第二章 全像儲存原理
2.2 位移多工資訊記錄原理
在2.1 節中，我們推導出利用兩平面波記錄的全像光柵繞射效率，也看到了 利用兩平面波如何做到在材料的同一個地方，記錄多個全像光柵的多工方式。不 過在這節中，我們將介紹使用球面波與平面波來記錄的位移多工全像儲存方式。
使用球面波與平面波最大的不同是，當平面波入射材料表面時，平面波對於 材料的表面具有空間對稱性，也就是說不管材料如何位移，只要材料沒有轉動，
則在光束大小內所看到的平面波都是相同的。反觀球面波，有一個空間對稱的中 心–圓心，當材料移動時，圓心相對於材料的位置便移動了。因此，使用球面波 做為參考光的話，我們便可以利用移動材料與參考光的相對位置，來做到多工儲 存，我們稱之為位移多工。
在本節中，我們將推導出位移多工儲存系統的位移選擇性。不過我們將不用 2.1 節中的藕合波理論(Coupled Wave Theory)來推導，僅使用 1926 年波恩所建立 的純量繞射近似(Born Scalar diffraction Approximation)，簡稱為波恩近似法(Born Approximation)[4]。此近似法是描述當光場入射一不均勻介質時，光波繞射的現 象。不過此近似法是假設繞射光波的光強度遠小於入射光波的光強度，所以總繞 射光波的分佈為入射光在材料不同地方的繞射光波的疊加，意即假設繞射光波不 會減弱入射光，且不考慮繞射光波的二次繞射。其數學形式如下：
( )
'( )
( ')) 4
( 3 '
2
0 d rU r e r
r e r k
U r
U i jk r
r k j i
d v
v v
v vv v v ε
π ′ ∆
+
≈
∫
− ⋅ (2.59)( )
'( )
( ')4
' 3
2
0 d rU r e r
r e r k
U i jk r
r k j d
d v
v
v vv v v ε
π ′ ∆
≡
∫
− ⋅ (2.60) 其中U v 為從介質出射的光場；(r) Ui( )
rv 為入射介質的光場；Ud( )
rv 為繞射光 場；rv 為介質外的觀測點 P，到介質中心 O 的距離；r′v 為介質中任一散射點 Q 與 介質中心O 的距離；kvd為繞射光的空間波向量；
kv =ωc 為散射介質中的空間波向 量；
0 0
2 λ
= π
k 為真空中的空間波向量；∆ε(rv')為散射介質中折射率隨空間的分佈情
形，作標定義如圖2.4所示。其物理意義為，從介質出射的光場等於入射光場(第
一項)與散射光場(第二項)的總合。其中第二項散射光場的積分，是將散射介質中
的每一點均視為一球面波，因此在散射介質遠處某處觀察到的散射光，等於將這 些球面波從散射介質中心發散出來的疊加。
kd
r rv= ˆ r ′v
O
Q rv −′ rv P
圖2.4 散射介質空間作標定義
因為我們是利用感光材料將兩道記錄光的干涉紋記錄下來，所以若我們令物 object e
(2.62)
而參考光的球面波，我們則可以表示為：
( ) ( )
的話，則相鄰兩頁的影像彼此的串化雜訊(cross talk)可降至最低。因此，我們可以利用此原理在x 方向上做到位移多工儲存系統。 將(2.65)、(2.66)、(2.72)式代入(2.60)：
( )
( )假設物體光的空間頻率很小，所以聚焦在材料中心時，聚焦點大小遠小
cos ，則(2.73) 式可以簡化為： 為1、2、4、8mm。根據(2.69)、(2.74)，我們可以畫出繞射光的繞射效率與 參考光的位移量的關係圖如圖(2.6)所示：
並且算出x、y 方向的位移選擇性如表 2.1：
1mm 2mm 4mm 8mm
∆δx 37.2µm 18.6µm 9.31µm 4.66µm
∆δy 1140µm 807µm 571µm 404µm
不過如上的推導是建立在材料折射率與空氣相同的前提下，可是實際上材料 折射率與空氣不同，會造成物體光入射的實際角度會改變，所以我們必須透過司 耐爾定律(snell’s law)加以修正。同 2.1 節得定義，令θ′為空氣中物體光的入射角，
則
θ
θ sin
sin ′=n0 (2.77) 將(2.77)式代入(2.71)式，可以得到修正的 x 方向的位移選擇性為：
θ δ λ
= ′
∆ sin
0 0
t z n
x (2.78) 而y 方向的位移選擇性因為與物體光的入射角度無關，所以不需要做修正。
因此，表2.1 的位移選擇性應該修正如表 2.2 所示：
1mm 2mm 4mm 8mm δx 55µm 27.8µm 13.9µm 6.94µm δy 1.14mm 807µm 571µm 404µm 圖2.6 繞射效率與參考光位移關係圖
表2.1 位移選擇性
表2.2 考慮斯耐爾定律後的位移選擇性
有了位移選擇性的大小後，我們可以估計出我們儲存系統的儲存容量
[1][6][7]。為了能夠與現在較為普遍的光儲存方式，例如 VCD、DVD 做比較，所
以我們並不使用體積儲存容量(單位體積中可儲存的資訊量)，而使用表面儲存容 量(即單位面積可儲存的資訊量)。我們定義表面儲存容量為 DA(單位面積可儲存 的張數)為：
) / (frames area A
DA = M (2.79)
其中 M 為材料儲存影像時，同一個光束大小的範圍內可儲存的張數，A 為 光束大小。假設我們儲存的影像的最高空間頻率為umax，則材料上的光束大小為 (2λfumax)，所以
A=(2λf umax)2 (2.80)
假設我們同時使用x、y 方向的位移來實現位移多工，則同一個光束大小內 儲存的張數為：
y x
M A δ
=δ (2.81)
將(2.80)與(2.81)式代入(2.79)式得：
y x
DA
δ δ
= 1 (2.82)
若我們的位移量都使用了最小位移量∆ 、δx ∆ ，則 δy )
/ 2 (
sin
2 0 0
area frames t
z n DA t
λ λ
= θ (2.83)
不過假如我們只使用x 方向的位移量，且位移量使用了最小位移量∆ ，則δx (2.81)式修正為：
0 0
max 0
0
max sin f u
2 sin fu 2
2 n z
t t
z n M A
x
θ λλ θ
δ = =
= ∆ (2.83)
代入(2.79)式得：
( )
4 f u ( / )sin u
f 2 u f sin
max 0 0 2 2
max 0
0 max
area frames z
n z t
n t DA
λ θ λ
θ
=
= (2.84)
可以看到，儲存容度與厚度呈線性關係，所以材料越厚，所能儲存的量越多。
假如我們利用棋盤格的方式，以黑的(不透光)表示 0、以白的(透光)表示 1，
則我們用可以將數位資料一頁頁的儲存，如圖2.7 所示：
假設每一頁共有N2p個圖素，且每個圖素的大小為 b，並假設我們只使用 x 方向的位移量，且位移量使用了最小位移量∆ 。則(2.84)中最高空間頻率為δx
( 1
umax
=b )，因此數位影像的儲存容量可以由(2.84)式修正為：
) / f (
4 sin
0 0 2 2
area z bits
n bt DD Np
λ
= θ (2.85)
不過如上的討論只考慮了光學系統的參數，並沒有考慮到材料因素。有可能 光學系統容許在同一個面積中儲存100 頁，可是材料實際上能參與反應的分子有 限，可能沒辦法曝光那麼多次，此時就算光學系統有如此的容量，但是材料卻沒 辦法達到。因此，我們需要另一個參數來描述材料的儲存容量。
通常，我們以動態範圍M/#(M number)來描述材料的儲存容量，定義為：
∑
== M
i
M i 1
# η (2.86)
是指說在同一個位置上，儲存 M 張全像，每一張的繞射效率ηi的開根號的 總合。意義上是指當有許多張全像儲存在材料的同一個地方時，材料的總反應量
[8]。所以當光學系統光源光強度給定，光偵測器最小能偵測到的光強度給定，則 所需要的繞射效率ηi則為光源的光強度分之光偵測器最小能偵測到的光強度。因 此，當材料的動態範圍 M/#給定時，則張數 M 也給定了。所以我們可以算出假 如只在x 方向移動的話，每一頁所要位移的量為：
M A
M =
δ (2.87)
上式的位移量δ 可能大於或小於M ∆ ，也就是說限制了一個光束內能夠儲δx 存的張數的條件，不一定來自光學系統參數∆ ，也有可能來自材料參數δx δ 。M 必須取較小者，才能表達容量真正的大小。因此真正的儲存容量應該表示為：
類比影像：
(
,)
( / )max
1 frames area A
D
x M
A = δ δ (2.88)
數位資料：
(
,)
( / )max
2
p bits area
A D N
x M
D = δ δ (2.89)
原始檔案10101100……
圖2.7 數位資料顯示