火星的面積律 火星的面積律 火星的面積律 火星的面積律

第一節 第一節

第一節 火星的面積律 火星的面積律 火星的面積律 火星的面積律

火星繞日週期已知為 687.03 天或約 687 天，即每隔 687 天火星 會回到在天體中相同的位置，而地球繞日週期為 365 天，由於此二行 星的繞日週期並沒有公因數，彼此互質，表示每經過一個火星年，當 火星回到原來位置時，所對應的地球位置卻都不相同。如圖 6-1，若 S 表太陽，M 為火星或次火星年的火星位置，Ei、Ej為間隔一火星年 所對應的地球位置。如此，太陽、火星與兩個地球位置，可形成一個 四邊形 SEiMEj，其中 SEi和 SEj線段分別代表太陽到地球在兩個不同 位置處的距離（簡稱日地距）， 並以 ri與 rj表示，SM 線段則代表太 陽至火星之距離（簡稱日火距），以 d 表示。

圖 6-1：太陽 S、火星 M 與相距一火星年兩地球位置 Ei、Ej之示意圖

Ei Ej

d

ri rj

αi αj

μi μj

θ

S

M

（一）太陽到火星的距離 d

若隨機選取地球在 Ei位置的日期為 1950 年 5 月 13 日 5 時，則 在 Ej位置的日期為 1952 年 3 月 30 日 4 時，其中 Ei與 Ej之時間間隔 為一火星年。∠SEiM＝μi是地球在 Ei位置觀察太陽 S 和火星 M 的夾 角，由觀測所得，地球在 Ei處時，火星 M 為（黃道）經度 172.557°，

太陽 S 為經度 51.901°，故μi＝172.557°－51.901°＝120.656°

（MICA）。同理，地球在 Ej位置時至 S 與 M 所張之角度，∠SEjM＝

μj＝ 9.473°＋360°－228.333°＝141.140°

。

太陽在天球上的投影點以黃道經度標定。以太陽在春分（3 月 21 日 或 22 日）時，地球觀察太陽的方向訂為經度 0°，夏至（6 月 21 或 22 日）時，太陽的經度為 90°等等，不過又因為太陽與地球的位置相差 180°，所以在春分的時刻，太陽看地球的經度變成 180°，夏至時刻太 陽看地球的經度變成 270°，依此類推（圖 6-2）。

圖 6-2：自地球看太陽與自太陽看地球的角度關係

處所張的角度，由此觀之，它似乎為不可觀測量，但藉上述地球與太 陽彼此觀看角度的相對關係，θ將為可觀測值。因為，若地球在 Ei

地球 E 春分點

太陽 S

θ π+θ

處觀測到太陽 S 的經度為 51.901°，在 Ej處觀測到 S 的經度為 9.473°，

則自太陽 S 觀測到地球在 Ei處之經度為（51.901°+180°），在 S 處觀 測到 Ej的經度為（9.473° + 180°），故

∠EiSEj＝θ＝（51.901°＋180°）－（9.473°＋180°）

＝ 51.901°－9.473°＝42.428° （6-1）

且日火距 d 為

對於隨意選取五個不同的觀測日期，由式（6-5）與（6-8）所求 得之日火距 d 列於下表 6-1，其中設 1952 年 3 月 30 日的日地距大小 r_j1＝r0＝100000（圖 6-3）。

表 6-1：隨意選取五個不同日期計算所得之日火距 d （括號內日期與無括號日期相差一火星年）

日期 μi μj θ β k αj rj d

1950. 5.13 (1952. 3.30)

120.656° 141.140° 42.456° 304.253° 1.387 22.973° 100000 160750

1952. 6.21 (1954. 5. 9)

122.319° 130.592° 41.744° 294.655° 1.120 30.593° 101072 150805

1954. 8.15 (1956. 7. 2)

125.251° 116.179° 41.593° 283.024° 0.906 40.722° 101770 139993

1956.11. 1 (1958. 9.19)

126.837° 116.786° 43.041° 286.665° 0.885 39.256° 100518 141804

1959. 1. 7 (1960.11.24)

122.044° 133.781° 44.249° 300.073° 1.170 27.383° 98793 155079

圖 6-3：日火距 d 可以日地距 r 來表示，並以 rj1＝r0＝100000 當作標準

圖 6-4 為間隔一日，太陽 S、地球 E 和火星 M 所分別形成的兩組 四邊形 SEi1M₁E_j1與 SEi2M₂E_j2。火星每日的角速率ω即為火星相對於 太陽 S 自 M1移動至 M2所張的角度φ。在四邊形 SEi1M₁E_j1中，

∠SEi1M₁、∠SEj1M₁和∠Ei1SE_j1的角度，如圖 6-1 中之μi、μj和θ，

為可觀測量，且∠Ej1M₁S 如圖6-1 中之αj，可由式（6-7）得到。對

△SEj1M₁而言，由內角和關係（表 6-1），

∠M1SE_j1＝180°－∠SEj1M₁－∠SM1E_j1

＝180°－141.140°－22.973°

＝15.887°

同理，對第二天太陽、地球與火星所形成之△SEj2M2

∠M2SEj2＝180°－∠SEj2M2－∠SM2Ej2 ＝180°－142.194°－22.438°

＝15.368°

太陽 S 至地球位置 Ej1，及次日地球位置 Ej2，所張角度∠Ej1SE_j2，類 似圖 6-1 中之θ，可由式（6-1）及觀測值，得知

∠Ej1SE_j2＝10.461°－9.473°＝0.988°

所以，在一日內火星相對於太陽所經過的角度（圖 6-4）

φ＝∠M2SE_j2＋∠Ej1SE_j2－∠M1SE_j1＝b＋c－a

＝15.368°＋0.988°－15.887°＝0.469° （6-9）

即為火星在該日的角速率ω。表 6-2 列出火星在表一中所選取五個不 同日期，計算所得之火星角速率ω。

表 6-2：對於表 6-1 所選取五個不同日期火星角速率 ω 之計算值 1960.11.24 0.504

（三）行星面積律

故欲發現面積律，即在檢視：不同行星位置至太陽之距離平方，與在 該點所對應的行星角速率ω之乘積恆為定值，

d_i²ωi＝dj

2ωj （6-10）

或者檢視 dj 2∕di

2之比值與ωi∕ωj之值是否會相等。結合表 6-1 與表 6-2 所提供在不同日期的日火距 d 及火星角速率 ω，可得 dj

2∕di

2與

ωi∕ωj兩比值（表 6-3）。

表 6-3：五個不同日期火星日火距平方 dj 2/di

2比值與對應角速率 ωi /ωj比值

日期 d ω d_j²/di

2 ωi/ωj

1952. 3.30 160750 0.469 1.000 1.000 1954. 5. 9 150805 0.534 0.880 0.878 1956. 7. 2 139993 0.620 0.758 0.756 1958. 9.19 141804 0.603 0.778 0.778 1960.11.24 155079 0.504 0.931 0.931

其中 di與ωi都取 1952 年 3 月 30 日的數據為比較標準。由表 6-3 最 後兩行可以看得出來，火星的 d_j²∕d_i²之值與ω_i∕ω_j之值幾乎恆等，

相差不超過 1％，代表對火星而言，確實遵循克卜勒的面積律，此為 讓人感到振奮，又不出意外的結果。