九年一貫數學領域幾何數學概念

茲將相關文獻資料歸納成幾何概念的意義、幾何思維的發展、幾何概念的學 習困難及四年級幾何能力指標的說明等四方面，分述如下：

一、 幾何概念的意義

我們在空間內呼吸、運動、生活，為了活得更順適，我們必須探索這空間、

理解之並控制之。我們會用知覺動作與空間中的事物互動，將事物的形狀、位置、

方向、事物加以分解、組合、轉換。我們對於空間的探索也可以分析事物的屬性，

如形狀、大小、方向等等，而形成概念。有了這些概念又可以發現其間的關係，

如等邊三角形的三個角相等。（劉秋木，1996）

Bishop,A.J.(1983)將空間知識分成兩類，一類是意義與理解（meanings and understandings），屬於幾何概念體系的理解，另一類是能力與歷程（abilities and processes），這是空間想像的能力，常為智力測驗的主題。Clements & Battista

（1992）則將空間知識分成幾何思考與空間思考兩類，與 Bishop 的觀點相近。學 校課程以幾何思考或意義與理解的知識為主，甚少涉及空間想像方面的學習活

動。

二、 幾何思維的發展

荷蘭教育家Dina van Hiele-Geldof 及其先生 Pierre Marie van Hiele 提出一套幾 何思維發展的理論，依其理論幾何思維發展有五個階段：視覺的、分析的、非正 式演繹、正式演繹、嚴格，分述如下：

(一) 階段 0：視覺的（visual 或 visualization）

此階段的兒童能依據圖形的外表輪廓來分辨圖形。他們能辨認三角形或 正方形，但其辨認只依其整個形狀，不會分析圖形的性質，知覺主控其幾何 思維。所以他們會說一個圖形是長方形，因為它像個窗。對於兩個圖形的區 別說不出理由，只說是就是看到的。假如兒童說這是一個菱形，並非表示他 知道它的四個邊相等，而只是「這個形狀和我以前學過的稱為【菱形】的圖 形相似」。

此階段兒童可能有下列表現：

1. 能在一組圖形卡中依圖形外貌找出某種圖形。

2. 能用釘板和橡皮筋仿作一個圖形，或用一些圖形拼成另一圖形。

3. 能說出圖形的名稱，能指出兩個圖形是否相同，並作分類。

4. 能依圖形的整體外貌描述一個圖形。

(二) 階段 1：分析的（analytic/descriptive）

此階段的兒童能分析圖形的性質，如三角形有三個邊三個頂點。兒童以 測量、觀察、繪畫、作圖來建立圖形的性質，他們知道某類圖形含有一些相 同的性質，如正方形有四個等邊和四個直角。但他們還不能看出不同類圖形 間的關係，所以他們會認為一個圖形是正方形所以不是長方形。

此階段兒童可能有下列表現

1. 能指出一個圖形的構成要素或要素間的關係，如說出梯形有四個 邊、有兩個邊平行。

形與長方形都有兩組對邊平行，但長方形的角是直角。但還不會認 為長方形是平行四邊形的一種。

3. 能依圖形的性質來建構圖形，例如能畫一個「一組對邊平行，但另 一組對邊不平行的圖形」。

4. 能在測量或操作圖形之後歸納圖形的性質，如發現三角形內角和是 180 度。

5. 能比較不同類圖形間的性質有何異同，如知道長方形與正方形都有 平行的對邊。

(三)階段 2：非正式演繹或抽象的（informal deduction/abstract）

此階段的兒童可以形成抽象的定義，能區別一個概念之必要與充分的條 件，甚至也能提出一些邏輯的議論。他們也能夠建立圖形類別間的包含關 係，例如四邊相等的圖形是菱形，四邊相等且四角皆為直角的圖形是正方 形，所以正方形也是菱形的一種。他們也能依據非正式的演繹推理來確定一 些圖形的性質，例如三角形的內角和為180 度，四邊形可以分解為兩個三角 形，所以四邊形的內角和是360 度。

由於他們能建立圖形類別間的關係，所以能將各種圖形組成一個系統，

例如「四邊形包含梯形包含平行四邊形包含長方形包含正方形」。由這系統 他們可以理解正方形也是梯形的一種。有了這個系統就萌發了邏輯推理。但 這階段尚無演繹推理以證明幾何定理的能力，他們所提出的論證較為片段 的，並非以嚴謹的程序來證明一個命題。

此階段的兒童可能有下列表現

1. 能以圖形的屬性定義一圖形，如梯形是一組對邊平行的四邊形。

2. 建構不同圖形類別間的包含關係。

3. 能使用邏輯關係證明一個陳述，例如「一個三角形假如有兩個角的 和是90 度，則它是直角三角形」。他會說，三角形的內角和是兩個 直角，有兩個角的和是90 度，則另一個角是 180 度－90 度＝90 度。

4. 能以推理發現圖形的性質，如四邊形的內角和是 360 度。

5. 能指出某種圖形有幾組性質，並能以最少數的性質來定義圖形。

(四)階段 3：正式演繹（formal deduction）

此階段的兒童能在一公設化的系統內以邏輯推理推演出定理，例如證明 歐氏幾何定理—三角形內角平分線交於一點。此階段的學生能以邏輯推理解 釋幾何學中的公理、定義、定理等，也能推理出新的定理。他們能理解證明 中的必要與充分條件，例如至少有一個邊對應相等或至少一個角對應相等是 證明兩三角形全等的必要條件，兩角夾邊對應相等則是兩三角形全等的充分 條件。他們也能寫出一定理的逆定理，如平行四邊形的對角線互相平分，其 逆定理是對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

(五)階段 4：嚴格階段（rigor）

此階段的學生不僅能在某一幾何系統（如歐氏幾何）內推演定理，也能 思考不同的公設化幾何系統，比較各系統的基礎。他們可以研究非歐幾何 學。達到此階段的人太少，或許只有專家才達到此階段。

由以上的描述，不難看出這幾個發展階段其實是形成概念、建構理論的 階段：由認識圖形、分析圖形性質、形成概念、發展概念間的關係，而至發 展幾何系統。（劉秋木，1996）

三、 幾何概念的學習困難：研究者根據研究範圍，就四年級幾何能力指標部份來 探討相關文獻所指出的學童學習困難之處。

(一) 平面圖形構成要素方面：

1. 將「鄰邊」指成「對邊」（張英傑、謝貞秀，2003）。

2. 四年級兒童對於四邊形邊之平行或等長概念中，對邊、鄰邊混淆不 清（劉好、黃敏晃，2001）。

3. 誤解角的大小由角的邊長所決定（Wilson 和 Adams，1992）。

4. 對弧或角的概念不夠清楚（周先祝，2003）。

1. 學童巳學過垂直與平行，且經訪談者摺紙示範說明但仍不甚了解其 概念（劉湘川等，1996）。

2. 中年級兒童對於圖形「邊」的性質之了解多於「角」的性質；受方 位影響，認為正方形一定是正正的，菱形一定是斜斜的；認為長方 形是「長長的」形狀，而忽略直角的性質。（謝貞秀，2002）。

3. 認為箏形有「兩雙對邊平行」或「兩雙對邊相等」的性質；認為梯 形是沒有直角，有直角便不是梯形（張英傑、謝貞秀，2003）。

4. 會誤解邊一樣長就會平行；對圖形上直角之確認表現欠佳，會受到 形體的方位或邊的長度影響（朱莉文，2005）。

5. 假若正方形底邊不是水平的，則它就不是正方形（Clement and Battista，1989）。

(三) 平面圖形的辨認方面：

1. 非水平垂直擺放的直角三角形不是直角三角形（高金水，2004）。

2. 等腰直角三角形是正三角形（高金水，2004）。

3. 不能正確指出「兩組對邊分別平行」的四邊形（林軍治，1992）。

4. 未能擺脫菱形的方位影響（蘇英奇，1975）。

5. 受到兩個圖形部分特徵是否相同之影響而錯誤分類（張英傑，

2001b）。

6. 高年級學生在辨認圖形上，會受到圖形的「方位」、「變形」、「原型」

及組成要素的干擾（沈佩芳，2002）。

7. 尚未有正方形也是長方形的包含概念（張英傑、謝貞秀，2003）。

8. 將箏形視作菱形（周先祝，2003）。

9. 學童對於辨識圖形會受到圖形的大小、方位、邊的曲直、邊的長短、

角的大小、封閉性等影響；區辨四邊形邊和角的性質之學習表現仍 欠佳，只偏重單一形體直覺的單一特性（朱莉文，2005）。

(四) 平面圖形全等的認識方面：

1. 極多數學童（96%）對大小差距明顯的圖形能辨別出是否與原圖全 等，但約有一半的學童會受到圖形方位的翻轉或旋轉之影響（朱莉 文，2005）。

2. 在找出對應點與對應邊方面，不少學童（42﹪）整體的表現並不好

（朱莉文，2005）。

(五) 旋轉角的理解方面：

學童在「270 度旋轉角與 90 度角差異的認知」、「估測銳角、鈍角的角度」、

「辨認鐘面兩針的夾角與分針旋轉的角度」等項目的概念或能力表現極 需再加強（賴文正，2004）。

(六) 長方形和正方形的面積公式與周長公式理解方面：

1. 學童對面積公式的來源及意義瞭解不夠，常以記憶公式來解決面積 問題，而造成公式的誤用。又若提供多餘資訊，則學童在應用上更 加困難（王選發，2002）。

2. 學童普遍有兩圖形「面積相等，周長也會一樣」的迷思；同時有不 少學童會混淆長方形的周長與面積概念，誤將面積當成周長（王選 發，2002）。

四、 四年級幾何能力指標的說明

根據教育部（2003）所公佈的九年一貫四年級幾何能力指標之內容如下頁表 2-1 所示：

表2-1 九年一貫數學領域四年級幾何能力指標(引自教育部，2003)

（教育部，2003；朱莉文，2005）：

1. 在實測中認識給定平面圖形的構成要素：先給定圖形，再作實測並認識。

6. 旋轉角度：認識旋轉角度是沿著順時針或逆時針方向轉動的角度。

7. 平面上的垂直：由窗格及三角板了解，垂直相交的兩線段所成的四角相 等，都是直角。

8. 平面上的平行：兩線（段）同時垂直於某線（段）。

9. 長方形面積公式及周長公式：長方形面積＝長×寬；長方形周長＝（長＋

寬）×2。

10. 正方形面積公式及周長公式：正方形面積＝邊長×邊長；正方形周長＝邊 長×4。