兒童統計圖概念之發展理論

本文所探討的主要重點在於研究兒童統計圖的概念，但由於統計圖不是只 有牽涉到統計概念，其亦涉及到幾何圖形概念，故研究者在本節先就兒童幾何圖 形概念思考發展模式，來分析探討兒童的幾何圖形的數、量概念發展，而後再就 兒童統計圖之概念發展作進一步的分析探討。

壹、Piaget 兒童幾何圖形的數、量概念之分析（王文科，民 80）

Piaget（1970）將認知發展畫分成的四個階段：感覺動作期（sensory-motor period）─從出生至二歲、運思前期（preoperational period）─從二歲至七歲、具 體運思期（period of concrete operations）─從七歲至十一歲、形式運思期（period of formal operations）─從十一歲至十五歲。而其認知發展階段理論的特徵主要有 發展的次序不變、以整體結構闡釋行為模式、各結構間的關係不可替換等（王文 科，民80）。

而本研究以國小高年級學童為研究對象，依據Piaget（1970）的認知發展階 段理論，本研究對象的認知發展階段約在具體運思期與形式運思期之間，具體運 思期的兒童運用的推理歷程，為Piaget 所稱之邏輯運思（logical operations），即 兒童能將邏輯思考的歷程，應用於解決具體的（真正的、可觀察的）問題，就其

其三由靜態而至動態的思考。在具體運思期的兒童，Piaget 將具體運思分成邏輯

─算術運思（logic-arithmetic operations）與空間運思（spatial operations）兩部分，

前者以處理非連續性材料為主，包括關係（relations）、種類（classes）、數目

（numbers）等；後者在於處理連續的知識（王文科，民 80）。

（一）邏輯─算術運思的結構

邏輯─算術運思採取之結構形式，為 Piaget 所稱的「組合」（grouping），

為一種結合「組」（group）與「格」（lattice）二者的特性，而形成的運思系 統（Piaget，1976）。「組」為一種系統，須符合兩個要素：（1）須含有一群 元素；（2）元素中的運算須符合結合性、可逆性（具反元素）、合成性及同 一性（具單位元素）；而「格」的結構，與「組」的頗為類似，也含有兩種 以上元素間的關係結構，只是「格」尚須符合兩個要素：（1）於該一關係 結構中的任何兩項元素，須有一個最小上限，與（2）一個最大下限。前者 係指包括大於或等於二項元素之集合中的最小者，後者係指包括小於或等 二者中的最大者。

邏輯─算術運思在處理物體間的關係，有屬於均衡關係的，如種類或 分類；有屬於非均衡關係的，如次序或系列；又有兼其二者的，如保留與 數目。Piaget 認為七歲至十一歲兒童，能運用組合表示其認知的功能，此種 結構於心理行動中表現時，須以具體的、可覺察的世界為對象（王文科，

民80）。

（二）邏輯─算術運思內容的發展

邏輯─算術運思的結構如上所述，再對保留、系列、種類與數目順序 等內容作分析，以利從中瞭解具體運思期中邏輯─算術運思的特徵。

（1）保留概念

即兒童瞭解某一系統的內部，無論如何變化（非增加或減少量的

期兒童未具保留概念，而本研究對象是屬於具體運思期兒童，已充分 具有保留概念的階段（王文科，民80）。

（2）系列

系列(seriation)亦稱排列次序(ordination)，即指具體運思期兒童處 理物體差異時，能按照由大而小或從小至大的次序排列，建立其間不 同關係的能力（Piaget & Inhelder，1969）。系列能力的獲得之順序為：

長度次序、重量次序、體積次序等。

（3）種類或分類

當兒童確能分類（classification）時，便協調並區分「種類」（class）

的集中性（intension）與外延（extension）兩種重要素質。分類能力發 展的三個階段為：形象聚集、非形象聚集、與分類能力獲致。因此，

種類概念係由分類而來，惟有經由分類的操作，方有特定種類的產生

（Piaget，1976），而兒童在分類能力的獲得，至具體運思期，已經完 全具備。

（4）數目

Piaget 論及數目時，總涉及數目保留（number conservation）的問 題。根據Piaget 的見解，兒童於獲致數目概念前，須先建構以物體的 質為基礎的一與一對應（one-to-one correspondence）的概念（Piaget，

1971）。具體運思期兒童已能對一與一對應的概念掌握的非常好，集合 中的數量固定，不因外形改變而生變化，亦即兒童保留基數的數應。

數目乃綜合種類內涵與次序關係二者而成。

（三）空間運思的發展

空間運思涉及物體內部的關係，即將物體視為統合的整體（unified wholes）處理，與處理物體與物體之間關係的邏輯──算術運思有別。根據 Piaget & Inhelder（1967）的研究中指出兒童幾何概念思考的發展，較接近

階段：

（1）拓樸概念階段（約 3.5 歲∼4 歲）

此一階段的兒童相當於運思前期（preoperational stage）認知發展 階段，僅能掌握拓樸的概念或結構（topological concepts or structure），

由於自我中心觀作祟，而無法建構相對的觀點，只注意到圖形的內或 外及封閉或開放的曲線而已，因不計較其準確性而忽略其正確的形 狀。例如，兒童應要求而畫出的方形、圓形與三角形，雖然既不見直 線，亦無角度，甚至近乎圓的形狀，但卻具有封閉之特性。

在本階段的兒童由於缺乏運思之可逆性，兒童無法以相逆順序，

重建該種順序，或當圖形被遮蔽時，兒童便無法重繪（王文科，民80）。

（2）投影幾何學階段（約 4 歲∼7、8 歲）

此一階段的兒童相當於運思前期（preoperational stage）到具體運 思期（concrete operational stage）認知發展階段。

Piaget & Inhelder（1967）認為其與兒童的拓樸概念差異在於前者 是指特定圖形的內或外部，而後者包含了圖形與投影對象的關係（投 影幾何學）或圖形之間的關係（歐幾里得幾何學）。投影幾何學是一種 透視的幾何學，具有該種概念的兒童能建構一種投射的空間，協調不 同的觀點。

這個階段的兒童對外界的認知，以視覺為考量，自己本身所在的 主觀視覺條件遠大於其他客觀條件，凡是經過視覺所認可的事物，他 們深信各種形狀都會照著視覺的感受而變化，例如距離的遠近會影響 兒童對同一圖形的看法。

（3）歐基里得幾何學階段（約 5 歲之後）

兒童開始形成投影幾何學概念的同時，也正學建構歐基里得幾何

的保留有關，就歐基里得幾何學的概念建構而言，長度保留與距離保 留兩者是較為基本的。兒童在獲得長度與距離保留的能力後，自然能 發展出測量的概念，兒童最初是以最接近自已本身最熟悉的工具，如 自 己 的 手 或 軀 體 來 測 量 ，Piaget 將 此 種 策 略 稱 為 「 手 的 遷 移 」

（manualtransfer）及「軀幹遷移」（bodytransfer）；以後隨著認知的發 展，兒童漸會使用量尺工具以輔助測量。Piaget 曾實驗說明，兒童約 在七、八歲的具體運思期才能確認面積保留概念（王文科，民80）。

根據Piaget 的理論，在本階段的兒童對於圖形的認知必須擺脫視 覺的迷惑，不管圖形怎樣移動，其形狀或大小都保持不變的認知。而 有關幾何圖形數、量的問題，須以下面的保留概念為基礎：

1.認知長度大小的不變性。

2.認知角度大小的不變性。

3.認識面積大小的不變性。

在小學高年級，兒童的圖形概念大部分都已經發展到歐幾里得幾何學概念階 段，所以根據Piaget 的說法，在本階段的兒童運用的思考方式，不再受制於知覺，

而能合乎邏輯地解決具體的問題，在此階段應該都具備關於長度、角度大小或面 積大小的意識（吳貞祥，民69）。

貳、兒童統計概念的分析

一、兒童統計概念的發展

H. E. Daniel（1975）曾於英國家統計學會的演說提及：「統計不是數學，也 不是應用數學。」而D. Moore（1988）和 D. J. Hand（1988）亦曾提出相類似的 看法，然而D. J. Hand 卻提到：「數學是統計的基礎，即透過數學才能將統計概 念或其他科學的概念形式化。」所以，這幾位學者的說法應該意指「統計概念是

蘇國樑（民88a）在「統計概念的啟蒙與發展」中歸納出兒童統計概念的基 礎發展模式，並藉此活動模式發現統計概念的獲得和呈現可以不必透過造數活 動，而且是主體透過資料處理活動後所抽象出來的，能夠表現出資料集內在的結 構關係，或稱為資料結構。因此，教學過程中對資料集的量化、圖表化、和機率 分配模型化都應以學習和獲得資料結構的統計知識為導向。

傳統統計圖的看法是蒐集資料、整理資料、分析資料來作推論的科學方法，

如譚寧君（民83）所提出的四個統計過程的重點：「1、蒐集資料 2、整理資料 3、

呈現資料4、解釋資料。」一般來說，統計方法所強調的是資料處理活動的方式 而並非統計概念，在著重統計概念的獲得和發展的前提下，應以譚寧君所提之後 三個活動來作為分析和掌握統計概念的主要過程，而對統計概念的研究應從低水 平的統計認識開始，因為高階的統計分析方法和其結果雖然可以使資料更一般 化、更簡化，但其隱含的統計概念卻也更難透視，因而要以整理資料、呈現資料 及解釋資料三種方法來處理活動，從而歸納出統計概念的發展模式。

二、兒童統計概念發展模式

依據甯自強（民 82）所持根本建構主義者的觀點，一個統計詞的意義應是 指由此統計詞所引發出的基模，這個被統計詞所引發的基模則是由兒童本身之經 驗所建構而得的（甯自強，民82）。一個統計詞是指有統計行為的意圖或運思，

不見得非實際實施統計行為。也就是說，兒童或許不知道有「統計」這個述詞，

卻也可能有統計的活動，這裡所指的統計活動是有關分類、點計、重述、或重造 資料群體等等之外在或心智的活動而言（蘇國樑、許天維，民83）。

「統計概念」包含了對整組資料或具體物的重造（reproduction）或表徵

（re-presentation）的經驗活動上之抽象（蘇國樑、許天維，民 83）。兒童在在統 計活動中如何去掌握及複製群體，我們可以利用此統計活動來瞭解兒童的資料分

瞭解資料集活動的結果。因此，若統計概念中缺乏統計對象之實質的內容，則無

瞭解資料集活動的結果。因此，若統計概念中缺乏統計對象之實質的內容，則無