第二章 文獻探討
第二節 代數與二元一次聯立方程式的相關研究
第二章 文獻探討
本章共分五節。第一節代數與二元一次聯立方程式；第二節代數與二元一 次聯立方程式的相關研究；第三節詮釋結構模式；第四節概念詮釋結構模式；
第五節模糊理論與模糊集群分析。
第一節 代數與二元一次聯立方程式
國中數學的課程裡，解方程式佔了相當重的比例(何政謀，2004)。從以符 號代表數、符號的四則運算、等量公理、解一元一次方程式、解二元一次聯立 方程式、解一元二次方程式…等，都脫離不了代數的範圍。其他單元的學習，
常需要方程式的輔助，藉由解方程式找出正確的解答以驗證各概念的學習與正 確性，解方程式可說是國中數學課程重要的主角之一。
現今小學課程已學習過代數中的一元一次方程式，二元一次聯立方程式可 說是全新的單元，未來學習一元二次方程式更常以解二元一次聯立方程式的能 力為基礎，可見二元一次聯立方程式佔據著銜接者的重要角色。
第二節 代數與二元一次聯立方程式的相關研究
壹、代數與一元一次方程式
吳純欣(2011) 應用多元計分試題關聯結構與模糊集群，以國小四年級 709 名、五年級 705 名學生為研究對象，依據九年一貫課程代數主題四、五年級之 分年細目，自編評量工具，施測後依據模糊集群理論將學生分為二群，採用多 元計分試題關聯結構進行分析，繪製出各群學生的概念結構圖。發現全體受試 學生的代數概念較無次序性，難以提供教師較有效率的補救教學策略；由分群 後不同集群學生的概念結構圖，可以看出同一集群學生的概念通過率、概念次 序性、最精熟概念與最困難概念；不同集群學生的概念結構圖不盡相同，應有 不同的補救教學策略。此研究提出的方法，可供教師利用施測的資料，有效掌 握各群學生的概念結構，藉此作為規劃補救教學活動與課程教學設計之參考。
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林庭立(2011) 探討國中一年級學生對文字符號概念試題與迷思概念分 析，利用TESTER For Windows 2.0 繪製出的S-P圖表來診斷學生抽象符號概念 的學習類型，找出編製異常的試題和學習上需要注意的學生，並藉由TestGraf 98試題分析軟體做試題選項特徵曲線，以檢驗試題編製的適切性和分析學生答 題情形的迷思概念，從中獲得有關改進教學的參考。結果發現能力愈高的受試 者通過率愈高，能力愈低的受試者通過率則愈低。
謝和秀(2001)探討國一學生在文字符號概念及代數解題過程中，在文字符 號概念的主要錯誤型態以不了解文字符號在題目中所代表的意義為主，以及對 算術和代數運算規則的混淆與過度類推造成。學生在瞭解題意並把相關未知數 用文字符號表達出來，這階段是最大的困難，若通過此階段，成功解題的機會 就大增。
陳羽翔(2008)利用知識結構的概念開發一套文字題與一元一次方程式數學 學習診斷系統，針對 20 位國中一年級學生進行三階段施測，學生可依此了解 自己的學習弱點，依據診斷結果進行自我加強學習；教師可經由系統查詢學生 診斷之結果，設計適性化的教材對學生進行補救教學；此系統可有效診斷此 20 位學生的學習弱點，同時診斷結果與紙筆測驗之結果呈現一致性的效果。
陳河開、林原宏(2011)應用模糊結構化模式(fuzzy structural modeling, FSM) 分析國小四年級學生代數之知識結構。以臺灣學生成就資料庫(Taiwan
Assessment of Student Achievement，TASA)2007 年所釋出小四資料進行分析。
首先估算測驗之受試者能力值與試題參數，依照能力值分佈特性以 k-means 集 群分析法分為 4 群，由各分群之中心做為群代表，配合代數概算試題之參數值 與 FSM 演算法，圖繪個人化之化數知識結構圖，分析不同能力值受試者其代 數概念的階層結構。顯示我國小四學生代數能力分佈具雙峰現象，可依特徵分 成 4 群組，另外國小四年級學生代數概念具有階層結構之特徵，且不同群組之 受試者，其概念結構圖在連結指向及階層上皆有明顯不同。
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劉思玎、黃秋銘、林原宏(2009) 探討國小二年級學生在九年一貫數學領域 代數能力指標分年細目的概念結構，以臺中縣、嘉義縣及高雄縣共 9 所國民小 學二年級學生，合計 247 名為研究樣本，根據察覺的模糊邏輯模式(fuzzy logic model of perception, FLMP)理論與相似性理論(similarity theory)得到學生與專 家相似性值，再依據模糊集群分析理論將學生分群，並採用多元計分試題關聯 結構理論(polytomous item relational structure,PIRS)，繪製出各群學生的概念結 構圖。結果顯示 3 群為最佳分群方式；各群學生的概念結構圖不盡相同，代表 能力結構不同，應有不同的補救教學策略；假使教師只以學生的總分來評定學 生的學習成效，容易忽略學生的個別差異，只看到全體學生概略的學習情況，
很難掌握補救教學的課程內容到底應該包含哪些部分，才是對學生最有助益。
此研究，提供教師利用施測的資料，快速、準確地掌握各群學生的概念結構，
經由 3 群學生個別的概念結構圖即可正確判定各類學生該補強哪些概念知識，
並確知教學內容結構的安排方式，藉以作為規畫補救教學活動與改進課程教學 設計時的參考，使學生在學習的過程中適才適性地學習，達到最大成效。
Kuchemann (1981)以 3000 名國中生為研究對象，探討代數學習成就，研究 指出學生如果能完全了解文字符號的意義，則與後續學習(如方程式、應用問 題等)的學習成就有高度正相關。
Saenz-Ludlow and Walgamuth (1998)兩人以三年級學生為研究對象，研究結 果指出學生原先認為等號是一個掌控算術運算的執行命令，而在教學一年後，
學生已較能理解等號是比較兩個數量的關係符號。
由上述可知，諸多針對代數與方程式的研究，可協助教師對學生在代數與 方程式的學習表現有更多了解，可藉以進行課程內容的設計、課程順序的編 排，補救教學等。
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貳、二元一次聯立方程式
何政謀(2004)擬透過 GSP 軟體設計之活動，營造一個可供學生觀察、操 作、輔助運算、及自行建構知識的動態學習環境。擬從生活情境引入二元一次 方程式的問題進行解二元一次聯立方程式補救教學之研究，經由晤談發現，學 生較喜歡電腦輔助教學，比起傳統教學，會與老師產生較良好的互動，對數學 學習有較積極的態度。但經由此設計，學生對一元一次方程式的計算能力，沒 有明顯的改變。
林子敬(2007)探討應用 K12 建構教學平台，發展一套教學模式，以國中一 年級學生為對象，實際運用於二元一次方程式圖形之教學。對全體學生而言，
此教學法與傳統講述式教學，學生學習態度上有明顯差異，但在學習成效上無 顯著差異。高、中分群實驗組進步分數比控制組高，低分群比控制組低，中分 群實驗組學習成效明顯優於中分群控制組。
林靜君(2011)以準實驗研究法不等組前後測設計針對七年級新生，課程內 容為二元一次方程式，實驗組 34 人，對照組 33 人，進行五週二十節之數學實 驗教學。期望實驗組於課堂上「對話式形成性評量」教學過程中，提昇學習興 趣與學習成就，對照組學生則進行一般傳統教學。結果發現實驗組學生於學習 成就與學習態度皆高於對照組學生，同時學生大多肯定此教學方式。
林麗雯(2001)以教室俗民誌法、晤談、紙筆測驗等多元方式進行資料蒐集，
目的在於探討國中一年級學生學習二元一次聯立方程式的能力發展與其錯誤 解題的成因。研究發現多數學生在教師結束此單元授課時，仍未達精熟，期望 經此研究提供教師，學生可能產生的解題錯誤與原因，有助學生學習時能減少 不必要的錯誤。
陳巧莉(2008)以常見的二元一次聯立方程式之代數文字題為例，探究國二 學生代數文字題未知數假設與列方程式表現的困難；另外探討「表列法」教學 法對提昇學生列式的成效。以自編的「列式試卷」測試 152 位國二學生，研究
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發現大多數的學生未能完整、清楚地寫出未知數假設；列式表現並沒有顯著的 性別差異；列式表現與在校的國文成績及數學成績均呈現高度相關。再選出 16 位學生做為實驗組，進行四節課「表列法」列式的實驗教學，課程中融入波利 亞啟思法的精神；挑選另 16 位背景類似的學生作為控制組，不進行教學，兩 組皆以列式試卷作為前測。實驗結束後，兩組學生再進行後測。結果顯示，實 驗組學生在接受「表列法」列式的課程後，列式表現皆優於控制組；實驗組學 生在經過啟思法的引導及「表列法」課程教學後，在後測時，會嘗試畫圖或寫 出相關公式幫助了解問題；使用表列法列式時，男女生的寫法有些差異。建議 教師教學時多留意學生的學習情形，需做較多的引導。對於程度中、下的學生，
可使用波利亞「怎樣解題表」的方式提問，並使用「表列法」加強學生的列式 能力。
陳秀湘、楊德清(2011) 應用資訊科技融入國中一年級數學「二元一次方程 式的圖形」單元實施補救教學，探究個案學生在補救教學活動前後之學習表 現。此研究採個案研究法，利用自編前測試卷施測所得成績選取後 25％，並選 取能以口語表達方式將想法確實表達出來之學生共 2 位參加「二元一次方程式 圖形」之補救教學。研究顯示於補救教學活動前，個案學生在方程式圖形表徵 與符號表徵之連結有困難，且只能強記定義之公式，卻不清楚其涵義及應用。
陳秀湘、楊德清(2011) 應用資訊科技融入國中一年級數學「二元一次方程 式的圖形」單元實施補救教學，探究個案學生在補救教學活動前後之學習表 現。此研究採個案研究法，利用自編前測試卷施測所得成績選取後 25％，並選 取能以口語表達方式將想法確實表達出來之學生共 2 位參加「二元一次方程式 圖形」之補救教學。研究顯示於補救教學活動前，個案學生在方程式圖形表徵 與符號表徵之連結有困難，且只能強記定義之公式，卻不清楚其涵義及應用。