國中生「負負得正」的閱讀測驗分析

本研究中利用閱讀問卷裡的第一題來統計研究學生對於負負得正的認知概 念，題目中提到：盒子裡裝有黑色與白色的圍棋，白色的圍棋表示＋1，黑色的 圍棋表示－1，一黑一白剛好可以抵消為 0，而將棋子放入盒子內的動作為加法，

從盒子內取出則為減法。現在假設我們想從盒子裡拿走三個黑棋，且這個動作連 續做了兩次；但在盒子中沒有圍棋的情況下，我們先放入了三組的黑白棋於其中，

此時拿走三個黑棋之後，再放入三組的黑白棋且再以次取走三個黑棋，然後請學 生用數學算式來表式上面說明的動作。根據本次問卷測驗的 262 個樣本當中，有 81 位學生寫出了正確的答案，答對率約 30.92％，但是在這些正確答案當中，並 沒有任一位同學以（－3）×（－2）＝6 這樣的方式來回答，而大多是以加減法的 型態來表示答案，這一點與我們當初設計這個研究時的假設有若干的出入，當然 我們當初設定的研究對象是以研究者所任教的屏東縣內某國中為研究範圍，或許 有諸多的因素造成了這樣的結果，如城鄉差距所造成的影響、學生的生活經驗等，

在此我們將這個問卷結果分析歸納為五個大類：

一、無法將題目轉換為明確的數字加以運算，但是能以圖像的概念來呈現出過程 與結果。

二、能清楚題意並正確的列出算式並得知結果，但無法與所學的負負得正做出連 結，只能用較為簡單的加減法概念來呈現出題目所要的意義。

三、只能概略看懂題目或是忽略其中部份說明，勉強用題目裡所提到的數字來呈 現，但表達方式有所缺漏或式對於運算的規則有所誤解，導致答案不正確或

是碰巧寫出答案，其算式過程本身是有瑕疵的。

四、無法正確理解判讀題意，單純只是拿題目中提到的數字來做答。

五、無法理解題目或是沒有任何求解與作答動機

以下針對這五種類型分別從受測學生的作答中舉例並分析：

第一類型 無法將題目轉換為明確的數字加以運算，但是能 以圖像的概念來呈現出過程與結果。

範例一：

範例二：

分析：這兩位學生的作答方式都是將三個黑棋與三個白棋直接畫出，並且以劃掉 三個黑棋表示題意所示的取走這個動作，雖然很清楚的呈現出過程與最後 的結果，但也表示該生的學習狀態仍停留在皮亞傑學習發展理論中的「具 體運思期」（concrete operation period），而未進入「形式運思期」（formal operation period），也就是我們常說的眼見為憑，學生尚未建立起抽象思 考能力，所以必須借助實物或圖像來幫助他們建立連結。

範例三：

分析：這位學生的作法雖然與前兩個範例的類型相似都是以圖像的方式來呈現，

但前兩者都單純地將相同的動作做了兩次來求得結果，而這個同學呈現出 來的是一種連續性的「累進性和成運思」與「向上數」的概念，而非單調 的重複動作，在思考層次上是有不同的。

第二類型 能清楚題意並正確的列出算式並得知結果，但無 法與所學的負負得正做出連結，只能用較為簡單 的加減法概念來呈現出題目所要的意義。

範例一：

分析：這位作答的同學將三組白棋與黑棋用算式 111111 列出，並且清楚 的以（3）來表示拿走三個黑棋，並且將這個動作重複了兩次，得到最 後結果等於 6，雖然不是我們期待的（3）×（2）這種答案，但至少該生 能清楚將這個題目用正確的算式列出，只是他仍無法將負負得正的概念實 際應用在這個問題中。可從此作答方式中得知該生雖然用的是數字呈現，

但其思考方式仍是「具體運思期」（concrete operation period）的形式，

必須將條件（模擬黑棋與白棋的實際狀況）以數字一一清楚列出方能作答。

範例二：

分析：這位同學將一正一負的和用 0 表示，且用 30 表示這樣的一正一負有三

組，再將拿掉三個黑棋的 （3）直接變號改為3，在運算的層次上表現 出比範例一的同學更高的數字整合與變號技巧，但仍無法將負負得正的概 念應用在這個問題當中。

範例三：

分析：這一位同學在列算式的時候相當謹慎，連一開始盒子裡面為 0 的狀況都表 示出來，表示他對於整個題目的細節是有考量進去的，然後用 3〔1（1）〕 來表示三組的黑白棋，接著用3（1）來表示取走三個黑棋，再於大括號 外乘以 2 倍，其解答的層次明顯更高於前兩個範例將相同動作重複寫兩次 的作法。

範例四：

棋可表示為 0 （3）=3，然後把兩次的總和加起來為 6 得解，算是離我 們預定的（3）×（2）較為接近的答案，雖然仍未用到負負得正的概念，

但是從作答中可以看出學生對題目的理解是非常清楚的，若是將答案寫為

〔0 （3）〕× 2，應該是更棒的表示方式。

第三類型 只能概略看懂題目或是忽略其中部份說明，勉強 用題目裡所提到的數字來呈現，但表達方式有所 缺漏或式對於運算的規則有所誤解，導致答案不 正確或是碰巧寫出答案，其算式過程本身是有瑕 疵的。

範例一：

分析：這位學生直接用33 來呈現三個黑棋與三個白棋，看似有注意到黑棋與 白棋的差別，但卻又直接以3 來表示拿走了三個棋子這個動作而忽略了 棋子顏色代表的含意，顯示這位學生並不是完全真正理解棋子顏色的重要 性，整個算式也未確實完成。

範例二：

分析：這位學生的答案中明顯可以看出也是用33 來呈現三個黑棋與三個白棋，

但拿走三個黑棋的部分他只用了3 來表示而忽略了他拿走的是黑棋，所以 應該用（3）表示才對，而且最後題目提到相同的動作做了兩次他完全沒 有注意到，所以導致錯誤的結果。

範例三：

分析：這位學生的寫法算是很接近正確答案但是疏忽了細節，與範例一一樣是忽 略了拿走黑棋的動作應該用（3）表示才對，且他與大多數的同學一樣，

都會把三個黑棋與三個白棋明確的用33 來呈現，常理來說合併起來為 0 的數字應該可略過不寫才對，但幾乎大多數的學生都有寫出來，其中推

估兩種的可能性：一種是個人的習慣使然，另一種應該是學生尚未完全脫 離「具體運思期」（concrete operation period），所以在計算的過程中必須 靠明確的數字來提醒自己黑棋與白棋的存在。

範例四：

分析：這個學生的思維模式只停留在「量」的統計而忽略了不同顏色之間的意涵，

三個黑棋與三個黑棋他以 33 來呈現，然後拿走三個黑棋就用3 來表示，

所以他所回答的 6 並非是「六個白棋」的 6，而是盒子中剩下「六個棋子」

的 6，雖然是相同的答案，但其中的意義是全然不同的。

範例五：

分析：這個學生的回答方式與前一個範例相同，學生都是只有注意到「量」的變

化，也等同他的數學學習仍停留在單純計算數量的階段，他很有順序性的 從原本的空盒 0 個棋子中先放入 6 個，然後取走 3 個，接著再放入 6 個，

再取走 3 個，用 0  6  3  6  3 忠實呈現了盒子中棋子數量的變化，

最後所得的答案，也只能呈現出剩下六個棋子而非六個白棋。

範例六：

分析：這一位同學的答案雖然不對，但其所列出的算式比答案本身更值得研究，

他所犯的錯誤剛好與前一個範例四的概念相反，這位學生只注意到顏色的 含意（白色的圍棋表示＋1，黑色的圍棋表示－1），但是忽略了棋子之間 的運算規則（放入盒子內的動作為加法，從盒子內取出則為減法），所以 他很單純的呈現出三白、三黑、三黑、三白、三黑、三黑這樣的順序；但 除了算式的呈現有問題，其後的計算結果也與算式不相符，表示學生在加 減法運算上本身也是有問題的。

範例七：

分析：這位學生最大的錯誤在於將連續加法等同乘法和連續乘法等於次方的觀念 混淆，將三個白棋直接寫成＋1 的 3 次方，三個黑棋寫成－1 的 3 次方，由 於次方的概念是國中七年級時期才教，在時近效應 Recency Effect（程炳 林，2000）的影響下，學生當下或許只記得這個概念，再加上學生自己的 學習歷程中對於累加可以用乘法來表示的概念也尚未完整建立，所以在不 甚了解題目與方法的情況下就直覺式的使用他所學到的最新概念來處理問 題，所以才有了這樣的答案。

第四類型 無法正確理解判讀題意，單純只是拿題目中提到 的數字來做答。

範例一：

分析：題目裡提到白色的圍棋表示＋1，黑色的圍棋表示－1，所以這個學生在作 答時只能根據題目裡有出現過的數字寫了＋1－1，而未將後面提到的其他 動作列入考量，甚至連各三組這樣的重要訊息也無視，在國字與數字之間 的關係無法建立連結，基本上也可能是學生的答題動機略低，所以不想多 寫。

範例二：

分析：與前一個例子寫了＋1－1 類似的作答方式，一黑一白剛好可以抵消為 0，

所以他的答案只寫了 0，當然也可能是因為動機不足懶的作答就用最直接 的 0 回答。

第五類型 無法理解題目或是沒有任何求解與作答動機

範例一：

範例二：

範例三：

範例四：

分析：上列範例這幾個學生都是因為無法理解題目的意義不知如何作答，所以在 答案欄裡寫下問號、留白，甚至是直接告知看不懂，更有人直接將問卷施 測期間該次段考範圍內的教授內容乘法公式書寫於其中以免留白，事實上 都等同無法針對題目所提的內容作出反應。

「負負得正」在數學的學習上是一個相當抽象的概念，我們要把它轉化為易

「負負得正」在數學的學習上是一個相當抽象的概念，我們要把它轉化為易