八年級生使用文字說明學習數學概念之研究－以屏東縣某國中為例

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(1)國立屏東大學應用數學系碩士班碩士論文 Department of Applied Mathematics National Pingtung University Master’s Thesis. 八年級生使用文字說明學習數學概念之研究－以屏東縣某國中為例 A Study on Learning Mathematics Concept by Text Narrative Explanation for 8th Grades at Pingtung. 指導教授：詹勳國博士 Advisor: Dr. Hsun-Grow Chan 研究生：李政和 Student: Cheng-He Li. 中. 華. 民國. 109. May 2020. 年 5. 月.

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(3) 摘要本研究透過「負負得正」與「0. 9̅ = 1」這兩個數學上的觀念，對屏東縣某國中之八年級生 10 個班約 262 名學生進行問卷測驗，藉以了解受測學生使用文字敘事說明學習數學概念的認知與效果，並檢驗是否可以應用抽象學習五類型分類（「自明」、「衝突自清」、「衝突它清」、「衝突未清」、「未明未清」）。結論如下：. 一、受測學生對於負數有足夠的基本認知，但面對情境時要將其轉化為算式的過程有困難。二、受測學生面對計算時，大多仍採用低階的方式處理問題，較少利用所學的高階計算方式。三、「說明教學法」對受測學生的學習有立即性的效果，但其效果無法持續。四、所有受測學生都可以被歸類到抽象學習五類型的某一類型，沒有類型不能描述的學生。. 關鍵字：負數、抽象概念學習類型、文字敘事說明 i.

(4) A Study on Learning Mathematics Concept by Text Narrative Explanation for 8th Grades at Pingtung. Abstract In this study, 262 students in 10 classes of eighth graders in a junior high school in Pingtung County were tested using two mathematical concepts: "two negatives makes a positive" and " = 1". We use the results of this questionnaire to understand students' perception on learning mathematics concept by text narrative explanation. And test whether it can be applied to junior high school students' classification for 5 patterns of learning abstract mathematics concept ("self-evidence", "conflicted self-clearing", "conflicted clearing by others" , "Conflicted non-clearing", "Unknown ever"). There are the following conclusions: 1.Students have sufficient basic knowledge of negative numbers, But the process of turning it into a formula in the face of a situation is difficult 2.When students face calculations, they still use low-level methods to deal with problems, and rarely use high-level methods. 3.Narrative teaching has an immediate effect on student learning, but the effect cannot be sustained. 4.All students can be classified into 5 patterns of learning abstract concept and there is no student who 5 patterns cannot describe.. Keyword: negatives, patterns of learning abstract mathematics concept, text narrative explanation. ii.

(5) 目. 錄. 摘要……………………………………………………………………i Abstract………………………………………………………………ii 目錄…………………………………………………………………iii 表次……………………………………………………………………iv 第一章緒論……………………………………………………………1 第一節研究背景與動機………………………………………………………1 第二節研究目的與問題………………………………………………………3 第三節名詞界定………………………………………………………………4 第四節研究範圍與其限制……………………………………………………6. 第二章文獻探討………………………………………………………8 第一節人類是如何學習的……………………………………………………8 第二節國中生的數學概念說明………………………………………………11 第三節國中生數學的負數概念學習相關探討………………………………18. 第三章研究方法設計與實施…………………………………………22 第一節研究對象………………………………………………………………22 第二節研究工具………………………………………………………………22 第三節研究的實施……………………………………………………………24. 第四章結果分析與討論………………………………………………25 第一節國中生「負負得正」的閱讀測驗分析………………………………25 第二節 0. 9̅ =1 的「說明學習法」問卷結果分析……………………………38 第三節學生學習類型分析與歸類……………………………………………44. 第五章結論與建議……………………………………………………52 第一節研究結論………………………………………………………………52 第二節研究建議………………………………………………………………57. 參考文獻………………………………………………………………61 附錄數學閱讀測驗與概念評量問卷…………………………………62. iii.

(6) 表. 次. 表 4-2-1. 0. 9̅ = 1 的「說明學習法」問卷結果…………………………………39. 表 4-2-2. 0. 9̅ = 1 的「說明學習法」前測結果…………………………………39. 表 4-2-3. 0. 9̅ = 1 的「說明學習法」前後測綜合結果統計……………………39. iv.

(7) 第一章緒論本章共分為四節，第一節說明本研究的『背景與動機』，第二節是研究的『目的與其相關問題』，第三節為『名詞的界定與說明』，第四節是本研究的『研究範圍與其限制』。. 第一節研究背景與動機. 人類是如何學習的？這是一個大哉問的問題，而學生如何學會的事也是一個重要的問題。本研究企圖了解關於學生如何學會數學？學生在何時學會？有些學生將數學上相關的公式背誦的琅琅上口，套用解題程序也都能將題目做對，但是以真實的層面而言，他們真的了解了其中的涵義嗎？而寫錯的學生在自我學習或他人的協助下將問題寫對了之後，就代表它們真的學會了嗎？我們若是將這些學生在學習時所遇到的問題視為是迷思概念或是錯誤的概念，只是一昧地用補救修正的方式來改變它，只為求取一個正確的解答，那麼將失去一個重要的反思機會，學校的老師應該重新的審視「學生是如何學習數學」這件事，進而針對教學的方式改善精進，提高學生的學習效率。. 幼稚園裡要求六歲的小孩背誦九九乘法，一直都是「直升機父母」喜歡提早讓小孩學習的一件事，但是這樣的學習方式真的有「學習效度」嗎？小孩提早背誦九九乘法有效嗎？還是只是讓家長滿足於小孩子會背九九乘法這種虛榮呢？經常我們碰到這類的小孩，當我們會提出類似「36？」這樣的問題，而小孩也會準確地回答「18！」這個標準答案，但是如果我們在小孩面前擺放 3 組每組 6 顆的豆子，讓小孩去計算其數量，小孩不懂的利用 3618 這個他剛剛才回答的答案，反而是回到最原始的方式一顆一顆以數數的方法算出其數量，因此我們認為 1.

(8) 提前以背誦來學習的方式是沒有「學習效度」的，因為小孩不懂其中的意義，自然也不會懂得如何將其實際應用。甚至國中教師在課堂上費盡苦心的將數學知識傳遞給學生之後，當下的隨堂測驗學生也都能正確的寫出答案，但在事隔幾周之後的段考中，相同類型甚至是一樣的問題仍能考倒一堆同學，這不禁讓我們深思學生的學習是否真的有「效度」，是否真有學習的「信度」呢？. 村上春樹（2009）在 1Q84 這本小說中，反覆的提到這一段話：「不說明就不會懂的事，是怎麼說明都不會懂的事」，當然對於一個小說家的教育觀點而言，這樣的看法不一定是正確的，但也正好說明了部分的學會習歷程，或許對或許錯，甚至還可能違背了教育的精神，在此我們要探討的事情是：「人類如何學會某件數學」？依據村上春樹的概念中指出，人類學習數學時，有時會犯下的固定模式，往往一開始直觀的角度回答以致得到錯誤的答案，雖然再經過自學或它學（師長、同學的說明）之下學會，但在假以時日之後，不經意的再面對相同的問題時，仍會重複犯這個錯。這樣的說法等於等同是在告訴我們只靠的「說明」的教學是無法持久且沒有信用的，因為當下說明學生似乎懂了（當下有學習效度），但是過了一段時間之後，再問學生相同的問題，學生仍又無法理解，又以一開始的概念來回答，這代表當時的說明是沒有「學習信度」。. 依照皮亞傑的認知發展理論，達到認知歷程發展平衡的兒童，當他接受到與既有觀念不一致的認知衝突時，會自發性的驅策自己適應同化來重新建立平衡的認知基模，也讓自己面對於新的觀念認知有更高的適應性，藉由學習者澄清其認知上衝突來學習增進抽象概念（張春興，1997）。對於一個數學資優生或天才來說，能夠不經過他人的指導，經由獨立思考的方式來解決很多的數學相關問題，根據 Cox（1926）的研究，將這類學生的思考流程分為「自問」、「自解」、「自明」三階段自發性的內在程序，並將其作為斷定數學資優或天才的依據。然而大多數. 2.

(9) 的學生是無法做到這一點的，因此詹勳國與顏翠琳（2019）用「自明」、「衝突自清」、「衝突它清」、「衝突未清」、「未明未清」五個類型來歸類學生學習概念的建立情形，在本研究中也會將學生填寫研究評量問卷結果以此觀念併入歸類討論。. 第二節研究目的與問題. 為了瞭解學生在學習數學時是否能真正理解所學內容其中的含意，是否真正地學會了數學，本研究透過「負負得正」與「0. 9̅= 1」這兩個數學上的觀念，本研究以方便取樣的方式對國中生進行問卷測驗，建立基本的資料架構與數據，並在間隔一段時間後進行二次施測分析其結果差異，且針對某些特殊的個案進行個別訪談，記錄其思考流程並分析其相關的概念建立方式，再試著以詹勳國與顏翠琳（2019）所提出的抽象學習五個類群加以分析分類。研究目的如下：. 一、探討國中學生對於「負負得正」這樣的說法，能否透過文字上的描述，用正確的認知概念轉換為算式，也就是能以具體的方式表達到何種程度。. 二、探討國中學生對於0. 9̅= 1 這個概念直觀上的認知；在經過了「說明」之後的學習，是否能就能真正的建立起正確且持續的概念。. 三、國中學生的數學學習在「自明」、「衝突自清」、「衝突它清」、「衝突未清」、「未明未清」五個類型的分類結果中，是否都能獲得適當的解釋與歸類。. 3.

(10) 第三節名詞界定. 一、直觀（Intuition）也稱為直覺，指的是面對一個新接觸的事物，沒有經過太多的思索過程，直接以內心最單純的想法去看待，也可以視為是一種不追求真正原因下的第一印象，甚至可能會變成如信念一般。而且這個印象可能會成為往後看到相同事物時一種既定的看法且不易被改變。而學生在學習的過程中，若在一開始只憑直觀的方式來看待內容，極有可能會成為一個錯誤的學習，更可能會阻擾了正確觀念的建立。直覺是一種即刻的或直接的知覺、認知、判斷，或一種特殊型式的知識，重點在於「即刻」和直接。當視直覺為一種特殊型式的知識時，這種知識是個人心靈在不經推理、論證或討論的狀況下，對命題(proposition)的真偽及非命題式的事物(nonpropositional object)的狀態及性質所下的判斷或所產生的知覺。（但昭偉，2001）. 二、迷思概念迷思概念的形成可能是來自學生對於所學習知識的一知半解，因而用自己的生活經驗來做為解釋的依據，套用現代的說法，就是自行腦補之後所形成的概念。張鳳燕（1991）指出：在數學學習的過程當中如果出現了迷思概念，則會有系統且固定性的反複使用著錯誤的運算規則且不易導正；也有研究指出概念理解與計算能力之間的關聯性，彼此相互影響。（呂溪木，1983）. 三、學習的「效度」在統計學上，所謂的效度（Validity）是指一個測驗或評量能真正的測驗出該項測驗所要測出的行為或是某一種心理特質的程度，它所強調的是這個測驗所. 4.

(11) 得到的「結果」本身的「正確性」有多少，而不是指這個測驗的內容。（吳明隆， 2009）而「學習上的效度」指的是學生能透過各種的教學過程進而了解所學的東西並且可以實際應用在解決問題上到何種程度，如先前所舉的例子，小孩在背完九九乘法之後，當我們在他面前排列 3 組每組 6 顆的豆子，他可以利用他背過的 3 乘 6 來算出總共有 18 顆，而不是用數數的方式將其算出，那這樣的學習就是一個有效度的學習，我們的重點不是孩子是否背會了九九乘法這件事，而是這個九九乘法的實在意義與如何應用在實際狀況。. 四、學習的「信度」統計學上的信度（Reliability），指的是我們透過了某種測驗或評量工具所得到的「結果」之「穩定性」，也就是前後一致的程度，若以重測信度的概念來說，前後兩次測驗的差異性如果越低，代表這個測驗的結果有很高的穩定性，也就是信度佳，這個測驗的結果就是有信用的。（吳明隆，2009）若把這樣的概念套用在學習這個動作上，則可以解釋為學生在學習完的當下，透過種種的測驗皆能表現出不錯的成績，在過了一段時間之後，面對相同的問題或類似概念，仍可以依先前所學將問題答對，那麼我們就可以說這樣的學習是有信度的，反之，如果學生好像學會其實又沒有學會，因為當下學生似乎懂了，但是在過了一段時間之後，如過再問學生相同的問題，學生仍無法回答，甚至會回到當時錯誤的概念，我們就說這樣的學習是沒有信度的。. 五、「自明」、「衝突自清」、「衝突它清」、「衝突未清」、「未明未清」是詹勳國與顏翠琳（2019）將抽象學習與認知觀念的建立發展出的五個類型：（一）「自明」類型：學生當他學到這段就能自行思考並獲得正確的意義。（二）「衝突自清」類型：學生察覺自己的觀念錯誤，然後藉由自己釐清分析 5.

(12) 之後，思考獲得正確的概念。（三）「衝突它清」類型：學生認知到觀念的錯誤，在透過了任何外來的『教學』助力幫助，獲得了正確的意義。（四）「衝突未清」類型：學生認知到觀念錯誤，但無法理解釐清正確的概念。（五）「未明未清」類型：在觀念上一直都是錯誤的，並且沒有任何修改或釐清的動機。. 六、皮亞傑的認知發展理論皮亞傑的認知發展理論中提到了三個核心概念，第一個是認知結構與基模，第二個是組織與適應，第三個是平衡與失衡，這三者的交互作用讓個體能夠因應外在事物而成長改變。而在本研究裡其中一項測驗也試圖分析學生經由測驗上的「說明」，可否因為觀念認知基模上的失衡，而真正得到學習的效果。（張春興， 1997）. 第四節研究範圍與其限制. 本研究所探討的是學生的數學學習情形，礙於研究者能力有限無法面面俱到，所以在此針對研究的範圍、方法內容與對象做若干的限制，其說明如下：. 一、本研究的地區範圍限制本研究的研究範圍在研究者所服務的屏東縣內之完全中學內，因為不同地區之種種差異（如城鄉差距），所以本研究結果無法擴大推論到其他地區或學校。. 6.

(13) 二、本研究的方法與內容上的限制本研究採用的是先量後質的問卷調查與訪談，內容包括了數學閱讀測驗與概念解測驗兩大部分，其測驗的結果可能會因為不同的任課老師之間的教學方式，不同的學習重點提示，學生的學習體驗及自身的學習態度，甚至是學生在國小階段的學習經驗、語文與閱讀能力的程度都可能會影響到本測驗與研究的結果。. 三、本研究的對象限制本研究的對象為研究者所服務的學校裡國中部八年級的學生，以方便取樣方式挑選 10 個班級約 262 名學生，因不同學習階段對於數學的認知概念發展有其差異性，因此本研究結果無法推論到其他年級或是其他學校。. 7.

(14) 第二章文獻探討. 第一節人類是如何學習的. 人類從許多具體的例子中，將「共通性」抽象出來，經過命名得到「一階概念」，例如，從眾多可以「坐」的實物中，抽象出「椅子」概念。接著，從許多「一階概念」中，將「共通性」抽象出來，經過命名得到「二階概念」，例如，從桌子、椅子…等概念中形成「家具」概念（陳澤民，1997），鄭昭明（1997）也提出了類似的說法，他認為概念本身就把一個象徵性的東西做具體的建構，而建構的方式則是透過歸類的方式將某些事物之間的共同性找出來，當我再看到類似的事物，便可以用歸納出來的結果來應對。而數學的學習也是由此概念建立成形，透過許多不同的物體或符號之間的集合經驗，將相同的「量」概念抽取出來，經過命名後形成了數字的概念；小時候被媽媽抱在懷中的時候，媽媽用手輕輕拍著小孩身體的動作，同時又哼唱著單拍子的兒歌或是一邊數數讓孩子慢慢睡著，其實就是一種數字學習的開始；隨著在生活中開始慢慢接觸各種的「離散物」，如一個一個的糖果、餅乾或是彈珠玩具，當小孩的年紀越來越增長，在人生中會遇到越來越多的【&&&】、【***】這一類的經驗之後，再將這些集合的共通處（離散量）抽象出來並賦予 3 這個符號與發音來代表這個量，建立了數字的概念。再依此類推繼續發展出自然數、整數、有理數等概念，這些階段層層的堆疊上去，就累積形成了各種複雜的數學概念。. 「直觀」是將事物間的共同性抽象出來的一種機制，而我們以這種方式做為引導，就可以發現某種事物之間的共同性或關連性，進一步的可以構築出新的概念，數學上的學習亦是如此。國民中小學九年一貫課程綱要在數學領域的教學基 8.

(15) 本理念（教育部，2008）提到：「學生在學習數學時，一般重視的是觀念的建立和演算，注重循序累進的邏輯結構學習，但是關於學生的各種數學經驗的累積卻是同樣重要的，讓學生利用之前的學習經驗來建立面對下個階段問題的反應能力，而這種經由先前學習而累積出來的數學經驗，就可作為是數學上的直觀或直覺」。. 但是直觀的學習反應，可能連帶伴隨的是一種不穩定的「迷思概念」，這是指一種不完整且模糊的想法，在錯誤的認知被重覆視為是一種理解之後所建立起來的觀念，陳玉玲（2000）結合了多位學者的觀點，將這種「迷思概念」形成的因素歸納成：「認知發展層次」、「學校教學」、「個人直觀及日常用語」、「社會情境」等四種，而學生在學習發展過程中所引起的迷思概念，可能會受到學校的師長、校內相關人員、學生同儕、個人的直觀、甚至是連課本或是各種的參考書籍、教具都會有所影響；如此一來可將學生的迷思概念視為是一個學習者（學生）本身與他所處的學習環境人事物之間的交互影響而生成，鍾聖校（1994）將迷思概念分析歸納出下列幾個特質：「過程性」、「不完備性」、「非正統性」、「思考性」、「個別性」、「普遍性」、「不穩定性」與「頑固性」。而有很多的研究中發現，學生之所以在學習抽象概念的過程當中遇到阻礙，都是源自於自己建立出來的迷思概念無法被突破改變的結果（邱美虹，1993；Carey, 1985；Hewson, 1981）。甚至有很多的學生在學習之前就已經建立了很多先入為主的想法，使的他們無法接受新的想法並抗拒改變。. 大部分的人在國中學習數學的時候，一開始會將負負得正視為是一個口訣，透過背誦的方式，在寫作業或是測驗的時候大量運用，潛移默化中，內化成自己的習慣（尚未真正形成一種概念），往後在遇到這個相關問題時便套用這個規則，久而久之都因為用了這個方式而得到正確的結果之後，獲得了正向的回饋，進而成為一種固定的對應行為。依據 Skinner 的操作制約（Operant conditioning）行為理論，在多次的實驗練習之後「連老鼠都可以透過反覆的練習之後，學習到 9.

(16) 只要透過觸壓紅色的開關之後便可以得到食物，進而成為一種固定的行為模式」（張春興，1997），更況且是學習能力更強的人類呢？而學生學習到的知識之後，或許他仍不明白所學概念的真正意涵，但是在透過大量的練習來讓學生熟悉題目，利用經驗的累積形成的連結，在充分的練習之下，學生看到問題就有了對應的解法，也就是形成了反射動作，以巴夫洛夫的古典制約理論（ Classical conditioning）的概念來看，透過一些階段式的訓練與適當的連結而建立一種對. 應的反射動作，單以目的而言也是一種為了提高學習成效而衍生而出的教學方式，也是早期比較偏向行為主義的教育模式。（張春興，1997）. 從研究者以前的學習經驗來看，過去教師將課本或參考書上的知識傳達給我們的第一步，往往是口訣式的背誦過程；而使用口訣的學習模式正好符合巴夫洛夫的反射理論，透過反覆的使用久而久之它就內化為直觀的操作模式，當我們透過這樣的操作並得到一個合乎期待的對應結果後，這個口訣便會成為一種對應的處理方式，也就是 Skinner 的操作制約理論。以「負負得正」這個國中第一章的基礎內容為例，這句話本身就是一個口訣，我們在初次學習這樣的規則時，根本無法理解其中的涵義為何，但教師透過題目的練習為範例，讓我們學習如何應用這個規則，也因為對這個規則的熟悉程度，讓我們在考試上有著不錯的分數，至於其中的意義為何，似乎也不是那麼重要了，但是當學習的階段結束之後，隔了一段時間不再接觸這些東西，還有多少人會記得這個運算的方式呢？或許「負負得正」是一個比較普遍性的說法，仍有多數人會記得其運算，倘若是換成更高深的數學規則或運算公式，能真正記得的更是寥寥無幾了，也就是反覆練習之後以反射對應的方式來因應的學習模式，可能是無法持久的，會隨時間拉長或練習的次數減少而衰退，即使這個方法一直都記得，一輩子都用反射的方式來解決數學上的問題，但也永遠都不明白它真正的原因也無法解釋。. 10.

(17) 第二節國中生的數學概念說明. 一、關於0. 9̅＝1 的概念說明. （一）0. 9̅＝1 的證明一： 1 ＝0.333... 3. 1 其中 0.333...我們可以寫成 0.3 ，所以＝ 0.3 3. 1 1 1 ＋＋＝1 而 0.333...＋0.333...＋0.333...＝0.999...＝ 0.9 3 3 3 1 也就是三個相加會等於 1，三個 0.333...相加會等於 0.9 3 因此 0. 9̅＝1 得證. （二）0. 9̅＝1 的證明二：設 x＝0. 9̅ 10 x＝9. 9̅ 10 x－x＝9. 9̅－0. 9̅ 9x＝9 x＝1 1 x＝0. 9̅ 得證. 11.

(18) 二、關於「負負得正」的概念說明. （一）以純數學的角度來做為「負負得正」的說明類型：. 1.高等微積分的證明：實數、加法與乘法是一個場（域）（Field），帶有封閉性，加法反元素，乘法反元素、交換律、結合律、分配律與等量公理。因此 0＋0＝0 依據等量公理 a‧（0＋0）＝ a‧0 以分配律展開得到 a‧0＋a‧0＝ a‧0 再依據等量公理 a‧0＝0 所以（－1）‧0＝0，再者（－1）是 1 的加法反元素，則 0＝1＋（－1），依據等量公理 0 ＝（－1）‧0 ＝（－1）‧（1＋（－1））＝（－1）‧1＋（－1）‧（－1）＝－1＋（－1）‧（－1）再依照等量公理（－1）‧（－1）＝1. 2.代數證法：假設 a 與 b 皆為自然數，我們要依序證明以下三件事： 1.（－a）× b ＝－（a × b）負正得正 2.a ×（－b）＝－（a × b）正負得正 3.（－a）×（－b）＝ a × b 負負得正. 12.

(19) 首先： a × b +（－（a × b））＝ 0 （結論 A：一數與其相反數相加為零）. 接著： a × b +（－a）× b =（ a +（－a））× b = 0 × b = 0 （結論 B）. 綜合結論 A、B 之後可得： a × b +（－a）× b = 0 = a × b +（－（a × b））所以：（－a）× b = －（a × b）（結論 C：負正得負，證明的項目 1）. 接下來： a × b + a ×（－b） = a ×（b +（－b）） = a × 0 = 0 （結論 D）. 於是綜合結論 A、D 之後可得： a × b + a ×（－b）= 0 = a × b +（－（a × b））所以： a ×（－b） = －（a × b）（結論 E：正負得負，證明的項目 2）. 13.

(20) 再接下去：（－a）×（－b）+（－a）× b =（－a）×（（－b）+ b） =（－a）× 0 =（－a）× 0 + 0 =（－a）× 0 + a × 0 =（a +（－a））× 0 = 0 × 0 = 0（結論 F）. 綜合結論 B、F 之後：（－a）×（－b）+（－a）× b = 0 = a × b +（－a）× b 至此即可獲得最後結論：（－a）×（－b） = a × b （最後的證明項目：負負得正）. 以上是以純數學的理論來證明「負負得正」這個概念，它是非常嚴格謹慎的，相對也不夠平易近人，且需要更多高階的數學學習來支持這樣的說明，一般在國中生的教學當中，因為考量到學生的數學能力，因此我們鮮少提到這樣的說法。. （二）綜合數理概念的「負負得正」說明類型：. 1.綜合數理概念的「負負得正」說明範例一在國中生的課本中，最常被引用來解釋的莫過於水庫原理，例如說水庫的水位每天下降 2 公分，我們以－2 來表示，如果過了一天，我們知道會比昨天又少 14.

(21) 了一個 2 公分，所以就以（－2）×1＝－2 來表示，那如果將時間回溯至三天前並以－3 來代表三天前，而三天前的水位高度會比現在還要多出 6 公分，就可以解釋（－2）×（－3）＝＋6。. 2.綜合數理概念的「負負得正」說明範例二溫度也是常常被拿來解釋正負數變化關係的題材，例如說早上的溫度是－6 度，到了下午變成－2，如果我們寫成算式來求其中的溫度變化量的話，應該是寫成：－2－（－6），而這個時候我們還會教導學生用減掉某數等於加上某數的相反數這個概念來幫助解題，因此－2－（－6）＝－2＋6＝4，其中的減－（－ 6）變成＋6 的過程，也是負負得正的一種概念。. 3.綜合數理概念的「負負得正」說明範例三盒子裡裝有黑色與白色的圍棋，白色的圍棋表示＋1，黑色的圍棋表示－1，一黑一白剛好抵消為 0，而放入盒子內的動作為加法，從盒子內取出則為減法。（－2）×（－3）表示我們拿走了三個黑棋，且這個動作連續做了兩次；但在盒子中沒有圍棋的情況下，我們先放入了三組的黑白棋於其中來表示 0×3＝0，此時拿走三個黑棋之後，再放入三組的黑白棋且再以次取走三個黑棋，因為兩次拿走了三個黑棋之後，此時的盒中會剩下六個白棋，就可以用來解釋（－2）×（－ 3）＝＋6。. 4.綜合數理概念的「負負得正」說明範例四一個數線上，以原點為中心，我們面對原點右邊的時候為正，面對左邊的時候為負；以自己面對的方向來說，向前走為正，向後走為負。當我們面對（－2） ×（－3）這個算式時，－2 代表我們要面對左邊，而－3 代表我們要向後退，所以，當我們從原點出發，面對左邊一次以兩個單位為大小向後退了三次之後，我 15.

(22) 們就會到達＋6 的位置。. 5.綜合數理概念的「負負得正」說明範例五以 1 為例，它是乘法操作裡的基本單元位，用 1 來乘以某個非零的數，一定都會得到某數本身，從此可推得正負得負，若再加上交換律的應用，則可推論出負正也是得負；而負數乘負數的部份，我們先以（－3）×2 為例，我們都知道（－ 3）×2＝－6，如果我們將 2 改寫成 6 減 4，並以分配律，可得以下算式：（－3）× 2 ＝（－3）×（6－4）＝（－3）× 6＋（－3）×（－4）（－3）× 6 已經確定是－18，那（－3）×（－4）呢？此時我們將其分開推論：先假設（－3）×（－4）為負，那答案就是－12，而（－ 18）＋（－12）＝－30 與我們原先已知的答案不合。若（－3）×（－4）為正數等於 12，則（－18）＋12＝－6 就與我們當初計算的結果相符，由此可推知「負負得正」這個結論。. 6.綜合數理概念的「負負得正」說明範例六課堂上我也很喜歡用一種簡單的說法，將負號視為是一個翻面的動作，以一個兩面的物體來說來說，當你遇到數字的乘法時，一個負號，就翻轉一次，當你再遇到第二個負號之時，便再翻轉一次，此時這個物體又會回到原本的那一面，這樣恰好可以解釋「負負得正」的概念。. 以上的幾個舉例是綜合了數學、物理與自然等相關概念的說法，並且多以日常生活經驗相結合，除了有量的增減還配合了時間流動或方向的變化等要素在其中（時間往前推為負數，往後推算的話為正數），並且搭配實際的數字運算來增 16.

(23) 加學生的理解，算是在課堂上教學時最常被拿來做為舉例說明的類型，也就是任何有方向性的數字或量（棋子、水庫、數線、溫度…），都可以設計成用來解釋說明「負負得正」這個概念，從事教學者可以按照這個原則設計更多的說明。. （三）用社會科學的角度來說明「負負得正」的類型：. 1.用社會科學的角度來說明「負負得正」的範例一如果不一定要用數字來解釋的話，我們也可以這樣說：壞人眼中所看到的壞人，就是會與他作對的人，例如說警察專門抓壞人並與之對抗，在我們的眼光來看，其實警察就是好人，也可以做為「負負得正」的舉例。. 2.用社會科學的角度來說明「負負得正」的範例二假設這個世界上的好人用正來表示，而壞人用負來表示，人數的增加或變多我們用正，離開或死亡用負。如果世界上多了幾個好人（正乘以正），這個世界為因為他們的貢獻就更加良善美好（結果是正的）；如果這些好人因為意外而離開了我們（正乘以負），那這個世界就會因為少了正面的力量變的黑暗（得到負的結果）；反之如果世界上壞人增加了（負的乘以正的），那這個世界也會變得更黑暗（得到負的結果），如果壞人死亡了（負乘以負），這個世界也會因為少了一些危害變的非常美好（得到正的），這樣也算是一種負負得正的解釋。. 3.用社會科學的角度來說明「負負得正」的範例三熱戀中的男女對話： (1)我是真的愛你，如同字面上的意思是真的愛你（正正得正） (2)我不是真的愛你，真的不愛你（負正得負） 17.

(24) (3)我是真的不愛你，真的不愛你（正負得負） (4)我不是真的不愛你，真的愛你（負負得正）. 4.用社會科學的角度來說明「負負得正」的範例四你所不喜歡的人，對你的人生來說是一種負數，而受教訓這一類的事情，也是人生心情中的負數，但如果是你不喜歡的人受到了某種適度的教訓，對你來說會有一種痛快的正面心情。. 5.用社會科學的角度來說明「負負得正」的範例五如果不一定要用數字來解釋的話，我們也可以這樣說：壞人眼中所看到的壞人，就是會與他作對的人，例如說警察專門抓壞人並與之對抗，在我們的眼光來看，其實警察就是好人，也可以做為「負負得正」的舉例。. 上述這些說法可算是比較偏社會科學類的說明方式，只有探討二元方向（愛與不愛、敵人或朋友、好人與壞人…），但沒有量的介入，只能單純探討正負的問題，略帶詼諧趣味甚至也有些荒謬，或許用這種方式來說明不盡合理，但卻能加深學生的學習印象。. 第三節國中生數學的負數概念學習相關探討. 「＋」及「－」對數學來說其實既是「運算」符號，也是「性質」符號。在國小階段的數學學習中，他被拿來作為連結兩個數字之間的關係，被稱為「加」與「減」，此時它被定義為「運算」符號。而在國中數學階段裡，再次地出現卻有著不同的定義，它被放在數字的前面用來表示數字的狀態，此時的它被定義為 18.

(25) 「性質」符號。對大多數的學生來說，國中階段的數學對學生而言最大的挑戰莫過於加入了負數的概念，我國的教育制度在國小階段花費了六年的時間在幫學生建立正數的概念，但卻要用一個學期的時間來瞭解負數，對學生而言真的是一件不容易的事；我經常在課堂上問學生說，假設我身上有一百元，那我該如何證明這件事情呢？學生大多會很直接的回答說：「把錢拿出來就好了」，而如果我再問如何在沒有任何外在提示的情況下，怎麼知道老師還欠銀行房貸呢？這時能回答的學生就少之又少甚至只能得到開玩笑似的答案。. 的確，常說的眼見為憑就是一種最直接明白的說服方式，是一種直觀的學習方式，也就是學生處於具體運思齊的學習表徵，但負數本身就是一種抽象的概念，必須在進入形式運思期或更高等的學習運作模式來對應；Klien（1908；舒湘芹等譯，1996）就在研究中指出在在中學教育裡導入負數概念是非常不容易的事，因為負數是學生數學觀念由具體轉向抽象的重大改變，想充分理解負數所帶來的抽象思考問題則就必須具備較高度抽象能力才能因應。但根據黃湘武（1987）的研究發現，台灣的國中階段學生大多仍處於具體運思期，形式運思的能力尚未發展完全，要在國中階段要讓學生學習負數的概念不是一件容易的事，面對負數這種全新的數學概念，在學生的抽象思考能力相當有限的情況下，他們會覺得這些符號運算出來的對應方式和結果與他們之前既有的認知不符，負數對他們來說是一種新的觀念，不僅比過去所學的觀念更抽象，且與它們先前所學的具體概念沒有共通點可供連結。因此，負數對於「教學者」或「學習者」而言，都是一個艱鉅的挑戰。. 在國小的階段，經常會出現兩個量之間的比較問題，例如說甲的身上帶了 80 元，乙的身上帶了 100 元，請問兩人身上的錢相差多少？在國小的教學中教育學生為了求出兩者之間相差的量，會用大的量去減小的量，所以我們用 100 減去 80. 19.

(26) 得到 20 這個答案，學生也知道兩者相差了 20 元，但如果要進一步分析誰比誰多了多少錢，或是誰比誰少了多少錢這類意義上的解釋，卻又不是每個此階段的學生都可以答出來的問題，倘若在過程中有學生將算式寫成 80 減 100，那又該如何處理呢？有鑑於此，教學的過程就必須借助負數的概念來協助說明，因此負數的學習也等同是國中數學教育的起點，而利用生活上大數減小數這種不足的情況讓學生學習利用負號來表示一個虛擬的量，這也是一般數學教師教學與課本帶入負數的起手式，例如說如果帶了 100 元去購買 120 元的商品，很明顯的不夠了 20 元，為了表示這個不夠的 20 元，我們開始導入了負數符號的使用，先讓學生對負數有一個基本的認識，再來才開始對負數進行加減乘除等相關運算，而一般的數字計算中以負數的減法對學生來說最為困難，因為涉及到運算與性質符號的變換，學生要把負號與減號兩個一模一樣卻有不同定義的符號連結在一起著實不易，反倒是負數的乘除法部分，如果學生善用異號數相乘為負，同號數相乘為正的口訣，往往可以做對大多數的題目，但如果認真的以學習的概念來看，知道了口訣或是會算題目了就真正的代表了解所學的意義嗎？這點我們是存疑的。蔡德吉（2002）的研究告訴我們，國中生對於負數與加減法的概念學習上呈現非常多元的表徵，其中以數線類型的概念最多，至於乘除法敘述的理解則是有呈現上的困難，無法與生活上的例子作成連結。或許也就是為什麼大多數的人都選擇了比較簡單的背誦口訣來面對負數與正數乘法的原因。. 研究者在國中教學現場的第一線中，看見了許多的國一新生在初次面對負數時的猶疑，雖然學生在國小階段學生已經學習了許多關於數字計算的加減乘除與四則運算概念，但是在國中一年級階段加入了負數之後，觀念上的混淆讓整個學習的難度大大提升，尤其在四則混合運算時，錯誤的機率更高。國中的負數概念是國小數與量計算的延伸，在之後的其他章節更是以負數為基礎能力繼續橫向與縱向展開，九年一貫數學領域課程當中的第三、四階段裡的. 20.

(27) 代數、幾何、統計與機率，都需要以負數為基礎，所以讓學生真正理解負數的定義與其計算規則，是學好國中數學的第一步。在早期國立編譯館版本的教科書就利用溫度變化為例來說明正負數，溫度低於零度時我們用負號「」來表示，開始介紹負號的使用，再以零度以上為正，零度以下為負將兩者做一個區隔，再以相對或相反的兩個量作為正負對比的例子來增進學生的認知，而將溫度計橫放，就變成了數線的概念，接著就是導入了數線來協助教學說明，雖然在國小階段也有數線的使用，但僅限原點右邊的正數範圍，而今利用數線的左半邊來介紹負數，除了讓學生對『數』的觀念更為完整，也為其後的座標平面系統做一個鋪排，這時可以再輔以一些生活上的例子來做說明，如賺錢或賠錢、量的增加或減少、行進的方向與距離等，讓學生理解正、負數之間如同一個對立相反的概念。依照國內年九年一貫課程綱要中負數的教學依序為，先介紹負數、再導入相反數及絕對值的意義，然後比較正、負數的大小關係以及正、負數對應在數線上的範圍與區間概念，再來才進行正、負數的加減、乘除，最後才是四則運算。教育部在九年一貫課程綱要中也提到：教學上應教導學生以「正、負」表徵生活中相對應的量，並認識負數是性質（如：方向、輸贏等）的相反，最後體認到「負負得正」的涵義（教育部，2005）。. 21.

(28) 第三章研究方法設計與實施. 九年一貫課程中一直強調要讓學生擁有「帶著走的基本能力」，而這個能力有賴於學生對於所學的知識的真正的理解，而真正的理解則需要靠概念的建立才能展為解決問題的能力。本研究針對學生的數學觀念建立為研究主題，先以問卷評量方式建立量化的資料，透過學生的作答狀況進行量的分析，再根據前後測之結果進行比較，並且透過訪談的方式進一步瞭解學生概念建立之過程。. 第一節研究對象. 本研究的研究對象是研究者所服務的完全中學內國中部八年級的學生，以方便取樣方式抽出 10 個班級約 262 為學生進行「數學閱讀測驗與概念評量問卷」。. 第二節研究工具. 本研究利用數學上的「負負得正」與「0. 9̅＝1」這兩個概念設計問卷，以探討受測之國中生如何學習數學的概念為目的，本研究設計了「數學閱讀測驗與概念評量問卷」，問卷採用記名制以便追蹤比對與抽訪。測驗評量的內容分為二個部分，第一部分是數學閱讀能力測驗，請學生根據題目的說明列出對應的算式與結果，主要是為了瞭解學生能否從文字敘述中確實知曉題意並寫出正確的算式與答案。. 22.

(29) 題目如下：盒子裡裝有黑色與白色的圍棋，白色的圍棋表示＋1，黑色的圍棋表示－1，一黑一白剛好可以抵消為 0，而將棋子放入盒子內的動作為加法，從盒子內取出則為減法。現在假設我們想從盒子裡拿走三個黑棋，且這個動作連續做了兩次；但在盒子中沒有圍棋的情況下，我們先放入了三組的黑白棋於其中，此時拿走三個黑棋之後，再放入三組的黑白棋且再以次取走三個黑棋，請你用數學算式來表式上面說明的動作。依照題目中的說明，三個黑棋本身指的就是－3，而取走的動作我們做了兩次，可記為－2，所以正確答案應該是（－3）×（－2）＝6。. 第二部分是概念理解測驗，在第一題中先詢問學生0. 9̅與 1 之間的大小關係之後，待他作答完畢後再給他一段推理說明，事後再給他完全相同的0. 9̅與 1 之間的大小問題再問一次，讓學生在看完說明之後再次進行第二次作答，而為了確保研究結果的效度，我們規定學生不可以修改第一題的答案，即使他在看完說明之後有了不同的看法，也請他將心目中的正確答案寫在第二題，我們將根據兩次作答的結果作為說明學習效果的判斷，且會在間隔一個月之後，以完全相同的題目做第二次的測驗，利用前後兩次測驗的結果來分析學習的信度。. 題目如下：根據你的判斷，請你在□內填入＞、＜或＝。 0.9 □ 1. 推理說明內容：. 1 ＝0.333... 3. 23.

(30) 1 其中 0.333...我們可以寫成 0.3 ，所以＝ 0.3 3 1 1 1 ＋＋＝1 而 0.333...＋0.333...＋0.333...＝0.999...＝ 0.9 3 3 3. 1 也就是三個相加會等於 1，三個 0.333...相加會等於 0.9 。 3. 第三節研究的實施. 本研究模仿測驗理論的信度與效度，並應用在學習理論上，被抽選到參與本研究的班級，我們商請任課教師利用上課時約 5 分鐘的時間讓學生作答，除了提醒學生不要修改第二部分的答案以維護測驗的有效性之外，只要讓學生根據問卷內容填答不需多做說明解釋；而為了檢驗學生的學習信度這件事，本研究採用了延後測的方式在經過一個月後，我們針對同一批學生再次進行完全相同的測驗一次，並針對學生兩次測驗後的結果來分析推論學生學習之效度與信度情形，並從問卷中挑出若干位學生進行訪談，以更進一步了解學生是如何建立其數學概念。. 24.

(31) 第四章結果分析與討論. 第一節國中生「負負得正」的閱讀測驗分析. 本研究中利用閱讀問卷裡的第一題來統計研究學生對於負負得正的認知概念，題目中提到：盒子裡裝有黑色與白色的圍棋，白色的圍棋表示＋1，黑色的圍棋表示－1，一黑一白剛好可以抵消為 0，而將棋子放入盒子內的動作為加法，從盒子內取出則為減法。現在假設我們想從盒子裡拿走三個黑棋，且這個動作連續做了兩次；但在盒子中沒有圍棋的情況下，我們先放入了三組的黑白棋於其中，此時拿走三個黑棋之後，再放入三組的黑白棋且再以次取走三個黑棋，然後請學生用數學算式來表式上面說明的動作。根據本次問卷測驗的 262 個樣本當中，有 81 位學生寫出了正確的答案，答對率約 30.92％，但是在這些正確答案當中，並沒有任一位同學以（－3）×（－2）＝6 這樣的方式來回答，而大多是以加減法的型態來表示答案，這一點與我們當初設計這個研究時的假設有若干的出入，當然我們當初設定的研究對象是以研究者所任教的屏東縣內某國中為研究範圍，或許有諸多的因素造成了這樣的結果，如城鄉差距所造成的影響、學生的生活經驗等，在此我們將這個問卷結果分析歸納為五個大類：. 一、無法將題目轉換為明確的數字加以運算，但是能以圖像的概念來呈現出過程與結果。二、能清楚題意並正確的列出算式並得知結果，但無法與所學的負負得正做出連結，只能用較為簡單的加減法概念來呈現出題目所要的意義。三、只能概略看懂題目或是忽略其中部份說明，勉強用題目裡所提到的數字來呈現，但表達方式有所缺漏或式對於運算的規則有所誤解，導致答案不正確或 25.

(32) 是碰巧寫出答案，其算式過程本身是有瑕疵的。四、無法正確理解判讀題意，單純只是拿題目中提到的數字來做答。五、無法理解題目或是沒有任何求解與作答動機. 以下針對這五種類型分別從受測學生的作答中舉例並分析：. 第一類型無法將題目轉換為明確的數字加以運算，但是能以圖像的概念來呈現出過程與結果。範例一：. 範例二：. 26.

(33) 分析：這兩位學生的作答方式都是將三個黑棋與三個白棋直接畫出，並且以劃掉三個黑棋表示題意所示的取走這個動作，雖然很清楚的呈現出過程與最後的結果，但也表示該生的學習狀態仍停留在皮亞傑學習發展理論中的「具體運思期」（concrete operation period），而未進入「形式運思期」（formal operation period），也就是我們常說的眼見為憑，學生尚未建立起抽象思考能力，所以必須借助實物或圖像來幫助他們建立連結。. 範例三：. 分析：這位學生的作法雖然與前兩個範例的類型相似都是以圖像的方式來呈現，但前兩者都單純地將相同的動作做了兩次來求得結果，而這個同學呈現出來的是一種連續性的「累進性和成運思」與「向上數」的概念，而非單調的重複動作，在思考層次上是有不同的。. 第二類型能清楚題意並正確的列出算式並得知結果，但無法與所學的負負得正做出連結，只能用較為簡單的加減法概念來呈現出題目所要的意義。. 27.

(34) 範例一：. 分析：這位作答的同學將三組白棋與黑棋用算式 111111 列出，並且清楚的以（3）來表示拿走三個黑棋，並且將這個動作重複了兩次，得到最後結果等於 6，雖然不是我們期待的（3）×（2）這種答案，但至少該生能清楚將這個題目用正確的算式列出，只是他仍無法將負負得正的概念實際應用在這個問題中。可從此作答方式中得知該生雖然用的是數字呈現，但其思考方式仍是「具體運思期」（concrete operation period）的形式，必須將條件（模擬黑棋與白棋的實際狀況）以數字一一清楚列出方能作答。. 範例二：. 分析：這位同學將一正一負的和用 0 表示，且用 30 表示這樣的一正一負有三 28.

(35) 組，再將拿掉三個黑棋的 （3）直接變號改為3，在運算的層次上表現出比範例一的同學更高的數字整合與變號技巧，但仍無法將負負得正的概念應用在這個問題當中。. 範例三：. 分析：這一位同學在列算式的時候相當謹慎，連一開始盒子裡面為 0 的狀況都表示出來，表示他對於整個題目的細節是有考量進去的，然後用 3〔1（1）〕來表示三組的黑白棋，接著用3（1）來表示取走三個黑棋，再於大括號外乘以 2 倍，其解答的層次明顯更高於前兩個範例將相同動作重複寫兩次的作法。. 範例四：. 分析：這個同學的答案很清楚的列出在三黑加三白總合為 0 的情況下拿走三個黑 29.

(36) 棋可表示為 0 （3）=3，然後把兩次的總和加起來為 6 得解，算是離我們預定的（3）×（2）較為接近的答案，雖然仍未用到負負得正的概念，但是從作答中可以看出學生對題目的理解是非常清楚的，若是將答案寫為〔0 （3）〕× 2，應該是更棒的表示方式。. 第三類型只能概略看懂題目或是忽略其中部份說明，勉強用題目裡所提到的數字來呈現，但表達方式有所缺漏或式對於運算的規則有所誤解，導致答案不正確或是碰巧寫出答案，其算式過程本身是有瑕疵的。範例一：. 分析：這位學生直接用33 來呈現三個黑棋與三個白棋，看似有注意到黑棋與白棋的差別，但卻又直接以3 來表示拿走了三個棋子這個動作而忽略了棋子顏色代表的含意，顯示這位學生並不是完全真正理解棋子顏色的重要性，整個算式也未確實完成。. 30.

(37) 範例二：. 分析：這位學生的答案中明顯可以看出也是用33 來呈現三個黑棋與三個白棋，但拿走三個黑棋的部分他只用了3 來表示而忽略了他拿走的是黑棋，所以應該用（3）表示才對，而且最後題目提到相同的動作做了兩次他完全沒有注意到，所以導致錯誤的結果。. 範例三：. 分析：這位學生的寫法算是很接近正確答案但是疏忽了細節，與範例一一樣是忽略了拿走黑棋的動作應該用（3）表示才對，且他與大多數的同學一樣，都會把三個黑棋與三個白棋明確的用33 來呈現，常理來說合併起來為 0 的數字應該可略過不寫才對，但幾乎大多數的學生都有寫出來，其中推 31.

(38) 估兩種的可能性：一種是個人的習慣使然，另一種應該是學生尚未完全脫離「具體運思期」（concrete operation period），所以在計算的過程中必須靠明確的數字來提醒自己黑棋與白棋的存在。. 範例四：. 分析：這個學生的思維模式只停留在「量」的統計而忽略了不同顏色之間的意涵，三個黑棋與三個黑棋他以 33 來呈現，然後拿走三個黑棋就用3 來表示，所以他所回答的 6 並非是「六個白棋」的 6，而是盒子中剩下「六個棋子」的 6，雖然是相同的答案，但其中的意義是全然不同的。. 範例五：. 分析：這個學生的回答方式與前一個範例相同，學生都是只有注意到「量」的變 32.

(39) 化，也等同他的數學學習仍停留在單純計算數量的階段，他很有順序性的從原本的空盒 0 個棋子中先放入 6 個，然後取走 3 個，接著再放入 6 個，再取走 3 個，用 0  6  3  6  3 忠實呈現了盒子中棋子數量的變化，最後所得的答案，也只能呈現出剩下六個棋子而非六個白棋。. 範例六：. 分析：這一位同學的答案雖然不對，但其所列出的算式比答案本身更值得研究，他所犯的錯誤剛好與前一個範例四的概念相反，這位學生只注意到顏色的含意（白色的圍棋表示＋1，黑色的圍棋表示－1），但是忽略了棋子之間的運算規則（放入盒子內的動作為加法，從盒子內取出則為減法），所以他很單純的呈現出三白、三黑、三黑、三白、三黑、三黑這樣的順序；但除了算式的呈現有問題，其後的計算結果也與算式不相符，表示學生在加減法運算上本身也是有問題的。. 範例七：. 33.

(40) 分析：這位學生最大的錯誤在於將連續加法等同乘法和連續乘法等於次方的觀念混淆，將三個白棋直接寫成＋1 的 3 次方，三個黑棋寫成－1 的 3 次方，由於次方的概念是國中七年級時期才教，在時近效應 Recency Effect（程炳林，2000）的影響下，學生當下或許只記得這個概念，再加上學生自己的學習歷程中對於累加可以用乘法來表示的概念也尚未完整建立，所以在不甚了解題目與方法的情況下就直覺式的使用他所學到的最新概念來處理問題，所以才有了這樣的答案。. 第四類型無法正確理解判讀題意，單純只是拿題目中提到的數字來做答。範例一：. 分析：題目裡提到白色的圍棋表示＋1，黑色的圍棋表示－1，所以這個學生在作答時只能根據題目裡有出現過的數字寫了＋1－1，而未將後面提到的其他動作列入考量，甚至連各三組這樣的重要訊息也無視，在國字與數字之間的關係無法建立連結，基本上也可能是學生的答題動機略低，所以不想多寫。. 34.

(41) 範例二：. 分析：與前一個例子寫了＋1－1 類似的作答方式，一黑一白剛好可以抵消為 0，所以他的答案只寫了 0，當然也可能是因為動機不足懶的作答就用最直接的 0 回答。. 第五類型無法理解題目或是沒有任何求解與作答動機範例一：. 35.

(42) 範例二：. 範例三：. 範例四：. 36.

(43) 分析：上列範例這幾個學生都是因為無法理解題目的意義不知如何作答，所以在答案欄裡寫下問號、留白，甚至是直接告知看不懂，更有人直接將問卷施測期間該次段考範圍內的教授內容乘法公式書寫於其中以免留白，事實上都等同無法針對題目所提的內容作出反應。. 「負負得正」在數學的學習上是一個相當抽象的概念，我們要把它轉化為易於理解的形式或表徵不是一件容易的事。在學生七年級的時候，練習過許多關於負負得正的相關計算，以（－3）×（－2）這一類的題目來說，學生大多可以用反射的方式回答出答案等於 6；但假使學生遇到的是一個情境，也就是數學上常說的應用問題，學生卻又不能夠把之前所學的知識或口訣做成連結來解決題問，反而回到最初所學習的加法與減法概念來解題，這與本研究一開始提到的小孩背誦九九乘法的例子不謀而合。. 從這一個問卷當中的各種回答方式與類型不難看出，雖然有 30.92％的受測學生寫出了看似正確的答案，但這些答案的來源都是建立在他們更早之前所學的加減法基礎之上，也就是所謂的「負負得正」這個觀念，在現行階段並沒有真正的實際應用到他們的生活之中，或許嚴格的來說，即使已經能夠算出（－3）×（－ 2）＝6 這樣的算式，也不能代表學生真正的就是學會了負負得正；在現行的新版 108 課綱所提到的數學素養包含了下列幾樣特質：. （1）數學學科知識的素養。（2）應用到學習、生活與職業生涯的素養。 37.

(44) （3）正確使用工具的素養。（4）有效與他人溝通的素養。. 其中的第一點提到數學學科知識，如果針對學習狀況正常的學生而言，各個階段應該有其必備的基本能力；但是第二點提到的應用到學習、生活與職業生涯的素養所強調的應用，似乎才是學習能否成功的關鍵；姑且不論是否能將所學應用在工作上，如果所學的東西無法將其應用在生活上，用以解決日常問題，只是單純得學會了數字的運算，那學習的意義上似乎又打了折扣，即使處於科技發達的現代社會，各種的輔助工具非常便利，但如果無法實質的理解當下所面對的問題癥結所在，或是某個流程（算式）的的運作方式與原理，就會像手中空有一堆的工具卻不知該用哪一種一樣仍於事無補，如果說即使答對問卷中負負得正這個題目的學生都尚未能真正理解該用什麼方法來應用已經學過的數學知識，那更遑論另外六成答錯或不知如何作答的同學，或許他們連基本正確的數學知識都尚未俱備，他們離真正的學會數學，似乎又更遠了些。. ̅ = 1 的「說明學習法」問卷結果分析第二節 𝟎. 𝟗 在問卷的題目中，我們提問了0. 9̅ 與 1 之間的大小關係讓學生先以直觀的方式作答，並且在問卷背後提供了一段0. 9̅ 與 1 的相關「說明」讓受測學生閱讀後，在第三題又問了一次0. 9̅ 與 1 之間的大小關係，藉此研究以這樣的「說明學習法」的知識傳遞方式對學生的學習是否能達到效果，是否有效度？並且在一個月之後進行後測，探討這樣的「說明學習法」是否有學習上的信度？原先參加前測的學 38.

(45) 生有 262 人，然而後測中有 8 位同學因故無法參與，所以在表 4-2-3 的「說明學習法」前後測綜合結果統計就以有參加後測的 254 來做統計。. 以下針對受測學生的前、後測結果類型，做成表格並歸納分析，我們以三個英文代號表示學生的受測結果，前兩個字母分別表示前測中的第一題與看完說明後的第二題，A 表示答對，而 B 表示答錯，第三個字母則是後測的結果。. 表 4-2-1. 0. 9̅ = 1 的「說明學習法」問卷結果. 第一題. 第二題. 後測. 答對. 18. 134. 82. 答錯. 244. 128. 172. 答對率. 6,87％. 51.15％. 32.28％. 表 4-2-2. 0. 9̅ = 1 的「說明學習法」前測結果. 作答情形. AA. BA. BB. AB. 作答人數. 13. 121. 123. 5. 作答比率. 4.96％. 46.18％. 46.95％. 1.91％. 表 4-2-3. 0. 9̅ = 1 的「說明學習法」前後測綜合結果統計. 作答情形. AAA. AAB. ABA. ABB. 作答人數作答比率. 11 4.33％. 2 0.79％. 1 0.39％. 4 1.57％. 作答情形. BAA. BAB. BBA. BBB. 作答人數. 43 16.93％. 75 29.53％. 27 10.63％. 91 35.82％. 作答比率. 39.

(46) 若單純以整體答對或答錯統計量來看，在前測裡0. 9̅ 與 1 關係的第一個提問中，262 位同學裡只有 18 位受測學生回答了0. 9̅ = 1，大概是 6.87％的答對率，但是在讓他們看完「說明」之後，第二個提問答對的人數提高到 134 位，相當於整體有 51.15％的學生在閱讀完這樣的說明之後答對了這個題目，看似一個有明顯進步的數字，也就是在某個程度而言，當下的「說明」對於學生的學習的確是有明顯立即性助益的，在當下算是有效的學習，但是在一個月後實施了後測之結果顯示，相同的0. 9̅ 與 1 問題，在全部的受測學生當中，只剩 32.28％的學生仍然答對；若是扣除原本就已經學會在三次作答都全對，或是前測的兩次都答錯，後測卻寫對以及前測先對後錯，後測又寫對等有疑慮的類型，單純只統計原先做錯，但在閱讀完說明之後寫對，並在一個月之後也寫對的人數則只有 43 人，約佔 16.93％，與前測中看完說明之後可以答對的學生的比例相較之下少了 20％左右，由此可看出，「說明」教學方式在短期內或許可以立即得到效果，但是在經過一段時間之後，「說明」所學得的東西無法轉化成為永久的知識，當學生下次再面對相同的問題時，還是會回到當初的直觀方式來處理問題，且再犯相同的錯誤，那這表示這種說明學習的方式，其實它的信度是有待商確的。. 受測學生類型一（AAA）在全部的受測學生當中，有 11 位學生在前測的兩題與後測一題中是全部答對的，佔了約 4.33％，這幾位受測的學生大多本身都有不錯的學習成就與相當優秀的數理能力，我們可以推論這些受測學生本身對於0. 9̅ 與 1 的關係已有一定程度的了解，對於這個題目內容所提及的問題不再用直觀的方式來作答，而是他的腦中已有一個清晰的概念，所以答題能前後一貫。 40.

(47) 受測學生類型二（BAA）在前測當中，最初只有 18 位（6.87％）的同學答對了0. 9̅ 與 1 關係中的第一題，而在閱讀完「說明」之後，則有 134 位（51.15％）受測學生答對了第二題，這顯示出「說明」本身對當下的學習是有立即性的效度的；但是在後測之中，原本前測答錯第一題在看完說明後答對第二題的同學裡，只有 43 位（16.93％）的受測學生答對了後測中相同之問題，這類學生之所以能在後測中答對，應該是在某個程度上已經將前測裡的說明吸收了解，轉化為自身認知的一部份，當然也不排除有部分是機率猜中的可能性，但整體來說，能在相隔一個月之後的後側再次答對，若非已經達某個程度的理解就是記憶力還不錯，這類的學生在學習反應上大多都能在中上的水準。. 受測學生類型三（BAB）在前測裡看完「說明」後雖然有 51.15％的答對率，但這些看完說明之後貌似已經學會的受測學生中，面對後測仍有 29.53％的學生答錯，也就是說在受測學生看完前測的說明後雖然短暫的學習了說明當中所提及的知識並且在當下寫出了正確答案，但由於只是經由現成的「說明」去學習題目裡所提及的相關知識，受測學生只是短暫的將這個概念放在記憶之中，在解完題之後除非遇到相關類題能勾起聯想，否則應該大多是沒有機會再次接觸類似的概念，所以在全然沒有複習或是省思的機會下，經過了一個月之後再來面對相同的問題時，仍會回到以直觀的方式甚至是迷思概念作為判斷的依據。. 41.

(48) 受測學生類型四（BBB）這一類的受測學生在三次的作答中皆回答了錯誤的答案，顯示出受測學生一開始就沒有0. 9̅ 與 1 的相關概念或者是其觀念是錯誤的，而且在看完「說明」之後仍無法理解內容所提的相關知識，因此也無法寫出正確的作答，在欠缺學習動機的情況下也未能對該問題有進一步的求解求知動作，所以在後測仍填寫了錯誤的答案，我們將其歸類在「衝突未清」甚至是「未明未清」的類型，這類學生佔了全部受測學生中的 35.83％，超過三分之一的比例，其實也反映出現在學生對於數學學習上的態度不夠積極。. 受測學生類型五（AAB、ABA、ABB、BBA）扣除前面幾種類型，我們將剩餘的類型都放在一起，其原因在於有些學生的作答方式比較不合常理或是無法推論；例如說 AAB 的類型是前測裡兩題都寫對，感覺應該是完全理解了題目所提及的概念，但是受測學生反而在後測中寫錯，與前面的作答結果呈現矛盾是非常不合理的事，因此我們便實際訪談了受測學生，在訪談中學生表示是以猜測的方式在作答，先前寫對並不是真的理解，也就是在前測中兩次都答對的 13 人中，必須再扣除 2 人是以猜測的方式作答，因此全部的受測學生中在一開始的前測就真正理解這個觀念的只有 11 人，只佔 4.2％，其實在某些程度上也顯示出了若干的受測學生在作答時並非全然俱備相關的知識，單純是以直觀或猜測的方式在回答問題。而 ABA 與 ABB 的類型在一開始前測的第一題答對，但看完測驗後反而答錯，代表先前的答對並不是建立在正確的觀念基礎上，所以在看完「說明」之後反而又選了不對的答案，但也有可能是對於「說明」的理解上有問題，所以看完之後反而混淆了觀念，但不管結果為何，都 42.

(49) 突顯出受測學生對自己的觀念並非確實了解，單單以直覺反應來面對題目，另外也顯示出「說明」對學生而言，基於不同的學習歷程或對觀念的理解，它並無法確實將知識傳遞給學生，因此到了後測的部分，學生仍是用一知半解的直觀方式來作答，當然在我們訪談的過程中也有遇到學生在前測之後與同學討論確認了 0. 9̅ 與 1 的關係，即使他在前測中的作答是錯誤的或兩題的回答並不合理（ABA、 BBA），但因為討論的過程留下了印象，所以在後側裡寫出了正確的答案，但是以猜測方式作答的學生仍佔大多數。. 扣除掉一開始就已經明白題目中所問之問題的受測學生，本研究比較想要瞭解的是關於「說明」這樣的教學方式能否給學生實質上的幫助甚至是「真正」的學會了數學。從結果中不難發現，在閱讀完說明之後，學生答對的比率明顯提高了許多，大多數的受測學生都能立即從「說明」的提示裡找出正確的答案，但是在一個月的後測中，整體答對的比例降低了，如果我們只看在原先寫錯，但在閱讀完「說明」後答對，且後測也答對，也就是我們認定為「已經學會」的受測學生來看，答對的學生只剩不到兩成；我們要關心學習的效度，也要顧及學習的信度，這表示以「說明」這樣的教學方式來傳遞知識，或許在當下是有學習效度的，但是如果要考量到學習的信度想使之成為長期的記憶甚至內化為自己的東西，似乎就不是那麼理想。. 43.

(50) 第三節學生學習類型分析與歸類本次研究的問卷中包含了兩大題型，分別是探討學生對於「負負得正」的數學閱讀測驗以及0. 9̅ 與 1 關係的「說明教學法」成效分析，在此我們也將受測學生的作答情形依照詹勳國與顏翠琳（2019）所提出的將抽象學習與認知觀念的建立發展出的五個類型做一個分類，探討在此的受測學生中，是否都可以用這五個類型來做一個分析歸類。. （一）「自明」類型：本類型指的是學生當他學到某個階段就能自行思考並獲得正確的意義，在本次兩大類型的測驗問題中，都不乏在當下就能充分理解題目意義或是透過自己的想法去推論並得到正確答案的受測學生，雖然有時答案不一定是百分之百面面俱到的成熟思慮，但若以整個過程都是透過自己想法不假外力所得且答案無誤，就是自明類型的最佳展現，且透過生理的發展及學習帶來的見識增長，這種自我學習能力應該還會一直進步，在本次測驗中寫對「負負得正」的數學閱讀測驗以及 0. 9̅ 與 1 關係前後測都寫對的受測學生，都是這個類型。. 「自明」類型受測學生訪談紀錄（訪談對象為問卷中「負負得正」問題寫對的學生）研究人員：「關於這個問卷中第一題所提到的黑棋與白棋的問題，你一開始的想法是什麼？」受訪學生：「因為一開始盒子裡並沒有棋子，即使放入了三組的黑白棋，三個黑 3 和三個白 3 放一起相互抵消也是等於零而已。」 44.

(51) 研究人員：「那你要如何寫出算式呢？」受訪學生：「我會把三個黑棋當作3，三個白棋就是＋3，用3＋3 來表示三個黑的和三個白的。」研究人員：「那麼關於取走三個黑棋，你會如何表示呢？」受訪學生：「拿走三個黑色嘛，我就在3＋3 的後面再 （3）。」研究人員：「觀念很清楚唷，你最後寫的答案是 6，是根據甚麼判斷而來的呢？」受訪學生：「很簡單呀！如果拿走三個黑的，那盒子裡不就只剩三個白的，也就是 3，如果這樣做兩次，就是剩下三個白色乘以二，就是 6 個白色囉。」研究人員：「那你要如何用數學算式來表達你的結果？」受訪學生：「我就在3＋3 的後面再 （3），如果這樣同樣的動作做兩次，我就將算式再作一次就好了嘛。」研究人員：「再做一次的意思是？」受訪學生：「就是3＋3（3）再加上3＋3（3），算出來就是 6 囉。」. 很明顯的受訪學生非常清楚題目傳達的概念，也非常了解該用什麼方式來表達題目要的答案，即使說並非我們預想的（－2）×（－3）這個答案，但也相去不遠了。. （二）「衝突自清」類型：這類的學生在處理問題時能察覺自己的觀念錯誤，然後透過自己釐清分析之後，重新思考獲得正確的概念來解決問題。大多數的學生在做數學運算的過程中不見得一次就能掌握關鍵訣竅而順利解決得到解答，往往在解題的過程當中發現 45.

(52) 自己疏忽的地方或是從自身對答案的懷疑中進而發覺出自己的疏漏，透過自己發現問題，自己解決問題這個過程來正確解決數學問題，因為這種思考過程會加深在學習歷程的印象，所以一旦經歷「衝突自清」這個階段所學得的東西，往往都是有一番體悟而有更深刻的印象，或許也能說是成為了已經真正了解的知識。. 「衝突自清」類型受測學生訪談紀錄：研究人員：「在問卷的第一題裡，你回答了 6 這個答案，而你在作答的過程中似乎有修正過的痕跡，可以告訴我你當初修正的是那些地方嗎？」受訪學生：「一開始我把拿走三個黑棋這個動作想成是3，如果依照題目的說法， 3 可能比較像是拿走三個白棋而不是拿走三個黑棋。」研究人員：「所以你原來的算式是寫成什麼呢？」受訪學生：「03＋03＝6」研究人員：「那你是在什麼情況下發現你寫錯了呢？」受訪學生：「在我看到6 這個答案時，似乎這代表了六個黑棋，明明我在兩次當中已經拿走六個黑棋了，答案還是六個黑棋，好像怪怪的…。」研究人員：「所以你有重頭確認過自己的想法嗎？」受訪學生：「有的，後來我發現拿走三個黑棋的動作應該是（3）才對，把算式換成 0（3）＋0（3）＝6，盒子裡如果剩下六個白棋，感覺就合理了。」. 學生在計算的過程與答案裡都發現了不合理的地方，透過省思找到問題的癥結點在於拿走本身是減法，黑棋本身是負數，因此用（3）來表示就能得到正 46.

八年級生使用文字說明學習數學概念之研究 － 以屏東縣某國中為例

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