以簡易幾何方法重訪 以簡易幾何方法重訪 以簡易幾何方法重訪 以簡易幾何方法重訪地球的 地球的 地球的行星定 地球的 行星定 行星定 行星定律 律 律 律

第五章 第五章 以簡易幾何方法重訪 以簡易幾何方法重訪 以簡易幾何方法重訪 以簡易幾何方法重訪地球的 地球的 地球的行星定 地球的 行星定 行星定 行星定律 律 律 律

克卜勒當年的經歷是先發現地球的面積律，進而得到火星的面積 律；然後歷經長年的困頓，而大膽的推測火星繞日的軌道是橢圓，並 繼之以驗證。我們在此嘗試跳過克卜勒的困頓過程，直接分析地球繞 日的軌道，使橢圓律的發現看起來更加順利，也更加自然。

第一節 第一節 第一節

第一節 地球的面積律 地球的面積律 地球的面積律 地球的面積律

欲建立地球的面積律，首先得明白地球相對於太陽的位置。但是 在廣大浩瀚的星際間，該如何確定地球的位置呢？回顧從數千年前以 至於克卜勒的時代，所有對太陽及行星運動的理解，都是以地球為原 點，觀測太陽或行星的角度（方向），亦即在地球上只能紀錄它們在 天球上的經度（及緯度），而無法觀測星體與地球之間的距離，或是 計算距離與距離之比。因此縱然克卜勒相信日心說，而要將以地球為 原點的觀測結果轉換到以太陽為原點的位置，克卜勒必須想出新的方 法。

在克卜勒那個時代，已經有各個行星大約是在同一平面上運行的 看法，而在一個平面上要定出一個物體的位置，必須至少要有兩個參 考點作依據，才能夠標定出物體位在何處。現在，我們將一個參考點 取為不動的太陽，那麼，另一個點該取何者呢？若是選取同樣不變動 的恆星，會因為距離太過遙遠失去參考價值；但若取鄰近的行星，因 它非靜止，在天空的位置則又難以標定。儘管如此，克卜勒注意到從 一次太陽、地球、火星三連星，到下一次三連星的間隔約是 780 天，

並據以計算出火星繞日的週期約是 687.0 天。由於每隔 687 天火星在 天空的位置有如一個固定的燈塔，只要將回到原處的那個位置當作是 另一個參考點，這樣一來，就擁有兩個固定的點作為基準，利用從地

球觀測到的角度，倒過來決定地球的位置。

從地球觀測太陽，將太陽在天球上的投影點以（黃道）經度標定。

例如春分（3 月 21 日或 22 日）時，經度為 0°，夏至（6 月 21 或 22 日）時太陽的經度為 90°等等，不過因為太陽與地球的位置相差 180°，

所以在春分的時刻，太陽看地球的經度變成 180°，夏至時刻太陽看地 球的經度變成 270°，在以下的討論中，有時為了方便，我們也會採取 以太陽為原點，觀測地球的經度，這樣的選擇和以地球為原點的觀測 經度是等價的。

圖 5-1：太陽 S、火星 M 與地球 E 的位置示意圖

克卜勒當年便以發生火星衝（太陽、地球、火星三點成一直線，

圖 5-1。S 表太陽，E 是地球，M 為火星）的日期為基本參考數據，

為了方便起見，我們選取 1950 年 3 月 23 日 5 時這天的觀測數據，此 時 SEM 成一直線。S 的位置固定，M 每隔一個火星年會回到原位置，

視作不動，Ei代表自發生火星衝起前一個火星年的地球位置，由數據 該位置發生在 1948 年 5 月 5 日；而 Ej則是自火星衝起算下一個火星 年時的地球位置，由數據該位置發生在 1952 年 2 月 8 日。如此 SEiMEj

可形成一個四邊形。為了方便起見，以 ri代表 SEi線段長，rj代表 SEj

線段長。很明顯 r、ri j分別表示兩個時間點的地球與太陽距離（圖 5-2）。

Ei

Ej

S M

E

圖 5-2：SEiMEj所形成的四邊形

四邊形 SEiMEj可看成由△SEiM 與△SEjM 所組成，其中∠SEiM、

∠SEj

M

－44.650°＝100.293°；同理∠SEjM＝318.383°－218.175°＝100.208°。

而∠MSEi及∠MSEj則是可由火星衝及前或後一個火星年，地球觀測 太陽經度之差獲得。

火星衝時太陽 S 位置為 2.028°，而於 1948 年 5 月 5 日時，太陽 S 位置為 44.650°，故∠MSEi ＝44.650°－2.028°＝42.622°，同理∠MSEj

＝2.028°＋360°－318.383°＝43.645°。

由三角形三內角和為 180°可得

∠EiMS＝180°－∠SEiM－∠MSEi＝37.085°

∠EjMS＝180°－∠SEjM－∠MSEj＝36.147°

S Ei

M

E

Ej

ri rj

△SEiM 和△SEjM 三內角現皆已知，且 SM 為共邊，利用正弦定律

故ωi＝225.866－224.897＝0.969，同理，ωj＝139.561－138.549＝

1.012。