國中生的數學概念說明

二、關於「負負得正」的概念說明

（一）以純數學的角度來做為「負負得正」的說明類型：

1.高等微積分的證明：

實數、加法與乘法是一個場（域）（Field），帶有封閉性，加法反元素，乘法 反元素、交換律、結合律、分配律與等量公理。

因此 0＋0＝0

依據等量公理 a‧（0＋0）＝ a‧0 以分配律展開得到 a‧0＋a‧0＝ a‧0

再依據等量公理 a‧0＝0 所以（－1）‧0＝0，

再者（－1）是 1 的加法反元素，則 0＝1＋（－1）， 依據等量公理

0 ＝（－1）‧0

＝（－1）‧（1＋（－1））

＝（－1）‧1＋（－1）‧（－1）

＝－1＋（－1）‧（－1）

再依照等量公理（－1）‧（－1）＝1

2.代數證法：

假設 a 與 b 皆為自然數，我們要依序證明以下三件事：

1.（－a）× b ＝ －（a × b）負正得正 2.a ×（－b）＝ －（a × b）正負得正 3.（－a）×（－b）＝ a × b 負負得正

首先：

a × b +（－（a × b））＝ 0 （結論 A：一數與其相反數相加為零）

接著：

a × b +（－a）× b

=（ a +（－a））× b

= 0 × b

= 0 （結論 B）

綜合結論 A、B 之後可得：

a × b +（－a）× b = 0 = a × b +（－（a × b）） 所以：

（－a）× b = －（a × b） （結論 C：負正得負，證明的項目 1）

接下來：

a × b + a ×（－b）

= a ×（b +（－b））

= a × 0

= 0 （結論 D）

於是綜合結論 A、D 之後可得：

a × b + a ×（－b）= 0 = a × b +（－（a × b）） 所以：

a ×（－b） = －（a × b） （結論 E：正負得負，證明的項目 2）

再接下去：

（－a）×（－b）+（－a）× b

=（－a）×（（－b）+ b）

=（－a）× 0

=（－a）× 0 + 0

=（－a）× 0 + a × 0

=（a +（－a））× 0

= 0 × 0

= 0（結論 F）

綜合結論 B、F 之後：

（－a）×（－b）+（－a）× b = 0 = a × b +（－a）× b 至此即可獲得最後結論：

（－a）×（－b） = a × b （最後的證明項目：負負得正）

以上是以純數學的理論來證明「負負得正」這個概念，它是非常嚴格謹慎的，

相對也不夠平易近人，且需要更多高階的數學學習來支持這樣的說明，一般在國 中生的教學當中，因為考量到學生的數學能力，因此我們鮮少提到這樣的說法。

（二）綜合數理概念的「負負得正」說明類型：

1.綜合數理概念的「負負得正」說明範例一

在國中生的課本中，最常被引用來解釋的莫過於水庫原理，例如說水庫的水 位每天下降 2 公分，我們以－2 來表示，如果過了一天，我們知道會比昨天又少

了一個 2 公分，所以就以（－2）×1＝－2 來表示，那如果將時間回溯至三天前並 以－3 來代表三天前，而三天前的水位高度會比現在還要多出 6 公分，就可以解 釋（－2）×（－3）＝＋6。

2.綜合數理概念的「負負得正」說明範例二

溫度也是常常被拿來解釋正負數變化關係的題材，例如說早上的溫度是－6 度，到了下午變成－2，如果我們寫成算式來求其中的溫度變化量的話，應該是 寫成：－2－（－6），而這個時候我們還會教導學生用減掉某數等於加上某數的 相反數這個概念來幫助解題，因此－2－（－6）＝－2＋6＝4，其中的減－（－

6）變成＋6 的過程，也是負負得正的一種概念。

3.綜合數理概念的「負負得正」說明範例三

盒子裡裝有黑色與白色的圍棋，白色的圍棋表示＋1，黑色的圍棋表示－1，

一黑一白剛好抵消為 0，而放入盒子內的動作為加法，從盒子內取出則為減法。

（－2）×（－3）表示我們拿走了三個黑棋，且這個動作連續做了兩次；但在盒 子中沒有圍棋的情況下，我們先放入了三組的黑白棋於其中來表示 0×3＝0，此 時拿走三個黑棋之後，再放入三組的黑白棋且再以次取走三個黑棋，因為兩次拿 走了三個黑棋之後，此時的盒中會剩下六個白棋，就可以用來解釋（－2）×（－

3）＝＋6。

4.綜合數理概念的「負負得正」說明範例四

一個數線上，以原點為中心，我們面對原點右邊的時候為正，面對左邊的時 候為負；以自己面對的方向來說，向前走為正，向後走為負。當我們面對（－2）

×（－3）這個算式時，－2 代表我們要面對左邊，而－3 代表我們要向後退，所 以，當我們從原點出發，面對左邊一次以兩個單位為大小向後退了三次之後，我

們就會到達＋6 的位置。

5.綜合數理概念的「負負得正」說明範例五

以 1 為例，它是乘法操作裡的基本單元位，用 1 來乘以某個非零的數，一定都 會得到某數本身，從此可推得正負得負，若再加上交換律的應用，則可推論出負 正也是得負；而負數乘負數的部份，我們先以（－3）×2 為例，我們都知道（－

3）×2＝－6，如果我們將 2 改寫成 6 減 4，並以分配律，可得以下算式：

（－3）× 2

＝（－3）×（6－4）

＝（－3）× 6＋（－3）×（－4）

（－3）× 6 已經確定是－18，那（－3）×（－4）呢？

此時我們將其分開推論：先假設（－3）×（－4）為負，那答案就是－12，而（－

18）＋（－12）＝－30 與我們原先已知的答案不合。若（－3）×（－4）為正數 等於 12，則（－18）＋12＝－6 就與我們當初計算的結果相符，由此可推知「負 負得正」這個結論。

6.綜合數理概念的「負負得正」說明範例六

課堂上我也很喜歡用一種簡單的說法，將負號視為是一個翻面的動作，以一 個兩面的物體來說來說，當你遇到數字的乘法時，一個負號，就翻轉一次，當你 再遇到第二個負號之時，便再翻轉一次，此時這個物體又會回到原本的那一面，

這樣恰好可以解釋「負負得正」的概念。

以上的幾個舉例是綜合了數學、物理與自然等相關概念的說法，並且多以日 常生活經驗相結合，除了有量的增減還配合了時間流動或方向的變化等要素在其 中（時間往前推為負數，往後推算的話為正數），並且搭配實際的數字運算來增

加學生的理解，算是在課堂上教學時最常被拿來做為舉例說明的類型，也就是任 何有方向性的數字或量（棋子、水庫、數線、溫度…），都可以設計成用來解釋 說明「負負得正」這個概念，從事教學者可以按照這個原則設計更多的說明。

（三）用社會科學的角度來說明「負負得正」的類型：

1.用社會科學的角度來說明「負負得正」的範例一

如果不一定要用數字來解釋的話，我們也可以這樣說：壞人眼中所看到的壞 人，就是會與他作對的人，例如說警察專門抓壞人並與之對抗，在我們的眼光來 看，其實警察就是好人，也可以做為「負負得正」的舉例。

2.用社會科學的角度來說明「負負得正」的範例二

假設這個世界上的好人用正來表示，而壞人用負來表示，人數的增加或變多 我們用正，離開或死亡用負。如果世界上多了幾個好人（正乘以正），這個世界 為因為他們的貢獻就更加良善美好（結果是正的）；如果這些好人因為意外而離 開了我們（正乘以負），那這個世界就會因為少了正面的力量變的黑暗（得到負 的結果）；反之如果世界上壞人增加了（負的乘以正的），那這個世界也會變得更 黑暗（得到負的結果），如果壞人死亡了（負乘以負），這個世界也會因為少了一 些危害變的非常美好（得到正的），這樣也算是一種負負得正的解釋。

3.用社會科學的角度來說明「負負得正」的範例三

熱戀中的男女對話：

(1)我是真的愛你，如同字面上的意思是真的愛你（正正得正）

(2)我不是真的愛你，真的不愛你（負正得負）

(3)我是真的不愛你，真的不愛你（正負得負）

(4)我不是真的不愛你，真的愛你（負負得正）

4.用社會科學的角度來說明「負負得正」的範例四

你所不喜歡的人，對你的人生來說是一種負數，而受教訓這一類的事情，也 是人生心情中的負數，但如果是你不喜歡的人受到了某種適度的教訓，對你來說 會有一種痛快的正面心情。

5.用社會科學的角度來說明「負負得正」的範例五

如果不一定要用數字來解釋的話，我們也可以這樣說：壞人眼中所看到的壞 人，就是會與他作對的人，例如說警察專門抓壞人並與之對抗，在我們的眼光來 看，其實警察就是好人，也可以做為「負負得正」的舉例。

上述這些說法可算是比較偏社會科學類的說明方式，只有探討二元方向（愛 與不愛、敵人或朋友、好人與壞人…），但沒有量的介入，只能單純探討正負的 問題，略帶詼諧趣味甚至也有些荒謬，或許用這種方式來說明不盡合理，但卻能 加深學生的學習印象。