第二章 相關研究
2.3 以概念為基礎之學習障礙診斷方法
緊接著在2.3 節中，將介紹以概念為基礎之學習障礙診斷方法，提供對應的數位學 習標準，使所分享的試題可為智慧型學習診斷系統所用。如此一來，線上測驗便能真正 找出學生的學習障礙，協助學生達到更好的學習成效。
一般的教材具有樹狀組織結構，教材內容通常是依照章、節、重點概念等層級建構 而成的，但是做為學習診斷系統[3][21][28][29][30]的分析診斷依據並沒有太大幫助。因 為這種樹狀組織結構只是將較相同的教材內容分到同一個範圍內，其中間並沒有太大的 關聯性，而教師通常也根據自己的教學經驗，來判斷要先從何處教起。舉例來說﹕假設 有一數學課程，課程目標是在讓學生了解「數」的概念，此課程共分成四節分別是：一、
整數，二、有理數與實數，三、複數及其運算，四、一元二次方程式根的討論。在第一 節中有幾個重要概念，如因數、倍數、公倍數、最大公因數、最小公倍數。若依照傳統 的樹狀結構編排教材，此單元的結構就如(圖 2.11)。這樣的編排僅能提供教材編排次序 的資訊，但並沒有辦法獲得各概念間的相關性，例如概念學習的先後次序、概念形成的 基本內涵與合理的學習路徑。
數
有理數與實 整數 複數及其運 一元二次方程式根解
圖2. 11 數學課程樹狀結構圖
通常一個概念的形成是由一個或一個以上的基礎概念所發展而成，舉例來說，要學”
公因數”必須先有”因數”的概念、要學游泳前必須先學會換氣…。這種具有先後次序關 係，或是一個概念中隱含其他基本概念的行為樣式，正是一種基本的學習模式與過程。
根據傳統的樹狀結構編排教材，無法展現出這樣的先後次序關係，基於這一點，是有必 要重建構課程結構。為了合理展現概念學習的先後次序關係與概念形成的基本內涵，物 件導向原理中的繼承關係很適合用來解決這樣的問題。
繼承關係指的是兒子的某些特性來自於父親，且父親與兒子的出現次序具有先後關 係。運用這樣的觀念，除去章、節等上層架構，只留下概念部份，並找出各概念間的相
倍數 實數
因數 公因數 公倍數 最大公因數 最小公倍數
互關聯性，包括概念內涵與先後次序關係，建構成「概念關係圖」[6]如圖 2.12。
C1 C2
C3 C4 C5
圖2. 12 概念關係圖 (1)
依照概念關係圖的觀念，前述”數”的例子就可以建構成如圖 2.13。
圖2. 13 概念關係圖之數學課程範例一
接下來本論文將要介紹智慧型診斷系統診斷的過程，假設智慧型學習診斷系統依學 生之特性動態產生了一份試題，並且平均地含蓋了課程中的每一個概念。試卷中共有10
負分數
正整數 負整數 零 正分數 有限小數 無線循環小數
小 分數 數
整數
倍數 因數
公倍數 質數
最大公因數
最大公倍數
有理數 無理數
實數 虛數
複數 公因數
C6 C7 C8 C9
C10
道試題，分別為Q1,Q2,Q3,…,Q10，且整個課程經過分析後，共可粹取得到10 個概念，分 別為C1,C2,C3,…,C10，其概念關係圖如2.13，為了表現每道題目所包含的概念內涵與各概 念在該道題目中的相對比重關係，本論文建立了概念分配表，如表2.2[7]。
表2. 2 概念分配表
Cj
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10
Q1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Q2 0 4 2 0 0 0 0 0 0 0
Q3 0 0 3 1 2 0 0 0 0 0
Q4 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0
Q5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0
Q6 1 0 0 0 0 4 1 0 0 0
Q7 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0
Q8 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2
Q9 0 0 0 0 0 1 0 0 4 0
Qi
Q10 0 0 0 0 0 1 0 2 0 5
Sum 6 5 5 6 7 6 6 5 5 7 Error 1 0 3 1 2 4 6 0 0 0
ER(Cj) 0.16 0 0.6 0.16 0.28 0.66 1 0 0 0
步驟一：概念認知程度分析
經由概念分配表﹙表2.2﹚可以求得每個概念的錯誤比率ER(Cj)，其中
erj代表第r題答錯的題目中，第j個概念的比重值；eij代表整份試題中，第i題的第j個概念
的 比 重 值 。 假 設 學 生 的 答 題 狀 況 為Q3、Q6、Q7答 錯 ， 其 餘 答 對 ， 由 表 2.2 可得 ER(C1)=(0+1+0)/6=0.16，ER(C2)=(0+0+0)/5=0，ER(C3)=(3+0+0)/5=0.6，……，因此，可 以得到一個新的概念關係圖，如圖2.14。
∑
=
∑
i ij r
rj
j e
e C
ER( )
0.16 0
C1 C2
C3 C4 C5
圖2. 14 概念關係圖(2)
有一點值得注意的是，若學生答錯了Qi這道題目，並不代表學生對於包含在Qi中的每一 個概念都不懂，很有可能他只是因為其中的某一個概念不懂或沒學好，而導致了他答錯 Qi這道題目。因此一個比較合理的解釋必須觀察Qi中每一個概念所佔的比重值(rating value)，必須將導致學生答錯Qi的錯誤概念加以排序，找出其中的輕重分別。基於這個 理由，不能百分之百由ER(Cj)的值來斷定學生對Cj這個概念的認知或瞭解程度，一個概 念的錯誤可能是因為對另一個概念的認知或瞭解不足所導致的。因此找尋一個臨界值 θ，用以代表對錯誤率的容忍程度。當ER(Cj) ≤ θ時，認定學生對於Cj這個概念的認知程 度已經到達一個符合要求的水準；若ER(Cj) > θ時，就必須對這個錯誤率加以重視，可 以認定學生對於Cj這個概念的認知或瞭解程度尚未到達一個要求的水準，必須重新學 習。對於這種尚未符合標準的概念，必須再深入探究其學習上的障礙點。透過對這個節 點的父節點的分析，可以瞭解學生對形成這個概念的基礎概念的認知程度。
步驟二：原始學習路徑分析
第二個步驟是原始學習路徑分析。在實作時可以透過對表2.2 的操作，計算出每個 節點的子節點個數NC(Ci)，與父節點個數NP(Cj)。若NC(Ci) = 0，代表Ci這個節點無子節 點，亦即Ci是個最終節點，因此可以由Ci往上尋找其父節點，最後求得一條原始學習路
C6 C7 C8 C9
0.28
0.6 0.16
0 0
0.66 1
C1 0
非零值，往左邊對應到一個父節點C3，再由C3這一欄找到一個非零值，往左邊對應到一 個父節點C1，再由C1這一欄找一個非零值，此時發現找不到，停止。至此，找到了一條 原始學習路徑C1ÆC3ÆC6。以相同的方法，可以找出所有的原始學習路徑，如下﹕
PATH1﹕C1ÆC3ÆC6
PATH2﹕C1ÆC3ÆC7
PATH3﹕C1ÆC4ÆC8ÆC10
PATH4﹕C2ÆC4ÆC8ÆC10
PATH5﹕C2ÆC5ÆC9
在電腦內部實際運作上，可以使用矩陣﹙Matrix﹚及堆疊﹙Stack﹚的技術完成實作。
步驟三：建立補救學習路徑
圖 2.14 的例子而言，對於某個概念Ci，若ER(Ci) ≤θ，表示學生對於此概念已達到 學習目標，故Ci這個節點將不會被選入補救學習路徑中；反之，若ER(Ci) >θ，代表學生 對於Ci瞭解的程度尚未到達要求水準，因此Ci將列為補救學習路徑的一個節點。假設θ 值為 0.3，代表對於某個概念之錯誤比率的最大容忍程度為 30%，依上述原則，可得到 補救學習路徑如下：PATH1：C3ÆC6，PATH2：C3ÆC7
這是一組建議的補救學習路徑，它明白指出了學生對於C3、C6、C7這三個概念的認知程 度之不足。
步驟四：決定關鍵學習路徑
通常補救的學習路徑會不止一條，且學生對於每條補救的學習路徑的學習成效與對 路徑上的每個概念的認知程度會有不同的水準，為了達到最有效率的學習，必須將每條 路徑的學習順序與課程進行的輕重緩急明確定出。因此定出關鍵學習路徑，代表學生學 習成效最差的部分，建議學生優先再學習。首先計算每條路徑的權重：
其中error(Cij)代表第i條路徑中第j個概念的錯誤總比重值，sum(Cij)
∑
=
∑
j
ij j
ij
i sum C
C error PATH
weight
) (
) ( )
(
代表第i條路徑中第j個概念的總比重值。weight(PATHi)是一個介於 0 到 1 的正規化數值，
藉由觀察每條PATH的比重值，可以訂出關鍵學習路徑，如下：
IF weight(PATHi) ≥ δ THEN PATHi IS A CRITICAL PATH.
根據上述之算法可以得到以下之結果：weight(PATH1) = 0.64，weight(PATH2) = 0.82 若δ = 0.7，則關鍵學習路徑為 PATH2。
步驟五：學習障礙分析
再一次觀察補救的學習路徑：
PATH1：C3ÆC6 PATH2：C3ÆC7
觀察上述的路徑可以得到以下兩點解釋：
1. 學生對於C6這個概念的認知或瞭解程度不夠，是導因於學生對於C3這個概念的認知 或瞭解程度不足。
2. 學生對於C7這個概念的認知或瞭解程度不夠，是導因於學生對於C3這個概念的認知 或瞭解程度不足。
綜合上述之分析可知，學生對於C6、C7的學習成效差，其根本原因與問題癥結在於 學生對於C3的認知或瞭解程度不足。因此，可以找到改善學習成效之根源在於C3這個概 念。而每條路徑的根節點(root)即可視為造成學習障礙的根本原因。
介紹完以概念為基礎的學習診斷的方式後，此方法在於學生學習每個概念時候，每 個概念分配不同的權重，而且學習的概念順序也都息息相關，再經由演算法精密計算而 求得補救學習路徑、關鍵學習路徑。以概念為基礎的學習診斷的方式將有助於學生克服 學習盲點。