第二節 第二節 太陽 太陽 太陽 太陽位置與火星軌道中心的 位置與火星軌道中心的 位置與火星軌道中心的 位置與火星軌道中心的安排 安排 安排 安排
圖 3-2：決定太陽位置 A、火星軌道中心 B、與偏心勻速點 C 之示意圖
克卜勒自第谷的資料裡，選取了發生四次「火星衝」的時間與數 據，它們分別是在 1587 年 3 月 6 日、1591 年 6 月 8 日、1593 年 8 月 25 日及 1595 年 10 月 31 日。於圖 3-2，A 為恆定不動的太陽位置，D、
E、F、G 代表四次發生火星衝時的火星經度位置，圖中未繪出地球，
但它必分別落在 AD、AE、AF 與 AG 線段上。所有這些點線皆會在同 一平面（即黃道面）上。
克卜勒參考了早期托勒密的偏心圓模型，假設太陽位置 A、火星 軌道中心 B、及偏心勻速點 C 均位在同一直線 HI 上，其中 H 為遠日 點，I 為近日點，HI 亦被稱為遠近線。欲證明此三點所形成「偏心圓」
的存在，他希望 D、E、F、G 可形成一正圓，且其圓心 B 又必須落 在 AC 連線上。故一切運算的出發點為偏心圓直徑、或遠近線 HI 到 底落在何處？他首先任意選定∠HCF、∠HAF，經由觀察數據，及眾 多但簡易的幾何關係，若最後所推算出的
A B C
I G
F
H
E
D
∠EFG＋∠EDG＝∠DEF＋∠DGF＝180° （3-1）
滿足四邊形可形成外接圓的條件，則 D、E、F、G 會落在同一圓上。
如果算出來的結果不等於 180°，那麼就回過頭來，重新選定∠HCF、
∠HAF，以期 D、E、F、G 可形成一圓。進一步，為讓 B 落在 AC 連 線上，又必須滿足
∠HAF＝∠BAF （3-2）
的結果，若是∠HAF ≠∠BAF，則需再次重新選取∠HCF、∠HAF。
如此，反覆進行計算，直到獲得上述兩個重要的預期結果（Kepler，
1609；Kozhamthadam，1995；Martens，2000）。
由於克卜勒在《新天文學》原著中的運算較複雜，我們稍將其步 驟簡化、釐清，並自美國海軍天文台的天文資料（MICA），隨機選取 最近在北台灣，分別所觀測到的四個火星衝：1982 年 3 月 31 日（F）、 1986 年 7 月 10 日（G）、1988 年 9 月 28 日（D）以及 1990 年 11 月 27 日（E）的數據為參考，重新詳盡地描述及保留克卜勒原有的辛勤 工作內容、與運算精神，藉此呈現他在獲得其行星三大定律前，所開 啟天文學研究的新思維，並揭示其實事求是的科學方法。
（一）由觀測數據，決定四次衝時的火星位置至太陽的相對角度
我們所選取上述四個火星衝的經度位置分別是：D 為 5.4°、E 為 65.5°、F 為 190.6°、G 為 287.9°（以春分點之太陽位置、或正東方的 經度為 0°），故
∠DAE＝65.5°－5.4°＝60.1°、∠EAF＝125.2°、
∠FAG＝97.2°、∠GAD＝77.5°。
另外，C 為偏心勻速點，火星繞其作等角速率運動。已知火星週 期為 687.0 天，DE 歷時 790.7 天，所以可算出
∠DCE＝（790.7－687.0）/687.0×360°＝54.3°；
同理，也可得到∠ECF＝142.4°、∠FCG＝98.4°、∠GCD＝64.9°。
（二）定出太陽至火星的不同距離，尋找火星軌道之圓心
若設太陽至偏心勻速點的距離 AC 為 10000 個單位，在△DAC、
△EAC、△FAC 以及△GAC 中，AC 是共邊，那麼 AD、AE、AF、AG 皆可用 AC 來表示（圖 3-3）。
圖 3-3：以共邊 AC 表示出太陽至火星的四個不同距離 AD、AE、AF、AG
以△GAC 為例，利用正弦定理，
ACG AG AGC
AC
sin
sin =
而
A F
D G
C
E H
I
∠ACG＝180°－∠HCF－∠FCG
∠CAG＝∠HAF＋∠FAG
∠AGC＝180°－∠ACG－∠CAG
設 AC 之延長線為遠近線 HI，作為最後欲建立偏心圓的直徑，與 其相關的∠HCF 與∠HAF 是唯一可自由選定的兩個值，餘皆不可任 意變動。現取
∠HCF＝41.1° 與 ∠HAF＝34.6°
作為計算的起點，如此可以 AC 表示出 AG 長。同理，AD、AE、AF 亦可算出（表 3-1）。
表 3-1：以 AC=10000，表示出太陽至火星的四個不同距離 AG、AD、AE、AF
∠ACG ∠CAG ∠AGC AG ∠ACD ∠CAD ∠ADC AD 40.5° 131.8° 7.6° 48890 24.4° 150.7° 5.0° 47743
∠ACE ∠CAE ∠AEC AE ∠ACF ∠CAF ∠AFC AF 78.7° 90.6° 10.7° 52769 138.9° 34.6° 6.5° 58125
接著，在△FAG 中，可用餘弦定理求得相鄰兩衝火星之距離 FG，因
FG2＝AF2＋AG2－2×AF×AG×cos∠FAG
其中∠FAG 已知。以同樣方式，可分別求出 GD、DE、EF（表 3-2）。
表 3-2：相鄰兩衝火星之距離 FG、GD、DE、EF。
FG GD DE EF
80529 60504 50504 98466
在同一△FAG 中，∠FAG 已知，用正弦定理，
FAG FG AFG
AG AGF
AF
sin sin
sin = =
可得到∠AFG 和∠AGF。相同地，也可得知∠AGD、∠ADG、∠ADE、
∠AED、∠AEF、∠AFE （表 3-3），做為接著求得火星位置彼此所 張之角度之用。
表 3-3：在△FAG、△FAG、△FAG、△FAG 中，
以正弦定理計算得到各底角的大小。
∠AFG ∠AGF ∠AGD ∠ADG ∠ADE ∠AED ∠AEF ∠AFE 37.0° 45.7° 50.4° 52.1° 64.9° 55.0° 28.9° 26.0°
因此，四個火星衝時，火星位置彼此所張之角度為
∠EDG＝∠ADE＋∠ADG
∠EFG＝∠AFE＋∠AFG
∠DEF＝∠AED＋∠AEF
∠DGF＝∠AGD＋∠AGF
如果∠EDG＋∠EFG＝∠DEF＋∠DGF＝180°，則我們能夠確定 D、E、F、G 必落在同一圓上（表3-4），而完成第一個預期要求。反 之，若 D、E、F、G 不落在同一圓上，則必須重新選取∠HCF 或
∠HAF，再重覆上述過程，直到四點可形成一圓（圖 3-4）。我們的結 果表示該四點會落在同一圓上，故∠HCF、∠HAF 之選取，通過如 式（3-1）所示的第一個要求條件。
表 3-4：確認四個火星位置 D、E、F、G 是否可形成一圓，
即∠EDG＋∠EFG＝∠DEF＋∠DGF＝180°。
∠EDG ∠EFG ∠DEF ∠DGF ∠EDG+∠EFG ∠DEF+∠DGF 117.0° 63.0° 83.9° 96.1° 180.0° 180.0°
圖 3-4：D、E、F、G 四點落在以 B 為圓心之同一圓上。AC 之延長線 （或遠近線 HI）不一定與通過圓心 B 之直徑重合。
（三）決定太陽至軌道圓心及火星之角度
下一步，要決定圓心 B 是否落在 AC 連線上，必須達到第二個預 期結果:∠HAF＝∠BAF。為了求得∠BAF，須在△ABF 中，獲得相關 的兩邊一角，以便透過正弦定理求得。
I G
F
H
D B
E C
A
對與∠BAF 有關的∠FBG 而言，圓心角∠FBG 為圓周角∠FEG 之兩倍，有
∠FBG＝2 ∠FEG＝2（∠AEF＋∠AEG）
其中∠AEF 已在表 3-3 得知。對∠AEG 而言，在△AEG 中，AE、AG 由表 3-1 為已知邊，第三邊 EG 可以餘弦定理
EG2＝AE2＋AG2－2×AE×AG×cos∠EAG
求得，其中∠EAG＝∠GAD＋∠DAE 已知。有了兩邊一角，經過 正弦定理，
AEG AG EAG
EG
sin
sin =
遂得知∠AEG 值，也就決定出∠FBG（表 3-5）。
由於 BF＝BG 為圓半徑，△FBG 為等腰三角形，∠BFG＝∠BGF
＝2
1（180°－∠FBG），由正弦定理，
BGF BF FBG
FG
sin
sin =
得到 BF=BG 的距離。
最終在△ABF 中，先使用餘弦定理
AB2＝AF2＋BF2－2×AF×BF×cos∠AFB
求得 AB 的大小，其中∠AFB＝∠BFG－∠AFG 已知。最後通過正弦 定理，
BAF BF AFB
AB
sin sin =
終於可確認出∠BAF 之值（表 3-5）。
表 3-5：在△ABF 中通過兩邊 BF、AB 及一角∠AFB 所獲得的∠BAF。
EG ∠AEG ∠FBG ∠BFG=∠BGF BF=BG ∠AFB AB ∠BAF 94789 20.4° 98.4° 40.8° 53184 3.8° 6142 34.6°
（四）檢視太陽、軌道圓心與偏心勻速點是否成一直線
若∠BAF＝∠HAF，則 B 點即落在 AC 連線上，辛勞的計算即告 完成。但如果∠BAF ≠∠HAF，就必須再回過頭來，修正假定的∠HAF 和∠HCF 之值，依照同樣的程序計算一遍，直到兩角相符為止（表 3-6）。
表 3-6：檢視∠BAF＝∠HAF 以確認軌道圓心、
太陽與偏心勻速點是否落在同一直線。
∠BAF ∠HAF 34.6° 34.6°
最後我們所得到的∠BAF，與最初設定的∠HAF 的值，非常吻 合，通過了式（3-2）所示的第二個要求條件。也確認太陽、軌道圓 心、與偏心勻速點，的確將落在同一直線上。
我們所重建的偏心圓與克卜勒所完成的偏心圓模型，此二者的太 陽 A 至軌道圓心 B 之距離 AB，與軌道圓心 B 至偏心勻速點 C 之距離 BC 的比較，列於表3-7（Jacobsen，1999）。兩者相當一致，皆可讓 A、
B、C 落於同一直線上，以 B 點為中心之圓，均可通過四個火星觀測 位置，且圓心 B 並不平分距離 AC。
表 3-7：重建的偏心圓模型，與克卜勒所完成的模型之比較。
（歸一為將圓半徑 BF＝53184→1）
AB BC AB（歸一） BC（歸一） AB（克卜勒） BC（克卜勒）
6142 3858 0.11549 0.07254 0.11332 0.07232
克卜勒在完成及釐清太陽位置 A、火星軌道中心 B、及偏心勻速 點 C 三者所構造出的偏心圓模型後，曾如此描述當時的心境：
如果這種冗長的方法讓你厭煩的話，你或許更會憐憫我起 來。因為我花費了巨大的時間，反覆了至少 70 餘次的計算，
至今已過了五個年頭。（Kepler，1609，p256）
後來他很快地也察覺到上面辛苦所獲得的偏心圓模型（他名為暫 代性假說 vicarious hypothesis），仍未能準確地描述火星運動的路徑，
便以它為參考，往前再嘗試修正，尋找更精確的幾何軌跡，最後終於 能建立起行星的橢圓定律（姚珩、黃秋瑞，2003）。雖然暫代性假說 並非完全準確，但不能說對它的探討徒勞無益；反之，它是克卜勒天 文思想的基礎，是行星運動軌跡的基本形式。暫代性假說充分地顯示 出克卜勒對太陽無可比擬地推崇，太陽自身發光發熱，支配整個世 界，是宇宙的主宰，各個行星繞其運轉不歇，不再像哥白尼，太陽與 圓軌道中心模糊不分。沒有太陽與軌道圓心的區隔，將很難發現橢圓
的焦點與對稱中心之角色，自然也不會有行星橢圓定律的形成。
克卜勒僅利用簡單的幾何特性，及正弦與餘弦定理，逐步建立起 了行星理論的基礎，與釐清行星真實運行的情形。這主要是他對太陽 至高無上、神聖獨特性的堅持，以及他體會出在哥白尼所欲復興的畢 達哥拉斯及新柏拉圖主義中，所揭示自然背後有著簡單數學關係的深 刻含義（伯特，1994）。克卜勒不厭其煩，不辭辛勞，藉找出暫代性 假說的理論，透視出行星看似漫遊不定，飄渺虛無的天際移轉背後，
所隱匿不出、微言大義的簡單、和諧，令人沉醉不已之數學關係。