天文學的確認──克卜勒對圓迷思的破除與均勻性的奠定

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文. 天文學的確認── 克卜勒對圓迷思的破除與均勻性的奠定. 學生：陳鵬仁指導教授：姚珩中華民國九十八年六月.

(2) 目錄感. 謝……………………………………………………………………3. 摘. 要……………………………………………………………………4. 第一章. 序論………………………………………………………5. 第二章. 歷史背景……………………………………………………7. 第一節. 古希臘時代的宇宙論…………………………………7. 第二節. 亞里士多德的宇宙論……....……....…....…………..11. 第三節. 行星逆行問題………………………………………..14. 第四節. 同心球殼理論與本輪－均輪系統…………………..20. 第五節. 托勒密的天文學……………………………………..24. 第六節. 哥白尼的天文學……………………………………..27. 第三章. 偏心點的引入——暫代性假說…………………………..31. 第一節. 偏心點的存在………………………………………..31. 第二節. 太陽位置與火星軌道中心的安排…………………..34. 第四章. 新天文學裡橢圓律與面積律之原貌..................................44. 第一節. 距離規則......................................................................44. 第二節. 橢圓律與面積律原貌之呈現......................................50. 第五章. 以簡易幾何方法重訪地球的行星定律..............................58. 第一節. 地球的面積律..............................................................58. 第二節. 地球的橢圓律..............................................................66. 第六章. 其他行星的面積律與橢圓律之探討..................................70. 第一節. 火星的面積律..............................................................70. 第二節. 火星的橢圓律..............................................................79. 第三節. 木星的面積律及橢圓律..............................................85. 第七章. 克卜勒的偉業與缺憾..........................................................88. 第一節. 圓軌道迷思的破除......................................................88. 第二節. 力概念的缺失..............................................................93 1.

(3) 第八章. 結論..................................................................................96. 附錄一......................................................................................................99 附錄二....................................................................................................100 附錄三....................................................................................................101 附錄四....................................................................................................102 附錄五....................................................................................................104 參考資料................................................................................................113. 2.

(4) 感謝首先感謝指導教授姚珩博士，教授平日工作繁忙，仍撥出許多的時間指導我們關於物理哲學與物理史方面的討論，以及在論文寫作方面也投入相當大的精力，提供我們許多精闢的方向，讓我們在兩年碩士生涯中獲益不淺，獻上最大的敬意與感恩之意。還要感謝我的父母，如果沒有他們在背後的支持，自己也很難順利地完成碩士學業，由衷地感謝他們。最後，特別感謝美國加州大學柏克萊分校的項武義教授以及台灣大學的張海潮教授，尤其在以簡易幾何方法重訪克卜勒行星定律的部份，兩位教授提供他們所構思出來的方法，具有獨創性，對於這部份寫作的內容有相當大的助益，使得這篇論文增色許多。在此致上十二萬分的謝意，感謝項武義以及張海潮兩位教授的傾囊相授，讓我受益良多。. 3.

(5) 摘要克卜勒沿襲了哥白尼所推崇的畢達哥拉斯與新柏拉圖主義的精神，並接受了哥白尼提倡的日心說理論，欣賞當中簡單、對稱的數學架構，但在哥白尼始終對太陽的位置，未能夠有明確的決定出來，感到十分不滿意。於是克卜勒自己秉持著太陽為宇宙中心，無可比擬的主宰地位，輔以托勒密的偏心圓模型，得出暫代性假說來描述行星運行的軌道。可以明白此假說對克卜勒有著重大的意義，可以將太陽的位置、行星正圓軌道中心以及偏心勻速點明顯的區隔出來，不再混淆不清，模稜兩可。更進一步地得到行星運動背後的動力學成因——距離規則，而再以距離規則為基礎，得出克卜勒行星運動第一與第二定律，即橢圓律與面積律。而當初克卜勒得到行星運動定律的過程過於繁瑣，於是以簡易的幾何方法來重訪克卜勒獲得行星定律的歷程，讓讀者更為清楚地明白行星定律的確實成立。此處先是確認地球的橢圓律與面積律的成立，再順理成章地推廣到其他五個行星的行星運動定律亦會成立。最後，討論克卜勒提出行星定律的背後思想以及對後世的影響，闡述克卜勒在科學革命中扮演著承先啟後的重要地位。. 4.

(6) 第一章. 序論. 克卜勒在 1609 年發表了《新天文學（New Astronomy）》重要巨著，在《新天文學》中發表了行星運動的第一與第二定律，即橢圓律與面積律；而在 1619 年再度發表了《宇宙的和諧（The harmony of the world）》，在《宇宙的和諧》中提出了第三定律，即週期律。人們尊稱克卜勒為「天空的立法者」。然而，大家已遺忘克卜勒在物理上的重要性，他在科學革命的歷史潮流中，有著承先啟後的關鍵角色。他承接著哥白尼提倡畢達哥拉斯與新柏拉圖主義的精神，開啟了天文學最光輝的一面，啟發了後來牛頓對於所有自然現象其背後原因的統合。現在物理課程的介紹，往往將克卜勒行星運動定律的獲得，歸因於克卜勒對第谷所遺留下來相當精確的數據，進行棄而不捨的歸納整理便可以得到，更對克卜勒行星運動定律的內容，只有一小節的闡述。的確，克卜勒的行星運動定律之結果是相當清楚簡單，但背後所隱含的意義與對後世的影響，卻不是在一般教科書當中能夠清楚呈現。為了釐清克卜勒的貢獻，我們追尋克卜勒的腳步，經由克卜勒前進的方向來感同克卜勒對哥白尼精神的沿襲，以及對天文系統堅定不移的態度。《新天文學》這本書克卜勒自己說他是寫給專業人士所看，的確，在閱讀《新天文學》的過程中，如果對天文學的背景知識以及對幾何學認知程度不夠的平民百姓，光是要能夠看懂克卜勒所用到的天文學術語以及幾何推論的過程，就讓人望之卻步，更別說是理解到克卜勒所呈現文字背後隱含的哲學概念以及物理意義。對此，除了閱讀《新天文學》巨著之外，還參閱了其他對克卜勒加以研究的書籍，慢 5.

(7) 慢地愈來愈深入了解克卜勒所希望表達對天文學行星系統的主張，以及克卜勒對於太陽神聖地位的無比推崇。文中首先介紹從古希臘時代，經過中世紀到文藝復興時期，對整個宇宙的觀點以及天文學當中行星系統模型的建立，讓讀者明白克卜勒身處在一個天文學理論相對立的氛圍。接著，第三章講到克卜勒基於對哥白尼以數學為真的精神與太陽地位的推崇，他重新引入托勒密的偏心圓理論來明確決定太陽、軌道中心以及偏心勻速點的位置。而當克卜勒利用托勒密的偏心圓理論建立起自己的行星運動理論——暫代性假說，於是在第四章，我們討論克卜勒在自己的暫代性假說的基礎上，得到他行星運動背後的動力學成因——距離規則，並進而得到克卜勒行星運動第一以及第二定律，即橢圓律與面積律。在第五章及第六章，我們以簡易的幾何方法重新造訪克卜勒當初獲得橢圓律與面積律的困頓過程。這邊依照克卜勒發現橢圓律與面積律的精神，先去重新驗証地球的橢圓律與面積律的成立，然後再由地球的行星定律推廣到其他行星的橢圓律與面積律亦會成立。最後，我們討論克卜勒獲得行星定律的關鍵重要性，扮演著承先啟後的中介點。. 6.

(8) 第二章. 歷史背景. 每當日照逝去，夜幕低垂，廣袤的夜空閃爍著無數的星辰，那嘆為觀止的星空，自古以來就吸引地上人們的目光。當仰望著晴朗的夜空，滿是繁星的天穹很容易激起詩意的想像，也引發許多古聖先賢對天體或這個宇宙本質的猜想。. 第一節古希臘時代的宇宙論對於古希臘的天文學家而言，提出一個宇宙觀點的論述，這個宇宙論的內容不但要在心靈上得到滿足，使心靈有所慰藉，還要能夠提供對於像每日日出位置的變化，給出這種可觀察到的自然現象令人信服的說明。由於提出的宇宙論，有著必須與日常現象一致的要求，這對天文學家來說，提出好的宇宙論，對於宇宙本質探討的思考能力之增強，有相當大的助益。絕大部分希臘的天文學家和哲學家，從西元前四世紀開始，他們認為恆星分布在一個很大的球體上頭，整個球體由東向西旋轉，連帶地也將恆星一起由東向西轉動，稱此球體為恆星天球；而地球是一個靜止的小球，其懸在恆星天球的幾何中心的位置。太陽在地球與恆星天球之間的廣大空間之中移動。在恆星天球之外卻是什麼也沒有—— 沒有空間、沒有物質，什麼都沒有。這雖然不是古希臘時代唯一的宇宙觀點，但它卻是擁有最多的追隨者。這就是我從此以後稱其為「兩球宇宙」的模型。（Kuhn， 1985，p27）兩球宇宙包括了一個為人而設置的內在球和一個為恆星設置的 7.

(9) 外在球。兩球宇宙並不是一個真正的宇宙論，它並沒有提供任何關於星體是如何運動的想法，甚至連透露星體如何安置在地球與恆星天球之間廣大空間的一點線索都沒有。它只是提供一個宇宙論的結構框架，讓許多後來的天文學家都以此架構，建構出在心靈上及思想上，得以展現他們充滿想像思維的模型。 ...更重要的是，兩球的對稱性提供了天文學、物理學和神學思想之間重要的連結，因為它對它們都是必不可少的。（Kuhn，1985，p30）古希臘人想為天體建立一個機械模型（mechanical model）的嘗試可以追溯到安那芝曼德（Anaximander，約 611-547 B.C.）。他首先想要給予天體一個好的圖像，將天體描繪成一個火環：火環本身被霧裹著，所以看不見，但它們上面有孔，天體通過孔顯露出來：我們看到的恆星好比是一個龐大的天輪上的小孔。他假設有 3 個環，對應於太陽、月球和恆星。3 個環的直徑分別是地球直徑的 27、18 和 9 倍，而地球本身被比作一個平頂圓柱體，直徑是厚度的 3 倍，靜止於環的中心。他還認為日月通過環上的圓孔而顯現，當圓孔被擋住時，就發生日月蝕。（Lloyd，1970，p15-16）在他的解釋當中還有許多說不清楚的地方：對於太陽、月球和恆星本身的外型沒有多做說明；也完全沒有提到行星的描述；最奇怪的是，恆星被說成處在太陽和月球下面，這表明他的體系是很初級的，幾乎沒有建立在任何觀測基礎上。儘管如此，這個模型的重要性在於，他是第一個對天文系統給出機械理論的初次嘗試。這邊安那芝曼德說出“他假設有 3 個環，對應於太陽、月球和恆 8.

(10) 星。3 個環的直徑分別是地球直徑的 27、18 和 9 倍”這樣的話時，他並不是想要將複雜的觀察現象，透過簡單的數學形式來拯救現象（save the phenomena），只不過反映了安那芝曼德對於對稱性和和諧性的喜好，以及他對 3 這個數字特別推崇的信念。公元前五世紀，古希臘原子論者琉息帕斯（Leucippus，約 500-440 B.C.）和德謨克利特（Democritus，約 460-362 B.C.），將宇宙形像化為一個無限空虛的空間，居於其中的無窮多個微小不可見的粒子或原子（Atom）在所有的方向上運動。在他們的宇宙中，地球只不過是許多本質上相同的天體之一，由偶然聚合的原子所形成。它不是獨一無二的，既不靜止，也不處在中央。實際上，一個無限的宇宙沒有中心；空間各部份處處相似；所以，聚合形成了我們的地球和太陽的原子，也必然會在空虛空間或虛空的其他部分形成為數眾多的其他世界。對於原子論者來說，在恆星之中還有另外的太陽和另外的地球。（Kuhn，1985，p41）這邊簡單說明原子論的觀點。原子一詞源自於古希臘詞 atomon，意為不可分割的。原子論的基本假設是：只有原子和虛空（void）是真實的。物體之間的不同，包括性質的不同和我們認知的實體間的不同，都是由變更原子形狀、排列和位置得到解釋。原子數量無限，分散在無限的虛空中。而且它們不斷地運動著，運動引起它們之間不斷的碰撞。這種碰撞會引起兩種效果：一是原子反彈離開，不然就是如果相撞的原子互相勾上或形狀相配，他們就黏在一起，從而形成複合體。因此， 9.

(11) 所有種類的變化都用原子的結合與分離來解釋。（Lloyd， 1970，p44）西元前五世紀後期，畢達哥拉斯（Pythagoras，約 569- 494 B.C.）的追隨者們提出了第二個宇宙論，使地球處在運動之中並部分地剝奪了它獨一無二的地位。畢達哥拉斯學派將恆星置於一個巨大的運動球體上，但是他們在球的中心放置了地球上無法見到的一團大火，被稱為「宙斯的聖壇」。火之所以不能被看到，是因為地球上住人的地方總是背對著那團火。對於畢達哥拉斯學派來說，地球只是包括太陽在內的眾多天體中的一個，它們都圍繞中心火旋轉。（Kuhn，1985，p41）一個世紀後，龐托斯的赫拉克利特（Heraclides，約 540- 480 B.C.）指出：造成天空視運動的是中心地球的每日轉動，而不是恆星外天球的轉動。（Kuhn，1985，p41）赫拉克利特通過提出水星和金星繞著運動的太陽旋轉，而不是獨立地繞著中心地球旋轉，他還削弱了兩球宇宙的對稱性。西元前三世紀中葉，薩莫斯的阿里斯塔恰斯（Aristarchus，310230 B.C.）延續了赫拉克利特的想法，他認為，太陽處於一個被極大地擴展了的恆星天球的中心，而地球繞太陽旋轉。這樣的觀點，即是現在所稱之「日心說」的理論。這使他贏得了「古代的哥白尼」的美稱。（Kuhn，1985，p42） 10.

(12) 第二節亞里士多德的宇宙論從西元前四世紀到西元十六世紀，這將近兩千年的歷史潮流當中，亞里士多德學派的思想，在歐洲科學和宇宙學上有著無與倫比、前所未有的支配地位。亞里士多德（Aristotle，384-322 B.C.）的世界觀並不是唯一在古希臘時代所構思出來的的世界觀，它也不是唯一擁有追隨者的世界觀。但亞里士多德的世界觀，比起其他古代的哲學家們更接近原始的世界概念，並且它與獨立的感覺及知覺的證據更密切地相吻合。對亞里士多德來說，整個宇宙被包含在天球之內，或者更精確地說，在天球的外表面之內。天球內部的每一點都有某種稱作為「以太（ether）」物質，宇宙內部的絕大部分由以太這種元素所填滿，在亞里士多德的宇宙中不可能存在空洞或真空，而在天球之外什麼也沒有。沒有物質，沒有空間，什麼都沒有。（Kuhn，1985，p77）亞里士多德將地球視作宇宙的中心，把宇宙分成月上區和月下區兩個部份。月上區指的是月球以上的部份，包括了漫遊的行星，不動的恆星以及神所居住的地方；而月下區指的就是地球上發生各種事物的場所，俗稱塵世的部份。亞里士多德認為月上區是神所居住的地方，是神聖高潔的，行星在當中運行必定是以最均勻、完美、對稱的正圓軌道行進，並以地球為中心，繞著地球規律地橫過空間。不同的行星繞行所花費的時間不同，則不同的行星有著不同的繞行半徑。故若將這種模式畫成圖，就會是一幅以地球為中心，其他的行星們、月球、太陽在以太所構成的同心水晶球殼上，依照各自的軌道運行（圖 2-1）。 11.

(13) 圖 2-1：天球同心球球層. 它聚集成一系列層層相套的同心球殼，形成了一個巨大的空心球，其表面正是恆星天球的外層，而同心球的內表面帶動最低的行星即月球。（Kuhn，1985，p77）地界，俗稱塵世，即月球天內面之下的空間，僅僅是整個宇宙中的一個微小地方。大部分的空間是天界，大部分的物質是水晶天球中的以太。但是相對微小的月下區，並沒有因為其所佔的空間微不足道，而使得它所處的地位不重要。在亞里士多德的版本中，以及在往後延伸更廣的範圍裡，中世紀基督教版的亞里士多德宇宙論中，宇宙微小的中心核心是地球，其餘的都是為它而造。它是人類的棲居地，它的特性與它之上的天界極為不同。（Kuhn，1985，p80）對於那些推動天體的天球形式和物理實在性，亞里士多德的觀點是最詳細和最明確的。他相信只需要 55 個由以太所構成之真實水晶球殼，而這些球殼把歐多克斯（Eudoxus，約 408-355 B.C.）及其後繼者所發展的同心球數學體系，轉化成為一個物理機制。 12.

(14) 亞里士多德幾乎把早期數學家所使用的天球數量增加了一倍，但是他所添加的那些球在數學上是多餘的。它們的作用，是為保持整套同心球殼的旋轉，提供必要的機械連結；它們把整套天球轉變為，由恆星天球驅動之巨大機械的一部分。由於宇宙是充滿以太的，所以所有的天球彼此相互接觸，球與球之間的摩擦帶動了整個系統。恆星天球先是帶動與它最接近的內部鄰居，即七個同心球殼中最外的土星天球球殼，這個球殼又帶動它下一個鄰近的木星天球球殼，以此類推，直到運動最終傳到帶動月球的最低天球球殼。這是以太殼層的最內層，是天界或月上區的最低邊界。古代的天文學，以亞里斯多德的宇宙論為基礎，得以蓬勃發展，部分受益於一個普遍存在的原始感覺，即大自然的威力和穩定與萬物生命的脆弱和不安全之間的強烈對比。通過絕對的區分月上區和月下區，這自然與萬物間強烈對比的感覺，被整合進了亞里士多德的宇宙論之中。月球天球的內側將宇宙分為截然不同的兩個區域，充填著不同種類的物質，服從不同的規律。人類所居住的地界是具有多樣性和隨時隨地都在變化、萬物的出生和死亡、物質的產生和消滅，一個瞬息萬變的區域。天界相反，是永恆不變，是神聖高潔的區域。所有元素中只有以太是純粹和不朽的。只有相互連結的天球永恆地、規律地做圓周運動，從不改變他們的速率，總是反覆出現空間中相同的區域。. 13.

(15) 第三節行星逆行行星逆行問題逆行問題行星（planet）這個術語來自於希臘詞 planetes，planetes 是從動詞 planaomai（遊蕩、漫遊）而來，意思是「漫遊者」，直到哥白尼死後，它一直被用來將那些運動或「漫遊」的天體，從那些相對位置固定的恆星中區分出來。對希臘人以及後繼者而言，太陽也是七顆行星之一，其他六個分別是：月球、水星、金星、火星、木星和土星。恆星和這七顆行星是古代被認為是天體的全部物體。通常行星穿過星座向東運動：這被稱為「正常運動」。水星和金星每次完成黃道循環平均需要 1 年時間，而火星的運行週期平均是 687 天；木星的平均週期為 12 年；土星是 29 年。但所有這些情形中，某一單圈的旋轉時間與平均值可以相差很大。甚至在向東穿過恆星時，行星也並不保持同一速率。（Kuhn，1985，p46）在更仔細地觀察後發現，行星有兩種天文現象，無法用亞里士多德的同心球殼模型來解釋：一為行星運行速率不一致，有時比較快，有時比較慢；二是行星有逆行（retrogradation）現象，原本是朝東移動，在一段時間之後，會反過來向西運行短暫的時間，再繼續朝東移動（圖 2-2）。它們的運動也不是一直向東的。除太陽和月球以外的所有行星的正常運動，都不時被短暫的西向運動即「逆行」運動所打斷。...水星每 116 天會在恆星中短暫的反轉運行一次，金星每 584 天發生逆行，火星、木星、土星發生逆行的時間間隔分別是 780 天、399 天和 378 天。（Kuhn，1985，p46-47）. 14.

(16) 圖 2-2：發生火星逆行的連續拍攝圖（Tezel）. 柏拉圖（Plato，427-347 B.C.）向學天文學的學生們提出了這個問題：「假定勻速而整齊的運動，能不能解釋行星的視運動？」當然，尋找行星的規則和秩序，在某種意義上，與理論天文學本身一樣古老。這邊在記錄中所提到的問題，不僅僅是研究行星的一般忠告，柏拉圖已經認識到：（一）行星的視運動顯示出了需要解釋的異常。對地球上的觀察者來說，它們在「遊蕩」，恰如它們的希臘名稱 planetes 所暗示的一樣。（二）柏拉圖設想，行星的不規則運動只是表面上看起來如此，其實是由其本身勻速而整齊的運動組合而產生。（三）雖然柏拉圖的文字記載中沒有明說，但他暗示著絕對「勻速而整齊」的運動是圓周運動。（Lloyd，1970， p83）因此，上述的問題，可以換另外一種方式來問：該如何將幾個勻速的圓周運動組合，以建構出一種與實際觀測到的行星運動相符合的模型？這裡，我們說柏拉圖的主要貢獻是，他堅持認為天文學是精確 15.

(17) 的數學科學。在西元前四世紀末以前，天文學是唯一運用了數學方法（mathematical methods），並利用此種數學方法取得相當大成功的科學。在它們逐漸向東運動中，被週期性的短暫地向西運動給打斷，在這逆行的運動上，那五顆漫遊星體的行為相當類似。而另外一種運動特徵將它們分成兩類，這運動特徵為星體位置與太陽位置的關連性。水星和金星，它們的位置從不遠離太陽。水星總是可以在與太陽夾角 28°以內找到，而金星的最大張角為 45°。這兩顆行星總是持續緩慢地來回穿梭，前前後後地橫過運動中的太陽。有一段時間它們隨著太陽向東，然後逆行穿過太陽，最終掉過頭來再次追上太陽。當處在太陽的東邊時，這兩顆行星作為「暮星」出現，它們在日落後的短暫時間內可以見到，但很快便隨著太陽一起落到地平線以下。在逆行穿過太陽之後，它們變成了「晨星」，在黎明即將到來時升起，並在日出後的強烈日光下消失。在這段期間它們接近太陽，水星和金星都完全看不到。（Kuhn，1970，p47-48）與水星和金星不同，火星、木星和土星並不侷限於和太陽共處在同一個天體區域。有時它們與太陽非常接近，即與之相「合（conjunction）」，有時它們又以 180°與太陽相對，即與之相「衝（opposition）」，在這兩個時刻之間它們可以處在所有的中間角度。火星、木星及土星只有在衝的時候才會發生逆行現象，並且，當它們在天空中相對太陽逆行時，這三顆行星會顯得比任何其他時刻都更明亮。這種亮度的增加通常被解釋為（至少從 16.

(18) 西元前四世紀開始），行星與地球的距離縮短。（Kuhn，1970，p48）合內行星軌道外合. 太陽. S. 內合. 外行星軌道. 地球. E. 衝圖 2-3：以太陽為中心，合與衝位置之示意圖. 衝. 太陽 E 地球. S. 合. 圖 2-4：以地球為中心，合與衝位置之示意圖. 地球處在恆星天球的中心，恆星天球是宇宙的邊界；最接近恆星天球的最外圈行星是土星天球，它沿著黃道運行所花費的時間最長，接下來是木星，然後是火星。到此，天球的次序是相當明確的。由行 17.

(19) 星運行在軌道上的週期時間，依照著遞減的順序從最外層往內安置；用相同的方式，月球天球被安置在最接近地球的天球之上。但剩下的三顆行星出現了問題：太陽、金星和水星都以相同的平均時間，即一年，完成它們繞行地球的旅程，所以適用於其他行星的那種機制無法決定它們的次序。直到西元前 2 世紀，大部分天文學家將太陽軌道緊挨著置於月球軌道的外側，金星又在太陽的外側，然後是水星，然後火星。然而從西元前 2 世紀以後，圖 2-5 中顯示的次序— 月球、水星、金星、太陽、火星等—卻愈來愈流行。. 向西周日運動. 太陽金星. 土星. 地球月球火星. 水星木星. 恆星天球圖 2-5：兩球宇宙中行星軌道的次序. 在兩球宇宙的理論中，行星軌道會被希望維持並擴展最初的兩球所包含的基本對稱性。因此，行星軌道在理想上應是以地球為中心的 18.

(20) 圓，並且行星在這些圓上的旋轉應該與恆星天球的旋轉顯示出相同的規律性。這雖然可以對太陽每年繞行地球一次的規律性，提供相當好的描述，但要解釋其他五顆行星漫遊在恆星的運動中，觀察到像逆行這種無規律性的運動，圓形軌道連透露出一點訊息也沒辦法。但更重要的是：儘管兩球宇宙未能明確指出行星軌道的形狀和位置，但它的確使得對位置和軌道的某些選擇比其他的似乎更真實，因此它直接指引和限定了天文學家研究行星問題的途徑。（Kuhn，1985，p49）. 19.

(21) 第四節第四節同心球殼理論與本輪同心球殼理論與本輪—均輪本輪均輪系統均輪系統上一節，對柏拉圖提出的問題，歐多克斯給出了這個問題的第一個解答，他的解決辦法是最具獨創性的。在歐多克斯的行星體系中，他提出，太陽、月球和五顆行星複雜的視運動軌跡，可視為每顆行星都被放置在一組由兩個或更多相互連接的同心天球的內層天球上，地球靜止地處在所有這些球的共同中心，這些同心天球繞著不同軸的同時旋轉，但各球的軸互相傾斜（圖 2-6），並且他們以不相同的速度做勻速旋轉，產生了行星被觀測到的運動。. 圖 2-6：歐多克斯的同心球理論. 這一理論最引人注目的地方是：最下面的兩個球（3 和 4）的運動。它們是用來解釋行星留（station）跟逆行的。第 3 個球的兩極位於黃道圈上，而第 4 個球的軸與第三個球的軸有一個傾角，角度大小隨不同行星而異。這兩個球以同樣的速率自轉，但方向相反。它們 20.

(22) 合成的運動產生一種曲線，歐多克斯稱之為馬蹄形曲線（圖 2-7）。（Lloyd，1970，p86）. 圖 2-7：歐多克斯的「馬蹄形」圖示說明. 當這個封閉曲線再與帶著行星沿黃道帶運動的第 2 個球面的運動組合時，就給出了行星帶圈運動相當好的近似，包括行星在接近和離開留點時，視速度的變化。（Lloyd，1970， p86-87）這個體系整體上顯示出高超的數學技能，而且沒有打破柏拉圖只假定簡單圓周運動的規則，就相當成功地解釋了很多種現象。儘管如此，所有的同心球體系都有一個嚴重缺陷，導致了它們在古代的天文模型中提早被拋棄。由於歐多克斯的理論把每個行星都放置在以地球為中心的天球上，所以行星與地球的距離無法變化。但行星逆行時會顯得更亮，從而看上去離地球更近。在古代，同心球體因其無法解釋行星亮度的變化，常常受到指責，而且的確，特別在這一 21.

(23) 點上，這個體系將發生崩潰，人們將拋棄這種體系而贊同本輪和偏心圓理論。希臘天文學家兼數學家阿波羅尼（Apollonius，262-190 B.C.）和希帕克斯（Hipparchus，190-125 B.C.）研究發展新的天文學模型，在其最簡單的形式中，行星新的數學機制包括一個稱為本輪（epicycle）的小圓，行星運行在本輪上，而本輪的圓心繞著另一個旋轉的圓，稱為均輪（deferent），本輪圓心在均輪的圓周上勻速旋轉（圖 2-8），只要適當調整本輪的大小及旋轉速率，就可以解釋逆行的現象。. P C. O. 圖 2-8：本輪與均輪. 本輪－均輪系統還能再現行星現象的另一個重要的定性特徵：僅當行星運行到最接近地球時才發生逆行，並且在這個位置上行星應該而且確實看起來最亮。另外，希帕克斯注意到，如果一定要假定地球是精確地在均輪的中心的話，那麼，均輪本輪系統並不能解釋太陽繞地球一周當中，其運動速率的不規則性，這促使他建立了偏心勻速點（equant），以幫助調和本輪理論與實際觀察結果。 22.

(24) 偏心勻速點的定義特徵：均輪或別的行星輪的轉速要保持恆定，但不是相對於它的幾何中心，而是相對於偏離中心的偏心勻速點保持恆定。（Kuhn，1985，p69）由偏心勻速點的概念來描述，僅從偏心勻速點看行星運動才是等速的，即從 E 點來看行星運動，掃過相等角度所需花費的時間相等；如此，從地球上觀察，行星繞地運行的速率便會有所不同（圖 2-9）。 A. E M O. P 圖 2-9：偏心圓圓心 M，偏心勻速點 E 與地球 O；地球 O 與偏心勻速點 E 則分別位在圓軌道中心 M 兩側. 23.

(25) 第五節第五節托勒密的天文學當由單本輪單均輪系統所預言的運動，和觀察到的具體某個行星的運動相比較時，行星並不總是出現在模型的幾何學所告訴我們的它應該在的位置。...所以，單本輪單均輪系統並不是行星問題的最終解答。它只是一個有希望的開始，它適合得到迅即而又持久的發展。（Kuhn，1985，p64）西元二世紀的天文學家托勒密（Ptolemy，85-165 A.D.）統合了前兩項觀點，利用球面幾何與三角學的方法，架構出完整的天文模型，能夠描述每一顆行星運動的細節，及預測出天文現象的發生，而且與實際觀測的位置誤差不到 10 分角。而托勒密為了要修正太陽繞地球一周當中，其運動速率的不規則性；以及月球繞地球轉動的不規律性，而這兩個行星又不會發生逆行的現象，於是托勒密再增加小本輪的想法；「小本輪」一詞用來消除理論與觀測之間細微的定量差別的附加圓。（Kuhn，1985，p66）小本輪的用途並不僅限於那些無逆行的行星，如上述的太陽和月球。一個小本輪還可以被放置在一個大本輪之上並用以預測更為複雜的行星運動（圖 2-10）。. 24.

(26) P. E. 圖 2-10：行星 P 在本輪上的小本輪運行. 小本輪並不是修正單本輪單均輪系統，和觀察到的行星行為之間微小偏差唯一的想法。由均輪向東旋轉一周小本輪向西旋轉一圈所產生的效果，也可以由單獨一個圓心移離地心的均輪等效地達到。這種被古代天文學家稱為偏心圓（eccentric）的偏移圓（圖 2-11）。. S. O E. 圖 2-11：偏心圓。O 點為圓心，而地球 E 偏離圓心一段距離，太陽 S 在以 O 點為圓心的圓上運行 25.

(27) 在古代的這些努力中最偉大的，要算是托勒密在西元 150 年前後所做的工作了。因為他的工作將前人的努力加以統合，並且因為他的所有後繼者，包括哥白尼在內，都是模仿他來進行工作，所以由托勒密提供原型，後來追隨者一系列的嘗試和修正，在今天通常被總稱為托勒密天文學。「托勒密天文學」一詞是指解決行星問題的一種傳統方法，而不是指被托勒密本人、其前輩或後繼者提出的任何一種特殊的解答。他的《至大論（Almagest）》濃縮了古代天文學最偉大的成就，是第一部為所有天體運動提供完整、詳盡和定量解釋的系統的數理論著。（Kuhn，1985，p68）這個集大成的天文模型理論統治了人們在天文學上的知識，長達十四個世紀，直到十六世紀文藝復興末期哥白尼（N. Copernicus，1473-1543）的出現，才將人們從思想的桎梏中解放出來。. 26.

(28) 第六節第六節哥白尼的天文學哥白尼對天文學抱持著很高的推崇：最美好的、最值得了解的事物研究，這就是探索宇宙的神奇運轉。星體的運動、大小、距離和出沒以及天界中其他現象成因的學科。簡而言之，也就是解釋宇宙全部現象的學科。難道還有什麼東西比起當然包括一切美好事物的蒼穹更加美麗的嗎？（哥白尼，1543，p10）哥白尼在看過托勒密的模型後，覺得本輪、均輪的想法太過於人為化，尤以本輪為甚，只不過是為了符合逆行現象，強行添加進去。 ...有些人用同心圓，而另一些人卻用偏心圓和本輪，儘管如此都沒有完全達到他們的目標。...似乎在很大程度上解決了視運動的問題，可是引用了許多與均勻運動的基本原則顯然相抵觸的概念，也不能得出宇宙結構及其各部分的真實對稱性。...我們發現，那些人採用偏心圓論證的過程，要不是遺漏了某些重要的東西，或者就是塞進了一些外來的、毫不相干的東西。（哥白尼，1543，p3）托勒密體系的所有版本，無論是托勒密以前的還是以後的，都只有五個大本輪，這正是哥白尼的改革所要剔除的。（Kuhn，1985，p66）到了後來本輪、均輪以及調整細微運動的小本輪，總個數達到七、八十個才能夠精確地描述行星運動，實在是太繁冗，太複雜了，完全違背了這自然本身應是簡單、和諧、對稱、完美的普適原則。. 27.

(29) 對哥白尼來說，他感到在增加愈來愈多的輪子的過程中，他的前輩們只不過在修補和扭曲托勒密體系以強行使之與觀察相符；而且他相信，正是這些修補和扭曲的必要性，清楚地證明了我們迫切需要一種全新的方法。（Kuhn，1985， p73）但他們極少或從不試圖對這一技術作根本的修正，行星問題變得只不過是一個設計問題，一個主要從已有元素的重新排列著手的問題。均輪、偏心圓、偏心勻速點和本輪之間什麼樣的特殊組合可以最簡單、最精確地解釋行星運動？（Kuhn，1985，p70）為了要得出滿足大自然是簡單性的原則，哥白尼拋棄以地球為中心的假設，他重新發展了古希臘人阿里斯塔恰斯的日心論（heliocentric theory），將世界中心的寶座讓予太陽，其他的行星皆以太陽為中心繞其運轉，地球只不過是一個繞著太陽運行的行星罷了，不再是高高在上的宇宙中心。如此一來，不再需要龐雜無數的均輪、本輪，只剩下以太陽為中心，行星各自以其軌道繞行太陽的同心圓模型，照此，哥白尼的模型大大簡化了托勒密模型中均輪及本輪的個數，也確實遵循自然是簡單的原則，行星運動再次回歸到簡單、和諧、對稱、完美的理念。古代和中世紀的觀察者都已經注意到，在許多方面，自然似乎是受簡單性原則支配的，而且他們已用諺語式公理的形式記錄下他們觀察的要義這些公理已成為人們普遍接受的世界觀的一部分。落體垂直地向地球運動，光以直線傳播，這些事實以及無數其他熟悉的經驗事實中，人們引出了如下通常的諺語，比如說，「自然總是通過最短的路徑而運動」，「自然不會無目的地勞作」，「自然總是恰到好處」，等等。這 28.

(30) 個思想往往以某種方式減弱了大多數人對哥白尼的反感；笨重的本輪在數目上已被削減，托勒密天文學中的各種不規律性被排除。（Burtt，1980，p25）然而哥白尼對太陽的定位仍顯得曖昧模糊，時而它在共同軌道的中心，時而又在軌道中心的附近，說法反反覆覆，模稜兩可。他曾描述不動的太陽 S 與地球 E 正圓軌道中心 OE 的關係，如圖 2-12(A)，地球軌道中心 OE 並非靜止，它還以小輪繞著圓心 O 旋轉，而圓心 O 又以均輪情形繞著太陽 S 旋轉。對於火星而言，火星 M 在自己的本輪上運行，本輪中心又在以 OM 為中心的均輪上作圓周運動，而 OM 與 OE 的位置並不重合，位置則維持不變（圖 2-12(B)）。顯然地球與火星軌道的中心並不落在太陽上，且對地球與其他行星，又分別採取了不同的處理方法，而不一致、不協調，甚至還攙雜著他自身所反對的人為化與複雜性。哥白尼仍然尚未達成他所期望，能呈現宇宙和諧與完美描述的最終理想。. (A). 29.

(31) (B) 圖 2-12：(A) 地球運行示意圖，太陽 S 不在地球正圓軌道中心，而地球正圓軌道中心 OE 繞著 O 旋轉，且 O 又繞著太陽 S 旋轉；(B) 火星運行示意圖，火星運行的本輪中心，在以 OM 為中心的均輪上運行，OM 與 OE 的相對位置固定不變。. 哥白尼的體系有一個重大缺點是，他認為一切天上的運動都是圓周運動的複合。他對於圓的美學推崇萬分，圓是多麼的對稱、完美，從古希臘，經過了中世紀，一直到文藝復興的現在，有哪個天文學家、哲學家或者是數學家，莫不用圓以及球來描述天體的運行呢？儘管哥白尼的改革消除了大本輪，但他為了要能夠更精確的描述行星運動，仍然像他的前輩一樣依賴小本輪，反而又陷入小本輪的泥沼當中。. 30.

(32) 第三章. 偏心點的引入—— 偏心點的引入——暫代性假說 ——暫代性假說. 哥白尼的理念五十年後由克卜勒（J. Kepler，1571-1630）發揚光大，並確定了太陽，與含地球在內所有行星共同軌道中心的位置。對克卜勒而言，自然的簡單性和統一性乃是平凡之見。自然崇拜簡單質樸。自然崇尚統一。決不無故空閒也決不多此一舉。自然總是取捷徑，絕不費力走彎路。（Burtt，1980，p39）. 第一節偏心點的存在克卜勒是哥白尼的忠實信徒，他見識到將宇宙中心從地球移至太陽後，由數也數不清的均輪、本輪，蛻變成只要幾個同心圓，便可清楚地明白星體的運行，和預測天象的發生。由繁入簡，多麼簡單、完美，於是對哥白尼的「日心說」推崇不已，且誓言將儘力捍衛它。然而克卜勒並未墨守成規，他深深明白哥白尼模型中一些模糊不清的地方，並採取了不同的基礎點：宇宙的主宰與中心是太陽，它掌控所有行星的運行；地球只是其中一個行星，不扮演任何特殊角色；地球軌道中心與所有其他行星的軌道中心也沒有差別，不應分別處理。為了得到更為正確的行星軌跡，克卜勒重新採用了托勒密的偏心圓理論。在太陽與地球的理論中，確實要有偏心點是相當明顯的，...因為是對所有行星，偏心圓觀念是普遍與共同的，我的工作將對這些原因加以闡述。（Kepler，1609） 31.

(33) 在此模型中，所有行星以不同半徑，但皆繞著共同圓心作圓周軌運動；太陽並非在共同圓心上，而是偏離圓心一小段距離；且行星既不是繞太陽，也不是繞圓心做規律的等速率運動，而是對第三點 (偏心勻速點) 作等角速率運動。如前圖 2-12(A)，只是將原先地球位置 O 取代為太陽位置。克卜勒很幸運地可以使用第谷（Tycho Brahe，1546-1601）所留下來龐大及精確的觀測資料。克卜勒說，神的仁慈賜予我們一位最勤勉的觀測家第谷，因此我們應該以感激的心情好好利用這一贈與去發現真正天的運動才對。（Kuhn，1985，p206）他不厭其煩，辛勞地分析數據資料，察覺到隱藏在行星運動背後，那不為人知，晦暗未明的真理，其蛛絲馬跡，如剝繭抽絲般地逐漸浮現在克卜勒眼前。第谷與他皆體會當地球運行到太陽和火星之間，且自地球去觀測火星和太陽成一直線，或夾角為 180 度時，可當作眾多天文數據中的重要標誌，此特殊排列稱為「衝」或「三連星」。它對在茫茫天體中，安排出太陽、地球與行星的位置關係上，一直扮演著提綱挈領、無法取代的關鍵角色。除了在薄暮或清晨，偶然同時觀察到火星和太陽，分別在我們的正前後方，而可直接看到衝的形成。此外皆是利用白天時所觀察到太陽的位置 S 及軌跡，將它延續在天體上描繪出圓滑的圓周曲線，而得到夜晚時太陽 S ’到地球 O 的相對位置或角度（經度）。如此在清明的夜晚觀察火星 M ’時，可同時測得火星 M ’與太陽 S ’，到地球上觀察者 O 的相對位置或角度（經度）。如此不僅可得知衝的發生與否，更可獲得任意時刻在地球上所觀測到的火星 M，與太陽 S 之經度（圖 3-1）。 32.

(34) 圖 3-1：火星與太陽之角度決定的簡單示意圖：先觀察太陽 S 白天運行的軌跡，去推算夜晚太陽 S’的位置，在晚上去觀測火星 M’的位置，即可知道太陽與火星相對於觀察者 O 的角度。火星、太陽與觀察者 (OSM 與 OS’M’) 皆會在同一平面─黃道面上。. 33.

(35) 第二節太陽位置與火星軌道中心的太陽位置與火星軌道中心的安排位置與火星軌道中心的安排 H F. C E B A. G I. D. 圖 3-2：決定太陽位置 A、火星軌道中心 B、與偏心勻速點 C 之示意圖. 克卜勒自第谷的資料裡，選取了發生四次「火星衝」的時間與數據，它們分別是在 1587 年 3 月 6 日、1591 年 6 月 8 日、1593 年 8 月 25 日及 1595 年 10 月 31 日。於圖 3-2，A 為恆定不動的太陽位置，D、 E、F、G 代表四次發生火星衝時的火星經度位置，圖中未繪出地球，但它必分別落在 AD、AE、AF 與 AG 線段上。所有這些點線皆會在同一平面（即黃道面）上。克卜勒參考了早期托勒密的偏心圓模型，假設太陽位置 A、火星軌道中心 B、及偏心勻速點 C 均位在同一直線 HI 上，其中 H 為遠日點，I 為近日點，HI 亦被稱為遠近線。欲證明此三點所形成「偏心圓」的存在，他希望 D、E、F、G 可形成一正圓，且其圓心 B 又必須落在 AC 連線上。故一切運算的出發點為偏心圓直徑、或遠近線 HI 到底落在何處？他首先任意選定∠HCF、∠HAF，經由觀察數據，及眾多但簡易的幾何關係，若最後所推算出的. 34.

(36) ∠EFG＋∠EDG＝∠DEF＋∠DGF＝180°. （3-1）. 滿足四邊形可形成外接圓的條件，則 D、E、F、G 會落在同一圓上。如果算出來的結果不等於 180°，那麼就回過頭來，重新選定∠HCF、 ∠HAF，以期 D、E、F、G 可形成一圓。進一步，為讓 B 落在 AC 連線上，又必須滿足 ∠HAF＝∠BAF. （3-2）. 的結果，若是∠HAF ≠∠BAF，則需再次重新選取∠HCF、∠HAF。如此，反覆進行計算，直到獲得上述兩個重要的預期結果（Kepler， 1609；Kozhamthadam，1995；Martens，2000）。由於克卜勒在《新天文學》原著中的運算較複雜，我們稍將其步驟簡化、釐清，並自美國海軍天文台的天文資料（MICA），隨機選取最近在北台灣，分別所觀測到的四個火星衝：1982 年 3 月 31 日（F）、 1986 年 7 月 10 日（G）、1988 年 9 月 28 日（D）以及 1990 年 11 月 27 日（E）的數據為參考，重新詳盡地描述及保留克卜勒原有的辛勤工作內容、與運算精神，藉此呈現他在獲得其行星三大定律前，所開啟天文學研究的新思維，並揭示其實事求是的科學方法。（一）由觀測數據，決定四次衝時的火星位置至太陽的相對角度我們所選取上述四個火星衝的經度位置分別是：D 為 5.4°、E 為 65.5°、F 為 190.6°、G 為 287.9°（以春分點之太陽位置、或正東方的經度為 0°），故 ∠DAE＝65.5°－5.4°＝60.1°、∠EAF＝125.2°、 ∠FAG＝97.2°、∠GAD＝77.5°。 35.

(37) 另外，C 為偏心勻速點，火星繞其作等角速率運動。已知火星週期為 687.0 天，DE 歷時 790.7 天，所以可算出 ∠DCE＝（790.7－687.0）/687.0×360°＝54.3°；同理，也可得到∠ECF＝142.4°、∠FCG＝98.4°、∠GCD＝64.9°。（二）定出太陽至火星的不同距離，尋找火星軌道之圓心若設太陽至偏心勻速點的距離 AC 為 10000 個單位，在△DAC、 △EAC、△FAC 以及△GAC 中，AC 是共邊，那麼 AD、AE、AF、AG 皆可用 AC 來表示（圖 3-3）。. H. F. C. E. A G D. I. 圖 3-3：以共邊 AC 表示出太陽至火星的四個不同距離 AD、AE、AF、AG. 以△GAC 為例，利用正弦定理，. AC AG = sin AGC sin ACG 而. 36.

(38) ∠ACG＝180°－∠HCF－∠FCG ∠CAG＝∠HAF＋∠FAG ∠AGC＝180°－∠ACG－∠CAG 設 AC 之延長線為遠近線 HI，作為最後欲建立偏心圓的直徑，與其相關的∠HCF 與∠HAF 是唯一可自由選定的兩個值，餘皆不可任意變動。現取 ∠HCF＝41.1° 與. ∠HAF＝34.6°. 作為計算的起點，如此可以 AC 表示出 AG 長。同理，AD、AE、AF 亦可算出（表 3-1）。表 3-1：以 AC=10000，表示出太陽至火星的四個不同距離 AG、AD、AE、AF. ∠ACG ∠CAG ∠AGC 40.5°. 131.8°. 7.6°. ∠ACE ∠CAE ∠AEC 78.7°. 90.6°. 10.7°. ∠ACD ∠CAD ∠ADC. AG 48890. 24.4°. 150.7°. 5.0°. ∠ACF ∠CAF ∠AFC. AE 52769. 138.9°. 34.6°. 6.5°. AD 47743 AF 58125. 接著，在△FAG 中，可用餘弦定理求得相鄰兩衝火星之距離 FG，因 FG2＝AF2＋AG2－2×AF×AG×cos∠FAG 其中∠FAG 已知。以同樣方式，可分別求出 GD、DE、EF（表 3-2）。. 37.

(39) 表 3-2：相鄰兩衝火星之距離 FG、GD、DE、EF。. FG. GD. DE. EF. 80529. 60504. 50504. 98466. 在同一△FAG 中，∠FAG 已知，用正弦定理，. AF AG FG = = sin AGF sin AFG sin FAG 可得到∠AFG 和∠AGF。相同地，也可得知∠AGD、∠ADG、∠ADE、 ∠AED、∠AEF、∠AFE （表 3-3），做為接著求得火星位置彼此所張之角度之用。. 表 3-3：在△FAG、△FAG、△FAG、△FAG 中，以正弦定理計算得到各底角的大小。. ∠AFG ∠AGF ∠AGD ∠ADG ∠ADE ∠AED ∠AEF 37.0°. 45.7°. 50.4°. 52.1°. 64.9°. 55.0°. 28.9°. ∠AFE 26.0°. 因此，四個火星衝時，火星位置彼此所張之角度為 ∠EDG＝∠ADE＋∠ADG ∠EFG＝∠AFE＋∠AFG ∠DEF＝∠AED＋∠AEF ∠DGF＝∠AGD＋∠AGF 如果∠EDG＋∠EFG＝∠DEF＋∠DGF＝180°，則我們能夠確定 D、E、F、G 必落在同一圓上（表 3-4），而完成第一個預期要求。反之，若 D、E、F、G 不落在同一圓上，則必須重新選取∠HCF 或 38.

(40) ∠HAF，再重覆上述過程，直到四點可形成一圓（圖 3-4）。我們的結果表示該四點會落在同一圓上，故∠HCF、∠HAF 之選取，通過如式（3-1）所示的第一個要求條件。. 表 3-4：確認四個火星位置 D、E、F、G 是否可形成一圓，即∠EDG＋∠EFG＝∠DEF＋∠DGF＝180°。. ∠EDG. ∠EFG. ∠DEF. ∠DGF. ∠EDG+∠EFG. ∠DEF+∠DGF. 117.0°. 63.0°. 83.9°. 96.1°. 180.0°. 180.0°. H F. C B E. A. G. I. D. 圖 3-4：D、E、F、G 四點落在以 B 為圓心之同一圓上。AC 之延長線（或遠近線 HI）不一定與通過圓心 B 之直徑重合。. （三）決定太陽至軌道圓心及火星之角度下一步，要決定圓心 B 是否落在 AC 連線上，必須達到第二個預期結果:∠HAF＝∠BAF。為了求得∠BAF，須在△ABF 中，獲得相關的兩邊一角，以便透過正弦定理求得。. 39.

(41) 對與∠BAF 有關的∠FBG 而言，圓心角∠FBG 為圓周角∠FEG 之兩倍，有 ∠FBG＝2 ∠FEG＝2（∠AEF＋∠AEG）其中∠AEF 已在表 3-3 得知。對∠AEG 而言，在△AEG 中，AE、AG 由表 3-1 為已知邊，第三邊 EG 可以餘弦定理 EG2＝AE2＋AG2－2×AE×AG×cos∠EAG 求得，其中∠EAG＝∠GAD＋∠DAE 已知。有了兩邊一角，經過正弦定理，. EG AG = sin EAG sin AEG 遂得知∠AEG 值，也就決定出∠FBG（表 3-5）。由於 BF＝BG 為圓半徑，△FBG 為等腰三角形，∠BFG＝∠BGF 1 2. ＝（180°－∠FBG），由正弦定理，. FG BF = sin FBG sin BGF 得到 BF=BG 的距離。最終在△ABF 中，先使用餘弦定理 AB2＝AF2＋BF2－2×AF×BF×cos∠AFB 40.

(42) 求得 AB 的大小，其中∠AFB＝∠BFG－∠AFG 已知。最後通過正弦定理，. AB BF = sin AFB sin BAF 終於可確認出∠BAF 之值（表 3-5）。表 3-5：在△ABF 中通過兩邊 BF、AB 及一角∠AFB 所獲得的∠BAF。. EG 94789. ∠AEG ∠FBG ∠BFG=∠BGF BF=BG ∠AFB 20.4°. 98.4°. 40.8°. 53184. 3.8°. AB. ∠BAF. 6142. 34.6°. （四）檢視太陽、軌道圓心與偏心勻速點是否成一直線若∠BAF＝∠HAF，則 B 點即落在 AC 連線上，辛勞的計算即告完成。但如果∠BAF ≠∠HAF，就必須再回過頭來，修正假定的∠HAF 和∠HCF 之值，依照同樣的程序計算一遍，直到兩角相符為止（表 3-6）。表 3-6：檢視∠BAF＝∠HAF 以確認軌道圓心、太陽與偏心勻速點是否落在同一直線。. ∠BAF. ∠HAF. 34.6°. 34.6°. 最後我們所得到的∠BAF，與最初設定的∠HAF 的值，非常吻合，通過了式（3-2）所示的第二個要求條件。也確認太陽、軌道圓心、與偏心勻速點，的確將落在同一直線上。. 41.

(43) 我們所重建的偏心圓與克卜勒所完成的偏心圓模型，此二者的太陽 A 至軌道圓心 B 之距離 AB，與軌道圓心 B 至偏心勻速點 C 之距離 BC 的比較，列於表 3-7（Jacobsen，1999）。兩者相當一致，皆可讓 A、 B、C 落於同一直線上，以 B 點為中心之圓，均可通過四個火星觀測位置，且圓心 B 並不平分距離 AC。. 表 3-7：重建的偏心圓模型，與克卜勒所完成的模型之比較。（歸一為將圓半徑 BF＝53184→1）. AB. BC. 6142. 3858. AB（歸一） BC（歸一） AB（克卜勒）BC（克卜勒） 0.11549. 0.07254. 0.11332. 0.07232. 克卜勒在完成及釐清太陽位置 A、火星軌道中心 B、及偏心勻速點 C 三者所構造出的偏心圓模型後，曾如此描述當時的心境：如果這種冗長的方法讓你厭煩的話，你或許更會憐憫我起來。因為我花費了巨大的時間，反覆了至少 70 餘次的計算，至今已過了五個年頭。（Kepler，1609，p256）後來他很快地也察覺到上面辛苦所獲得的偏心圓模型（他名為暫代性假說 vicarious hypothesis），仍未能準確地描述火星運動的路徑，便以它為參考，往前再嘗試修正，尋找更精確的幾何軌跡，最後終於能建立起行星的橢圓定律（姚珩、黃秋瑞，2003）。雖然暫代性假說並非完全準確，但不能說對它的探討徒勞無益；反之，它是克卜勒天文思想的基礎，是行星運動軌跡的基本形式。暫代性假說充分地顯示出克卜勒對太陽無可比擬地推崇，太陽自身發光發熱，支配整個世界，是宇宙的主宰，各個行星繞其運轉不歇，不再像哥白尼，太陽與圓軌道中心模糊不分。沒有太陽與軌道圓心的區隔，將很難發現橢圓. 42.

(44) 的焦點與對稱中心之角色，自然也不會有行星橢圓定律的形成。克卜勒僅利用簡單的幾何特性，及正弦與餘弦定理，逐步建立起了行星理論的基礎，與釐清行星真實運行的情形。這主要是他對太陽至高無上、神聖獨特性的堅持，以及他體會出在哥白尼所欲復興的畢達哥拉斯及新柏拉圖主義中，所揭示自然背後有著簡單數學關係的深刻含義（伯特，1994）。克卜勒不厭其煩，不辭辛勞，藉找出暫代性假說的理論，透視出行星看似漫遊不定，飄渺虛無的天際移轉背後，所隱匿不出、微言大義的簡單、和諧，令人沉醉不已之數學關係。. 43.

(45) 第四章. 新天文學裡新天文學裡橢圓律與面積律之原貌. 火星與地球軌道之偏心圓理論，指出了火星與地球或任何其他行星並不是在作等速率圓周運動，行星靠近太陽時，會運動得比較快；當遠離太陽時，會運動得比較慢。這個必然的結果，促使克卜勒開始探討行星運動的原因（cause）與結構。. 第一節距離規則克卜勒在《新天文學》第 33 章對於距離規則的原因有這樣的敘述：簡言之，環繞著宇宙中心運動的行星，若愈遠離此中心時，它將以較不強地被推動著。所以，此種在強度上減弱的原因，必定是在行星本身與它內存的運動力（motive force）上，或是在設想的宇宙中心上。運動的增強與減弱總是像到世界中心的靠近或遠離，有著相同的比例。因此不是力量的減弱造成行星遠離宇宙中心，便是遠離造成力量的衰減。距離不論是在人們的思想上或是在自然的次序上，均先於空間中的運動。事實上，空間中的運動不可能與離開中心之距離無關，因為它需要有展現的區域，...因此，距離將是運動強度的原因，距離的遠近將造成所花費時間的多寡。說有一種生物力儲存在行星內，可將運動賦予在行星上，但卻不會隨著歲月的增長而受損或衰弱，這是荒謬的主張。（Kepler，1609，p376-377） 44.

(46) 克卜勒所重新發現的偏心圓理論，與上述的動力學原因，徹底將哥白尼的圓周軌道的圓心角色，轉移至太陽的位置上。如果行星並非以等速繞其圓心運轉，而是，其快慢會隨著至太陽之距離在改變，則此結果僅能以運動力來解釋。同時此運動力的來源，除了來自太陽身上以外，不可能來自任何其他地方。克卜勒就是由此運動原因出發，提出了他天文動力學中最重要的基本原理－距離規則（distance rule）（姚珩、黃秋瑞，2003）。在《新天文學》第 32 章中，由行星的偏心圓理論，如圖 4-1。B 點是偏心圓 DE 的圓心，C 點是偏心勻速點，且為虛線圓 HI 的圓心，又 HI 圓的半徑等於 DE 圓的半徑，而太陽是在另一偏心點 A 點上。根據托勒密理論，AB 與 BC 為偏心距 c 且等長。行星以等角速率繞著偏心勻速點 C，運行於偏心圓 DE 的圓軌道上。過 A 點做直線 FG 交 DE 圓於 F、G 兩點。現在以 DF 描述行星從遠日點 D 運行到 F 所經過的弧長；同理，以 EG 來描述行星從近日點 E 運行到 G 所經過的弧長。從 C 點過 F 點作直線 CF，並延長 CF 交 HI 圓於 K 點；再者，連接 CG，使得 CG 交 HI 圓於 L。根據托勒密的理論，整個 HI 圓表示行星繞行 DE 圓一圈所需的週期時間，於是 HK 弧長代表行星從遠日點 D 運行到 F 所花費的時間，而 IL 為行星從近日點 E 運行到 G 所花費的時間。. 45.

(47) H. K. D. F. C B A I. L. E G 圖 4-1：距離規則－遠近日點速率與距離之關係. 若考慮 DF 與 EG 為極短弧長，可視 DF 與 EG 為極短線段，那麼 ADF 與 AEG 就看成是直角三角形，直角落在 D 及 E 點。又∠DAF ＝∠EAG，△ADF 與△AEG 相似，則. AD DF ＝ AE EG. （4-1）. 同樣的，HK 與 IL 也可視為極短線段，於是 CDF、CHK、CEG 及 CIL 也都可看成直角三角形，直角分別落在 D、H、E 及 I 點上，則△CDF 與△CHK 相似，且△CEG 與△CIL 相似，則. CH HK ＝ CD DF. （4-2）. EG CE ＝ CI IL. （4-3）. 46.

(48) DE 圓的半徑 BD 可以視為 AD 與 CD 的算術平均值，則（附錄一）. AD CH ＝ BD CD. （4-4）. 由式（4-2）及（4-4），得 HK AD ＝ DF BD. （4-5）. 同樣的，DE 圓的半徑 BE 也可視為 AE 與 CE 的算術平均值，則. CE BE ＝ CI AE. （4-6）. 由式（4-3）及式（4-6），得. EG BE ＝ AE IL. （4-7）. 又 DE 圓的半徑 BE＝BD 亦為 AD 與 AE 的算術平均值，則. BE AD ＝ AE BD. （4-8）. 綜合式（4-5）、（4-7）及（4-8），得. EG HK ＝ IL DF. 47. （4-9）.

(49) 再將式（4-9）改寫成. EG HK HK IL ＝＝ IL DF IL DF. ⇒. HK EG DF EG EG  EG   ＝＝＝ IL IL IL IL IL  IL . 2. 2. BE AD  BE  AD  ＝＝ ＝ AE BE AE  AE . ⇒. HK AD ＝ IL AE. 即行星在行星遠日點與近日點處，行經相同路程所需花費的時間（HK 與 IL）和行星至太陽的距離（AD 與 AE）成正比。此謂之距離規則（Kepler，1609）。換個方式來說，行星在遠日點與近日點的運動速率，和行星至太陽的距離成反比，即距離太陽愈遠，行星運動速率愈小；離太陽愈近，行星運動速率愈大。此規則出現在所有行星定律之前，因克卜勒認為它不僅可以物理意義加以了解和詮釋，且太陽與行星皆為真正的實體，而不像托勒密是以空無之抽象點：偏心點與本輪圓心，作為描述的參考點。同時此規則與隨後之橢圓律及面積律，皆緊密相關（姚珩、黃秋瑞，2003）。而後，克卜勒自己對上述論證得到的距離規則加以修正：行星垂直太陽半徑的速度分量，也就是確實引領行星繞太陽的分量，是反比於到太陽的距離。（Stephenson，1987， p161）. 48.

(50) 行星的速率，在垂直太陽半徑方向上的分量，與到太陽的距離成反比。當克卜勒提出修正過的距離規則時，事實上這已經等價於面積律了，因為行星與太陽的連線 R，在甚短的 dt 時間內劃出弧長 dC，假設 dC 是行星垂直於太陽半徑運動的分量，與面積 dA，如圖 4-2。. dA. dC. R 圖 4-2：距離規則（dC/dt 與 R 成反比）等同於面積律（dA/dt＝定值）. 則面積可近似為：. 1 2. dA＝ × R × dC. 或. dA 1 dC ＝ ×R × dt 2 dt 根據距離規則，速率 dC/dt 與 R 成反比，故 dA/dt＝定值，此即為面積律。. 49.

(51) 第二節橢圓律橢圓律與面積律原貌與面積律原貌之呈現原貌之呈現 P. Q O A. K. E. M. L. B. H T. R S. N V. Y I. C. 圖 4-3：克卜勒之橢圓軌道：由外接圓 AKEC 來描繪出橢圓 AMBC. 在《新天文學》第 59 章裡，克卜勒引用了阿波羅尼之圓錐曲線著作，先列出了一些有關圓 AKEC 與橢圓 AMBC 之定理或命題。如圖 4-3，AMBC 為內接於圓 AKEC 之一橢圓，橢圓 AMBC 與圓 AKEC 相切於 A、C 兩點。則 AC 為圓 AKEC 的半徑且為橢圓 AMBC 的長軸， H 為圓 AKEC 之圓心。從圓上取兩點 E、K，自 E、K 作垂直線到直. 徑 AC，交 AC 於 H、L，且垂線 EH、KL 分別與橢圓相交於 B、M 兩點。. 50.

(52) 命題 1（Protheorem 1）：如果從圓之圓周上的任意點作垂線到直徑，所有這些垂線將會被橢圓之圓周切成相同的比例。由圖 4-3 可知，AH、CH 及 EH 為圓 AKEC 之半徑，而 AH、CH 同時為橢圓 AMBC 之半長軸長，EH 則是橢圓 AMBC 之半短軸長，則. ML BH b ＝＝ KL EH a 此處 a 與 b 為半長軸與半短軸長（附錄二）。命題 2：橢圓面積與圓面積之比值，會和定理 1 提到的比值相同。對整個橢圓而言，其面積大小為 πab，而圓的面積是 πa2，則橢圓 AMBC 與圓 AKEC 的面積比值為 b AreaAMBC πab ＝ 2 ＝ AreaAKEC a πa. 命題 3：如果從直徑上任一點，到圓和橢圓與垂線之交點相連，被這些線所分割出來的面積將也會如同垂線的線段。由圖，AMN 的面積可視為 AML 的面積與△NML 的面積所組成，同理，AKN 為 AKL 加上△NKL。從命題 2 的結論，可推得 AML 與 AKL 的面積比為. b AreaAML ＝ a AreaAKL 51.

(53) 又 NL 為△NML 與△NKL 的共底，於是△NML 與△NKL 的面積比為. AreaNML ML BH b ＝＝＝ AreaNKL KL EH a 因此 b AreaAMN AreaAML AreaNML ＝＝＝ a AreaAKN AreaAKL AreaNKL. 命題 7：如果從橢圓圓周上半短軸的端點，做一條與半長軸長等長的線交於半長軸上，其交點到中心的距離平方是半長軸長的平方與半短軸長的平方之差。從 B 點做 BN＝EH 交 AC 於 N。由△BHN，. HN 2 ＝ BN 2 － BH 2 又 BN＝EH，. HN 2 ＝ EH2 － BH 2. （4-10）. 故，HN 的平方為半長軸 EH 的平方與半短軸 BH 的平方之差。這邊克卜勒雖然沒有特別指出 N 點代表什麼，但我們不難看出 N 點為橢圓的其中一個焦點，即太陽的位置。因為式（4-10）顯示了，在直角三角形 BHN，半長軸 a、半短軸 b 與偏心距 c 的關係為. c2 ＝ a2 －b2 這就是橢圓的幾何關係式。. 52.

(54) 命題 9：如果將到中心的連線以到其他點的連線來代替，則那些線將可取過圓心垂線之交點到圓上任意點的連線；也就是，如果徑向距離被用來取代周長距離，則徑向距離的和將等於那些從圓心連線的和。從 K 點過 H 做直線 KI 交圓周於 I 點，再從 N 點作垂線交 KI 於 T 點，則 KH＋HI＝KT＋TI. 並且對任一組 KH＋HI＝KT＋TI 皆會成立。由此延伸，如果將 AK 分成任意數量的相等弧長，則 AN 到 KT 的線段總和的增加，部分來自於 AH 到 KH 的線段數量以及部份來自於 HN 乘上 sin∠AHK，即線段的總和隨著 AKN 的面積而均勻地增加。因此，圓的面積以及 AKN 的面積是徑向距離和的測量值。上段敘述是克卜勒自己對命題 9 的說明，發現他對命題 9 的說明其實是相當不清楚的，於是現在對命題 9 重新提供較明確的解釋。由圖，AKN 的面積為扇形 AKH 的面積加上△NKH 的面積。而 AKH 的面積為 Area AKH＝. 1 AH 2 ∠AHK 2. 又△NKH 的面積為 Area △NKH＝. 1 HN × KL 2. 而 AKN 的面積為 Area AKN＝Area AKH＋Area △NKH. ＝. 1 1 AH 2 ∠AHK＋ HN × KL 2 2 53.

(55) 又 KL＝KHsin∠AHK，則 AKN 的面積亦可寫為 Area AKN＝Area AKH＋Area △NKH. ＝. 1 1 AH2 ∠AHK＋ HN × KHsin ∠AHK 2 2. （4-11）. 再來看 KT。KT＝KH＋HT，而 KH＝AH 且 HT＝HNcos∠AHK（因為 ∠NHT＝∠AHK）故 KT＝AH＋HNcos∠AHK. （4-12）. 於是，我們可以發現 AKN 面積式（4-11）的前項跟 AH 有關，後項為 HN 乘上 sin∠AHK，而式（4-12），KT 的前項為 AH，後項是 HN. cos∠AHK。因此比較式（4-11）與（4-12），我們可以將 KT 線段的和表示為 AKN 的面積。這邊，可以發現到克卜勒在推論的過程中有個小問題，他將 sin ∠AHK 與 cos∠AHK 視作一樣，然而這個問題並不影響最後結果的有效性（附錄三）。事實上，這個結論有著關鍵的重要性。當克卜勒在命題 9 的論述中說到“AN 到 KT 的線段總和的增加，部分來自於 AH 到 KH 的線段數量以及部份來自於 HN 乘上 sin∠AHK，即線段的總和隨著 AKN 的面積而均勻地增加。”第一句話暗示著相當關鍵的想法上之意涵，即 NM＝KT（附錄四）。NM 為焦點到橢圓上任一點的連線長，也就是，太陽到行星之間的距離。既然 KT 線段的和表示為 AKN 的面積，又 KT 的長度等於 NM 長，故，NM 的連線和可以用 AKN 的面積來表示；也就代表，太陽到行星的距離和等價於 AKN 的面積。. 54.

(56) 不僅如此，橢圓上之任一點 M，至焦點 N 之長度 r，滿足底下關係式： r＝1＋ecos β. 這就等價於現在我們所使用的橢圓方程式。它表示了行星橢圓軌跡，可以底下方法來描繪決定：一、任意取圓上一點 K，從 K 點做垂線 KL 交 AC 直徑於 L。二、過 H 點，自 K 點做直線 KI 與圓周交於 I 點。三、自 N 點再做垂線 NT，交 KI 於 T 點。四、以 N 為圓心，KT 長為半徑，劃弧，交 KL 於 M，則 M 點即為行星橢圓路徑上之點。（姚珩，2004）命題 11：如果一個橢圓由自圓上相等弧長所做的垂線劃分，圓上的等分點和橢圓上的交點與定理 7 找到的點相連，則與圓周上各點的連線稱為周長距離，而與橢圓交點的連線稱為徑向距離。命題 11 克卜勒定義周長距離與徑向距離的意思。命題 12：圓的面積，不論是整個還是個別的部份，是真正的測量值，藉由橢圓行星路徑的弧長到太陽中心的距離和。克卜勒將命題 9 的結論，反過來再重新說一次：. AKN 的面積可以用來表示太陽到行星的距離之和。為什麼克卜勒要不斷地重複說，AKN 的面積與太陽到行星連線的距離之和，能夠互相表示呢？根據距離規則，行星運行的速率與行 55.

(57) 星到太陽的距離成反比，換句話說，行星在軌道上運行相等的弧長，所需花費的時間與行星到太陽的距離成正比。因此，可以說行星從 A 點運行到 M 點的位置時，其所花費的時間就可以用太陽到 AM 弧長的連線和來代表。要讓花費的時間能夠以數學的方式呈現，對克卜勒而言，就是要將時間用幾何的方式表達。對當時的人而言，要去得到太陽到行星連線長的總和是相當困難的，太陽與行星之間的距離會隨著時間改變，要去累加一些會微小變化的量，必須要有極限的概念，對當時數學發展的程度來說，只有算術跟幾何，代數學也才在 1590 年於法國數學家 Vieta（1540-1603）的致力下，剛開始萌芽，更別提微積分的概念。因此克卜勒在命題 9 到命題 12，利用他卓越的數學長才，將太陽到行星的連線和能夠用面積來表示，成功地把行星運行的時間與幾何作連結。但克卜勒發現到如果用 AKN 的面積去表示行星從 A 點到 M 點所花費的時間，仍有所偏差，儘管這個偏差不大，於是他在命題. 14 來加以修正命題 12 的結論。命題 14：假定同一個人，用以下定律去劃分一個橢圓 AMC 為相同數量的不等長弧長：圓 AKC 首先被分成相等弧長，垂線 KL 從個別弧長的端點畫至 AC，也會將橢圓 AM 切成弧長；則橢圓面積將可取為這些弧長到 N 的距離。命題 14 已經等同於現在我們認知的面積律：同一顆行星與太陽的連線，在相等時間內掃過的面積相等。（高二物理（上），翰林出版，p226）行星與太陽的連線在相同的時間間隔內，掃過相同的面積。（高二物理（下），南一書局，p32） 56.

(58) 於是，克卜勒在命題 15 再說一次作總結：命題 15：運行的橢圓弧長，其所花費的時間由 AKN 面積量測，理應終止在 LK，所以它將是 AM。故以面積來代表時間是適當合理的。（Therefore, it is quite justifiable to take the area as a measure of the time.）（Aiton，1969，p87）綜合以上，可簡言之，克卜勒是以底下程序，來建立其面積律：行經橢圓路徑所需時間→連線距離和→橢圓面積克卜勒在此把距離不時變化著的運動─橢圓，與傳統完美的幾何圖形─圓，連接了起來，也將含有物理內涵的距離規則，與具有均勻性的面積律，建立起了特殊關係。也就是，並非以單一距離長度來代表所費時間，而是以距離和來代表。面積是跟著時間穩定地在改變，或面積時變率恆定不變，這也保留下來了另一種之均勻性（uniformi（姚珩，2004） ty）的要求，所以克卜勒視此定律為他最鍾愛之原理。讓他最高興的是面積律，因為正是這個定律首次解決了行星速度的不規則性問題，而這個問題是哥白尼在處理托勒密體系時的一個主攻點，可是他自己卻無法解決它。出於宗教的理由，哥白尼和克卜勒都堅信運動的均勻性，這就是說，他們堅信每顆行星在其公轉中是受一個不變的、決不失效的原因推動。因此，克卜勒很高興就面積來說能夠「拯救」這一原則，即使就行星的路徑來說不得不拋棄它。（Burtt，1980， p43） 57.

(59) 第五章. 以簡易幾何方法重訪地球的以簡易幾何方法重訪地球的行星定地球的行星定律行星定律. 克卜勒當年的經歷是先發現地球的面積律，進而得到火星的面積律；然後歷經長年的困頓，而大膽的推測火星繞日的軌道是橢圓，並繼之以驗證。我們在此嘗試跳過克卜勒的困頓過程，直接分析地球繞日的軌道，使橢圓律的發現看起來更加順利，也更加自然。. 第一節地球的面積律欲建立地球的面積律，首先得明白地球相對於太陽的位置。但是在廣大浩瀚的星際間，該如何確定地球的位置呢？回顧從數千年前以至於克卜勒的時代，所有對太陽及行星運動的理解，都是以地球為原點，觀測太陽或行星的角度（方向），亦即在地球上只能紀錄它們在天球上的經度（及緯度），而無法觀測星體與地球之間的距離，或是計算距離與距離之比。因此縱然克卜勒相信日心說，而要將以地球為原點的觀測結果轉換到以太陽為原點的位置，克卜勒必須想出新的方法。在克卜勒那個時代，已經有各個行星大約是在同一平面上運行的看法，而在一個平面上要定出一個物體的位置，必須至少要有兩個參考點作依據，才能夠標定出物體位在何處。現在，我們將一個參考點取為不動的太陽，那麼，另一個點該取何者呢？若是選取同樣不變動的恆星，會因為距離太過遙遠失去參考價值；但若取鄰近的行星，因它非靜止，在天空的位置則又難以標定。儘管如此，克卜勒注意到從一次太陽、地球、火星三連星，到下一次三連星的間隔約是 780 天，並據以計算出火星繞日的週期約是 687.0 天。由於每隔 687 天火星在天空的位置有如一個固定的燈塔，只要將回到原處的那個位置當作是另一個參考點，這樣一來，就擁有兩個固定的點作為基準，利用從地 58.

(60) 球觀測到的角度，倒過來決定地球的位置。從地球觀測太陽，將太陽在天球上的投影點以（黃道）經度標定。例如春分（3 月 21 日或 22 日）時，經度為 0°，夏至（6 月 21 或 22 日）時太陽的經度為 90°等等，不過因為太陽與地球的位置相差 180°，所以在春分的時刻，太陽看地球的經度變成 180°，夏至時刻太陽看地球的經度變成 270°，在以下的討論中，有時為了方便，我們也會採取以太陽為原點，觀測地球的經度，這樣的選擇和以地球為原點的觀測經度是等價的。 M E. Ei. Ej S. 圖 5-1：太陽 S、火星 M 與地球 E 的位置示意圖. 克卜勒當年便以發生火星衝（太陽、地球、火星三點成一直線，圖 5-1。S 表太陽，E 是地球，M 為火星）的日期為基本參考數據，為了方便起見，我們選取 1950 年 3 月 23 日 5 時這天的觀測數據，此時 SEM 成一直線。S 的位置固定，M 每隔一個火星年會回到原位置，視作不動，Ei 代表自發生火星衝起前一個火星年的地球位置，由數據該位置發生在 1948 年 5 月 5 日；而 Ej 則是自火星衝起算下一個火星年時的地球位置，由數據該位置發生在 1952 年 2 月 8 日。如此 SEiMEj 可形成一個四邊形。為了方便起見，以 ri 代表 SEi 線段長，rj 代表 SEj 線段長。很明顯 r、（圖 5-2）。 i rj 分別表示兩個時間點的地球與太陽距離 59.

(61) M. E. Ei. Ej ri. rj. S 圖 5-2：SEiMEj 所形成的四邊形. 四邊形 SEiMEj 可看成由△SEiM 與△SEjM 所組成，其中∠SEiM、 ∠SEjM、∠MSEi 及∠MSEj 之值可由自地球所分別觀測到至火星與至太陽的經度獲得。由觀測數據於 1948 年 5 月 5 日時，火星 M 之位置為經度 144.943°，太陽 S 之位置為經度 44.650°，所以∠SEiM＝144.943° －44.650°＝100.293°；同理∠SEjM＝318.383°－218.175°＝100.208°。而∠MSEi 及∠MSEj 則是可由火星衝及前或後一個火星年，地球觀測太陽經度之差獲得。火星衝時太陽 S 位置為 2.028°，而於 1948 年 5 月 5 日時，太陽 S 位置為 44.650°，故∠MSEi ＝44.650°－2.028°＝42.622°，同理∠MSEj ＝2.028°＋360°－318.383°＝43.645°。由三角形三內角和為 180°可得 ∠EiMS＝180°－∠SEiM－∠MSEi＝37.085° ∠EjMS＝180°－∠SEjM－∠MSEj＝36.147°. 60.