國小數學領域四年級幾何能力指標之電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用

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(1)國立台中教育大學教育測驗統計研究所教學碩士論文. 指導教授：郭伯臣博士. 國小數學領域四年級幾何能力指標之電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用. 研究生：陳正二撰. 中. 華. 民. 國. 九. 十. 1. 五. 年. 八. 月.

(2) 摘要本研究旨在建立一套以國小四年級數學領域幾何能力指標為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，同時輔以專家知識結構之電腦補救教學模組，除了診斷出學生能力指標的學習成效外，還可以讓學生進行自我學習，以此模式反覆練習達臻嫻熟之境地。本研究首先分析指標內容，建立能力指標專家知識結構，並依此結構命題，進行紙筆診斷測驗，測驗完成後，再依據試題順序理論和語意結構理論，建立電腦適性診斷測驗施測流程，以進行測驗及評估補救教學之成效。本研究發現： 1. 電腦適性診斷測驗施測的平均施測題數是 18.9 題，與紙筆測驗相比，平均可以節省 7.1 題。 2. 經過電腦適性補救教學後，學生的平均分數有進步，達到顯著差異。所以，本研究所提出之電腦適性診斷測驗系統和補救教學模組，確實可以「因材施測」與「因材施教」，並且有良好的學習成效。. 關鍵字：幾何、電腦適性診斷測驗、電腦適性補救教學、試題順序理論、語意結構理論. i.

(3) Abstract Establishing a system to help Mathematics teaching activities at the elementary school is the aim of the study. This system is composed of Computerized Adaptive Diagnostic Test System and Computerized Adaptive Remedial Instruction. The former is based on the structure of competence indicators of Geometry in Nine-Year Compulsory Curriculum, and the latter is on experts' knowledge structure. After taking the test, the unpracticed competence indicators of students were diagnosed individually, and then correspondent remedial instruction Flash animators were presented to them to learn. The focus of this study is on the competence indicators of "Geometry" of grade 4 in Nine-Year Compulsory Curriculum. After analyzing the contents of textbooks, the structures of competence indicators were constructed, and items were designed according them. Ordering theory and semantic structure analysis are used to decide the students' knowledge structure and those parameters used in the item bank for Computerized Adaptive Diagnostic Test System. Some findings are briefly outlined as follows: 1. The number of items tested by students in the Computerized Adaptive Diagnostic Test System is 18.9 averagely. This system can save 7.1 items averagely, and the test-taking time is also saved simultaneously. 2. The progress of students is significant after the Adaptive Remedial Instruction. Therefore, the two systems ─ Computerized Adaptive Diagnostic Test System and Computerized Adaptive Remedial Instruction, proposed in this study can factually test and remedy students’ abilities individually.. Keywords: Geometry, Computerized Adaptive Diagnostic Test, Computerized Adaptive Remedial Instruction, ordering theory, semantic structure. ii.

(4) 目錄第一章緒論……………………………………….…….….…………1 第一節研究動機 …………………………………….…………1 第二節研究目的 …………………………………….…………3 第三節名詞定義 …………………………………….…………4 第四節研究限制 …………………………………….…………4 第二章文獻探討 ………………………………………….…………6 第一節九年一貫數學領域幾何數學概念 …………….………6 第二節數學能力指標試題化……………………….…………13 第三節電腦化診斷測驗…………………………….…………20 第四節多點記分試題順序結構理論……………….…………30 第三章研究方法與步驟………………………………….…………33 第一節研究對象…………………………………….…………33 第二節研究工具…………………………………….…………33 第三節研究方法與流程………………………….……………35 第四節資料處理與分析……………………….………………39 第四章研究結果與分析…………………………….………………40 第一節幾何能力指標專家知識結構………….………………40. iii.

(5) 第二節紙筆診斷測驗相關分析……………………..…………45 第三節幾何能力指標學生試題結構………………..…………48 第四節電腦化適性診斷測驗…………………….….…………56 第五節電腦動畫補救教學成效……………….…….…………59 第六節幾何能力指標的學習成效…………….…….…………59 第五章結論與建議…………………………………….….…………68 第一節結論…………………………….…………….…………68 第二節建議參考文獻. ……………………………….……….…………69. ……………………………………………..………………71. 附錄一知識結構編製原則…………………………..………………74 附錄二命題檢核表…………………………………..………………75 附錄三數學領域四年級幾何診斷測驗試題………..………………77 附錄四試卷檢核表………………………………..…………………87 附錄五補救教學內容摘要……………………..……………………88. iv.

(6) 圖目錄圖 2-1 Chang et al.,適性測驗流程……………………………………22 圖 2-2 專家知識結構…………………………………………………27 圖 2-3 電腦化適性診斷測驗系統實施流程…………………………28 圖 2-4. 指標內試題順序結構與指標間順序結構結合示意圖……..32. 圖 3-1 紙筆診斷測驗製作流程圖……………………………………34 圖 3-2 研究流程圖……………………………………………………38 圖 4-1 能力指標 4-s-01 專家知識結構圖……………………………40 圖 4-2 能力指標 4-s-02 專家知識結構圖……………………………41 圖 4-3 能力指標 4-s-03 專家知識結構圖……………………………42 圖 4-4 能力指標 4-s-04 專家知識結構圖……………………………42 圖 4-5 能力指標 4-s-05 專家知識結構圖……………………………43 圖 4-6 能力指標 4-s-06 專家知識結構圖……………………………43 圖 4-7 能力指標 4-s-07 專家知識結構圖………..…..………………44 圖 4-8 能力指標 4-s-09 專家知識結構圖……………………………45 圖 4-9 能力指標 4-s-01 學生知識結構圖……………………………49 圖 4-10. 能力指標 4-s-02 學生知識結構圖………………………..…50. 圖 4-11：能力指標 4-s-03 學生知識結構圖………………………..…51. v.

(7) 圖 4-12. 能力指標 4-s-04 學生知識結構圖…………….……………51. 圖 4-13. 能力指標 4-s-05 學生知識結構圖…………….……………52. 圖 4-14. 能力指標 4-s-06 學生知識結構圖…………….……………52. 圖 4-15. 能力指標 4-s-07 學生知識結構圖…………….……………53. 圖 4-16. 能力指標 4-s-09 學生知識結構圖……………….…………54. 圖 4-17. 四年級幾何指標間學生試題結構圖…………….…………56. 圖 4-18. 電腦化適性診斷測驗進入畫面 …………..….……………57. 圖 4-19. 電腦化適性診斷測驗試題呈現畫面………….……………57. 圖 4-20. 電腦化適性診斷測驗實驗一結束畫面………….…………58. 圖 4-21. 能力指標概念節點 4s06~1-1-1 補救教學畫面一….………59. 圖 4-22. 能力指標概念節點 4s06~1-1-1 補救教學畫面二………… 60. 圖 4-23. 能力指標概念節點 4s06~1-1-1 補救教學畫面三………… 60. 圖 4-24. 能力指標概念節點 4s06~1-1-1 補救教學畫面四………… 61. 圖 4-25. 能力指標概念節點 4s06~1-1-1 補救教學畫面五………… 61. vi.

(8) 表目錄表 2-1 九年一貫數學領域四年級幾何能力指標……….……..……12 表 2-2 試題 A、B 次數分配表………………………….…….…..…24 表 2-3 試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率…………...….………..26 表 4-1 試題分析表………………………………………….…..……46 表 4-2 四年級幾何能力指標學習成效……………………...………48 表 4-3 指標間順序性係數矩陣…………………………..….………55 表 4-4 指標間順序性矩陣……………………………..…….………55 表 4-5 實驗一測驗結果分析表……………………..……….………58 表 4-6 整體前、後測成績相依樣本檢定表……..………….………62 表 4-7 高分組前、後測成績相依樣本檢定表…..………….………63 表 4-8 中分組前、後測成績相依樣本檢定表…..………….………63 表 4-9 低分組前、後測成績相依樣本檢定表…..………….………63 表 4-10. 同分學生能力指標未通過情形記錄表…………….………64. 表 4-11 能力指標通過率相依樣本檢定表………………….………65 .. vii.

(9) 第一章. 緒論. 教育部宣布九年一貫課程自九十學年度起從一年級開始實施，在數學領域方面分成了五大主題，並且以能力指標為評量依據。教師如何能在教學之後，用最短的時間診斷出學生在各能力指標的學習狀況，並針對每個學生進行適性化的補救教學是本研究所欲達到的目標。本章共分四節，茲分述如下。. 第一節研究動機教導學生能應用知識在生活上一向是教育的一項重要目的，而學生在學校學習的知識來源主要是課程和教材。課程和教材是學校教育的核心，此亦為教師專業活動之根據（教育部，2003）。近年來教育部進行一連串的教育改革，不但改革課程與教學，更強調要協助學生具有帶得走的基本能力。然而「能力」是抽象的概念，其內涵究竟為何，不易取得共識，因而用另一個較可測量或可觀察的指標來指出或表徵該現象（洪瑞鎂，2001）。這些可測量、可觀察的指標就是「能力指標」。教育部自九十學年度一年級開始，便以九年一貫暫行網要的能力指標為設計課程的標準，但暫行綱要受到社會各界的質疑，所以在舉辨多次公聽會及彙整社會各方的意見後，於民國九十二年確定各學習領域的正式綱要，明訂出各學習領域中每個學習階段的能力指標。其中數學領域修訂的幅度最大，因為多數的數學能力指標須採分年進階式教學方能達成其教學目標，因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋。能力指標、分年細目與分年細目詮釋之內容則是教師教學及教科書編輯的主要參考依據。（教育部，2003）過去教師在數學教學上皆以部編本的教科書為主要上課內容，全國統一，所. 1.

(10) 以全國的學生不會有學習上的差異。九年一貫課程實施後，開放審定本的教科書及自編學習教材，依照一綱多本的精神，各版本的教科書及自編學習教材都應該依據課程綱要能力指標來編排內容，但實施的這幾年來，任課的教師卻發現各個版本的教科書內容上存有許多差異，因此教師在教學過後便會存疑，講授的版本是否會漏掉了某個能力指標？經過這些教學活動後，學生真的具備有能力指標代表的數學能力嗎？要了解這些問題的答案，最直接的方法就是透過對學生的評量。教育部（2003）提到：教學評量宜同時關照到學習成就與學習歷程，分析學生是否能達到能力指標的要求。教師應以教材內容、教學目標與相關課程能力指標訂定評量的標準，不宜在教學評量中，出現困難度高的題目，而細目詮釋中所附的評量範例，可作為教師命題的參考。評量的目的有多種，國小階段，教師進行評量的主要目的就是了解學生的學習成就和學習困難，尤其評量後更是要針對學生的學習困難處進行補救教學，讓學生能學會該能力指標所要求的基本能力。但在進行評量時，令教師們感到較為棘手的問題可分為下列三方面：一、診斷測驗的編製。二、施測後測驗的計分及記錄。三、如何根據測驗結果進行適當補救教學。（郭伯臣，2003）這三項工作皆需耗費教師大量的時間和精力來進行。研究者思考是否可以找出一個快速、可靠而且能引起學生學習動機的方法來進行診斷測驗及補救教學？教育部於民國八十八年資訊教育基礎建設-擴大內需方案中，補助國中、小購置電腦軟、硬體設備及相關網路設備，並推動應用資訊科技以改進各學科教學品質。在校校有電腦教室的情況下，是否可以嘗試利用電腦和網路進行診斷測驗的編製、實施、評分和後續的補救教學工作。郭伯臣（2003，2004）的國科會專題研究「國小數學科電腦化適性診斷測驗(I)(II)」，主要目的在嘗試建立以知識及試題結構為基礎，發展具有診斷學生錯誤概念的電腦化適性測驗，此一適性測驗 2.

(11) 系統異於其它電腦測驗系統之處為：一、根據學生學習後之知識（試題）結構設計適性施測流程，可依不同受試者的作答情形而給予適當的試題，藉此節省大量的試題、縮短測驗時間，並可對學生的剖面圖得到精確的估計。二、根據學生的作答情形診斷出學生在數學科學習上的困難問題，對學生進行有利於電腦補救教學之分類，並即時進行補救教學。依據聯合報報導，我國國中小學生數學計算能力優於美國學生，但理解、推理能力較差，遇到幾何圖形或要理解的題目就沒輒（陳智華，2006）。可見國內學童對於幾何方面能力較弱，所以研究者嘗試建立一電腦測驗系統，針對即將實施的九年一貫課程四年級幾何主題能力指標的部份建立題庫，並利用電腦化適性診斷測驗的方式，以評估學生的學習成就，再根據評估的結果，診斷個別學生學習困難之處，以進行電腦適性補救教學。. 第二節研究目的基於上述研究動機，本研究的主要目的有下列四點：一、建置四年級數學領域幾何能力指標的電腦化適性診斷測驗及電腦補救教學模組。二、驗證電腦化適性診斷測驗是否能節省施測題數與達到預定之預測精準度。三、檢驗電腦補救教學是否具有成效。四、使用所建立的電腦化適性診斷測驗評估國小四年級學童在幾何能力指標方面的學習成效。. 3.

(12) 第三節. 名詞定義. 一、專家知識結構本研究中編製的診斷測驗試題所依據的專家知識結構，是由數位具有多年教學經驗的國小教師及學科專家根據學理及經驗，分析九年一貫能力指標四年級幾何主題分年細目所列之概念，再根據學生的學習歷程、概念發展順序及概念間上下位關係，整理而成的一種結構。二、學生知識結構本研究中的學生知識結構，是指學生經由紙筆診斷測驗後，將作答資料透過順序理論（Ordering Theory）及多點計分試題結構理論分析指標內各概念節點及指標間的上、下位結構關係。三、電腦化適性診斷測驗本研究中的電腦化適性診斷測驗(Computerized Adaptive Diagnostic Test)與傳統紙筆測驗有很大的不同。測驗的進行方式是依據學生知識結構，由指標內的上位概念開始施測，若學生答對上位概念，則假設下位概念也會答對，以節省施測下位概念的時間，進而能快速而精確的進行適性診斷，並找出學生的學習困難，提供適性補救教學之參考。三、電腦適性補救教學本研究中之電腦適性補救學是指在電腦適性診斷測驗後，依據其分析出的個別學生迷思概念，以 Flash MX 所編製之動畫，進行適性化之概念教學。. 第四節研究限制數學領域能力指標分為五大主題，分別是：數與量、幾何、代數、統計與機率、連結。其中四年級能力指標分年細目共計有 32 個指標，因為範圍龐大，所以共有五位研究者共同參與研究，本研究範圍只限於「幾何」主題，並且扣除 4s08. 4.

(13) 「能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形」此一屬於實作圖形方面的能力指標。另外，因為能力指標的診斷測驗乃在評量學生學習的情形，故需要求受試者於四年級幾何能力指標學習完後再進行施測，以了解各能力指標的學習情形。. 5.

(14) 第二章. 文獻探討. 為了達到本研究的目的，本研究方法首先將蒐集下列領域之相關資料，然後分析、歸納並提出新的方法：一、九年一貫數學領域幾何數學概念。二、數學能力指標試題化。三、電腦化診斷測驗。四、多點計分試題順序結構理論。本研究相關文獻之整理如下：. 第一節九年一貫數學領域幾何數學概念茲將相關文獻資料歸納成幾何概念的意義、幾何思維的發展、幾何概念的學習困難及四年級幾何能力指標的說明等四方面，分述如下：一、幾何概念的意義我們在空間內呼吸、運動、生活，為了活得更順適，我們必須探索這空間、理解之並控制之。我們會用知覺動作與空間中的事物互動，將事物的形狀、位置、方向、事物加以分解、組合、轉換。我們對於空間的探索也可以分析事物的屬性，如形狀、大小、方向等等，而形成概念。有了這些概念又可以發現其間的關係，如等邊三角形的三個角相等。（劉秋木，1996） Bishop,A.J.(1983)將空間知識分成兩類，一類是意義與理解（meanings and understandings），屬於幾何概念體系的理解，另一類是能力與歷程（abilities and processes），這是空間想像的能力，常為智力測驗的主題。Clements & Battista （1992）則將空間知識分成幾何思考與空間思考兩類，與 Bishop 的觀點相近。學校課程以幾何思考或意義與理解的知識為主，甚少涉及空間想像方面的學習活. 6.

(15) 動。二、幾何思維的發展荷蘭教育家 Dina van Hiele-Geldof 及其先生 Pierre Marie van Hiele 提出一套幾何思維發展的理論，依其理論幾何思維發展有五個階段：視覺的、分析的、非正式演繹、正式演繹、嚴格，分述如下： (一) 階段 0：視覺的（visual 或 visualization）此階段的兒童能依據圖形的外表輪廓來分辨圖形。他們能辨認三角形或正方形，但其辨認只依其整個形狀，不會分析圖形的性質，知覺主控其幾何思維。所以他們會說一個圖形是長方形，因為它像個窗。對於兩個圖形的區別說不出理由，只說是就是看到的。假如兒童說這是一個菱形，並非表示他知道它的四個邊相等，而只是「這個形狀和我以前學過的稱為【菱形】的圖形相似」。此階段兒童可能有下列表現： 1.. 能在一組圖形卡中依圖形外貌找出某種圖形。. 2.. 能用釘板和橡皮筋仿作一個圖形，或用一些圖形拼成另一圖形。. 3.. 能說出圖形的名稱，能指出兩個圖形是否相同，並作分類。. 4.. 能依圖形的整體外貌描述一個圖形。. (二) 階段 1：分析的（analytic/descriptive）此階段的兒童能分析圖形的性質，如三角形有三個邊三個頂點。兒童以測量、觀察、繪畫、作圖來建立圖形的性質，他們知道某類圖形含有一些相同的性質，如正方形有四個等邊和四個直角。但他們還不能看出不同類圖形間的關係，所以他們會認為一個圖形是正方形所以不是長方形。此階段兒童可能有下列表現 1.. 能指出一個圖形的構成要素或要素間的關係，如說出梯形有四個邊、有兩個邊平行。. 2.. 能由兩個圖形之要素與其間關係的異同比較兩個圖形，如平行四邊. 7.

(16) 形與長方形都有兩組對邊平行，但長方形的角是直角。但還不會認為長方形是平行四邊形的一種。 3.. 能依圖形的性質來建構圖形，例如能畫一個「一組對邊平行，但另一組對邊不平行的圖形」。. 4.. 能在測量或操作圖形之後歸納圖形的性質，如發現三角形內角和是 180 度。. 5.. 能比較不同類圖形間的性質有何異同，如知道長方形與正方形都有平行的對邊。. (三)階段 2：非正式演繹或抽象的（informal deduction/abstract）此階段的兒童可以形成抽象的定義，能區別一個概念之必要與充分的條件，甚至也能提出一些邏輯的議論。他們也能夠建立圖形類別間的包含關係，例如四邊相等的圖形是菱形，四邊相等且四角皆為直角的圖形是正方形，所以正方形也是菱形的一種。他們也能依據非正式的演繹推理來確定一些圖形的性質，例如三角形的內角和為 180 度，四邊形可以分解為兩個三角形，所以四邊形的內角和是 360 度。由於他們能建立圖形類別間的關係，所以能將各種圖形組成一個系統，例如「四邊形包含梯形包含平行四邊形包含長方形包含正方形」。由這系統他們可以理解正方形也是梯形的一種。有了這個系統就萌發了邏輯推理。但這階段尚無演繹推理以證明幾何定理的能力，他們所提出的論證較為片段的，並非以嚴謹的程序來證明一個命題。此階段的兒童可能有下列表現 1.. 能以圖形的屬性定義一圖形，如梯形是一組對邊平行的四邊形。. 2.. 建構不同圖形類別間的包含關係。. 3.. 能使用邏輯關係證明一個陳述，例如「一個三角形假如有兩個角的和是 90 度，則它是直角三角形」。他會說，三角形的內角和是兩個直角，有兩個角的和是 90 度，則另一個角是 180 度－90 度＝90 度。. 8.

(17) 4.. 能以推理發現圖形的性質，如四邊形的內角和是 360 度。. 5.. 能指出某種圖形有幾組性質，並能以最少數的性質來定義圖形。. (四)階段 3：正式演繹（formal deduction）此階段的兒童能在一公設化的系統內以邏輯推理推演出定理，例如證明歐氏幾何定理—三角形內角平分線交於一點。此階段的學生能以邏輯推理解釋幾何學中的公理、定義、定理等，也能推理出新的定理。他們能理解證明中的必要與充分條件，例如至少有一個邊對應相等或至少一個角對應相等是證明兩三角形全等的必要條件，兩角夾邊對應相等則是兩三角形全等的充分條件。他們也能寫出一定理的逆定理，如平行四邊形的對角線互相平分，其逆定理是對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 (五)階段 4：嚴格階段（rigor）此階段的學生不僅能在某一幾何系統（如歐氏幾何）內推演定理，也能思考不同的公設化幾何系統，比較各系統的基礎。他們可以研究非歐幾何學。達到此階段的人太少，或許只有專家才達到此階段。由以上的描述，不難看出這幾個發展階段其實是形成概念、建構理論的階段：由認識圖形、分析圖形性質、形成概念、發展概念間的關係，而至發展幾何系統。（劉秋木，1996）三、幾何概念的學習困難：研究者根據研究範圍，就四年級幾何能力指標部份來探討相關文獻所指出的學童學習困難之處。 (一) 平面圖形構成要素方面： 1.. 將「鄰邊」指成「對邊」（張英傑、謝貞秀，2003）。. 2.. 四年級兒童對於四邊形邊之平行或等長概念中，對邊、鄰邊混淆不清（劉好、黃敏晃，2001）。. 3.. 誤解角的大小由角的邊長所決定（Wilson 和 Adams，1992）。. 4.. 對弧或角的概念不夠清楚（周先祝，2003）。. (二) 平面圖形的性質方面：. 9.

(18) 1.. 學童巳學過垂直與平行，且經訪談者摺紙示範說明但仍不甚了解其概念（劉湘川等，1996）。. 2.. 中年級兒童對於圖形「邊」的性質之了解多於「角」的性質；受方位影響，認為正方形一定是正正的，菱形一定是斜斜的；認為長方形是「長長的」形狀，而忽略直角的性質。（謝貞秀，2002）。. 3.. 認為箏形有「兩雙對邊平行」或「兩雙對邊相等」的性質；認為梯形是沒有直角，有直角便不是梯形（張英傑、謝貞秀，2003）。. 4.. 會誤解邊一樣長就會平行；對圖形上直角之確認表現欠佳，會受到形體的方位或邊的長度影響（朱莉文，2005）。. 5.. 假若正方形底邊不是水平的，則它就不是正方形（Clement and Battista，1989）。. (三) 平面圖形的辨認方面： 1.. 非水平垂直擺放的直角三角形不是直角三角形（高金水，2004）。. 2.. 等腰直角三角形是正三角形（高金水，2004）。. 3.. 不能正確指出「兩組對邊分別平行」的四邊形（林軍治，1992）。. 4.. 未能擺脫菱形的方位影響（蘇英奇，1975）。. 5.. 受到兩個圖形部分特徵是否相同之影響而錯誤分類（張英傑， 2001b）。. 6.. 高年級學生在辨認圖形上，會受到圖形的「方位」、「變形」、「原型」及組成要素的干擾（沈佩芳，2002）。. 7.. 尚未有正方形也是長方形的包含概念（張英傑、謝貞秀，2003）。. 8.. 將箏形視作菱形（周先祝，2003）。. 9.. 學童對於辨識圖形會受到圖形的大小、方位、邊的曲直、邊的長短、角的大小、封閉性等影響；區辨四邊形邊和角的性質之學習表現仍欠佳，只偏重單一形體直覺的單一特性（朱莉文，2005）。. (四) 平面圖形全等的認識方面：. 10.

(19) 1.. 極多數學童（96%）對大小差距明顯的圖形能辨別出是否與原圖全等，但約有一半的學童會受到圖形方位的翻轉或旋轉之影響（朱莉文，2005）。. 2.. 在找出對應點與對應邊方面，不少學童（42﹪）整體的表現並不好（朱莉文，2005）。. (五) 旋轉角的理解方面：學童在「270 度旋轉角與 90 度角差異的認知」、「估測銳角、鈍角的角度」、「辨認鐘面兩針的夾角與分針旋轉的角度」等項目的概念或能力表現極需再加強（賴文正，2004）。 (六) 長方形和正方形的面積公式與周長公式理解方面： 1.. 學童對面積公式的來源及意義瞭解不夠，常以記憶公式來解決面積問題，而造成公式的誤用。又若提供多餘資訊，則學童在應用上更加困難（王選發，2002）。. 2.. 學童普遍有兩圖形「面積相等，周長也會一樣」的迷思；同時有不少學童會混淆長方形的周長與面積概念，誤將面積當成周長（王選發，2002）。. 四、四年級幾何能力指標的說明根據教育部（2003）所公佈的九年一貫四年級幾何能力指標之內容如下頁表 2-1 所示：. 11.

(20) 表 2-1 九年一貫數學領域四年級幾何能力指標(引自教育部，2003) 分年細目編號. 內. 容. 說. 明. 主題階段編號. 4-s-01 能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平面圖 S-2-01 形。 4-s-02 能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。 S-2-03 4-s-03 能認識平面圖形全等的意義。. S-2-04. ，使用量角器實測角度或畫出指 N-1-16# 4-s-04 能認識角度單位「度」定的角。（同 4-n-14） S-2-05 4-s-05 能理解旋轉角的意義。. S-2-05. 4-s-06 能理解平面上直角、垂直與平行的意義。. S-2-02. 4-s-07 能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。 S-2-02 S-2-03 4-s-08 能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平 S-2-02 S-2-03 面圖形。 4-s-09 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。（同 4-n-16）. N-2-17 S-2-07. 與四年級幾何能力指標相關的數學概念經由整理學者的觀點之後，綜述如下（教育部，2003；朱莉文，2005）： 1. 在實測中認識給定平面圖形的構成要素：先給定圖形，再作實測並認識。 2. 由構成要素來刻畫一簡單幾何圖形：強調用構成要素的性質來「刻畫」一理想的幾何圖形。 3. 基本三角形及其性質：例如，等腰三角形兩底角相等。 4. 基本四邊形及其性質：例如，平行四邊形沿對角線分開之兩三角形全等。 5. 簡單平面圖形的全等：指兩平面圖形在疊合時，其頂點、邊、角完全重合。. 12.

(21) 6. 旋轉角度：認識旋轉角度是沿著順時針或逆時針方向轉動的角度。 7. 平面上的垂直：由窗格及三角板了解，垂直相交的兩線段所成的四角相等，都是直角。 8. 平面上的平行：兩線（段）同時垂直於某線（段）。 9. 長方形面積公式及周長公式：長方形面積＝長×寬；長方形周長＝（長＋寬）×2。 10. 正方形面積公式及周長公式：正方形面積＝邊長×邊長；正方形周長＝邊長×4。. 第二節. 數學能力指標試題化. 茲將相關文獻整理成三部份敘述，分別為「能力的評量」、「相關能力指標試題化的研究」、「單選選擇題的介紹」。一、. 能力的評量能力（abilities）一詞其含意頗為籠統，並且常與許多類似的概念混淆不清，. 國內學者張春興將能力定義為：指個人在遺傳與成熟的基礎上，經由環境的訓練或教育而獲得的知識與技能。此類能力可由行為上表現出來，做為與別人比較高低的依據，也稱為成就（張春興，1983）。我國在九年一課程實施後，強調能力的養成，在七大領域中的數學領域，期望教師們透過不同於以往的教學方式，讓學生在學習中培養其十大基本能力，並融會貫通，以面對未來的挑戰，並設定各領域的分段能力指標及分年細目，每一能力指標及分年細目就是課程的主要概念。當研究者欲了解研究對象在學習之後獲得多少能力，必須藉由可以實際測量的行為來分析，也就是必須依據分段能力指標及分年細目，設計適切的試題，藉由受測者在試題上的表現，推論其是否具 13.

(22) 備該能力指標及分年細目所指的能力。依暫行綱要的說明，九年一貫課程數學領域能力指標強調以「80%學生能夠學會」的訴求來設計（教育部，1998）。對於是否能夠符合此預設目標，以及如何將能力指標試題化，相關的研究並不多，相關的研究說明於下一段。二、. 相關能力指標試題化的研究鄭蕙如（2001）以NAEP(The National Assessment of Educational Progress)、. TIMSS(The Trends in International Mathematics and Science Study)之內容領域及認知分類，和Bloom的認知目標教育分類，分析比較九年一貫課程數學領域三、四階段（六 ~ 九年級）之分段能力指標，以了解國內學者訂定課程之概念。藉由參考 NAEP、TIMSS、教育部九年一貫課程數學領域中之各階段能力指標之參考試題，配合九年一貫課程數學領域三、四階段（六 ~ 九年級）的能力指標，嘗試建立符合九年一貫數學科課程領域的能力測驗試題題庫，以評鑑教育部所提出之九年一貫課程數學領域三、四階段之課程，同時也了解學生之數學能力。陳雁芳，黃美芳（2004）參考NAEP、TIMSS的內容領域分析方式，根據新修訂Bloom認知領域分類法及NAEP評量架構的向度來解讀能力指標分年細目的內涵，並確認內涵中所包含的概念數，針對個別概念進行命題，將能力指標轉化為試題形式，以得知受試者在各能力指標的表現情形。以四年級為例，共有32個指標，72題試題，設計四份題本，透過平行等化，將不同試卷所得的分數轉換至同一量尺上。結果顯示，學童在四年級數學能力的表現上，有10個指標的達成度為高達成度（答對率80%以上），14個指標為中達成度（50%~80%之間），而有6 個指標表現不佳，為低達成度（不到50%）。國立教育研究院籌備處為建立台灣學生學習成就評量資料庫（ Taiwan Assessment of Student Achievement, 簡稱 TASA ）邀集國立臺中教育大學、國立臺北教育大學、國立臺南大學、國立新竹教育大學、國立屏東教育大學五所大學合作，分別負責國語、英語、數學、社會、自然五科試題研發，並自93年10月起 14.

(23) 開始進行試題研發、施測等工作事宜，94 年5 月26 日進行小六學生國英數三科的抽測工作。其中數學方面在2005「臺灣學生數學學習成就評量」的測驗內容，係以教育部所公布的「國民小學九年一貫課程暫行綱要」的能力指標為依據，側重學生生活數學經驗的連結。題目的設計，以數學概念理解、程序應用、和問題解決能力為主要評量的目標。測驗架構是以數學內容及題型兩個向度建構而成。數學內容可區分為數與計算、量與實測、幾何、統計與機率、以及代數五個內容領域，測驗內容依據數學領域課程綱要，同時參酌各版本的教材。國小六年級數學以「數與計算」為主要內容，「統計與機率」與「代數」相對比重較輕。總設計題數為130題選擇題和13題應用題，所有試題分為13個試題區塊，每個考生作答3個試題區塊，也就是說一份測驗題本包含3 個試題區塊。2005 TASA－MA 依據平衡不完全區塊（balanced incomplete block--BIB）的原則，將13 個試題區塊編組成26 份題本。施測時26 份題本循序分派發給考生。測驗結果以量尺分數表示，該分數是考生真分數的線性轉換，量尺的平均數為250 標準差為50。在全臺灣抽樣10346 位六年級學生（有效樣本為10117 人）進行測驗，結果顯示未達基礎水準佔19.1%，他們的平均答對率為35%左右，亟待補救資源的協助，以利國中數學學習的進展。達到基礎、精熟、和進階水準人數比率依序為40.5%，34.7% 和5.7%，相鄰兩水準間學生平均答對率的差異約為18%左右，其中進階水準學生表現極為優異，平均答對率約為88.32%（教育部，2005）。三、. 單選選擇題的介紹能力指標評量的方式目前應用最多的還是採單選選擇題的方式實施，單選選. 擇題也為一般考試最常用的題型之一，其基本架構包括兩部分：1.題幹（Stem）由直接問句或不完全的敘述句所構成。2.選項（Options）包含一個正確選項及若干個誘答選項（distracters），一般選項個數為三至五個。除了少數連貫性的試題外，每一個試題與其他試題間並沒有相互關係存在，彼此是獨立的。單選選擇題的編擬在使具備欲測能力的學生，能夠選出正確的選項，不為誘 15.

(24) 答的錯誤選項所困惑，並使一無所知或一知半解的學生，選擇誘答選項。因此在設計題幹和選項時，需特別注意才能達到所要求的目的，以下分別就題幹與選項分別敘述其編製原則，並分析單選選擇題的優、缺點。（一）題幹部分：單選選擇題提供解題的資訊就在於題幹部分，對於題幹的命題原則，主要有以下幾項： 1.題幹可以為直接問句（direct question）或不完全的敘述句（incomplete statement），一般而言還是以直接問句為佳。題幹的敘述應力求直接、明確且能顯示題意且包含足夠的答題訊息。亦即，不需另外附加說明，就能使受試者清楚題目的意思。 2.題幹宜簡潔，太過冗長或過分強調閱讀能力，將影響受試者作答的情況或測不出原先欲測的能力，最後將影響到測驗的信度和效度。 3.題幹儘可能以正面方式敘述，通常以正面方式敘述的選擇題，較能測量出學習的重要結果，對受試者而言，也能加強其對事物正面的看法。反面敘述的方式則著重受試者辨認錯誤選項的能力，難以推知受試者的真正能力。因此，在使用否定字詞時，應當將此部份加粗或劃底線以免受試者忽略題幹真正的意義。 4.題幹應力求完整，避免被選項分隔成兩部分。因為完整的題幹將有助受試者對試題有完整的概念，且容易掌握題意，將題幹分成兩部分，將增加作答的困難程度，使測驗的信度和效度降低。 5.每一試題必須要有一個確定而不致引起爭論的答案。理想上每個試題都應有一個完全正確的答案，但事實上許多良好的試題，只要求受試者選出一個最佳的答案。無論哪種類型的題目，均須要有一個確定，而不致引起爭議的答案。正確答案題目只可提供一個正確的選項；而最佳答案題目的最佳答案必須由大多數測驗專家所共同認定。 16.

(25) （二）選項部分：單選選擇題是讓受試者從題目的幾個選項中，選擇一個正確或最適當的選項來當作答案，命題者在考量這些選項所要放的內容時，需要特別的注意，因為受試者是根據這些選項來作答的，以下有幾點是在設計選項時，所需特別注意的： 1.同一測驗所有的選擇題應該要有相同的選項數（以三個至五個為宜），以免學生作答時疏忽。而選項數的多寡，需配合受試者的年齡與身心成熟程度，一般以四個選項為主，過多的選項會增加試題的困難程度，而使得學生猜題的比例增加。 2.誘答選項與題幹之間應有相當的邏輯性和似真性。 3.「以上皆非」的選項不適用於最佳答案題目的選擇題，僅適用於對、錯明確區分的正確答案題目。因此，使用「以上皆非」為預期答案的選擇題，僅能測量受試者辨識不正確選項的能力，不能保證受試者一定具備知道正確答案的能力，因此在編製試題上還是少用「以上皆非」的選項，除非選項數目不夠的時候。 4.「以上皆是」的選項同樣不適用於最佳答案題目的選擇題，僅適用於對、錯明確區分的正確答案題目。在試題的設計上，若選項有「以上皆是」，那就應當要特別小心，一定要每個選項都完全正確，不能有任何一個選項有絲毫的疑問，以免受試者無法判斷正確選項為何，因此而降低測驗的效度。 5.選項之間應避免重疊現象，且宜按選項的選擇順序排列之。如果選項之間有重疊的現象，將導致受試者無法作答，而選項之間若是有一些次序關係或其他特殊關係存在時，例如：都是數字，那最好能由大排到小或由小排到大，才不會造成受試者作答時的困擾。 6.正確選項在形式或內容上不可特別突出，同一試題的所有選項，應該在形式或內容上具有相類似的共通點，不然會造成某些選項成為不具誘答力的選項。 17.

(26) 7.每題配列的選項以簡短為宜，必要的敘述或相同的字詞宜置於題幹中，因為選項敘述太長太複雜，受試者往往難以認知或記住所有選項的主要差異，而減低試題的效度。 8.各位置出現正確選項的次數要大致相等，且須隨機排列，以避免猜測因數之影響。例如：有些命題者常會不知覺的將正確答案置於中間的選項，使得中間選項為正確答案的比例偏高。 9.避免提供暗示線索的答案，例如：「絕不」、「總是」、「所有」等字詞，常暗示受試者選項為錯誤選項；而「有時」「或許」「可能」等字詞則常為正確的選項。這些有暗示線索的選項，最好少用以避免降低測驗的效度。 10.每一個選項最好以各佔一列為原則，以方便受試者閱讀與比較各選項間的差異。其次，選項的代號最好能與選項內容相異，例如：數學科的選項則以英文字母為代號較佳。（三）單選選擇題常為一般標準化測驗所使用，其主要優點如下： 1.不像填充或簡答題有題意不清、措辭含糊的缺失。選擇題除非題幹或是選項設計有誤，不然受試者一定可以從所有選項中，挑選出一個正確（或是最佳）的答案，讓受試者很明確的知道題目的意思。 2.選擇題最佳的優點就在於命題者可以根據所要評量的內容，設計各種不同層次的問題，達成評量所要求的目標。 3.以機率的觀點來看，選擇題有三至五個選項，若受試者是用猜題的方式，那 1 3. 1 2. 1 5. 答對的機率只有到，比是非題的小的多，因此受試者如果對答案一無所知，而使用猜題方式做答，其結果的信度將比是非題來得高。 4.選擇題可以透過精心設計的誘答選項，提供有價值的診斷訊息，教師可以透過受試者選擇哪一項錯誤選項，得知受試者的觀念在何處發生問題，以進行相關的補救教學。. 18.

(27) 5.由於電腦科技進步日新月異，現今許多大型考試多採用電腦閱卷，而選擇題是最適合用於電腦閱卷的一種題型，因此現在一般標準化測驗多採用選擇題，並利用電腦來閱卷，以增加閱卷的速度。 6.選擇題在正確答案無誤的情況下，受試者作答的結果只有對或錯兩種情況，因此計分將更將客觀、正確、快速，不像論文題可能因為閱卷者的主觀意識而產生評分的不同。 7.命題不會太困難，適合大多數學科的評量。（四）單選選擇題也有下列幾項缺點： 1.有一些知識要透過親自操作才能知道受試者是否真的學會，但屬於傳統紙筆測驗的單選選擇題，無法完整評量出受試者是否具備這樣的能力。 2.選擇題屬於反應性的題型，只要求受試者在所列的選項中作答，因此難以測量受試者是否具備組織和觀念表達的能力。 3.對於較困難的試題或能力較差的受試者，選擇題容易引發猜題及作弊行為，會減低測驗的信度和效度。以機率的角度來看若是四選一的單選選擇題受試 1 4. 者若是以猜題的方式回答，則其得分的期望值為該試題分數的，如果滿分為 100 分的測驗，全部都是四選一的單選選擇題，則受試者用猜題方式作答，得分的期望值將為 25 分，也就是說受試者可能完全不具備任何的能力，卻能得到 25 分，這一點是選擇題的嚴重缺失。 5.比起是非題或論文題，選擇題在編製時比較費時、費力，往往要設計出一個具誘答力的錯誤選項就可能要思考許久，如果命題者沒有遵循注意前面所述的命題原則，容易編製出僅能測量到低層次認知能力（如：記憶）的試題，使得受試者以為只要背熟考試內容，即可得高分的現象，就成為「考試領導教學」的助力，因此要命出具良好測驗統計特性的選擇題，是很不容易的一件事。. 19.

(28) 5.受試者可能針對錯誤的選項作出正確的判斷，逐一刪去錯誤的選項，最後得到正確的答案，因此表受試者可能不確定正確答案為何，卻能以淘汰誘答選項的方式，來找出正確答案，或是淘汰其中幾個誘答選項以提高猜題的命中率。會使用這種考試技巧的受試者，其得分期望值會提高，因此考試的技巧將會影響到測驗的信度。但是一般而言，對正確選項毫無概念的受試者，不可能具備足以淘汰誘答選項的能力，如果選項能夠設計得良好，要用淘汰選項的方法來作答，將是一件不容易的事。 6.因為選擇題大都以文字來敘述，所以命題者如果用比較艱深的語文來命題，可能無法真正測出原先想測的能力，因此而影響到測驗的信度與效度。如果是採取電腦閱卷的方式，選擇題無疑是較為簡便的出題方式，許多測驗專家研究的結果，認為選擇題所測出考生的程度與用別的方式所測出的有很高的相關性，所以選擇題是一種可以被接受的題型，當然它的前題是必須所有試題都經過精心設計，而且都能顧及測驗理論與受試者的心理（何世欽， 2001）。綜合上述，欲得知受試者在各能力指標的表現情形，可藉由分析指標之內涵，參考試題設計的原理原則，適當的設計一至數個試題來施測，以了解受試者的表現。本研究以四年級數學領域幾何主題為例，有 8 個能力指標，分析出 26 個數學概念，每個概念設計 2 題單選選擇題，共計 52 題。. 第三節電腦化診斷測驗一、應用試題選項關係之電腦化適性測驗 Chang, Liu, & Chen (1998)曾以直流電路為例，設計一診斷迷思概念之測驗系統，做為教師補救教學之參考。在題庫建立方面，該研究參考相關文獻，訂出 9 個關於直流電路的迷思概念，再根據這 9 個迷思概念，請專家們出了 20 個題目，. 20.

(29) 每一題目之選項被要求儘可能跟迷思概念有所關連。如圖 2-1 所示，若學生 A 作答第 4 題時，選擇選項 4a 即可判斷學生可能擁有某一迷失概念且與第 6 題有關，故必須再進行第 6 題的測驗來繼續作答，此時學生 A 面對的選項為 6a、6b、6c，且這三者分別代表不同的迷失概念 M1、M2、M3，根據 A 作答的選項即可判斷出 A 的迷失概念為何。若學生 A 作答第 4 題時選擇的是 4b，則可對應到迷失概念 M4，唯有選擇到 4c 時才能確定學生 A 沒有 M1 至 M4 這四種迷失概念。此方法優點為： 1. 根據受試者作答之選項來決定下一題試題，可達到適性化之效果。 2. 由受試者作答之選項來推論迷思概念，如果題目夠多，將可精確診斷出每一位受試者之迷思概念，達到個別化之需求。儘管優點是很明顯的，不過研究者也發現下面幾個缺點： 1. 出題時需考慮選項及迷失概念間關係，困難度高。 2. 每條適性測驗路徑皆須精心設計，以避免重複而無法精確診斷出相對應之迷失概念。 3. 當試題具有可猜測性時，不易達完成精確診斷。 4. 無法節省快速得到測驗結果，節省測驗時間。 5. 僅能提供迷思概念的分析，沒有進一步提供即時的補救教學。. 21.

(30) 第4題. 選項 4a. 第6題. 選項 6a. 迷思概念 M1. 選項 6b. 迷思概念 M2 (正確選項). 選項 4b. 迷思概念 M4. 選項 4c. 正確選項. 選項 6c. 迷思概念 M3. 圖 2-1. Chang et al., (1998）適性測驗流程二、Diagnosys Diagnosys（Appleby, Samuels, Treasure-Jones, 1997）是一套以知識結構為基礎的電腦診斷測驗，用來診斷基礎的數學技能，期能提供學生一個立即的成績回饋，同時也可快速地提供給教師學生的知識結構，用以選擇、分組和識別概念不清的學生以及學生群體中普遍的錯誤概念。此系統最初是為了工程學大學入學學生而發展，但是也可以廣泛的用於其他學生群以及其它教育制度。系統發展者先分析系統需求，歸納如下：（一）. 測驗應該在一個小時之內準確的評鑑出一個學生的數學知識。. （二）. 應該立即根據學生答題表現給予回饋，主要以學生不熟悉的概念為主。. （三）. 應該快速地提供教師個別學生和學生群體的摘要資料，主要用以分辨概念不清的學生以及學生群體普遍的弱點。. （四）. 應該要適用於大學入學學生。. 22.

(31) 另外，在系統架構確認之前，也做了以下幾項基礎設計的決定。（一）. 決定使用概念方式來確認不同領域的知識。. （二）. 概念被依序組織成階層狀，專家系統就能以之前回答的答案推論出學生的知識結構，然後選擇下一個最合適的題目，這樣的設計能針對不同能力的群組減少所需施測的試題數。. （三）. 決定使用一個數學工具介面，以及各種不同型態的試題，其目的是為了鼓勵學生思考問題然後產生答案，而不是用猜的。. （四）. 指定概念的階層提供一個簡易的學生側面圖，用以挑出初始的題目。. （五）. 學生的反應資料(response data)將會保留用來改進系統和教育發展。. 根據以上系統的需求和基礎設計的決定，該系統包含下列幾個主要的部份：（一）. 概念網路：指明概念、指定概念的 level、定義概念之間的連結。. （二）. 問題設計：設計題目、定義題目的表達方式、選擇答題的型態。. （三）. 測驗介面：整個測驗管理系統的發展，包括介面的設計、答案的評估、提供學生的回饋。. （四）. 專家系統：產生最初的學生概況側面圖，從學生的答案做出推論，選擇下一個題目。. （五）. 數學工具介面：數學答案的語法分析以及各種不同評估準則的應用。. （六）. 工具程式：產生各別技能的學生成績和群組成績的回饋給教師。. （七）. 補充材料：根據測驗的施測問題及概念的內容給予施測結果的報告。. Diagnosys 系統使用概念方式來確認不同領域的知識。首先分析測驗之內容. 23.

(32) 概念，將概念分類，每一類別之概念代表不同層級(level)，每一題目只測驗單一概念，每一概念都要有充分數量的試題來測驗。為了鼓勵學生思考問題並解出答案，減少猜題機會，題目的表達方式十分多元化，如應用題或選擇題皆有，答題的型態亦有多種選擇，如文字或圖形。為了節省試題，需應用知識結構的技巧。因此，該系統設計時同時採用了專家知識結構和學生知識結構分析法，如此可以分兩階段節省試題。為了瞭解學生的知識結構，因此透過專家知識結構編製的紙筆測驗進行預試，然後分析測驗結果。假設兩題試題 A 與 B 間的次數分配如表 2-2 所示，其中 f AB 表示答對試題 A 且答對試題 B 的人數； f AB 表示答錯試題 A 且答對試題 B 的人數； f A B 表示答對試題 A 且答錯試題 B 的人數； f A B 表示答錯試題 A 且答錯試題 B 的人數。表 2-2 試題 A、B 次數分配表. 如果 f AB. >> f A B ，亦即. 試題 B 對. 試題 B 錯. 試題 A 對. f AB. f AB. 試題 A 錯. f AB. f AB. A 答錯 B 卻答對的人數很少，遠少於 A 答對 B 答錯的人. 數，則視試題 A 為試題 B 之下位試題（或概念），此種情形於本研究中標示成 A → B。此連結方向有下列二個重要性：（一）如果受試者答對 B，我們可以推論他巳經具備了 A 的概念。（二）如果受試者答錯 A，我們可以推論他並不具備 B 的概念。而如果 f AB + f A B >> f A B + f AB ，則試題 A 與試題 B，兩者可視為等價，此種情形於本研究中標示成 A ↔ B，此連結方向代表如果答對其中一個試題（或概念），. 24.

(33) 則我們可以推論他也具備了另一概念的知識。 Diagnosys 藉由將試題（概念）結構引入電腦測驗中來達到適性的效果，並縮短施測時間，但此一建立結構之方法並非操作型定義，且文中並未提及此方法之具體成效或數據。 Diagnosys 這套系統在設計上的優點為：利用階層性編製試題可以分二階段節省試題，第一階段是利用專家結構，第二階段是利用學生結構來節省試題。然而其缺點如下：（一）只提供知識結構，並不提供對教學有用的分群訊息及補救教學。（二） Diagnosys 用來決定學生的知識結構的理論並不完善，例如，決定試題順序的臨界值的選取是根據經驗法則而來的。並且對於概念間的遞移性和等價性的定義並不理想。（三）作答反應與知識結構的對應是決定性的，學生答對即代表具有某概念，答錯則不具備某概念，無法反應部份學生在作答時的不確定性及猜測性。. 三、試題順序分析方法為改進 Diagnosys 的缺點，在「國小數學科電腦化適性診斷測驗(I)(II)」（郭伯臣，2003、2004）中，研究者嘗試以試題順序結構理論和試題關連結構分析法來分析學生知識結構。茲分述如下：（一）試題順序結構理論 Airasian & Bart (1973)的「順序理論」(ordering theory;簡稱 OT)是常用來定義試題間結構的方法之一，茲將此理論敘述於下：令 X = ( X 1 , X 2 , L , X n ) 表示一個隨機向量包含 n 個二元試題成績隨機變數，每一個受試者作答 n 題得到一個 0 與 1 的向量 X = ( X 1 , X 2 , L , X n ) 之後，試題 j 跟 k. 25.

(34) 的聯合與邊際機率可以如表 2-3 表示。. 表 2-3 試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率試題 k Xk = 1. Xk = 0. Total. X j =1. P( X j = 1, X k = 1). P ( X j = 1, X k = 0) P ( X j = 1). Xj =0. P ( X j = 0, X k = 1). P ( X j = 0, X k = 0) P( X j = 0). 試題 j. Total. P ( X k = 1). P ( X k = 0). 1. 在順序理論 OT 中，令 ε*jk = P( X j = 0, Xk = 1) 表示違反試題 j 為試題 k 之下位試題，其之機率，當 ε*jk < ε 時，則定義試題 j 為試題 k 之下位試題，紀錄成「 X j → X k 」中 ε 為一閥值(threshold)，常設定介於 0.02 及 0.04 間（ 0.02 ≤ ε ≤ 0.04 ）。（二）試題關聯結構分析法 Takeya(1991)發現經由 OT 所得之受試者試題結構與試題間之相關係數有些情況會產生矛盾，故提出試題關聯結構分析法（item relational structure analysis; 簡稱 IRS），希望透過另一種測量試題順序結構之係數 rjk* 來定義試題 j 到試題 k 之間的順序關係，以修正 OT 之不足， rjk* 的定義為： r jk* = 1 −. P ( X j = 0, X k = 1) P ( X j = 0) P ( X k = 1). 若 r jk* ≥ r ，則設定試題 j 為試題 k 之下位試題，紀錄為 X j → X k ，其中 r 為一閥值，常設定為 0.5。在 OT 及 IRS 中，若 X j → X k 且 X k → X j，則兩者的關係可以表示成 X j ↔ X k，. 26.

(35) 這樣表示試題 j 與試題 k 兩者是等價的。. 四、應用試題順序結構之電腦化適性診斷測驗郭伯臣（2003，2004）在「國小數學科電腦化適性診斷測驗(I)(II)」中分別使用專家知識結構與學生知識結構來建立電腦化適性診斷測驗，以節省施測的題數並預估學生的側面圖，用來診斷國小學童的數學能力，期能提供學童一個適性測驗、立即的成績回饋與補救教學的建議，用以協助學童學會正確且完整的數學概念。以下分別就其研究中之電腦化適性測驗之知識結構、電腦化適性診斷測驗系統加以說明：（一）電腦化適性測驗之知識結構該研究根據專家知識結構與學生知識結構中各相關概念間之上下位關係，以減少測驗的施測題數。假設有一專家（教材）知識結構如圖 2-2 所示，在紙筆診斷測驗中需施測圖中概念 A-I 所有試題，以瞭解受試者學習之成果，但在該研究之電腦化適性診斷測驗中，如受試者答錯概念 A 的試題，則需進一步測量概念 B、 C 及其下位概念，以瞭解學生之迷思概念為何，如概念 B 對概念 C 錯，則假設受試者也能答對 D、E，接下來僅需再施測概念 F、G、H、I 之試題，因此可節省概念 D、E 之試題。. A. B. D. C. E. F. G. 圖 2-2 專家知識結構. 27. H. I.

(36) （二）電腦化適性診斷測驗系統此電腦化適性診斷測驗系統包含四個子系統：1.多媒體題庫系統、2.適性測驗系統、3.補救教學分類系統、4.輔助學習模組。系統主要架構如圖 2-3 所示，系統開發目的為透過此系統能將學生課堂後的評量與補救學習數位化、網路化，藉此達到「因材施測」、「因材施教」及「遠距評量」的效果。此系統之施測流程為：受試學生可由網路遠端登入系統，適性測驗系統透過多媒體題庫系統索取試題，呈現試題後由受試學生選擇答案，再根據學生作答之答案，適性選擇下一道呈現的題目，藉此答到適性測驗及節省試題的功能。學生完成適性測驗之後，得到學生學習剖面圖，透過補救教學分類系統加以分群，再以輔助學習模組進行電腦化補救教學。. 受試學生 1.多媒體題庫. 2. 適性測驗系統. 系統. 學生學習剖面圖. 3. 補救教學分類系統. 類別(1). 4.輔助學習模組(1). 類別(n). 類別(2). 4.輔助學習模組(2). 4.輔助學習模組(n). 圖 2-3. 電腦化適性診斷測驗系統實施流程. 28.

(37) 上述的電腦化適性診斷系統除了具有 Diagnosys 的優點之外，在分析學生知識結構的方法具有較完善的數學理論基礎，並且提供測驗後的個別化補救教學。分析以上專家知識結構、Diagnosys、OT、IRS 試題結構，得到下列三個結論： 1.. 使用專家結構之電腦適性測驗演算法預測精確度較難控制，使用學生結構之電腦適性測驗演算法，由於可藉由閥值控制結構，因此可獲得較令人滿意預測精準度。. 2.. Diagnosys 演算法需要更多樣本來達到令人滿意的預測精準度，適性測驗速度也比較慢。. 3.. OT 的演算法與其他演算法比起來，其對樣本大小較不敏感，因此就以試題順序結構為基礎的適性測驗來說，OT 似乎是一個較好的選擇。. 五、電腦輔助教學軟體在 1978 年美國的教育學家 Bork 預測：「到西元 2000 年時，電腦的互動學習將是各級學校及各類學科的主要學習方式。」電腦輔助教學(computer assisted instruction, CAI)不僅是現代一個時髦的流行品，使用電腦來輔助課程教學活動比起傳統教學方式多了許多優點。若將多媒體的技術使用在電腦輔助教學上，將使教學內容更活潑生動，更能吸引學習者的閱讀興趣（毛治婷，2000）。電腦輔助教學系統具有下列幾個特點：（一）個別化：電腦輔助教學系統就好像是私人的家庭教師一樣，教學的對象是針對個人而不是針對群體。（二）互動性：電腦輔助教學系統可以提供學習者和電腦及學習者和教師之間相互溝通的管道，以幫助學習者釐清迷思概念。（三）多樣化：教學內容可以利用各種視聽媒體的呈現。組合製作成為多媒體電. 29.

(38) 腦輔助教學系統，形成聲音、動畫、影像所組合而成的課程軟體。（四）隱私性：因為電腦輔助教學系統均是採取針對每一個學生個別指導的方式，所以學生的學習過程為非公開的方式，對於個性內向的同學可以大大的減輕學習上面對教師的壓力。（五）一致性：電腦輔助教學系統可以維持教學品質的一致性。因為一般教學方式的教學品質牽涉到教師當時的心理因素及教學環境的外在因素的變動。而使用電腦輔助教學系統學生不論要上同樣的課程幾次，問同樣的問題再多次，電腦都能提供良好的教學。一般的電腦輔助教學系統是以有系統性的文字及文章為教學內容主體，讓學生以翻閱電子書的方式閱讀教學內容，而有提供影片或者是動畫的網路教學系統，並不是合併於課程也無配合教學內容播放，而是另闢一個單元放置教學影片，或者只是將動畫做為畫面裝飾，並不為輔助教學教材的一部份。這結果只是把過去的書面資料給予數位化而巳，讓學生從閱讀書本改成閱讀電腦螢幕，讓電腦的功能大打折扣。如果能適當的運用電腦輔助教學的特性，並加上多媒體的特色，編排各教學單元的學習內容，學生在學習時，能夠提高學習興趣，並獲得較佳的學習效果。. 第四節多點計分試題順序結構理論分析四年級幾何主題之能力指標中，發覺每個指標在編製知識結構時都包含多個概念，在測驗時也必需以多個題目來施測。此時如果要分析指標和指標之間的順序性時，則無法再以 OT 或 IRS 來做分析（因為該兩種方法只能分析二元計分試題之間的順序性），必須將各個能力指標內所有概念之試題視為一個多點計分之題組後，以多點計分之方式計算各能力指標之間的順序結構。. 30.

(39) 林文質（2005）參考日本心理計量學者竹谷誠於 1987 年所提出之「語意結構（Semantic structure）分析法」，加以修改成適用於多點計分試題結構計算之方法，進行指標之間結構之分析，並嘗試找出以最佳電腦適性測驗選題策略。其研究發現結合多點計分指標間順序結構及二元計分指標內試題順序結構之電腦適性測驗選題策略成效最佳。依據以上之文獻，本研究將四年級幾何主題各能力指標以知識結構的方式進行分析，結合二元計分及多點計分方式來決定指標內試題順序結構及指標間順序結構，用於電腦化適性測驗之選題策略，以期能達到利用最少題目數量來達成施測效果的目的。下頁之圖 2-4 為指標內試題順序結構與指標間順序結構結合示意圖。圖中較大的長方形代表多點計分的能力指標節點，指標與指標之間的順序關聯性以箭號方向表示，上方之指標為下方指標的上位概念，當受測學生通過能力指標 1 所設定的閥值時，即可假設學生也巳經了解與能力指標 1 有關聯的所有下位能力指標，此為節省施測題數方法之一。各能力指標之內有多個試題，各試題（概念節點）間也具有順序關聯性，當受測學生通過上位試題時，即可認定該生亦已經了解該與試題有順序關聯的下位試題（概念節點），此為另一種節省施測題數的方法，本研究嘗試結合指標間及指標內試題的順序關聯，讓本電腦化適性診斷測驗能夠達到二階段省題的目的，以期以最少的施測題目數，能夠測驗出受測學生在四年級幾何能力指標的學習狀況。. 31.

(40) 圖 2-4 指標內試題順序結構與指標間順序結構結合示意圖. 32.

(41) 第三章研究方法第一節研究對象本研究的預試（紙筆測驗）對象為九十三學年度五年級學生，包括台中縣大明國小 4 個班級，南投縣炎峰國小 4 個班級，南投縣北投國小 2 個班級，有效樣本數共計 294 人。進行電腦化適性診斷測驗的對象為已接受完九年一貫數學能力指標幾何主題教學的彰化縣國小四年級學生，包括洛津國小 4 個班級，漢寶國小 2 個班級，有效樣本數共 155 人。. 第二節研究工具本研究所使用的工具包括「能力指標專家知識結構」、根據專家知識結構所編製的「紙筆診斷測驗」、「學生試題結構分析軟體」、「電腦化適性診斷測驗」、自編之「補救教學電腦動畫元件」。分別說明如下：一、能力指標專家知識結構依據教育部（2003）所訂的九年一貫數學領域四年級幾何主題能力指標，參考相關文獻資料，並根據知識結構編製原則（如附錄一），訂出各指標相關概念間的上、下位順序關聯，建立知識結構草案。之後，邀請數位擔任國小數學教學多年之教師，依據能力指標內容及知識結構編製原則共同討論建立四年級幾何能力指標的專家知識結構圖。二、紙筆診斷測驗建立專家知識結構後，依此結構，編製診斷測驗之試題，每題試題均經過數位數學教師以命題檢核表（如附錄二）加以審核，審核過之幾何指標試題結合四年級能力指標其它四位研究者編製之試題混合編製成甲、乙卷共 12 張試卷，每 33.

(42) 張試卷包含 29 題測驗題目，讓預試學生在開學初一個月內全部施測完畢，以進行後續之學生知識結構分析，其詳細流程如下：（一）研究者根據專家知識結構出題，結構中每個概念節點出 2 題試題。（二）襄請數位有經驗之數學科教師根據命題檢核表檢核試題。四年級幾何主題共有 9 個能力指標，扣除一個必須實際操作以檢驗的指標外，其餘 8 個指標，26 個概念節點，合計出題 52 題（如附錄三）。（三）結合其它四位研究者，將四年級能力指標之試題混合編排試卷，共計編成甲、乙共 12 張試卷，每張試卷 29 題，試卷均經過試卷檢核表之檢驗（如附錄四）。（四） 12 張試卷請預試學生於開學一個月內施測完畢，再將受測資料建檔，以進行學生知識結構分析。紙筆診斷測驗的製作流程如圖 3-1 所示：. 四年級幾何能力指標. 相關參考文獻. 知識結構檢核表. 知識結構草案. 專家知識結構. 編製試題. 命題檢核表. 正式的測驗試題. 試卷檢核表. 紙筆診斷測驗編製完成. 圖 3-1 紙筆診斷測驗製作流程圖. 34.

(43) 三、學生試題結構分析軟體收集 294 位預試學生作答資料後以電腦軟體進行分析，說明如下：（一）. 資料建檔整理：以 Excel 軟體將學生作答資料，包含學校代號、班別、性別、座號及每題試題的作答情形建檔，比對正確答案，計算個別指標之通過率，並將作答資料製作成可供二元計分及多點計分分析試題順序結構分析之資料。. （二）能力指標內的試題結構：以 OT 訂出適當的閾值，分析二元計分的學生試題順序結構，作為能力指標內的選題策略。（三）能力指標間的結構：以林文質（2005）之多點計分試題結構為基礎的電腦適性測驗演算法，分析能力指標間的結構，以期節省更多試題。依據資料分析結果，檢討與適度修訂知識結構及試題。四、電腦化適性診斷測驗本研究利用何政翰設計之「電腦化適性診斷測驗系統」（郭伯臣、何政翰， 2004），加以適度修改程式後，將能力指標之紙筆診斷測驗轉換成電腦化適性診斷測驗，並探討利用此系統是否可以達到節省試題並有良好預測精準度的目的。五、補救教學電腦動畫元件根據各個能力指標預設一個通過率的門檻，受試者在該指標的受測結果未達到此門檻，則於電腦化適性診斷測驗後，以適性之方式提供利用 FLASH MX 編製的補救教學動畫，以達到即時補救的目的。. 第三節研究方法與流程本研究為探討利用電腦化適性診斷測驗系統是否可以達到節省試題、即時補救的目的，將以單組前後測設計之二個實驗來檢驗，每個實驗抽樣 6 個班級作為. 35.

(44) 實驗對象，詳細目的及步驟說明如下：一、實驗一（一）目的：主要目的在於驗證將紙筆診斷測驗轉換成電腦化適性診斷測驗之後，是否能擁有良好的預測精準度並節省試題。（二）步驟： 1. 系統使用說明（10 分鐘） 2. 電腦化適性診斷測驗（40 分鐘）（三）說明：為達到目的，步驟 2 的電腦化適性診斷測驗其試題呈現次序分二階段。首先會依照適性測驗施測流程，進行施測，當每位受試者作答完畢後，再將原紙筆測驗中未於前述適性測驗中出現之試題進行施測，亦即所有受試者將會作答原紙筆測驗中的所有試題，如此方能分析其電腦化適性測驗結果之預測精準度，並計算是否節省試題。二、實驗二（一）目的：利用前、後測的結果，來檢驟「電腦適性補救教學」是否具有成效。（二）步驟： 1. 系統使用說明（10 分鐘） 2. 電腦化適性診斷測驗前測（20 分鐘） 3. 電腦適性補救教學（20 分鐘） 4. 電腦化適性診斷測驗後測（20 分鐘）（三）說明：步驟 2 為前測，前測測完之後計算受試者在各個能力指標的通過率，未達到預設之通過門檻的指標，分析其迷思概念所在的節點，實施步驟 3 36.

(45) 的補救教學，補救教學後再進行步驟 4 的後測，以檢驗所設計的電腦補救教學元件是否有成效。以上兩個實驗的實驗結果如果是正向的，則未來本系統將可以於一般學生進行紙筆測驗的時間內，同時完成四年級幾何能力指標的適性診斷測驗及適性補救教學，減少評量時間，改進學習成效。本研究實施步驟之流程圖如圖 3-2 所示：. 37.

(46) 確定研究主題. 參考相關文獻. 建立能力指標之專家知識結構. 編製紙筆診斷測驗試題. 依據專家知識結構設計補救教學. 紙筆診斷測驗（預試）. 分析學生試題結構以動畫方式製作補救教學模組. 題目輸入題庫系統. 系統整合. 實施電腦化測驗. 資料分析電腦化適性測驗成效討論. 電腦補救教學成效討論. 資料整理. 論文撰寫完成. 圖 3-2 研究流程圖. 38.

(47) 第四節資料處理與分析一、本研究的資料處理方式如下：（一）紙筆診斷測驗資料：紙筆診斷測驗所收集到的 294 位受試者的原始資料，使用 Microsoft Office 的 Excel 軟體加以整理，並轉換成可供試題順序結構軟體分析的資料。（二）電腦化適性診斷測驗資料：電腦化適性診斷測驗後，將電腦資料庫中記錄之作答資料，以 Excel 軟體整理成可供統計套裝軟體分析的資料。二、本研究的統計分析方式如下：（一）運用 OT、IRS 軟體分析學生作答之二元計分資料，以建立指標內學生知識結構。（二）運用 Matlab 軟體分析學生作答之多元計分資料，以建立指標間學生知識結構。（三）運用 SPSS 統計套裝軟體對受試者在電腦化適性診斷測驗的前、後測成績進行 t 檢定，以分析電腦補救教學實驗的成效。. 39.