試題關聯順序性係數之分析

表4-4 試題關聯順序性係數一覽表

題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

1 - 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 2 .000 - .469 .000 1.000 .726 .000 .000 .469 .469 .717 .346 .660 1.000 1.000 1.000 1.000 .614 .528 1.000 1.000 .000 1.000 1.000 .346 1.000 1.000 3 .000 1.000 - .000 1.000 1.000 .000 .000 1.000 1.000 1.000 .346 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .227 .056 1.000 1.000 .000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 4 1.000 1.000 1.000 - 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 5 .000 1.000 .469 .000 - .726 .000 .000 .469 .469 .717 .346 .660 1.000 1.000 1.000 1.000 .614 .528 1.000 1.000 .000 1.000 1.000 .346 1.000 1.000 6 .000 1.000 .646 .000 1.000 - .000 .000 .646 .646 1.000 .128 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .485 .370 1.000 1.000 .333 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 7 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 - 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 8 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 - 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 9 .000 1.000 1.000 .000 1.000 1.000 .000 .000 - 1.000 1.000 .346 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .227 .056 1.000 1.000 .000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

再 者 ， 假 設 Ｈp 表 示 為 J. Loevinger 所提出的所有試題之等質性係數

（Homogeneity index），設順序性係數的閥值為µ^*，則依照竹谷 誠的研究，全部 試題間順序指向的繁雜程度是以Ｈp值為尺度，而且當全部試題間均具全順序指 向構造，即上下位關聯弱推移性時，表示Ｈp接近2µ^*；當全部試題間均呈現彼此 獨立而無任何順序指向時，表示Ｈp＜2µ^*－1；當全部試題間有半數具順序指向 現象時，表示Ｈp接近 µ^*。因此當選擇順序性係數閥值為 µ^*＝0.5 時，則可整理 出：（引自許天維，民84）

(1)若全部試題間無順序指向，即全部試題間呈現彼此獨立，則表示Ｈp接近 0。

(2)若全部試題間有半數具順序指向，則表示Ｈp接近µ^*＝0.5。

(3)若全部試題間均具順序指向，則表示Ｈp接近1。

另一方面，因全部試題間具順序指向的個數佔總試題間兩兩成對的個數比值 是閥值µ^*的線函數，所以本研究為使試題間具有順序指向個數不過半，以免造成 順序指向過於煩雜，而先選擇最常用的順序性係數閥值以進行分析，亦即將其閥 值設為 µ^*＝0.5（若是順序指向過少，可以將閥值減小；若是順序指向過多，可 以將閥值增加；一般所取閥值是介於 0.4 與 0.6 之間。當 r^*ij≧µ^*＝0.5 時，就會 有第i 試題到第 j 試題的順序存在，在此情況下，以 1 來表示此種順序的指向存 在；反之，則以0 來表示無第 i 試題到第 j 試題的順序性指向存在。於是在此方 式的處理原則下，把前頁表4-5 順序性係數一覽表中之大於 0.5 的係數轉換為 1，

而小於 0.5 的係數轉換為 0，因此可轉換表 4-5 的順序性係數表成為簡便的 0-1 表（0-1 矩陣表），非常有助於畫出指向結構圖，其結果呈現如表 4-5 所示：

表4-5 順序性係數之 0-1 矩陣表

第三節 試題關聯結構圖之繪製

藉由上一節的順序性係數之0-1 矩陣表，經 IRSP 軟體的處理後，可以在電 腦螢幕上繪製出試題關聯結構圖，其處理方式重點如下所述（引自許天維，民 84）：

首先，試舉竹谷 誠（1999）的一個例子，若其順序性 0-1 表的兩試題間的 關係如表4-6：

表4-6 試題順序關係 0-1 矩陣表舉例 試題i

試題j 試題 1 試題 2 試題 3 試題 4 試題 5 試題 6

試題 1 － 0 0 0 0 0

試題 2 1 － 0 0 0 0

試題 3 1 1 － 0 0 0

試題 4 1 0 0 － 0 0

試題 5 1 0 0 1 － 1

試題 6 1 0 0 1 1 －

（一）以縱座標表示通過率，座標上方表示通過率低，座標下方表示通過

（四）將等價的試題合併，即得到試題關聯結構圖，如圖4-3。

答對率 試題關聯結構圖

0.2

0.4 0.5 0.6 0.7

1

4 2

5 6 3

圖4-3 試題關聯結構圖簡化(三)

因IRSP 軟體所繪出的試題關聯結構圖較於繁雜，為使圖形便於觀看分析，

重新再以人工的方法，使用Microsoft Word 軟體將之美化，再用上述處理方式將 試題關聯結構圖簡化，如下節之圖4-4 所示。

試題關聯結構圖是將所有的試題按答對率高低排列順序，形成一種具有指 向固定一方向的階層結構圖。亦即階層性結構圖的指向均是由答對率高的試題指 向答對率低的試題。

第四節 試題關聯結構圖之分析與討論

統計圖的表現概念(圓形圖) 19 統計圖子類間的比較概念(折線圖) 18 統計圖子類間的比較概念(圓形圖) 20 單資料集統計圖的統計概念(長條圖) 24 單資料集統計圖的統計概念(折線圖) 21、22 單資料集統計圖的統計概念(圓形圖) 25 多資料集統計圖的統計概念(長條圖) 27 低

0.12~0.68

多資料集統計圖的統計概念(折線圖) 26

從表4-7 可觀察出，整體答對率高類別（.91~1.00），八題中有七題都是屬「資 料的初步統計概念」，由此可見，受測學生大部分都已具備有統計的初步概念，

而整體答對率中（.71~.88）、低類別（.12~.68）的試題，大部分都是統計圖的表 徵概念，尤其是整體答對率低類別的試題皆是較複雜的統計圖表徵概念，所以受 測學生在此表現不佳。

其次，再就整體試題所表現出的試題關聯結構圖來看。本測驗共有27 題，

以閥值0.5 為標準，所形成的群體受試者之試題關聯結構圖經簡化後如圖 4-4 所 示。以答對率為縱軸，由圖4-4 可以發現整個群體受試者之結構圖是由試題 1、4、

7、8 形成等價為最下位的概念再分成兩個指向向上發展至等價的試題 2、5、11 以及試題12，從這幾個試題再延伸出數個系列結構，最後指向結束於試題 25、

26，為最上位的概念。

此外，在圖4-4 中可觀察到，試題 3、9、10 為一等價群；而試題 14、15 以 及試題21、22 亦為等價群。這些等價群中的試題，除了在結構圖上互相有指向 之外，其在概念上也是屬於同一概念（請參酌第三章第三節之「參、試題內容」）， 這結果是符合研究者所預測的。

0.9

一、從群體學生之整體概念的「主結構」來觀察。從最下位概念試題1、4、7、

8 等價群到試題 3、9、10 等價群同屬「資料的初步統計概念」，這些試題的 受試學生答對率高達.94 以上；由此可知，此班六年級群體受試者，絕大部 分都已具備了基礎初步的統計概念。接著，由「資料的初步統計概念」這 些試題指向試題6 再到試題 2、5、11 等價群，而試題 2、5、6 同屬「符號 並列概念」，試題 11 是屬「資料集製圖概念」，由試題 2、5、11 等價群分 別指向試題13 以及試題 14、15 等價群；試題 14、15 等價群再指向試題 23，

而試題13 和試題 23 同歸指向試題 17，在這個結構中，試題 13 是屬「資料 集製圖概念」，而試題14、15、17、23 同屬「統計圖的表現概念」。再從「統 計圖的表現概念」這些試題指向試題16；再到試題 18 的「統計圖子類間的 比較概念」，接著指向試題21、22 等價群的「單資料集統計圖的統計概念」，

最後指向落於試題27；再到試題 26 的「多資料集統計圖的統計概念」。

二、另外一個受測學生的試題概念「次結構」是從試題1、4、7、8 等價群的「資 料的初步統計概念」跳過「符號並列概念」試題 2、5、6，直接指向試題 12 的「資料集製圖概念」，再到試題 19 的「統計圖的表現概念」，後至試題 20 的「統計圖子類間的比較概念」最終歸向試題 25 的「單資料集統計圖的 統計概念」。而這些試題都是圓形統計圖，其至其它試題的關聯指向也少很 多，從整體結構圖來看，即可得知，圓形圖的試題結構較不同也不融於整 體試題結構，而圓形圖的試題在各概念的結構情形又是如何？這在下一個 部分再做探討分析。

三、以上分析受測學生之試題關聯結構圖的結果，亦對應至前一章第三節之統計 圖概念圖（圖3-3），從「資料的初步統計概念」¼「符號並列概念」¼「資

列的統計圖概念由下而上。這研究結果也符合蘇國樑（民88a）的兒童統計 圖概念發展模式（請參酌第二章第一節之參）。另外，學者譚寧君（民83）

的研究指出，學童在獲得統計圖的表徵概念之前，須先具備有具體數物的 經驗，再到能掌握圖象資料的整理與堆積的統計圖前置經驗，這亦與本研 究結果相符，從統計的初步概念到用符號的整理與堆疊來表現資料集，進 而發展到統計圖的表徵概念。

四、至於為何圓形圖的試題關聯結構圖的指向會跳過「符號並列概念」試題，研 究者推測其最大原因之一可能是符號的堆疊並列概念與長條圖中圖形的長 短概念或折線圖中折點的高低概念有直接的關聯性，而與圓形圖中面積的 大小概念較無關聯性。

貳、子概念試題關聯結構圖

對於整個統計圖概念試題關聯結構圖（如圖 4-4），就子概念相同的試題提 出來觀察討論，用以探究瞭解群體學生在統計圖個別子概念的試題關聯結構圖所 呈現的訊息。茲將七個子概念試題關聯結構圖分述如下：

一、「資料的初步統計概念」子概念試題關聯結構圖之分析

「資料的初步統計概念」子概念中共包含試題 1、3、4、7、8、9、10，這 類試題之概念分析及結構圖如表4-8 及圖 4-5 所示：

表4-8 試題 1、3、4、7、8、9、10 之概念分析

3 9 10

1 4 7 8

圖4-5 「資料的初步統計概念」子概念之試題關聯結構圖

（一）由結構圖4-5 可觀察得知，在「資料的初步統計概念」中有兩個等價群，

一個是試題1、4、7、8 等價群；而另一個等價群是試題 3、9、10，兩等 價群之間有試題1、4、7、8 到試題 3、9、10 的順序性關聯，也就是說，

試題1、4、7、8 是試題 3、9、10 的下位概念；試題 3、9、10 是試題 1、

4、7、8 的上位概念。

（二）就試題內容而言，試題3 是屬未分類符號資料（班上同學的身高）的歸類 計數，題目中雖然是問身高介於130 公分到 140 公分之間共有幾人，但資 料中並無身高剛好是 130 公分或 140 公分的人，故此題沒有「包含下限

（lower limit）」或「不包含上限（upper limit）」端點值的問題，所以某些 受測學生答錯，其原因可能出在計數時，一方面要計數；一方面又要看單 筆資料是否符合題目要求條件，而有遺漏部分資料。其次，試題9、10 是 屬簡單的表格化資料，受測學生由表格中格與格中的數值關係去推敲出答 案，在「資料的初步統計概念」試題中是屬難度較高的題目（試題3、9、

10 的難易度指數為.86，試題 1、4、7、8 的難易度指數為 1.00）。然而，

試題3 與試題 9、10 的題目類型和內容皆不相同，但其之間的關聯性係數

1.0

0.9

0.8

皆是1.00；這結果表示，所有受測學生在試題 3 或試題 9、10 的答對答錯

6 2 5

圖4-6 「符號並列概念」子概念之試題關聯結構圖

（一）試題2、5、6 的試題內容是屬「符號並列概念」，唯試題2、5 是符號「○」

和「3」的直式並列，且是同質性很高的等價關係；試題6 是符號「3」

的橫式並列。從其關聯結構圖 4-6 來觀察，試題 6 有到等價群試題 2、5 的順序性關聯，係數值高達1.00，這也表示，試題 6 符號橫式並列概念是 等價群試題2、5 符號直式並列概念的下位概念；而等價群試題 2、5 是試 題6 的上位概念。在「符號並列概念」上，學童較先具有「符號橫式並列」

的概念，後再有「符號直式並列」的概念，所以此結果也提供了教學者，

在「符號並列概念」的教學上，可從「符號橫式並列」的概念學習上先著 手，再引導至「符號直式並列」的概念學習，這樣的教學安排對學生而言 較為恰當。

（二）另外，試題2 所用的符號是「○」；試題 5 用的是「3」。而受測學生在試 題2 與試題 5 的作答表現均相同，故由此可知，學童的符號並列概念的表

1.0

0.9

0.8

0.7

現，並不會因符號種類不同而有所不同。不僅如此，試題2 的符號是用來