國立臺中教育大學數學教育學系碩士班
碩士論文
指導教授：林原宏 博士
國中生二元一次聯立方程式
之概念結構與分群探討
研究生：蔣培莉 撰
中華民國一○一年六月
2
謝 誌
回顧兩年半的求學生涯，生活忙碌又充實。求學期間，許多教授用心教學 與指導，使我各方面的專業知能有所增長，讓我獲益良多，在此對師長們致上 最誠摯的感謝。 能夠順利地完成論文，最重要的要感謝指導教授－林原宏老師，老師在繁 忙的行政及教學工作中，不僅指引我研究的方向、提供許多寶貴的建議，更強 調學術研究的倫理規範與做研究的態度；課堂上總是耐心、細心地教學，並訓 練我們答辯和批判的能力，態度嚴謹踏實，能成為老師的學生真是榮幸。承蒙 口試委員陳錦杏教授與黃一泓教授在口試上的指正與建議，使得本論文更加完 備，在此深表謝意! 感謝學長兼同事啟有老師提供訊息，我才有機會進入學校研讀碩士課程， 更在學業上很有耐心地隨時提供協助，完成教授指定的作業。同時感謝明華、 仲瑜、柏儒、惠如、佳如在課業上的協助，尤其是佳如更是一同作戰到最後。 此外，感謝佳瑩老師、百偉老師、任教學校的同事們，協助試題施測並提 供寶貴的意見，才能讓此研究順利完成。 最後，要感謝親愛的老公、孩子、手足、父親與家人，有你們的支持，才 能讓我無顧慮地完成學業。謹以此文獻給親愛的家人、師長、好友與同事們， 與我一起分享這份喜悅。 蔣培莉 謹誌 一○一年六月I
摘要
本研究主要應用概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)分析國中二年級學生二元一次聯立方程式分年細目概念結 構，CAISM 以數值和圖形結構呈現個人化概念階層結構圖，同時計算出各概 念精熟程度。本研究依其二元一次聯立方程式的概念精熟度進行模糊集群分 析。探討各集群之特徵及集群間的差異。本研究可協助教師瞭解學生在二元一 次聯立方程式概念學習上的困難，做為適性化分組教學或補救教學的參考。根 據實證研究分析，結果如下： 一、經由模糊集群分析，各集群之概念結構有其特徵。 二、經由模糊集群分析，不同集群間概念結構有差異。 三、總分相同作答反應組型不同的學生，其概念階層結構圖有差異存在。 依本研究發現與心得，研究者針對二元一次聯立方程式教學及未來研究提 出相關建議。 關鍵字：概念詮釋結構模式、二元一次聯立方程式、模糊集群
III
Abstract
The purpose of this study is to adopt the concept advance interpretive structure modeling (CAISM) on mathematics indicators of “linear equations in two variables” for the eighth graders. CAISM presents the individualized concept hierarchy structure by value and diagrams, and simultaneously, calculates the quantity of each concept. The researcher analyzes students’ quantity of linear equations in two variables by the concept of fuzzy clustering. Through analyzing the differences and features among clustering, teachers are able to understand the students difficulties on learning linear equations in two variables and have the references for individualized remedial instruction. The results of this research are as follows.
1. Through fuzzy clustering, the students’ concept structure of linear equations in two variables of clusters have their own features.
2. Through fuzzy clustering, the students’ concept structure of linear equations in two variables in different clusters are varied.
3. Students who have the same scores but are in different response pattern proform differently in concept hierarchy structure diagram.
Based on the findings and results, some suggestions and recommendations for future study and practical instruction were provied.
Keywords: concept advance interpretive structure modeling (CAISM), interpretive structure modeling, linear equations in two variables, fuzzy clustering
V
目 次
中文摘要 ... I 英文摘要 ... III 目 次 ... V 表目次 ... VII 圖目次 ... IX 第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 3 第三節 名詞解釋 ... 4 第二章 文獻探討 ... 5 第一節 代數與二元一次聯立方程式 ... 5 第二節 代數與二元一次聯立方程式的相關研究 ... 5 第三節 詮釋結構模式 ... 10 第四節 概念詮釋結構模式 ... 19 第五節 模糊理論與模糊集群分析 ... 26 第三章 研究方法 ... 29 第一節 研究流程 ... 29 第二節 研究對象 ... 30 第三節 研究工具 ... 30 第四節 資料分析 ... 38 第四章 研究結果與討論 ... 39 第一節 模糊集群分析 ... 39 第二節 不同集群受試者概念結構圖的特徵與差異 ... 41 第三節 總分相同作答反應組型不同受試者的概念階層結構圖之比較 .... 51VI 第五章 結論與建議 ... 62 第一節 結論 ... 62 第二節 研究限制與建議 ... 65 參考文獻 ... 67 一、中文 ... 67 二、外文 ... 72 附錄 ... 75 附錄一、預試試卷 ... 75 附錄二、正式施測試卷 ... 76
VII
表目次
表 2-3-1 和的性質定義 ... 11 表 3-2-1 班級區域與施測人數 ... 30 表 3-3-1 國中一年級二元一次聯立方程式概念及內容 ... 31 表 3-3-2 施測試題與 8 個概念屬性代號對照表 ... 32 表 3-3-3 班級代號與施測人數 ... 33 表 3-3-4 預試工具之項目分析 ... 34 表 3-3-5 Cronbach’s 信度分析表 ... 35 表 3-3-6 正式施測工具之項目分析 ... 36 表 4-1-1 二元一次聯立方程式概念分群數 ... 39 表 4-1-2 二元一次聯立方程式概念分群之群中心 ... 40 表 4-1-3 各集群人數統計表 ... 41 表 4-2-1 各集群所選取的受試者代表資料 ... 42 表 4-2-2 編號 525 受試者之概念相鄰矩陣 ... 42 表 4-2-3 編號 483 受試者之概念相鄰矩陣 ... 43 表 4-2-4 編號 156 受試者之概念相鄰矩陣 ... 45 表 4-2-5 編號 235 受試者之概念相鄰矩陣 ... 46 表 4-2-6 編號 35 受試者之概念相鄰矩陣 ... 48 表 4-2-7 編號 679 受試者之概念相鄰矩陣 ... 48 表 4-2-8 六位受試者概念結構圖之特徵 ... 50 表 4-3-1 A 群兩位同分受試者之作答反應組型 ... 51 表 4-3-2 編號 40 受試者之概念相鄰矩陣 ... 52 表 4-3-3 受試者編號 351 之概念相鄰矩陣 ... 53 表 4-3-4 B 群兩位同分受試者之作答反應組型 ... 55 表 4-3-5 編號 108 受試者之概念相鄰矩陣 ... 55VIII
表 4-3-6 受試者編號 472 之概念相鄰矩陣 ... 56
表 4-3-7 C 群兩位同分受試者之作答反應組型 ... 58
表 4-3-8 編號 54 受試者之概念相鄰矩陣 ... 58
IX
圖目次
圖 2-3-1 ISM 圖的繪製 ... 14 圖 4-1-1 二元一次聯立方程式概念各集群群中心的概念精熟度折線圖40 圖 4-2-1 受試者 525 概念結構圖 ... 44 圖 4-2-2 受試者 483 概念結構圖 ... 44 圖 4-2-3 受試者 156 概念結構圖 ... 46 圖 4-2-4 受試者 235 概念結構圖 ... 47 圖 4-2-5 受試者 35 概念結構圖 ... 49 圖 4-2-6 受試者 679 概念結構圖 ... 49 圖 4-3-1 受試者 40 概念結構圖 ... 52 圖 4-3-2 受試者 351 概念結構圖 ... 53 圖 4-3-3 受試者 108 概念結構圖 ... 55 圖 4-3-4 受試者 472 概念結構圖 ... 56 圖 4-3-5 受試者 54 概念結構圖 ... 58 圖 4-3-6 受試者 286 概念結構圖 ... 591
第一章 緒論
本研究旨在應用概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM) 分析國中二年級學生在二元一次聯立方程式分年細目評量 中的表現，CAISM 由 Lin, Hung and Huang(2006)提出，依照 CAISM 對每位受 試者呈現出來的概念精熟度及概念階層結構圖，將全體受試者進行模糊集群分 析，探討各集群之特性以及不同集群的差異，比較各集群學生數的差異，並探 討學生在學習二元一次聯立方程式概念上的困難，本章主要說明本研究的研究 動機、研究目的，並針對本研究所涉及的名詞加以定義。
第一節 研究動機
九年一貫課程綱要數學領域中，將國中小數學課程分為數與量、統計與機 率、幾何、代數、連結五大主題(教育部，2003)。其中更修訂了國小階段的代 數課程，有相當多的代數題材從國中被移到國小，例如運用未知數作數學表示 式、認識變數的概念、理解等量公理、解方程式，用意在於讓國小學生能提早 接觸代數，希望能有助於銜接國中的代數教學(施勝耀，2008)，對國中代數課 程先形成基本概念。Vergnaud (1997) 認為由算術進入到代數的學習階段，首先 要面對的困難是學習辨認新物件。由於學生於數與量的算術階段，常可應用直 覺的方式來解決問題，加上進入代數領域後，還需要了解許多新概念，因而無 法順利地從算術轉換到代數階段 (Kieran,1992)，許多研究更指出，學生在學習 代數上常發生困難，且依學生能力不同而有差異(王佳文，1995；袁媛，1993； 謝和秀，2001)。 在國中課程數學領域中，二元一次聯立方程式除了是基礎代數的延伸，更 是後續學習其他單元的必備能力之一。教育部(2003)強調數學能力須奠基在揉 合舊有的直觀和新的觀念或題材，進而發展成新的概念。可見二元一次聯立方 程式扮演著很重要的角色。2 在諸多二元一次聯立方程式的研究裡，有些是探討解題的錯誤類型，有些 是研究二元一次方程式的圖形，唯獨利用認知結構來探討的研究卻很少。認知 結構的探討很重要，因為認知結構的方式可以呈現出概念之間的連結情形，卻 很少研究者用認知結構的方式去探討二元一次聯立方程式的概念。認知結構的 分 析 方 法 很 多 ， 各 有 其 特 色 與 限 制 ( 林 原宏 ， 1996) ， 如概 念構圖 (concept mapping) 、 次 序 理 論 (ordering theory, 簡 稱 OT) 、 詮 釋 結 構 模 式 (interpretive structural modeling, 簡稱 ISM)、概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, 簡稱 CAISM)、徑路搜尋法(pathfinder)、試題關聯結構(item relational structure, 簡稱 IRS)及規則空間(rule space)等。其中大多數是以受試者 群體的角度來分析概念結構，而 CAISM 則是以個別化的角度來分析受試者概 念結構( Lin et al., 2006)，因此本研究想利用認知結構來探討學生學習二元一次 聯立方程式的概念。 郭生玉(1997)提到測驗與評量對教學是密不可分的，它提供雙向回饋予教 師及學生，目的在瞭解學生學習前的先備知識、學習中的困難處與學習後的成 果表現，用以幫助教師確定教學目標是否達成，並對學習困難的學生進行補救 教學。教學者想了解學生的能力與學習成效，最常使用的方式即進行評量，紙 筆測驗更是其中最常應用的方法，評量的同時亦可使學生檢視自己在此階段是 否充分的理解，並根據評量結果來幫助自我學習(余民寧，2002)，評量之後教 學者往往只以總分作為學習者能力值的表徵，忽略了成績背後所隱藏的訊息， 原因在於一般測驗的方式，只測得學生的成績表現，並未測量出學生的認知結 構，因此無法提供教學者有關學生的認知結構訊息。但不同的受試者在同一份 試卷獲得相同的成績，是否就代表學會相同的概念?學會的概念是否具有相同 的熟悉度?其間是否有差異存在? 許多研究以整體性的分析方式呈現，如班級成績長條圖、折線圖、圓面 積圖…等 。即使是同一群人，所有學生之間還是有差異性的，所以用一個圖 來代表一群學生，並無法展現其個別差異。
3 對一位班級教師而言，了解學生的個別差異是很重要的，因為每個人的 認知特色並不相同，雖然個別化的認知結構分析方式很重要，在眾多的分析 方法中，概念詮釋結構模式是個別化的一種方法，也有相關研究使用，證實 它是可以實際運用的分析方法。個別化分析法有其優點與目的，但在實際經 驗及運用上卻有其侷限。因為教學者不可能針對每位學生去做認知診斷或補 救教學，比較折衷的方式，就是將認知結構特色具有相同特徵的學生，進行 適當的分群，使同一群的學生，具有相同的認知結構特徵，就是所謂的分群 教學，同儕學習的精神，而教師亦可依據學生的學習結果予以分群，以利進 行補救教學(林原宏，2005)。 眾多分析方法中，模糊集群考慮到概念間的連結不是全有或全無，概念 的精熟是介於部分與完全之間，傳統分群的方式，都只有二元的想法，即全 有或全無二分法。模糊集群有隸屬度的概念，能考慮到部分精熟或部分連結 的情形，這樣的概念也適用於純數學領域裡概念之間部分連結或部分精熟的 情況，所以本研究採用模糊集群方式做分群。 基於以上敘述，本研究以國中生二元一次聯立方程式分年細目為內涵，應 用 CAISM 分析受試者作答資料，再依據分析結果，進行模糊集群分析，以期 呈現不同集群的特徵與群組間的差異。
第二節 研究目的
基於以上原因，本研究之研究目的如下： 一、應用「概念詮釋結構模式」程式於二元一次聯立方程式分年細目知識結構 之分析，並探討各概念精熟度之分群。 二、探討二元一次聯立方程式分年細目概念結構圖之特徵與不同集群受試者在 概念結構圖的特徵與差異。 三、探討總分相同作答反應組型不同學生的結構圖差異。4
第三節 名詞解釋
壹、概念詮釋結構模式
概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, 簡稱 CAISM)是由 Lin, Hung and Huang(2006)提出，依據概念向量比對(concept vector matching)和模糊理論(fuzzy theory)的計算方法，並利用詮釋結構模式(ISM)的階 層結構運算法則(Warfield, 1976)，用數值和圖形結構呈現個人化概念階層結構。 貳、詮釋結構模式
詮釋結構模式(interpretive structural model，簡稱 ISM)是由 Warfield(1976) 依據元素與元素間的關係矩陣，提出一種將元素階層化表示的方法，其適用於 二元資料的分析，理論基礎為離散數學和圖形理論。詮釋結構模式主要的功 能，是透過已知兩兩元素之間的上下位關係，建立出所有元素間的指向關係結 構。 參、模糊集群 把集群分析和模糊理論兩者的概念結合起來，即為模糊集群分析。模糊集 群分析又稱「模糊分割」，是以模糊理論為基礎所進行的集群分析。 肆、二元一次聯立方程式分年細目 本研究所指的二元一次聯立方程式分年細目，是依據教育部(2003)國民中 小學九年一貫課程綱要數學學習領域中，所提到的七年級二元一次聯立方程式 分年細目概念。在七年級的部分共有 8 個二元一次聯立方程式分年細目概念。
5
第二章 文獻探討
本章共分五節。第一節代數與二元一次聯立方程式；第二節代數與二元一 次聯立方程式的相關研究；第三節詮釋結構模式；第四節概念詮釋結構模式； 第五節模糊理論與模糊集群分析。第一節 代數與二元一次聯立方程式
國中數學的課程裡，解方程式佔了相當重的比例(何政謀，2004)。從以符 號代表數、符號的四則運算、等量公理、解一元一次方程式、解二元一次聯立 方程式、解一元二次方程式…等，都脫離不了代數的範圍。其他單元的學習， 常需要方程式的輔助，藉由解方程式找出正確的解答以驗證各概念的學習與正 確性，解方程式可說是國中數學課程重要的主角之一。 現今小學課程已學習過代數中的一元一次方程式，二元一次聯立方程式可 說是全新的單元，未來學習一元二次方程式更常以解二元一次聯立方程式的能 力為基礎，可見二元一次聯立方程式佔據著銜接者的重要角色。第二節 代數與二元一次聯立方程式的相關研究
壹、代數與一元一次方程式 吳純欣(2011) 應用多元計分試題關聯結構與模糊集群，以國小四年級 709 名、五年級 705 名學生為研究對象，依據九年一貫課程代數主題四、五年級之 分年細目，自編評量工具，施測後依據模糊集群理論將學生分為二群，採用多 元計分試題關聯結構進行分析，繪製出各群學生的概念結構圖。發現全體受試 學生的代數概念較無次序性，難以提供教師較有效率的補救教學策略；由分群 後不同集群學生的概念結構圖，可以看出同一集群學生的概念通過率、概念次 序性、最精熟概念與最困難概念；不同集群學生的概念結構圖不盡相同，應有 不同的補救教學策略。此研究提出的方法，可供教師利用施測的資料，有效掌 握各群學生的概念結構，藉此作為規劃補救教學活動與課程教學設計之參考。6
林庭立(2011) 探討國中一年級學生對文字符號概念試題與迷思概念分 析，利用TESTER For Windows 2.0 繪製出的S-P圖表來診斷學生抽象符號概念 的學習類型，找出編製異常的試題和學習上需要注意的學生，並藉由TestGraf 98試題分析軟體做試題選項特徵曲線，以檢驗試題編製的適切性和分析學生答 題情形的迷思概念，從中獲得有關改進教學的參考。結果發現能力愈高的受試 者通過率愈高，能力愈低的受試者通過率則愈低。 謝和秀(2001)探討國一學生在文字符號概念及代數解題過程中，在文字符 號概念的主要錯誤型態以不了解文字符號在題目中所代表的意義為主，以及對 算術和代數運算規則的混淆與過度類推造成。學生在瞭解題意並把相關未知數 用文字符號表達出來，這階段是最大的困難，若通過此階段，成功解題的機會 就大增。 陳羽翔(2008)利用知識結構的概念開發一套文字題與一元一次方程式數學 學習診斷系統，針對 20 位國中一年級學生進行三階段施測，學生可依此了解 自己的學習弱點，依據診斷結果進行自我加強學習；教師可經由系統查詢學生 診斷之結果，設計適性化的教材對學生進行補救教學；此系統可有效診斷此 20 位學生的學習弱點，同時診斷結果與紙筆測驗之結果呈現一致性的效果。
陳河開、林原宏(2011)應用模糊結構化模式(fuzzy structural modeling, FSM) 分析國小四年級學生代數之知識結構。以臺灣學生成就資料庫(Taiwan
Assessment of Student Achievement，TASA)2007 年所釋出小四資料進行分析。 首先估算測驗之受試者能力值與試題參數，依照能力值分佈特性以 k-means 集 群分析法分為 4 群，由各分群之中心做為群代表，配合代數概算試題之參數值 與 FSM 演算法，圖繪個人化之化數知識結構圖，分析不同能力值受試者其代 數概念的階層結構。顯示我國小四學生代數能力分佈具雙峰現象，可依特徵分 成 4 群組，另外國小四年級學生代數概念具有階層結構之特徵，且不同群組之 受試者，其概念結構圖在連結指向及階層上皆有明顯不同。
7
劉思玎、黃秋銘、林原宏(2009) 探討國小二年級學生在九年一貫數學領域 代數能力指標分年細目的概念結構，以臺中縣、嘉義縣及高雄縣共 9 所國民小 學二年級學生，合計 247 名為研究樣本，根據察覺的模糊邏輯模式(fuzzy logic model of perception, FLMP)理論與相似性理論(similarity theory)得到學生與專 家相似性值，再依據模糊集群分析理論將學生分群，並採用多元計分試題關聯 結構理論(polytomous item relational structure,PIRS)，繪製出各群學生的概念結 構圖。結果顯示 3 群為最佳分群方式；各群學生的概念結構圖不盡相同，代表 能力結構不同，應有不同的補救教學策略；假使教師只以學生的總分來評定學 生的學習成效，容易忽略學生的個別差異，只看到全體學生概略的學習情況， 很難掌握補救教學的課程內容到底應該包含哪些部分，才是對學生最有助益。 此研究，提供教師利用施測的資料，快速、準確地掌握各群學生的概念結構， 經由 3 群學生個別的概念結構圖即可正確判定各類學生該補強哪些概念知識， 並確知教學內容結構的安排方式，藉以作為規畫補救教學活動與改進課程教學 設計時的參考，使學生在學習的過程中適才適性地學習，達到最大成效。 Kuchemann (1981)以 3000 名國中生為研究對象，探討代數學習成就，研究 指出學生如果能完全了解文字符號的意義，則與後續學習(如方程式、應用問 題等)的學習成就有高度正相關。
Saenz-Ludlow and Walgamuth (1998)兩人以三年級學生為研究對象，研究結 果指出學生原先認為等號是一個掌控算術運算的執行命令，而在教學一年後， 學生已較能理解等號是比較兩個數量的關係符號。
由上述可知，諸多針對代數與方程式的研究，可協助教師對學生在代數與 方程式的學習表現有更多了解，可藉以進行課程內容的設計、課程順序的編 排，補救教學等。
8 貳、二元一次聯立方程式 何政謀(2004)擬透過 GSP 軟體設計之活動，營造一個可供學生觀察、操 作、輔助運算、及自行建構知識的動態學習環境。擬從生活情境引入二元一次 方程式的問題進行解二元一次聯立方程式補救教學之研究，經由晤談發現，學 生較喜歡電腦輔助教學，比起傳統教學，會與老師產生較良好的互動，對數學 學習有較積極的態度。但經由此設計，學生對一元一次方程式的計算能力，沒 有明顯的改變。 林子敬(2007)探討應用 K12 建構教學平台，發展一套教學模式，以國中一 年級學生為對象，實際運用於二元一次方程式圖形之教學。對全體學生而言， 此教學法與傳統講述式教學，學生學習態度上有明顯差異，但在學習成效上無 顯著差異。高、中分群實驗組進步分數比控制組高，低分群比控制組低，中分 群實驗組學習成效明顯優於中分群控制組。 林靜君(2011)以準實驗研究法不等組前後測設計針對七年級新生，課程內 容為二元一次方程式，實驗組 34 人，對照組 33 人，進行五週二十節之數學實 驗教學。期望實驗組於課堂上「對話式形成性評量」教學過程中，提昇學習興 趣與學習成就，對照組學生則進行一般傳統教學。結果發現實驗組學生於學習 成就與學習態度皆高於對照組學生，同時學生大多肯定此教學方式。 林麗雯(2001)以教室俗民誌法、晤談、紙筆測驗等多元方式進行資料蒐集， 目的在於探討國中一年級學生學習二元一次聯立方程式的能力發展與其錯誤 解題的成因。研究發現多數學生在教師結束此單元授課時，仍未達精熟，期望 經此研究提供教師，學生可能產生的解題錯誤與原因，有助學生學習時能減少 不必要的錯誤。 陳巧莉(2008)以常見的二元一次聯立方程式之代數文字題為例，探究國二 學生代數文字題未知數假設與列方程式表現的困難；另外探討「表列法」教學 法對提昇學生列式的成效。以自編的「列式試卷」測試 152 位國二學生，研究
9 發現大多數的學生未能完整、清楚地寫出未知數假設；列式表現並沒有顯著的 性別差異；列式表現與在校的國文成績及數學成績均呈現高度相關。再選出 16 位學生做為實驗組，進行四節課「表列法」列式的實驗教學，課程中融入波利 亞啟思法的精神；挑選另 16 位背景類似的學生作為控制組，不進行教學，兩 組皆以列式試卷作為前測。實驗結束後，兩組學生再進行後測。結果顯示，實 驗組學生在接受「表列法」列式的課程後，列式表現皆優於控制組；實驗組學 生在經過啟思法的引導及「表列法」課程教學後，在後測時，會嘗試畫圖或寫 出相關公式幫助了解問題；使用表列法列式時，男女生的寫法有些差異。建議 教師教學時多留意學生的學習情形，需做較多的引導。對於程度中、下的學生， 可使用波利亞「怎樣解題表」的方式提問，並使用「表列法」加強學生的列式 能力。 陳秀湘、楊德清(2011) 應用資訊科技融入國中一年級數學「二元一次方程 式的圖形」單元實施補救教學，探究個案學生在補救教學活動前後之學習表 現。此研究採個案研究法，利用自編前測試卷施測所得成績選取後 25％，並選 取能以口語表達方式將想法確實表達出來之學生共 2 位參加「二元一次方程式 圖形」之補救教學。研究顯示於補救教學活動前，個案學生在方程式圖形表徵 與符號表徵之連結有困難，且只能強記定義之公式，卻不清楚其涵義及應用。 經由補救教學後，個案學生能藉助操作觀察圖形之呈現情形與所求二元一次聯 立方程式解之關連性，釐清學生之迷思概念，進而提昇學生之學習表現。 謝東育(2009)以國中一年級二元一次聯立方程式單元為教材設計主題，隨 機挑選對此單元學習成就低落的學生，分成兩班進行補救教學實驗，採準實驗 研究法進行補救教學實驗，證實代數教材設計原則確實有助於學習。
10 Kuchemann(1981)以 3000 名 13 到 15 歲的英國中學生為研究對象，透過紙 筆測驗調查這些學生代數的學習成就，以他們對文字符號的成就分成四個認知 層次。 由上述可知，許多針對二元一次方程式或二元一次聯立方程式的研究，採 用各種不同的研究方法，一致的目標都是期望對學生學習二元一次聯立方程式 的情形有更多了解，同時幫助學生在這些學習單元能達成最好的學習效益。
第三節 詮釋結構模式
壹、詮釋結構模式Warfield(1976)提出一種社會系統工學(social system engineering)彙整訊息 的建模方法(structure modeling)，稱為詮釋結構模式(interpretive structural
modeling)簡稱為 ISM，以離散數學及圖形理論為演算基礎，透過 ISM 的分析， 可將複雜的元素關係，系統化地建立出彼此間的聯結與階層結構關係。 ISM 被廣泛應用於社會學、人類學、心理學及哲學(Warfield, 1982)，日本 學者佐藤隆博(1987)將 ISM 應用於教育領域，主要的用意是將學習者腦中思考 的概念單位結構，用具體的圖形或數量來表示(許天維、林原宏，1994) ISM 分析法建構步驟如下： (一) 欲分析的集合中假設有N個元素，定義元素為Ai，i1, 2,3,...,n。 (二) 找出元素間的關係表 已知其中任意兩元素Ai與Aj的二元關係，以矩陣A=(aij n n) 表示，若Ai與Aj 有從屬關係存在，且Ai從屬於Aj，則aij=1；若Ai與Aj沒有從屬關係存在，則 ij a =0。 (三) 進行相鄰矩陣A的運算 A=(aij n n) 表示欲分析的集合中，兩兩元素間是否存在關係的矩陣，稱為相 鄰矩陣。兩個相鄰矩陣A的運算結果定義為：
11
(2) (2) (2) 11 12 1 (2) (2) (2) 2 21 22 2 (2) (2) (2) (2) 1 2 A n n ij n n n n nna
a
a
a
a
a
a
a
a
a
其中， 2 A 矩陣內的元素 aij(2)以數學運算式表示如下： (2) 1 1 2 2 1 n ij in nj i j i j in nj n a a a a a a a a a
上式中的元素 aij(2)，就是A矩陣的第i列(row)和第 j行(column)運算的結 果，定義上式中及⊕的運算規則如表 2-3-1： 表 2-3-1 和的性質定義 x y= F x y= F x y F x y F 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 由表 2-3-1 可知 2 A 矩陣為二元矩陣其元素不是 0 就是 1，即 aij(2)
0,1 。 (四) 可到達矩陣R (reachability matrix) 將相鄰矩陣A與n n 階的單位矩陣I相加，做矩陣相乘運算，即計算
A I
×
A I
，檢查相乘後的矩陣是否等於未相乘之前的矩陣，即
A I
2=
A I
是 否成立，若不成立，再重覆做一次矩陣相乘，即計算
3 A I ，同時比較相乘後 的矩陣是否等於
2 A I ，亦即判斷
A I
3=
A I
2是否成立，若不成立，則重 覆上一個步驟，一直到找到相等的情形，則稱該矩陣為可到達矩陣R。 可到達矩陣可以表達元素間的直間與間接關係，但相鄰矩陣僅能表達元素 間的直接關係(林原宏，2005)。12 (五) ISM 圖的繪製 原始資料矩陣A，經運算得到可到達矩陣R，但因矩陣R為二元矩陣，為 繪圖方便，將矩陣內元素為 1 者先轉換成元素代號，再進行圖形的繪製。以A1 至 A5五個元素為範例，說明繪製的步驟如下： 1. A1至A5此五個元素間的關係用相鄰矩陣A表示： 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 A 2. 經過運算，求得可到達矩陣R 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 R 3. 繪製 ISM 圖之前，必須先整理矩陣R A( K)、M A( K)和G A( K)，各矩陣說明如 下： (1) R A( K)：由相鄰矩陣A的可到達矩陣R轉換而來。若可到達矩陣R中的元素 值為 1，則填上被指向的元素代號，若元素值為 0，則維持不變。得到R A( K)矩 陣為： 1 1 2 3 4 5 1 3 4 5 1 3 4 5 1 5 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 K A A A A A A R A A A A A A A A A A A (2) M A( K)：由R A( K)轉置而得，M A( K)中的每一列，表示指向該列代表元素的
13 所有其他元素。因此，R A( K)轉置後得到矩陣M A( K)為： (3) G A( K)：G A( K)= R A( K)∩M A( K)，由R A( K)和M A( K)交集而得，若兩矩陣相 對應位置的元素同時存在，則保留該元素之代號，否則填上 0，可得到矩陣 ( K) G A 如下： 1 2 3 4 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K A A G A A A A A A (六) 根據R A( K)、M A( K)與G A( K)三個矩陣，進行 ISM 圖繪製，繪製之步驟如 下： 1. 比較R A( K)和G A( K)中的每一列，由第一列開始，依序找出列相等的元素， 此例中，第 1 列即符合列相等，而此列中有元素A1，表示A1為最上位元素， 因此將R A( K)和G A( K)矩陣中，元素A1所在的列 (row) 與行 (column) 全部刪 除，刪除後的R A( K)與G A( K)如下所示： 2 3 4 5 3 4 5 3 4 5 5 0 ( ) 0 0 0 0 K A A A A A A A R A A A A A 2 3 4 3 4 5 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 K A A A G A A A A 2. 將前一步驟，得到的新的R A( K)與G A( K)，再以相同的方式進行比對，找到 1 2 3 4 5 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 5 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 K A A A A A A M A A A A A A A A A A A
14 列相等的列，並找出此列中的元素A5，依此類推，找到下一群元素A3與A4， 最後找到元素A2。 3.依照(六)2 中所得到的元素，即可繪出元素間的階層相對位置，配合相鄰矩陣 A，即可繪製 ISM 圖。(例如矩陣A第二列第四行的值為 1，代表A2指向A4， 依此類推，可得到圖 2-3-1)。 圖 2-3-1 ISM 圖的繪製 貳、詮釋結構模式相關應用研究 佐藤隆博於 1987 年將 ISM 分析方法應用於教育方面課程的編製與學習， 並舉出實例予以說明，主張 ISM 分析法可以將學習者腦中思考的基本概念單 位，概念間的上下位指向關係以具體的數量或結構圖形呈現。「建立整體概念 元素之間的關係，即經由部分元素之間的關係，整合起來形成所有元素整體之 關係」為 ISM 的主要功能 (許天維，林原宏，1994)。教育上許多相關研究， 應用了 ISM 分析方法的特性，經由部份概念元素間的關係群成系統化的整體元 素關係。 王素賢(2004)運用 ISM 設計適性化高中數學補救教學教材，進行結構化 補救教學之實證研究，發現以圖像式具體化的呈現結構化教材，可使教師更明 確掌握學習的順序、以進行補救教學，更能提高教師教學效能、縮短備課時間。 1 A 5 A 3 A A4 2 A 1 A 5 A 3 A A4 2 A
15 吳信義 (1998) 以 ISM 方法分析職業教育「基本電學」科目，依據教學單 元中之整體階層關係，建立單元內容，利用電腦化分析以達到降低課程設計之 負擔。 林靖宇(2006)以 ISM 分析法對大學生上課睡覺的原因作階層分析，隨機 抽樣調查 200 份問卷，有關大學生上課睡覺的原因，經調查有 53 個，彙整合 併後得 19 個主要因素，進行 ISM 分析探討，且根據最根本階層(第一層)深 入分析，提出建議與相關對策。 徐賢德(2004)以國小客家語課程中的 1 年級為範圍，進行詮釋結構模式及 結構化學習法的實證研究，並利用電腦軟體程式輔助數學運算過程，重新編排 學習項目的順序，建立起更科學化的學習路徑與學習地圖，同時建構一個更有 效益的教學構造圖，可讓教師檢視自己的知識體系，幫助學習者在進入新的學 習領域時，可以快速獲取新知，以減輕教師的負擔，達到有意義學習，避免記 誦、強記片段知識之弊端。顯示教材結構化設計可幫助學生建立學習路徑，減 輕認知負荷，增進學習效率，達到有意義學習；教材結構化設計，可作為教師 檢視自己的知識體系、教學及編輯教材的參考。教材結構化設計流程進行反覆 的修正，可幫助建立客語學習的資料庫。透過「S－P 表分析」與雙向細目表， 可幫助教師找出學生學習不完整的原因，幫助教師改進命題技巧學習評量方法 教學效能。 許天維、林原宏(1994)認為 ISM 分析法對建立學習者的知識概念結構， 教材內容、編製教材順序等方面，有良好成效，能決定概念元素(或教材內容 單位元素)兩兩之間是否有關係存在。 賴宛靖、蔡秉燁 (2005) 於綜合高中數理課程統整研究中，應用詮釋結構 模式嘗試打破「科目」的限制，以「主題」作為教師的教學起點，有助教師建 構結構化的知識體系以及幫助學生找出學習過程中的盲點。
Nussbaum and Smith(1983)以詮釋結構分析方法，針對職前教師的 TAPE (teacher and practicum elementary program)訓練課程，以電腦輔助方式協助群體 研究與分析複雜的問題，找出課程中所教授的不同要素間的階層關係。發現此
16 分析法能使課程小群快速地找出課程要素的階層，並能整合課程，減少時間的 浪費，經此方式產生的訓練課程可激勵出更多創造力。 Yamashita(1997a)以詮釋結構模式分析法，探討 103 位日本大專學生(90 位 男生和 13 位女生)對於八個人生重大議題(心理獨立、找到工作、經濟獨立、進 入全盛時期、結婚、善用空閒時間、獲得賞識的地位與預備晚年生活)的看法， 依照 ISM 方法建構出此八個有關人生重大事件的階層次序，結果發現不同的受 試者對其人生重大事件的規劃次序有差異。
Tatsuoka (1995) 以 SAT 數學測驗為例，應用 ISM 於知識狀態的階層性結 構分析上，將數學知識狀態以樹形表徵 (tree representation)，研究結果顯示概 念元素間具有關聯性。
Tatsuoka and Tatsuoka (1997) 將 ISM 分析方法發展成電腦化認知診斷適性 測驗系統 (computerized cognitive diagnostic adaptive testing system)，使 ISM 分 析法對補救教學產生極大助益。
Wu, Liu, Chang, Chang and Li (2006)基於詮釋結構模式，發展學生個別化自 我認知階層學習瀏覽服務，以 Bloom 提出的認知層次中，記憶、理解、應用、 分析、評價、創造等六個階段為基礎，設計個別化知識瀏覽服務，以調查表為 研究工具，因學生的認知階層在其自我學習過程中是不斷變化的，此服務系統 恰可針對學生提供個別化學習評量，因此此服務系統對學生自我學習是很重要 的一項服務與創新，惟仍需不斷改進認知階層評量方法同時建立標準，以評定 學生是否達到學習目標。 由以上各研究可知，透過 ISM 分析法能表示出各元素之層級位置，同時依 據元素間的從屬關係，建立出元素之間的指向關係。這些元素可以是教材中的 單元、學習內容或是腦中的概念，因此可以有效地應用在教學、教材編排等方 面，對於建立或分析學習者的知識概念結構，亦具有實務上的應用價值，惟其 仍限制於二元資料的分析。
17 參、模糊取向的詮釋結構模式相關研究 林原宏(2005b)以網路化施測系統分析 852 位國小高年級學生分數減法概 念之結構，發現不同能力值的受試者，其分數減法概念各有其特徵；傳統計分 相同(答對題數相同但反應組型不同)的情形下，其分數減法的概念結構亦有差 異。 吳育楨(2008) 應用模糊詮釋結構模式分析法，以自編工具「因數與倍數概 念測驗」，針對臺中縣市 835 名六年級學生進行施測，將所得資料經試題反應 理論分析之結果，再依據察覺模糊邏輯模式(fuzzy logic model of perception)計 算概念間從屬關係之機率，經由模糊截矩陣(alpha cut)之詮釋結構模式演算， 獲得學生個別的概念階層結構圖。將學生依能力值分成低、中、高三組，探討 概念結構圖之差異，並檢定不同能力值學生的概念結構圖與專家的概念結構圖 間之差異性。此研究可協助教學者瞭解學生的因數與倍數的概念結構，以及概 念結構因其能力值高低不同而有差異，依據此差異可提供教師作為分組教學課 程規劃之架構，或是進行補救教學課程設計之參考，以提升學生的學習成效。 陳紹銘(2006)應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學生等量公 理之概念階層結構，發現國小六年級學生等量公理的知識結構具有階層性，其 概念結構圖因能力值不同而有明顯差異，總分相同但反應組型不同的受試者， 其知識結構不盡相同。 施杏芬、許惠芳、林原宏(2007) 應用模糊詮釋結構模式，探討學生在九年 一貫數學領域數與量概念的階層結構，以教育部公告九年一貫課程綱要中三年 級數與量之分年細目為依據自編測驗，對象為中部 35 所國小三年級學生(共 1086 名 ) 。 以 試 題 反 應 理 論 (item response theory, IRT) 之 雙 參 數 對 數 模 式 (two-parameter logistic model, 2PL)分析測驗結果，再應用察覺模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception)計算概念間從屬關係，經由模糊截矩陣(alpha cut)之 ISM 演算，最後獲得個別受試者的概念階層結構圖。根據個別受試者的
18 ISM 圖共分成高、中、低三組，結果顯示不同能力值的受試者，其概念階層結 構有所不同，各有其特徵與意義。 施勝耀(2008) 應用模糊集群與模糊取向之詮釋結構模式，分析國小一到三 年級 2881 名學生在數學學習領域代數分年細目之階層結構關係。以自編測驗 為工具，根據學生作答資料加以分析並圖繪受試者之知識結構圖。運用模糊集 群分析，以受試者對分年細目的精熟度為依據，能將受試者分成適當的群數； 可有效分析個別群組之代數分年細目結構；不同群組的受試者，其分年細目結 構不盡相同；根據不同群組 ISM 圖分年細目間的連結指向關係，可具體提供教 學者規劃分組教學或作為補救教學的參考；以專家的 ISM 圖為參照標準，不同 群組的 ISM 圖皆與專家的 ISM 圖有顯著的差異；不同群組間的 ISM 圖亦有 顯著差異；此研究有助教學者瞭解一至三年級學生的代數知識結構，可作為實 施補救教學或分組教學之參考。 傅健忠(2008)以自編測驗為工具，分析國小二年級至四年級學生整數四則 運算分年細目階層結構，比較各年級低、中、高能力值受試者的 ISM 圖特徵 及差異，發現在不同分年細目上的表現差異，低能力者具有較大的差異。 蕭丞凱(2008)基於模糊取向的詮釋結構模式，建置九年一貫數學能力指標 之網路診斷評量系統，可提供教師評量學生的學習與認知診斷結果。 Yamashita(1997b) 結 合 模 糊 推 理 與 模 糊 結 構 模 式 (fuzzy structuralmodeling)，發展有關高中畢業生的升學與就業輔導的生涯決定模式量 表，並以 34 位高一男生與 29 位高二男生為研究對象，發現其分析結果可提 供教師作為給予學生未來生涯決定的諮詢建議之參考。
Lin, Chen and Hung(2008)基於模糊取向的詮釋結構模式，探討 465 位國小 六年級學生於 13 個等量公理概念知識結構，並將其適當地區分為三群，發現 (1)此方法可呈現個別化概念階層與概念間的聯結關係，在認知診斷上可提供有 用的訊息。(2)不同群別但總分相同之受試者，其知識結構有所差異。且可將此 方法擴展至其他不同領域的研究。
19 綜合上述，模糊詮釋結構模式改進傳統 ISM 只能分析二元資料的缺點， 以更貼近人類思維的觀點進行資料分析，在教學實務、教材編制、輔導策略等 方面具有很大的幫助。
第四節 概念詮釋結構模式
壹、概念詮釋結構模式理論簡介 Warfield(1976)提出的詮釋結構模式分析方法中，元素間的指向關係只適 用於二元情況，但概念與概念間指向之有或無並不絕對代表兩者間的關聯性， 亦即兩個概念間有指向關係，並不代表兩者具有完全的關聯；同樣地，若兩者 之間無指向關係，也不代表兩個概念間沒有任何關聯性。Lin, Hung and Huang(2006)提出概念詮釋結構模式分析法，就是針對原有 的詮釋結構模式(interpretive structural model，簡稱 ISM)，經由察覺的模糊邏輯 模式與模糊理論(fuzzy theory)改進模糊關係矩陣，把學生對具備概念屬性的試 題之作答反應，進行分析，用模糊截矩陣進行演算，再以圖形的結構與概念精 熟度數值呈現每個人在各概念間的聯結及階層性與先後次序的情況。圖形的呈 現會因為個人對概念的理解力、作答情況等因素而有所不同，但不會受群體受 試成員之不同或人數之多寡而影響。 貳、概念詮釋結構模式相關應用研究 概念詮釋結構模式將模糊理論的隸屬度觀點，應用於知識或概念從屬關係 程度的描述，應用察覺模糊邏輯模式測度方法，分析受試者的測驗資料後，呈 現出個人化的概念結構圖。 王佩芬、易正明、林原宏(2008)應用概念詮釋結構模式，以國小四年級學 生為研究對象，繪製其除法知識結構圖，分析除法概念的階層結構，並探討不 同能力的學生之除法概念結構特徵。針對答對總分相同但反應組型不同的受試 者，進行結構圖的比較。研究顯示國小學生的除法概念圖具有階層結構之特
20 徵；總分不同的受試者，其概念結構圖在連結指向與階層上皆有明顯差異；總 分相同但反應組型不同的受試者，其概念結構圖有很大的差異，推翻了過去普 遍以傳統測驗計分方式代表受試者能力的觀點。 呂秀茹、洪文良、林原宏(2009)應用相似性聚類分析演算法(Similarity-Based Robust ClusteringMethod, SCM) 及概念詮釋結構模式，分析國小五年級學生的 時間化聚計算之概念結構。以臺中、彰化縣 450 名國小五年級學生為研究對象， 自編之「時間化聚計算概念」測驗工具進行施測。根據測驗總分以 SCM 演算 法將全體受試者分為 3 群，進而比較各群組受試者之時間化聚計算概念階層結 構圖的特徵及差異。結果顯示概念詮釋結構模式可以有效表徵時間化聚計算概 念結構並進行分析比較；不同群組之時間化聚計算概念結構圖有差異存在；依 據個別化的時間化聚計算概念結構圖，其概念連結指向關係表示個別學生對於 各概念的精熟度與發展順序，可作為教學者教學次序之參考。此研究有助教學 者了解學生時間化聚計算概念結構，以及做為實施補救教學或適性化分組教學 之參考。
李青芷(2009) 提出以 Lin, Hung, and Huang (2006)的概念詮釋結構模式分 析法為基礎之方法論「加權概念詮釋結構模式」，同時應用此方法分析國小二 年級學生數與量分年細目概念，不僅以數值和圖形結構呈現個別化概念知識結 構，更計算出結構圖中每個概念的權重，此研究有助於教師了解學生的概念認 知聯結情形，可提供教師進行認知診斷、補教教學與課程設計之參考。 吳玫栞、林原宏、易正明 (2008) 以概念詮釋結構模式之電腦軟體分析國 小六年級學生四邊形概念結構之知識結構，比較學生的概念結構圖發現，對於 總分不同之受試者，其四邊形概念知識結構圖皆有所不同，其中以低成就群受 試者在概念間的關聯性最薄弱；即使受試者在傳統總分相同的情況下，其四邊 形概念知識結構圖會隨著受試者的作答反應組型不同而產生明顯的差異。整體 而言，由國小學生個別化的四邊形概念階層結構圖可知，學生之概念結構大多 具有階層結構之特性，可瞭解學生於各概念的精熟程度與概念間的關聯指向，
21
顯示此診斷訊息可供教學者及教材設計者作為參考。
林昌宏(2010) 以 Lin, Hung, and Huang (2006)提出的概念詮釋結構模式分 析方法為基礎，針對計分法進行擴展與改良，推導出適用於多元計分測驗，並 發展網路服務系統，同時應用此系統進行實證資料分析研究。實證結果顯示， 高、中、低分三個不同組別的受試者之間，其概念階層結構圖有差異存在。亦 發現，對於總分相同，但作答反應組型不同的受試者之間，其概念階層結構圖 有差異。此系統適用於多元計分或混和多元計分資料，可增進理論應用範圍， 而其分析結果對於教學實務或知識結構分析皆有幫助。網路服務系統較不受時 間、地點限制且更容易使用，能協助使用者更有效率的獲得認知診斷訊息。 莊惠雯、林原宏、易正明(2009) 運用概念詮釋結構模式方法，以國小二年 級學生的時間概念知識結構為分析內容，利用模糊集群分析將學生分群，探討 各群學生在 10 個時間概念的知識結構特徵。結果顯示概念詮釋結構圖提供個 別化的認知診斷訊息；結構圖可提供補救教學作依據；分群有助於教師進行分 組補救教學。 莊惠雯、林原宏、易正明(2008) 應用概念詮釋結構模式，分析國小一年級 學生加減文字題之概念結構。依測驗結果繪製知識結構圖，分析概念的階層結 構，研究顯示國小一年級學生加減文字題概念圖具有階層結構；總分不同之受 試者其概念結構分層狀況與概念結構組成份子有差異；總分相同但反應組型不 同的受試者，其概念結構圖也不盡相同。 陳怡汝、梁錫卿、葉律吟(2010) 採用 S-P 表分析理論與概念詮釋結構模 式兩種方法，分析學生作答反應資料，用以理解大一新生在程式設計課程中的 學習狀況，協助老師了解學生的學習困難處，對老師的教學調整，與學生的弱 點補強，可作為實際的參考依據。經由實際施測，利用紙本測驗記錄與收集學 生的作答反應資料，以 S-P 表 分析出學生的學習類型，進一步運用概念詮釋 結構模式分析得知每位學生學習概念間的學習順序之階層性關係，達到診斷試 題與每位學生對概念間的學習落差狀況，作為改進教學、命題技巧、補救教學
22 的參考，進而達到教學目標。 江孟聰、林原宏(2011)，以教育部頒布「國民中小學九年一貫課程正式綱 要─數學領域」五年級幾何概念為依據，編製施測工具，採用 S-P 表分析理論 與概念詮釋結構模式分析學生作答反應資料，探討同一測驗試卷施測後，得分 相同的學生間以及得分不相同的學生間，其概念結構的差異，以協助教師了解 學生學習狀況與困難之處，並可作為教師改進教學的重要參考。以大臺中市 625 位五年級學生為研究對象，研究顯示雖然得分相同，卻隱藏著不同的概念結 構。不同的個體所表現的概念結構亦不盡相同，個體對題目的精熟度也不相 同，藉此提供家長在面對孩童應考得分數的正確態度，改變以往只看分數而不 問學生習得的實質內容與知識結構的觀點。 黃雅琦(2009)以 31 名六年級學生為研究對象，採自編的「數感測驗甲、乙 卷」為研究工具，經由概念詮釋結構模式分析學生的作答反應後，圖繪出學生 在分數及小數的數感概念結構圖，透過模糊集群分析進行分群，比較各群組學 生之概念結構。從各群組挑選二位學生進行個別晤談及補救教學，並施以複本 測驗，最後比較學生概念結構之變化情形。研究顯示概念詮釋結構模式具教育 研究之實用性；各群組學生概念發展各有其特徵；全體受試者的數感發展略顯 薄弱；中精熟群組的概念結構圖有助於補救教學之參照。 張仁彥、林原宏(2012)應用概念詮釋結構模式分析方法，以自編之「因數 與倍數概念診斷測驗」為工具，針對國小六年級學生，進行因數與倍數概念階 層結構之探討。因因數與倍數是抽象的概念，常使教師在教學上遇到瓶頸，亦 容易使學生產生許多迷思概念造成學習困難。將施測結果進行模糊集群分析， 探討不同集群學生之概念階層結構圖。研究顯示因數概念精熟度低於倍數概念 精熟度；以概念詮釋結構模式分析因數與倍數概念是可行的；不同集群受試者 之因數概念階層結構圖有差異；不同集群受試者之倍數概念階層結構圖亦有差 異；此研究有助於教學者瞭解學生之因數與倍數概念結構，進一步提供教學者 設計教材及對學生進行教學分組、補救教學。
23 詹家明、林原宏(2008) 應用概念詮釋結構模式，分析國小五年級學生在九 年一貫數學領域中數與量的分年細目之知識結構。以五年級學生為研究對象， 探討個別化的概念階層結構，並比較總分相同但反應組型不同的受試者之概念 階層結構異同。研究顯示學生在數與量分年細目之知識結構具有階層性；總分 不同的受試者之概念結構圖，其概念階層、概念間關聯指向皆有所不同；總分 相同但反應組型不同的受試者，其知識結構明顯不同。 蔡宜馨(2011)探討自編錢幣教學活動內容融入國小三年級數學科減法單元 之學習成效，以國小三年級學生 92 人為研究對象，配合自編減法概念運算試 題及減法錢幣教學活動為研究工具，採準實驗設計進行實驗教學，就後測結果 以 SPSS 軟體進行統計資料分析，考驗實驗教學之成效，並結合模楜集群分析 與概念詮釋結構模式分析實驗組學生的解題表現，透過晤談內容歸納出學生釐 清減法迷思概念之學習歷程。研究顯示學生在借位條件愈多，運算正確率下 降，易有迷思概念發生；實驗教學後，兩組學生在後測的表現達到顯著差異； 以實驗組學生前後測 CAISM 圖分析，佐以前後測試題卷表現，進行晤談。迷 思概念的釐清，來自於定位板的位值排序正確、注意到減法順序借位的規則、 借位後位值單位的轉換。 鄭佩郡 (2008) 經由概念詮釋結構模式分析六年級資賦優異學生與普通班 學生面積概念之施測資料，研究顯示資賦優異與普通班學生在面積概念結構圖 有差異，透過模糊集群分析，發現不同群別之間，受試者的面積概念結構同樣 有差異，甚至有少數資賦優異學生，存在著對面積概念不甚精熟的現象。 鄭乃赫、林原宏、易正明(2012)探討三年級學生的除法能力與概念結構， 使用 S-P 表進行分群，將學生依據除法概念測驗結果區分為 A、A'、B、B'、C、 C'群六類型，探討各學習類型之特徵，並圖繪其除法概念結構。研究顯示 S-P 表分群結果，大多數三年級學生之除法概念的學習狀況良好、穩定性高；各群 之概念階層數不盡相同，各群內之概念連結亦不相同，C’群之外，各群之概念 連結，以 A 群最為緊密，A’群次之，B 群再次之，B’群更次之，C 群則最為薄
24 弱，顯示各群間之概念連結狀況有明顯差異；各群內皆具有部分共同之上下位 概念，顯示在概念學習時同群內之學生具有某些相同之學習次序性。 戴筱玲、洪文良、林原宏(2009)應用概念詮釋結構模式分析法，分析國小 六年級學生之速率概念知識結構。以自編「速率概念測驗」為研究工具，針對 臺中地區 596 名國小六年級學生進行施測，並透過相似性聚類分析演算法將這 些學生分成五個群組，以探討個人化的速率概念階層結構，並比較這五個群組 的受試者其概念詮釋結構圖之特徵與異同。研究顯示概念詮釋結構模式可有效 表徵速率概念並進行概念結構分析，不同群組的受試者其速率概念結構不盡相 同；根據個人化速率概念之概念詮釋結構圖其概念間連結指向的訊息，可提供 教學者進行補救教學的參考；此研究結果可幫助教學者瞭解學生的速率概念知 識結構，並提供關於補救教學或分組教學之資訊。
Yih and Lin (2007) 應用概念詮釋結構模式於大學生學習使用 MATLAB 軟 體後，分析其對於 MATLAB 軟體的概念認知架構。研究顯示不同作答反應組 型和不同總分的受試者，在概念結構上各有其特徵與差異。
Lin, Hung and Yu (2007) 則對國小學生等量公理概念進行概念結構分析， 該研究同樣以概念詮釋結構模式分析方法進行概念結構之探究，分析受試者的 概念階層結構後發現，作答反應組型不同或是總分不同的受試者，其概念階層 結構也會不同。 綜合上述可知，概念詮釋結構模式把知識或概念之間的從屬關係程度以數 值描述出來，並藉由個人化的概念結構圖，得以了解不同能力值或是傳統計分 相同的受試者，在概念結構上所具有的不同特徵與意義，藉以作為教學者進行 認知診斷評量的參考，有助教學者找出受試者概念學習困境的癥結點，即時施 予補救教學，以促進學習效益。
25
第五節 模糊理論與模糊集群分析
壹、模糊理論
Zadeh 於 1965 年提出模糊理論(fuzzy theory)。模糊理論用[0,1]之間的值來 描述元素與集合間的隸屬度，是近代數學理論的一支(引自林原宏，2001)。 古典集合(classical set)將元素和集合的關係以二元邏輯來描述，元素和集 合的關係則以特徵函數(characteristic function)定義如下：
1, 0, x A C x x A Zadeh(1965)提出模糊理論，擴充古典集合論中元素和集合的關係，用隸屬 度函數(membership function)表示元素和集合的關係，隸屬度介於
0,1 之間。模 糊集合基本上分為離散型(discrete)及連續型(continuous)兩種。 (一) 若X
x1,x2,...,xn
為離散集合，則模糊子集之隸屬程度可表示為：
i i n n 2 2 1 1 ) ( ) ( .... ) ( ) ( x x x x x x x x A A A A A (二) 若x
a,b 為連續集合，a,b為實數，則模糊子集之隸屬程度可表示為： b a A x x A ( ) 貳、模糊集群分析 集群分析(cluster analysis)又稱聚類分析，主要目的是「根據元素之間的類 似或相似程度，加以分類」，即相似程度高的元素歸為同一個集群。所以，其 終極目標，是希望「集群內元素同質性高，而集群間的元素異質性高」(林原 宏，2002)。26 模糊集群分析又稱模糊分割，是以模糊理論為基礎所進行的集群分析。在 模糊集群分析中，決定元素之間距離的重要因素為隸屬度（membership）(劉湘 川、許天維、林原宏，1998)，經過模糊集群(fuzzy clustering)的演算，可得到 各集群中心向量同時能將受試者適當地分群，呈現出各集群意義可提供補救教 學參考。 結合模糊理論的集群分析，主要有兩種方法，一種是 fuzzy c-means，例如 目 標 函 數 法 (objective function) ； 另一 種 是 fuzzy equivalence relation-based hierarchical clustering，例如截矩陣法、最大樹法。本研究使用目標函數法， 其基本準則，簡述於下(引自林原宏，2001)。 (一)假設欲分析的個體有N 位，以n=1,2,3,…,N 表示，每位個體有M 個變 項，以m=1,2,3,…, M表示。其資料矩陣如下： M N nm x ( ) X (二)在C個類別（C 2）下，個體的隸屬度矩陣為： ( cn C N) U u (三)各類別之中心為： V =(vcm C M) (四)使用下列的目標函數，並根據此目標函數求其極小值： 2 1 1 ( , ) ( ) ( , ) N C q q cn n c J U V u d c n
，其中 2 2 1 ( , ) ( ) M nm cm m d c n x v
q值影響隸屬度值，代表模糊分割的程度，q值愈大，分割愈模糊；q值 愈小，則分割愈明確，q值在經驗上取q
1.25,5
較佳。 (五)使用 Lagrange’s multipliers 方法，求J U Vq( , )之極小值，求得的參數ucn、 cm v 之關係式為：27 1 2 1 2 1 1 ( , ) ( , ) cn C q l u d c n d l n
1 1 ( ) ( ) ( ) N q cn nm n cm N q cn n u x v u
(六)利用迭代法（iteration），選擇ucn、vcm的起始點（initial value）和決定 收歛的標準，並進行迭代，直到ucn、vcm收歛。最後所得的隸屬度矩陣U 和類 別之中心矩陣V 即為所求，同時可獲知每位受試者所隸屬的類別及其隸屬度。 目標函數所求得之極小值，可能是局部極小值（local minimum），因此可考慮 由不同之起始值來估計參數。 以上是在類別數為C的情況下，至於類別數之選擇，則需由研究者根據有 意義的外在標準，或參考適當之指標，根據指標以決定最佳之類別數。對於最 佳類別數之決定，較常使用「分割係數」和「分割亂度」兩個指標來做為依據 (Bezdek, 1981)： 1.分割係數(partition coefficient) 公式為 2 1 1 ) ( 1 ) ; ( cn C c N n u N C U F
，此數值的範圍是 1 F(U;C)1 C ，當其值 較大時，為較佳的集群數。 2.分割亂度(partition entropy) 公 式 為 2 1 1 ) ( ln 1 ) ; ( cn C c cn N n u u N C U H
， ucn 0 ， 此 數 值 的 範 圍 是 0H(U;C)ln(C)，當其值較小時，為較佳的集群數。 當分割係數愈大，分割亂度愈小，所選取的集群數則是較佳的選擇，本研 究運用林原宏(2003)以目標函數法所設計的模糊集群分析軟體 fcut，選定收斂28
標準為 10-6、
29
第三章 研究方法
本章主要說明本研究的流程與研究工具，內容共分四節，第一節研究流 程；第二節研究對象；第三節研究工具；第四節資料分析。第一節 研究流程
壹、蒐集與探討相關文獻 首先蒐集二元一次聯立方程式之相關文獻，並以教育部(2003)所頒布的國 民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中，七年級的二元一次聯立方程式分 年細目概念為依據，作為編製研究工具的參考。 貳、編製施測工具 依照教育部(2003)頒布的二元一次聯立方程式分年細目概念編製試題。 參、專家審定 本測驗之試題經過數學教育專家及多位任教於國中具多年教學經驗的教 師共同檢視，以確認試題內容具代表性。 肆、進行預試及編修試題 確定研究工具後，選擇臺中市太平區國中二年級學生 62 人為預試對象， 根據預試結果求出信度與效度，作為判斷是否編修試題之依據。 伍、選擇研究樣本並正式施測 選擇臺中市北屯區、太平區、大里區共三所國中二年級學生，總計 720 人 為施測對象，蒐集資料。 陸、資料整理與統計分析 資料蒐集完成後，以 Excel 軟體和 SPSS 套裝軟體進行各項資料的統計分 析。 柒、產生概念結構圖並做分群 運用 CAISM 繪製個人化概念結構圖，計算每位受試者於各概念之精熟 度，運用模糊集群分析程式軟體 fcut 將受試者分群。30 捌、比較概念結構圖的差異 依照各概念精熟度做適當分群後，以折線圖呈現不同群之間的差異。 玖、撰寫研究報告 利用上述資料分析的結果，撰寫研究報告。
第二節 研究對象
本研究主要目的在探討國中二年級學生二元一次聯立方程式概念階層結 構，研究對象為 100 學年度上學期，臺中市北屯區、大里區、太平區學過二元 一次聯立方程式單元的國中二年級學生，共 720 人，班級數與施測人數如表 3-2-1 所示。 表 3-2-1 班級區域與施測人數 區域 施測班級數 施測人數 北屯區 6 166 大里區 6 182 太平區 13 372 合計 25 720第三節 研究工具
本研究使用的工具包括自編的二元一次聯立方程式測驗，相關的統計、 CAISM 概念繪圖程式、fcut 軟體等。說明如下： 壹、研究工具的編製 (一) 自編測驗內容 本研究旨在探討國中二年級學生二元一次聯立方程式概念階層結構情 形，依據教育部(2003)公佈九年一貫數學領域課程綱要之分年細目來編訂施測 工具。二元一次聯立方程式在七年級的部分共有 8 個分年細目概念。分年細目 的內容與概念編號的對照如表 3-3-1 所示。31 表 3-3-1 國中一年級二元一次聯立方程式概念及內容 概念 編號 分年 細目 分年細目內容 1 7-a-01 能由命題中用 x 、y 等符號列出生活中的變量，並 列成算式。 2 7-a-02 能嘗試以代入法或枚舉法求解，並檢驗解的合理性。 3 7-a-03 能熟練符號的代數操作。 4 7-a-10 能由具體情境中列出二元一次方程式，並理解其解 的意義。 5 7-a-15 能在直角座標平面上描繪二元一次方程式的圖形。 6 7-a-16 能由具體情境中列出二元一次聯立方程式，並能理 解其解的意義。 7 7-a-17 能在直角座標平面上認識二元一次聯立方程式的 解。 8 7-a-18 能熟練使用消去法解二元一次聯立方程式。 (二) 試題屬性矩陣 研究者編製的測驗工具共 26 小題，測 8 個概念。試題對應的概念屬性表 如表 3-3-2，表 3-3-2 中，「1」代表該題含有該概念屬性，「0」代表該題不包含 此概念屬性。
32 表 3-3-2 施測試題與 8 個概念屬性代號對照表 概 念 編 號 試題編號 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 4 0 1 0 1 0 0 0 0 5 0 1 0 1 0 0 0 0 6 0 1 0 1 0 0 0 0 7 0 0 1 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 0 0 0 0 9 0 0 1 1 0 0 0 0 10 0 1 1 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 0 12 0 0 0 0 1 0 0 0 13 0 0 0 0 0 1 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 1 15 0 0 0 0 0 0 0 1 16 0 0 0 0 0 0 1 1 17 0 0 0 0 0 0 1 1 18 0 0 0 0 0 0 1 1 19 0 0 0 0 0 0 0 1 20 0 0 1 0 0 0 0 1 21 0 0 1 0 0 0 0 1 22 0 0 1 0 0 0 0 1 23 0 0 1 0 0 0 0 1 24 0 0 1 0 0 0 0 1 25 0 1 0 1 0 0 0 0 26 0 1 0 1 0 0 0 0 (三) 試題計分方式 本研究預試自編試題含 26 格填空題，依解題情況給 1 分或 0 分，答案正 確給 1 分，錯誤或空白得 0 分，共計 26 分。
33 根據表 3-3-1 所列 8 個概念，研究者編製二元一次聯立方程式概念測驗， 共 26 格填空題。本測驗之試題經過數學教育專家及多位任教於國中具多年教 學經驗的教師共同檢視，確認試題內容具代表性。 以臺中市太平區學過二元一次聯立方程式單元的國中二年級兩個班共 62 位學生進行預試，班級代號與施測人數如表 3-3-3 所示。 表 3-3-3 班級代號與施測人數 班級代號 施測人數 805 33 810 29 總數 62 貳、試題品質分析 經統計套裝軟體 SPSS 信度分析，其 Cronbach’s 值為.947，其信度可以 接受。 本研究預試試題之項目分析中難度、鑑別度分析如表 3-3-4 所示，表格中 的I代表預試試題題號；PH 代表高分群通過率，PL為低分群通過率；n為該 題答對人數，N 為預試施測總人數 62 人；rxy為各預試試題與總分之 pearson 相關係數；t為以高、低分群為分群依據之獨立樣本t檢定。 試題的相關係數rxy介於.34〜.85 之間，各題的相關係數皆達顯著，另外就 鑑別度部份，各題的t值皆在 2.17 以上，且達顯著，顯示此份試題有良好的鑑 別度。
34 表3-3-4 預試工具之項目分析 難 度 鑑 別 度 I PH PL Pn N (PHPL) 2 PHPL rxy t 1 1.00 .33 .84 .67 .67 .60*** 5.29*** 2 .67 .07 .53 .37 .60 .40** 4.81*** 3 .81 .13 .58 .47 .68 .57*** 5.23*** 4 1.00 .27 .81 .63 .73 .66*** 6.21*** 5 1.00 .13 .76 .57 .87 .71*** 9.54*** 6 1.00 .13 .77 .57 .87 .70*** 9.54*** 7 .81 .00 .48 .41 .81 .65*** 9.22*** 8 .86 .00 .37 .43 .86 .75*** 10.95*** 9 .91 .00 .45 .45 .91 .77*** 13.78*** 10 .76 .00 .47 .38 .76 .55*** 8.00*** 11 .33 .00 .11 .17 .33 .54*** 3.16** 12 .29 .00 .11 .14 .29 .49*** 2.83* 13 1.00 .00 .60 .50 1.00 .79*** 4.28** 14 1.00 .00 .44 .50 1.00 .85*** 5.22*** 15 1.00 .00 .44 .50 1.00 .85*** 3.12** 16 .91 .00 .37 .45 .91 .81*** 13.78*** 17 .91 .00 .37 .45 .91 .81*** 13.78*** 18 .62 .00 .23 .31 .62 .67*** 5.70*** 19 .91 .13 .56 .52 .77 .70*** 7.07*** 20 .48 .00 .16 .24 .48 .57*** 4.26*** 21 .24 .00 .08 .12 .24 .41** 2.50* 22 .19 .00 .06 .10 .19 .34** 2.17* 23 .95 .00 .44 .48 .95 .81*** 16.83*** 24 .95 .00 .42 .48 .95 .80*** 16.83*** 25 .95 .40 .74 .68 .55 .55*** 3.97** 26 .95 .40 .74 .68 .55 .52*** 3.97** *p<.05 ** p<.01 ***p<.001 表 3-3-5 中，不論刪除任何一題，其項目刪除時的 Cronbach’s 值在.942 到.948 之間，並未顯著提高，故本試卷不刪除任何一題。
