第四章 新天文學 新天文學 新天文學裡 新天文學 裡 裡 裡橢圓律與面積律之原貌 橢圓律與面積律之原貌 橢圓律與面積律之原貌 橢圓律與面積律之原貌
第一節 距離規則 距離規則 距離規則 距離規則
第一節 第一節
第一節 距離規則 距離規則 距離規則 距離規則
克卜勒在《新天文學》第 33 章對於距離規則的原因有這樣的敘 述：
簡言之，環繞著宇宙中心運動的行星，若愈遠離此中心 時，它將以較不強地被推動著。所以，此種在強度上減弱的 原因，必定是在行星本身與它內存的運動力（motive force）
上，或是在設想的宇宙中心上。
運動的增強與減弱總是像到世界中心的靠近或遠離，有 著相同的比例。因此不是力量的減弱造成行星遠離宇宙中 心，便是遠離造成力量的衰減。
距離不論是在人們的思想上或是在自然的次序上，均先 於空間中的運動。事實上，空間中的運動不可能與離開中心 之距離無關，因為它需要有展現的區域，...因此，距離將是 運動強度的原因，距離的遠近將造成所花費時間的多寡。
說有一種生物力儲存在行星內，可將運動賦予在行星 上，但卻不會隨著歲月的增長而受損或衰弱，這是荒謬的主 張。（Kepler，1609，p376-377）
克卜勒所重新發現的偏心圓理論，與上述的動力學原因，徹底將 哥白尼的圓周軌道的圓心角色，轉移至太陽的位置上。如果行星並非 以等速繞其圓心運轉，而是，其快慢會隨著至太陽之距離在改變，則 此結果僅能以運動力來解釋。同時此運動力的來源，除了來自太陽身 上以外，不可能來自任何其他地方。克卜勒就是由此運動原因出發，
提出了他天文動力學中最重要的基本原理－距離規則（distance rule）
（姚珩、黃秋瑞，2003）。
在《新天文學》第 32 章中，由行星的偏心圓理論，如圖 4-1。B 點是偏心圓 DE 的圓心，C 點是偏心勻速點，且為虛線圓 HI 的圓心，
又 HI 圓的半徑等於 DE 圓的半徑，而太陽是在另一偏心點 A 點上。
根據托勒密理論，AB 與 BC 為偏心距 c 且等長。行星以等角速率繞 著偏心勻速點 C，運行於偏心圓 DE 的圓軌道上。過 A 點做直線 FG 交 DE 圓於 F、G 兩點。現在以 DF 描述行星從遠日點 D 運行到 F 所 經過的弧長；同理，以 EG 來描述行星從近日點 E 運行到 G 所經過的 弧長。
從 C 點過 F 點作直線 CF，並延長 CF 交 HI 圓於 K 點；再者，
連接 CG，使得 CG 交 HI 圓於 L。根據托勒密的理論，整個 HI 圓表 示行星繞行 DE 圓一圈所需的週期時間，於是 HK 弧長代表行星從遠 日點 D 運行到 F 所花費的時間，而 IL 為行星從近日點 E 運行到 G 所 花費的時間。
圖 4-1：距離規則－遠近日點速率與距離之關係
若考慮 DF 與 EG 為極短弧長，可視 DF 與 EG 為極短線段，那 麼 ADF 與 AEG 就看成是直角三角形，直角落在 D 及 E 點。又∠DAF
＝∠EAG，△ADF 與△AEG 相似，則
AE AD ＝
EG
DF （4-1）
同樣的，HK 與 IL 也可視為極短線段，於是 CDF、CHK、CEG 及 CIL 也都可看成直角三角形，直角分別落在 D、H、E 及 I 點上，
則△CDF 與△CHK 相似，且△CEG 與△CIL 相似，則
CD CH
＝DF
HK
（4-2）CI CE ＝
IL
EG
（4-3）A B C K H
F D
I
E L
G
DE 圓的半徑 BD 可以視為 AD 與 CD 的算術平均值，則（附錄一）
再將式（4-9）改寫成
行星的速率，在垂直太陽半徑方向上的分量，與到太陽的距離成 反比。當克卜勒提出修正過的距離規則時，事實上這已經等價於面積 律了，因為行星與太陽的連線 R，在甚短的 dt 時間內劃出弧長 dC，
假設 dC 是行星垂直於太陽半徑運動的分量，與面積 dA，如圖 4-2。
圖 4-2：距離規則（dC/dt 與 R 成反比）等同於面積律（dA/dt＝定值）
則面積可近似為：
dA＝
2
1
× R × dC 或dt dA＝
2 1×R×
dt dC
根據距離規則，速率 dC/dt 與 R 成反比，故 dA/dt＝定值，此即為面 積律。
R
dA dC