第二章 文獻探討
第五節 分數乘除法運算的錯誤類型與成因
一、分數概念與運算錯誤情形之研究
由於分數概念的語意相當豐富，且在日常生活的應用中有許多不同的解釋意 義，因此易形成多樣化的理解，也容易產生多種的迷思概念。
（一） 分數概念錯誤情形之研究
研究者參考分數概念的研究報告，將分數概念學習較困難、容易犯錯的情形 及各種錯誤類型綜合整理如下表2-24：
表2-24 有關分數概念的研究報告內容表
作者（年代） 內容 比值模式的概念發展比較慢
Novillis（1976） 在「部分－整體」模式中，斜線區域不是連續時，學生 會發生轉換錯誤
Bruni ＆
Silverman（1977）
學童對形狀不同的圖形較難決定是否等分
逃避處理分數
無法將相同分數概念的應用題與計算題相連結 12 到15 歲的兒童不熟悉「等價分數」
單位量指認有困難，例如：學生無法瞭解在不同的單位 量中，較小分數所佔的量可能比較大分數所佔的量多 認為分數不是一個數。例如：
5
3是3 和5 的組合 Hart（1981）
圖形能幫學生瞭解某方面的分數概念，但也會對別的方 面的分數概念造成困擾
表2-24 有關分數概念的研究報告內容表（續）
Booth（1984） 學生認為分數是兩個整數
Hunting（1986） 在處理比較分數的大小及等價分數時，學生經常會受自 然數的影響，只依據分子或分母的大小來比較，或將分 子、分母同加一數來比較，或分別比較二個分數的分子、
分母等。
Kerslake（1986） 12 到14 歲的學生無法確認 4
3＝3÷4 Bergeron et al.
（1987）
在處理「部份/全部」的分數問題時不知道各部份均需等 分
Booth（1987） 11 歲的學生對分數是除法運算結果的概念很弱 Kerslak（1987） 學生對分數的意義比較能接受「部分－全部」這一種意
義，但無法將「部分－全部」的意義遷移到分數是二個 相除的結果及子集－集合的意義上
Bright et al.
（1988）
不注意單位的標示
Hunting ＆ Sharply（1988）
3歲10個月到4歲10個月的兒童只有少數能了解一半的意 義，大部分兒童只知道一半就是分成兩塊，卻沒有等分 的概念
表2-24 有關分數概念的研究報告內容表（續）
Figueras et al.
（1987），
Figueras（1989）
對單位量的指認有下列錯誤類型：
（1）忽略給定的單位量，例如：在一堆磚塊中（有28 塊）將7
1的磚塊著色時，學生會圈出7塊磚塊。此 種錯誤答案就是忽略給定的單位量。
（2）受分子控制，例如：在30 顆葡萄中指出其中5顆著 色葡萄是全部的幾分之幾時，學生的答案為「5 份」、「5
1」，這就是學生解題時受分子控制。
（3）受分母控制；例如：在8朵花中圈出 4
3的花朵時，
只考慮問題中的分母，而圈出4朵花。
此外，楊壬孝（民78）在「國民中小學生分數概念的發展」研究中指出學生 在作答困擾及觀念偏差有下列的情形：
1. 在分數比較大小的排序中，分子相同以分母做比較的題目較以分母相同用分 子做比較的題目，使學生感到困難。例如：在「比較
4 1與
4
3的大小」與「比較
2 1與
3
1的大小」此兩個題目中，學生在「比較 2 1與
3
1的大小」這個題目較容易 產生錯誤。
2. 通分時，以分母已知求分子以及分子已知求分母兩者方式比較下，前者學生 較易接受，後者犯錯的學生較多。
3. 同題中，題意轉換造成難度增加的因素。
4. 使用數線在國小學生的分數學習上較國中感到困難。
5. 數與量的觀念混淆不清，例如：甲數的 4
1誤為甲數是 4 1，或
2 1誤為
2
1元。
7. 對題意不明白，因此以猜答方式答題。
8. 題組中，前一題的答案影響後一題的答案。
9. 未能把握題意。
吳相儒（2001）也指出兒童常過於依賴連續量部分－整體模式，反而抑制了 他們將分數視為一個數，並抑制了其他分數解釋的發展。
因此，綜合上述學者專家的研究，學生在分數概念較容易產生的錯誤情形有 單位量的指認、部份－全部的區分、數量的觀念、分數數線的觀念、題意的瞭解、
等值分數概念等。
（二） 分數運算錯誤情形之研究
在分數的運算常犯的錯誤（Tatsuoka，1984；Painter，1989）如下：
1、 帶分數方面的錯誤：
（1） 帶分數化成假分數的錯誤。
（2） 借位的錯誤：
向整數借1時，卻加10到分子。
向整數借1時，最後計算時卻忘了減1。
（3） 求同分母的錯誤。
（4） 等值分數的錯誤。
（5） 簡化的錯誤。
（6） 加減運算的錯誤：
將帶分數化成假分數後，分子與分母各自分別運算。
通分後，分子不變並直接處理分子及整數部分的運算。
直接作分子及分母的運算時，若求出的值為0，則省略0值的部分。
計算時，完全用大的減小的數。
2、向整數借位問題：
（1）從整數所借的1，直接在分子加10。
（2）借位時，將原整數部分加到分子去。
3、分數的加法運算錯誤：
（1）直接分子加分子，分母加分母。
（2）求出同分母後放在分母，而分子為原分子相加。
（3）分母相乘，分子相加。
（4）分母相乘，分子相乘。
4、分數的減法運算錯誤：
（1） 通分後，分子為大數減去小數。
（2） 分母減分母，分子減分子而且是大數減小數。
（3） 求出公分母後放在分母，而分子為原分子相減。
分數乘法錯誤情形（Lankford，1972；Edwards，1983；Painter，1989）如 下：
1. 先通分後，再計算。
2. 將第二個分數顛倒後，再計算。
3. 交叉相乘而得到分子與分母。
4. 分母相乘，分子卻作加法運算。
5. 分數乘整數時，分數不變，只處理整數部分。
6. 帶分數乘整數時，分數不變，只處理分數部分。
7. 帶分數乘整數時，整數、分數分別自行做乘法運算。
分數除法錯誤情形歸納（Brueckner，1931；Lankford，1972；Painter，1989）
如下：
2. 計算錯誤。
15. 分母不變，但分子相減。
二、分數概念與運算錯誤原因之研究
學生在數學學習上所犯的錯誤都是系統性的、有規律性的、標準化的、很少 隨機或善變的，且應該有正確的理論以解釋之（Brown ＆ Burton，1978；
Ginsburg ，1977；劉秋木，民85）。
（一）錯誤概念的原因分類
學生在概念犯錯的原因可能有：
1. 缺少完整的先備知識：
2. 使用不當的數學規則 3. 學習知識互相干擾 4. 兒童採用兒童法
Sutton ＆ West（1982）， Head（1986），Blosser（1987a，1987b）等人 都曾提出產生錯誤概念的主要原因有七種：1、與生俱來；2、從日常生活而來的；
3、從隱喻而來的；4、從類比產生的；5、來自同儕文化；6、正式或非正式的教 學；7、字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識。
呂溪木（1983）認為學生錯誤概念的產生有可能來自學生日常生活所學得 的，也有些是來自學生對於教師機械式教學的一知半解。
Ginsburg（1989）＆ Harding（1986）認為當學生不了解教師所教授的知識 和書本的說明時，往往因為缺少完整的概念或不當的使用數學規則，因而造成錯 誤。
Baxter ＆ Dole（1990）則指出錯誤是由於不完全的學習和漸漸養成習慣 所造成的。
建構主義主張學生的知識是由學生自行建構而成的，學生的先前知識對其知 識建構正確與否影響甚大。當先前知識與正統概念相去甚遠時，不僅將會干擾課 堂學習，影響最後的解答，也會影響思考過程，形成錯誤概念（張鳳燕，1991）。
Confrey（1994）指出每一個學生在學習數學時，為使所學能對他們有意義，
因此建造許多理論使得它們能自我解釋。學生他們使用新的訊息，修定原先他們 既有的想法。因此每一個學生的數學知識各具有其獨特性，而學生所學到的數學 則只在他們能夠自己建構出的數學。這種知識或概念常因：1、經驗不足；2、教 師或環境的引導與現行廣受接納的知識無法相容或有相當的差距，造成學習的困 難而產生錯誤概念。
綜合國內外學者對於錯誤概念的成因有：1、日常生活的錯誤印象；2、架構 異取的錯誤（frame-retrieval errors）例如；在小數時適用將數線每一單位長 分成10 段，但在分數時就不適用； 3、「二元逆轉」（binary reversions），
此種錯誤主要是退回到先前的學習領域，也就是學生以過去學過的問題來對待新 近學習知識，例如：利用部份－全部的概念在數線上表示分數；4、同化範型
（assimilation paradigms），指視覺刺激的「熟悉度」所造成的影響，例如：
將2×2 算成2＋2；5 正式或非正式的教學影響；6、遺忘或解除演算公式的限制 條件，導致錯誤的規則產生；7、對相關知識不足所產生；8、語言的不正確和含 糊所導致；9、用不完全算則而遭遇僵局所產生的解題方式（Resnick，1987；
Davis，民79；呂玉琴，民83，Resnick ＆ Ford，1981；鄭昭明，民82）。
Ginsburg（1989）也指出學生會覺得使用自己發明的方法解決問題讓他們感 到滿意、有意義。學生在課堂上學習數學並不是單純地將老師教導的銘印在大腦 中，學生會以過去的生活經驗來解決問題，建構出個人的數學意義，在此建構同 時，正是學生產生迷思概念的主因，例如：Hart（1989）發現學生對分數概念不 清楚，主要因解題傾向採用學童法（child methods）或初學法（naive methods）
所造成。這兩種方法的主要特徵是：1.傾向於使用整數；2.包括數數或疊加的方 式；3.只針對手邊的問題來解決，無法發展成一般性的解法；4.當遇到較難的問 題時這些方法就不適用了。顏啟麟（民81）也發現四年級學生在處理分數的加減、
呂玉琴（民80）指出影響兒童分數概念表現的因素有試題因素與學生因素。
試題使用的語言對學童在分數概念的學習影響很大，因語言的不瞭解容易產生錯 誤。Larson（1980）& Kerslake（1986）都曾提出學生在數線上標出錯誤的分數 是受語言次序的影響；而Novillis（1976）則提出是受部分－整體的影響。Hunting
＆ Sharply（1988）對於兒童在處理離散量與連續量的 2 1 、
3 1、
4
1的認知結構時 所犯的錯誤原因可能是因對語言不瞭解或尚未發展相等的觀念，而在解題時缺乏 預期的計劃或檢驗的策略。
Hasemann（1981）以概念投射法探討學生的分數概念時，發現大部分的學童 是屬於概念導向而忽略問題情境，一開始就與問題有關的概念結構相連結而產生 錯誤。
（二）運算錯誤的原因分類
學生在運算犯錯的原因可能有：
1. 無法將概念與運算聯繫
2.
對試題用語不瞭解3.
忽略問題情境Jencks（1981）指出運算符號的操作方法與具體實物操作連接，大部分的學 生只追求記憶中的規則並使用之，但有些規則不能在些某些題目使用，學生卻無 法區別。
Jencks（1981）指出運算符號的操作方法與具體實物操作連接，大部分的學 生只追求記憶中的規則並使用之，但有些規則不能在些某些題目使用，學生卻無 法區別。