2）第11題答題結果
選項 A＊ B C D E＊ N
選答人數 158 94 44 47 31 7
選答比率 0.41 0.25 0.12 0.12 0.08 0.02
（3）第11題答題結果分析
從本題開始，答對率不到0.5。本題以整數除整數等於分數來檢測學生對分 數除法概念的理解能力及問題解決能力。正確答案是A，有31位學生選E，自行計 算的過程及答案都正確，因此亦算答對，故本題之答對率為0.49。0.25的學生選 B，是將整數除法觀念，類推到分數除法中。0.12的學生選D，是學生對題意誤解 或認知不清造成。0.12的學生選C，是學生對分數除法中，商是帶分數的意義不 清，導致選答錯誤。
16.第20題分析 E. 其他：________________________
正確答案（ E ）
17.第18題分析
18.第16題分析 所致。0.19的學生選A，是學生缺乏問題解決能力，不了解題意。 0.13的學生選 C，是學生誤解題目所求，造成選答錯誤。
19.第17題分析
20.第19題分析
（1）題目
（19）試問「
9 7÷
9
2=？」的計算過程及答案為何？
A. 9 7÷
9
2＝7÷2＝3…1
B. 9 7÷
9
2＝3…
9 1
C. 9 7÷
9 2＝
9 7×
2 9＝
2
7＝3…
2 1
D. 9 7÷
9 2＝3
9 1
E. 其他：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正確答案（ B ）
（2）第19題答題結果
選項 A B＊ C D E＊ N 選答人數 41 28 242 11 51 8 選答比率 0.11 0.07 0.64 0.03 0.13 0.02
（3）第19題答題結果分析
本題以（真）分數除（真）分數來檢測學生對分數除法概念的建構能力及基 本運算能力。正確答案是B，有51位學生選E，自行計算的過程及答案都正確，因 此亦算答對，故本題之答對率為0.2。0.64的學生選C，是學生對分數除法所得的 商與餘數概念不清所致。0.11的學生選A，是學生運算時對單位量轉換後，但餘 數的單位量未轉回原來單位量所致。0.03的學生選D，是學生對分數除法所得的 商與餘數寫的方式錯誤所致。
第三節 分數乘除法學習的錯誤類型與原因
（三）分配率和乘法結合，未以( )標示(21人)
七、分數乘分數的概念理解能力及基本運算能力
（三）基本概念錯誤(41人)
3 ＋210＝63＋210＝273
（二）誤解題意，關鍵字「佔」誤用，以乘法運算。(76人)
十三、整數除分數的概念理解能力及問題解決能力
90+30＝18+30＝48
（二）誤解題意，關鍵字「佔」誤用，以乘法運算。(54人)
（四）學了進階方法除法，不用減法算（利用他法答對）(81人)
第四節 分數乘除法學習的錯誤原因
本節將由學生在分數乘除概念與運算試卷各試題的錯誤答題結果，分別針對 分數乘法概念及運算上的錯誤及分數除法概念及運算上的錯誤，依照錯誤人數歸 納出原因。
一、分數乘法概念及運算上的錯誤原因
（一）不了解題意，犯此錯誤的人數合計有 321 人。
1.答非所問。（269 人）
2.舊經驗，自行改題大除小（52 人）
（二）同分母分數相乘，只有分子相乘，分母不變，犯此錯誤的人數合計有 184 人。
（三）帶分數以分配率分成整數加分數後，未用括號，直接運算，犯此錯誤的人 數，合計有 110 人。
（四）將乘數轉成倒數再計算，犯此錯誤的人數合計有 107 人。
（五）誤用約分，犯此錯誤的人數合計有 51 人。
（六）誤用擴分，犯此錯誤的人數合計有 49 人。
（七）相同數字相乘，變成兩數相加，犯此錯誤的人數合計有 47 人。
（八）基本概念錯誤，犯此錯誤的人數合計有 36 人。
（九）被乘數轉成倒數計算，乘數未轉，犯此錯誤的人數合計有 29 人。
（十）分數乘法計算時，整數相加，只有分數相乘，犯此錯誤的人數合計有 17 人。
二、分數除法概念及運算上的錯誤原因
（一）對題目意思不清楚，犯此錯誤的人數合計有 632 人。
1.不了解題意，犯此錯誤的人數合計有 121 人。
2.對部分—全體的概念不清楚，犯此錯誤的人數合計有 239 人。
3.使用關鍵字如「佔」用乘法、「一共」用加法，犯此錯誤的人數合計有 249 人。
4.以舊經驗，直接大數除小數，犯此錯誤的人數合計有 23 人。
（二）商與餘數混淆，犯此錯誤的人數合計有 361 人。
（三）未符合題目答題要求，犯此錯誤的人數合計有 181 人。
（四）同分母分數相除，只有分子相除，分母不變，犯此錯誤的人數合計有 112 人。
（五）未注意單位量改變，犯此錯誤的人數合計有 82 人。
（六）與約分混淆，犯此錯誤的人數合計有 78 人。
（六）與約分混淆，犯此錯誤的人數合計有 78 人。