PQ:PMMA高分子全像片之製作與全像儲存特性的研究

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(1)國立交通大學光電工程研究所碩士論文. PQ:PMMA 高分子全像片之製作與全像儲存特性的研究 Fabrication of PQ:PMMA Photopolymer Disk and Research on the Properties of Holographic Storage. 研究生：張博宇指導教授：許根玉. 教授. 林烜輝. 教授. 中華民國九十三年七月.

(2) PQ:PMMA 高分子全像片之製作與全像儲存特性的研究 Fabrication of PQ:PMMA Photopolymer Disk and Research on the Properties of Holographic Storage. 研究生：張博宇指導教授：許根玉林烜輝. Student： Po Yu Chang Advisors： Ken-Yuh Hsu Shiuan Huei Lin. 國立交通大學電機資訊學院光電工程研究所碩士論文. A Thesis Submitted to the Institute of Electro-Optical Engineering College of Electrical Engineering and Computer Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Electro-Optical Engineering July 2004 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十三年七月.

(3) PQ:PMMA 高分子全像片之製作與全像儲存特性的研究學生：張博宇. 指導教授：許根玉教授林烜輝教授. 國立交通大學光電工程研究所. 摘要本論文主要是希望使用感光高分子 PQ:PMMA 製作成全像碟片，以位移多工的方式實現全像儲存系統。全文分為兩大部份，一為感光高分子的製備流程、反應機制的介紹，並對其部份光學特性包括穿透光譜、扇射效率、繞射效率等參數加以量測，以做為第二部份實驗時的參考。第二部份則將實現一個位移多工全像儲存系統. 首先我們會將儲存系統的原理，包括位移選擇性、儲存容量的理論值加以推導，並使用自行製備的 PQ:PMMA 感光高分子做為儲存材料，驗證我們推導出的理論值，並實現位移多工全像儲存系統。. i.

(4) Fabrication of PQ:PMMA Photopolymer Disk and Research on the Properties of Holographic Storage Student：Po Yu Chang. Advisors：Ken-Yuh Hsu Shiuan Huei Lin. Institute of Electro-Optical Engineering National Chiao Tung University. ABSTRACT In this thesis, we would like to implement a shift multiplexing holographic storage system with PQ:PMMA photopolymer. The thesis divide to two part。One is to introduce how to fabricate the PQ:PMMA photopolymer and how it works on holographic storage. We also measure the optical properties of the photopolymer, including transmittance spectrum, fanning effect, and diffraction efficiency. In the other part, we would like to implement a holographic storage system using shift multiplexing. First, we would derive the theory of holographic storage system, including shift selectivity and capacity. Then we would prove our derivation and demonstrate a holographic storage system with PQ:PMMA photopolymer fabricated by ourselves.. ii.

(5) 誌謝兩年好快就過去了，咻一下居然就輪到自己要穿上碩士服離開校園了。兩年研究生的生活過的愉快又充實，這都得感謝光學計算實驗室所給與我的一切。最感謝的，就是帶領我們衝鋒陷陣的衝鋒隊隊長許根玉老師，還有大隊長林烜輝老師，以及師大分隊隊長美莉學姊。老師們身兼數職，從 EPIX 特工隊隊長到導演、球友、老師、朋友，在研究上給與無法形容的幫助，更讓我們耳濡目染做研究應有的精神，更讓我們知道要無時無刻、把握時間不斷”思考”。除了領軍的老師們之外，還要感謝實驗室的所有伙伴們，已經回保加利亞生小寶寶的 Vera、明朗學長、男哥、建舜學長、仁崇、俊華、已經畢業的安澤、建成、宏璋、俊誌、已經飛回加拿大的百合、已經飛回瑞典的 Hugo Hu 先生、要一起說謝謝的謹綱、還有被我搞破壞的材料所光電高分子實驗室。有了你們的陪伴，漆黑的實驗室不再黑暗，實驗生活充滿了色彩。除了實驗室的伙伴們，還要感謝從小到大的大大小小老老少少男男女女的所有朋友們，因為有你們當我的垃圾桶，讓我能夠沒有心事的衝下去。感謝橄欖球，訓練了我的意志力，讓我撐過了所有的緊要關頭。感謝助我進入交通大學念書，助我順利口試通過，助我順利畢業的交大土地公，謝謝您總是在最後關頭為我補上臨門一腳。最重要的，是感謝我的家人。爸爸、媽媽的栽培，他們的呵護，讓我在毫無後顧下可以專心在學業上。還有哥哥，常常幫我做很多事，幫我拿東拿西，聊天，晚上回家陪我東拉西扯。該感謝的人太多了，憶起國中課文，那就謝天吧！最後，再次感謝所有在乎我及我在乎的人。謝謝大家！下臺一鞠躬！. iii.

(6) 目錄中文摘要.........................................................................................................................i 英文摘要........................................................................................................................ii 誌謝……...................................................................................................................... iii 目錄…….......................................................................................................................iv 表目錄……...................................................................................................................vi 圖目錄……..................................................................................................................vii 符號說明.......................................................................................................................ix 第一章緒論................................................................................................................1 第二章全像儲存原理................................................................................................3 2.1 體積全像術原理....................................................................................3 2.2 位移多工資訊記錄原理......................................................................16 第三章感光高分子 PQ:PMMA ..............................................................................25 3.1 反應機制..............................................................................................25 3.1.1 製備反應機制..............................................................................25 3.1.2 感光反應機制..............................................................................27 3.2 製備流程..............................................................................................27 3.2.1 MMA 單體的純化.......................................................................27 3.2.2 AIBN 的純化...............................................................................28 3.2.3 製備流程......................................................................................29 3.3 材料光學特性量測..............................................................................32 3.3.1 穿透光譜......................................................................................32 3.3.2 均勻度..........................................................................................34 3.3.3 扇射效率......................................................................................35 第四章全像光學實驗..............................................................................................41 4.1 單一光柵..............................................................................................41 4.1.1 光學系統架設..............................................................................41 4.1.1.1 綠光記錄，紅光讀取..........................................................41 4.1.1.2 綠光記錄，綠光讀取..........................................................44 4.1.2 實驗結果與討論..........................................................................45 4.1.2.1 綠光記錄，紅光讀取..........................................................45 4.1.2.2 綠光記錄，綠光讀取，記錄光強度為 20mW/cm2 ..........47 4.1.2.3 綠光記錄，綠光讀取，記錄光強度為 200mW/cm2 ........49 4.2 資料儲存光柵......................................................................................51 4.2.1 位移選擇性..................................................................................51 4.2.1.1 光學系統架設......................................................................51 4.2.1.2 實驗結果與討論..................................................................53 iv.

(7) 4.2.2. 儲存容量的估計..........................................................................64 4.2.2.1 光學系統架設......................................................................64 4.2.2.2 實驗結果與討論..................................................................67 4.2.3 類比圖像儲存..............................................................................70 4.2.3.1 光學系統架設......................................................................70 4.2.3.2 實驗結果與討論..................................................................72 第五章結論..............................................................................................................75 參考文獻......................................................................................................................77. v.

(8) 表目錄表 2.1 表 2.2 表 3.1 表 3.2 表 4.1 表 4.2 表 4.3 表 4.4 表 4.5. 位移選擇性…............................................................................................22 考慮斯耐爾定律後的位移選擇性…........................................................22 PPV 放入 MMA 液體前後的重量變化....................................................29 樣品成份表…............................................................................................30 相位失配量大小…....................................................................................44 容許角度偏移量…....................................................................................44 位移選擇性理論值…................................................................................52 位移選擇性實驗值…................................................................................53 位移選擇性誤差…....................................................................................53. vi.

(9) 圖目錄圖 2.1 圖 2.2 圖 2.3 圖 2.4 圖 2.5 圖 2.6 圖 2.7 圖 3.1 圖 3.2 圖 3.3 圖 3.4 圖 3.5 圖 3.6 圖 3.7 圖 3.8 圖 3.9 圖 3.10 圖 3.11 圖 3.12 圖 3.13 圖 3.14 圖 3.15 圖 3.16 圖 3.17 圖 3.18 圖 3.19 圖 3.20 圖 4.1 圖 4.2 圖 4.3 圖 4.4 圖 4.5 圖 4.6 圖 4.7 圖 4.8 圖 4.9 圖 4.10 圖 4.11 圖 4.12 圖 4.13 圖 4.14. 記錄光柵時兩道入射光角度定義….............................................................3 兩道記錄光與干涉亮暗紋的空間波向量的向量圖.....................................4 兩道記錄光在材料中干涉的情形.................................................................5 散射介質空間作標定義...............................................................................16 位移多工全像儲存系統示意圖...................................................................17 繞射效率與參考光位移關係圖...................................................................22 數位資料顯示...............................................................................................24 各分子結構式...............................................................................................25 起始反應.......................................................................................................26 成長過程.......................................................................................................26 終止反應……………………………………...............................................27 PQ 受光反應方式.........................................................................................27 MMA 純化裝置............................................................................................28 洗玻璃流程...................................................................................................31 過去模子的製作方式...................................................................................31 我們所使用灌模方式...................................................................................32 穿透光譜實驗圖...........................................................................................32 穿透光譜.......................................................................................................34 麥克真德干涉儀(Mach-Zender interferometer) ..........................................35 均勻度量測結果...........................................................................................35 均勻度不佳的原因.......................................................................................35 扇射光柵量測光路圖...................................................................................36 不同厚度，穿透光的強度隨著時間的變化情形.......................................36 不同厚度，扇射效率隨著時間的變化情形...............................................36 不同偏振光的扇射情形...............................................................................39 扇射光柵形成示意圖...................................................................................39 減少干擾的方法...........................................................................................40 單一光柵記錄、讀取向量圖.......................................................................41 使用紅光動態讀取繞射效率光路圖...........................................................42 相位失配量...................................................................................................43 直接讀取綠光的繞射效率光路圖...............................................................45 綠光記錄，紅光讀取之繞射效率...............................................................46 綠光記錄，紅光讀取之折射率變化...........................................................47 低強度記錄，並直接讀取綠光之繞射效率...............................................48 低強度記錄，並直接讀取綠光之折射率變化...........................................48 高強度記錄，並直接讀取綠光之繞射效率...............................................50 高強度記錄，並直接讀取綠光之折射率變化...........................................50 位移選擇性量測光路圖...............................................................................51 t=1mm 繞射效率隨記錄材料在 x 方向的移動的變化……...................55 t=2mm 繞射效率隨記錄材料在 x 方向的移動的變化……...................55 t=4mm 繞射效率隨記錄材料在 x 方向的移動的變化……...................56 vii.

(10) 圖 4.15 圖 4.16 圖 4.17 圖 4.18 圖 4.19 圖 4.20 圖 4.21 圖 4.22 圖 4.23 圖 4.24 圖 4.25 圖 4.26 圖 4.27 圖 4.28 圖 4.29 圖 4.30 圖 4.31 圖 4.32 圖 4.33 圖 4.34 圖 4.36 圖 4.37 圖 4.38 圖 4.39. t=8mm 繞射效率隨記錄材料在 x 方向的移動的變化……...................56 t=1mm 繞射效率隨記錄材料在 y 方向的移動的變化……...................57 t=2mm 繞射效率隨記錄材料在 y 方向的移動的變化……...................57 t=4mm 繞射效率隨記錄材料在 y 方向的移動的變化……...................58 t=8mm 繞射效率隨記錄材料在 y 方向的移動的變化……...................58 將(4.16)式的振幅項作圖.............................................................................61 重建光強度隨著記錄材料在 x 方向移動的變化.......................................62 重建光強度隨著記錄材料在 Y 方向移動的變化.......................................63 厚度為 8mm 的記錄材料在 y 方向上移動 0.2mm 時，繞射光強度的分佈情形...........................................................................................................63 記錄材料在 y 方向上移動 0.2mm 時，不同光束大小，繞射光強度的分佈情形...........................................................................................................63 厚度為 8mm 的記錄材料，在不同光束大小下繞射強度與材料位移量的關係...........................................................................................................64 動態範圍量測光路圖...................................................................................65 動態範圍量測光點在旋轉台上之位置.......................................................65 位移多工光點重疊情形...............................................................................66 在 4mm 厚材料內，記錄 190 張全像的繞射效率.....................................67 在 8mm 厚材料內，記錄 120 張全像的繞射效率.....................................68 位移多工繞射圖形.......................................................................................68 在 4mm 厚材料內，記錄 190 張全像的繞射效率.........................................69 在 8mm 厚材料內，記錄 120 張全像的繞射效率.........................................69 長時間紅光讀取單一光柵繞射效率...........................................................70 類比圖形儲存光路圖...................................................................................71 厚度為 4mm 重建影像的 SNR 值與曝光時間的關係..............................72 使用 USAF 標準圖做為輸入影像及其重建影像.......................................72 重建出來的影像...........................................................................................74. viii.

(11) 符號說明 t d λ AO AR aO ( x, z ) a R ( x, z ) θO θR v k I H ( x, z ) Io V v K Λ φ ε σ v X. ε0 ε1 σ0 σ1 µ c n0 α0 n1 α1 κ β R S v ρ v. δ θB ϑ. ν. ξ. 記錄材料在 z 方向上的厚度記錄材料在 z 方向上的厚度波長物體光振幅參考光振幅物體光光場分布參考光光場分布物體光入射感光材料的角度參考光入射感光材料的角度光場的空間波向量光強度隨空間的分布平均光強度對比度空間波向量(grating vector) 光柵的空間週期空間波向量與 z 軸的夾角介電常數導電率空間向量(radius vector) 平均介電常數介電常數受調變之振幅平均導電率導電率受調變之振幅磁導率光速平均折射率平均吸收率折射率在空間上被調變的振幅吸收率在空間上被調變的振幅耦合常數平均傳播常數使用平面波之參考光經全像光柵繞射出的光場表示入射參考光的波向量表示繞射光的波向量布拉格角相位失配量材料特性跟光學架構之參數相位失配量之參數 ix.

(12) η v U (r ) v U i (r ) v U d (r ) v r v r′ v kd. k0. v ∆ε ( r ' ) (x0,y0) (x1′ , y1′ ) f z0 U 0 ( x0 , y0 ) δx ∆δ x δy ∆δ y θ′ DA M A umax N p2. 繞射效率從介質出射的光場入射介質的光場繞射光場介質外的觀測點 P，到介質中心 O 的距離介質中任一散射點 Q 與介質中心 O 的距離繞射光的空間波向量真空中的空間波向量散射介質中折射率隨空間的分佈情形影像輸入平面影像的輸出平面焦距點光源與材料的距離輸入影像 x 方向的位移量串化雜訊最小時，x 方向所需的最小位移量 y 方向的位移量串化雜訊最小時，y 方向所需的最小位移量空氣中物體光的入射角類比資訊表面儲存容量材料儲存影像時，同一個光束大小的範圍內可儲存的張數光束大小影像的最高空間頻率 CCD 圖素數. b DA M/# θ g′. CCD 圖素大小數位資訊表面儲存容量動態範圍(M number) 綠光入射材料的角度. θ r′. 紅光入射材料的角度分別為麥克生干涉儀的兩臂長. l1、l2. x.

(13) 第一章緒論 21 世紀已經來臨，資訊的需求量與日具增，資料的計算、處理速度也一日比一日快，而資訊儲存的需求更有增無減。因此，尋找一個高速、高容量的儲存方式便是現今一個重要的課題。光儲存技術從 80 年代光碟片(CD)問世後，儲存量已達 700MB。到了 90 年代，因為製作更短波長的半導體雷射技術的進步，更進一步推出了容量可高達 4.7GB 的 DVD 光碟片。不過光碟片是利用序列式儲存數位訊號，然後利用碟片旋轉來依序讀取這些數位訊號，所以馬達的轉數便限制了資訊讀取的速度。目前 DVD 光碟片 8MB/sec 的讀取速度，已無法符合今日資訊傳輸速度的需求。因此一個高速、高容量儲存方式的研發已是勢在必行的一大課題。而體積全像儲存具有高容量(100GB/inch2[1])，高傳輸速度(10GB/sec[1])的特色，正符合了此項需求。體積全像儲存系利用一道載有資訊的物體光與另一道相同波長的同調光在材料中產生干涉，利用感光材料將干涉條紋記錄下來。當要讀取資料時，只需要將參考光入射記錄材料，載有資訊的物體光便會被材料繞射出來，再利用 CCD 將繞射出的影像截取、判讀，便可以將儲存的資訊讀出。因為光學系統具有平行處理(parallel)的優點，儲存、讀取時乃是一次儲存、讀取一整頁的資訊，因此擁有快速的傳輸速度。另外，體積全像是利用不同的多工方式，譬如位移多工、角度多工、波長多工、旋轉多工、相位多工等方式，將多頁的資訊重疊的儲存在感光材料中的三維的空間，儲存維度也比傳統二維的儲存技術多了一個維度，因此擁有較大的儲存容量。雖然體積全像儲存系統擁有高傳輸速度及高容量的優點，不過需要能夠記錄干涉條紋的感光材料是目前一大課題。目前較為耳熟能詳的感光材料有光感高分子(photopolymer)、光折變晶體(photorefractive crystal)等等。光折變晶結構均勻，具有較佳的光學品質，照光後體積不改變，以及可重覆讀寫等優點，但是卻有折射率變化、敏感度都較低，且製作過程複雜費時等缺點[2]。而感光高分子具有較高的折射率變化及感光度、容易參雜不同的感光分子，且製作容易、亦可製作成任意形狀、及製作時間短等優點，不過也有均勻度及散射粒子不易控制與改善，造成較差的光學品質，和受光後體積會收縮等缺點。然而，使用摻入 PQ 分子的 PMMA 感光高分子材料，其具有可製作成塊狀，且受光後收縮量不大等優點，因此在本文中我們採用摻有 PQ 的 PMMA 高分子，簡稱 PQ:PMMA 感光高分子。選擇了 PQ:PMMA 感光高分子做為我們的記錄材料，我們將利用其容易製作成不同形狀的優點，將材料製作成碟片的形式，再利用位移多工的技術，來實現位移多工體積全像儲存系統。本文將探討感光高分子 PQ:PMMA 的製備流程，光學特性。再利用我們自行製備出的感光高分子，架設一個位移多工體積全像儲存系統，探討此儲存系統之特性。. 1.

(14) 本文的編寫次序如下：第二章：我們將以藕合波理論推導體積全像的儲存原理，並做為之後探討材料光學特性的基礎。並利用波恩近似法推導位移多工體積全像儲存的原理，做為架設位移多工體積全像儲存系統的理論依據。第三章：我們將介紹材料的製備流程、光學特性量測結果。第四章：我們利用單一光柵探討材料的繞射效率，並利用第二章體積全像的儲存原理推算材料的折射率變化。然後再利用第二章所推導出的位移多工體積全像儲存原理，架設一儲存系統，並量測此系統的系統特性。最後我們會估計儲存系統的儲存容量，並實際儲存類比影像。第五章：我們將對本文之研究工作做一總結。. 2.

(15) 第二章全像儲存原理 2.1 體積全像術原理一般而言，體積全像依記錄時，記錄光入射感光材料的方向的不同，可分為穿透式與反射式體積全像兩種。穿透式體積全像，是指記錄時兩道記錄光由感光材料的同一側入射；反射式體積全像，則是指在記錄時兩道記錄光由感光材料的兩側入射。兩種體積全像術，皆可由 Herwig Kogelnik 在 1969 年根據耦合波理論 (Coupled Wave Theory)[3]所發展出來的理論加以描述。我們從在感光材料中建立全像光柵開始推導。假設我們的感光材料在 z 方向上的厚度為 t，x、y 方向上的大小為無限大，兩道記錄光為為同調、波長為 λ、振幅分別為 AO、AR 的平面波，以 O、R 分別表示之。如圖 2.1，兩道光都在 x-z 平面上分別以θO、θR 入射感光材料。因此，可以用(2.1)、(2.2)式表示兩道記錄光的光場為： v v. aO ( x, z ) = AO e ikO ⋅r. (2.1). a R (x, z ) = AR e. (2.2). v v ik R ⋅r. x θR z θO. 圖 2.1. 記錄光柵時兩道入射光角度定義. 為了方便討論，我們假設材料內外的折射率相同，即忽略光場入射材料時角度受到折射率不同的改變。因此，兩道光在感光材料中會產生隨著空間分佈的亮暗分佈可表示為：. I H ( x , z ) = aO ( x , z ) + a R ( x , z ). 2. [(. ) ]. v v v 2 2 = AO + AR + 2 AO AR cos kO − k R ⋅ r. (. ). v v v⎫ 2A A 2 2 ⎧ = AO + AR ⎨1 + 2 O R 2 cos kO − k R ⋅ r ⎬ ⎩ AO + AR ⎭ v v ≡ I o {1 + V cos[K ⋅ r ]}. [(. 3. ) ]. (2.3).

(16) (. 2. 其中 I o ≡ AO + AR. 2. ) 為平均光強度， V ≡ A2 A+AA O. R. 2. O. 2. 為對比度，. R. v v v 2π (xˆ sin ϕ g + zˆ cosϕ g ) 為亮暗紋的空間波向量(grating vector)，Λ 為 K ≡ kO − k R ≡ Λ 亮暗分佈的空間週期，φg 為空間波向量與 z 軸的夾角，其方向及大小可以用向量圖(vector-diagram)畫出，如圖 2.2 所示。. (. ). x. v kO v kR. 圖 2.2. v K. φg. z. 兩道記錄光與干涉亮暗紋的空間波向量的向量圖. v ⎧⎪kO = k (sin θ O xˆ + cosθ O zˆ ) Q⎨v ⎪⎩k R = k (sin θ R xˆ + cosθ R zˆ ) 其中 k =. 2π. λ. (2.4). 為兩記錄光的空間波向量。所以干涉所產生的亮暗紋可表示. 為： v v I H ( x, z ) = I o {1 + V cos[K ⋅ r ]}. = I o {1 + V cos[K sin ϕ g x + K cos ϕ g z ]}. = I o {1 + V cos[k (sin θ O − sin θ R )x + k (cosθ O − cosθ R )z ]}. (2.5). 當餘弦函數為 1 時，代表為亮紋，因此我們可以得到亮紋發生的條件為：. k [(sin θ O − sin θ R )x + (cosθ O − cosθ R )z ] = 2πN , ⇒x=. (N = 0,1,2...). cosθ R − cosθ O λ z+ N sin θ O − sin θ R sin θ O − sin θ R. ≡ tanϕ z +. λ sin θ O − sin θ R. (2.6). N. 其中 φ 為亮暗紋與 z 軸的夾角。我們可以發現：. k (sin θ O − sin θ R ) K (sin θ O − sin θ R ) => tan ϕ g = (cosθ O − cosθ R ). sin ϕ g =. cos ϕ g =. k (cosθ O − cosθ R ) K (2.7). => tan ϕ g ⋅ tan ϕ = −1 4.

(17) 即，空間波向量與亮暗紋的夾角為 90°。若用θO、θR 表示 φ、φg，可得： ⎛ ⎛ θ + θO ⎞ ⎛ θ R − θO ⎞ ⎞ ⎜ − 2 sin⎜ R ⎟ sin⎜ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎟ −1 ⎛ cos θ R − cos θ O ⎞ −1 ⎜ ⎝ ⎟⎟ = tan ϕ = tan ⎜⎜ ⎜ ⎛ θO − θ R ⎞ ⎛ θ R + θO ⎞ ⎟ ⎝ sin θ O − sin θ R ⎠ ⎜ 2 sin⎜ 2 ⎟ cos⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎡ ⎛ θ + θ O ⎞⎤ θ R + θ O = tan −1 ⎢ tan⎜ R ⎟⎥ = 2 ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ π θ +θ π ϕg = ϕ + = R O + 2 2 2. (2.8). 另外，(2.7)式我們也可以計算亮暗分佈的空間週期 Λ ：. sin ϕ g =. λ sin ϕ g k (sin θO − sin θ R ) => Λ = (sin θO − sin θ R ) K. (2.9). 所以，我們可以得到在感光材料中，亮暗紋的分佈情形如圖 2.3。. v kR. v k ϕg. v kO. 圖 2.3. zˆ. 兩道記錄光在材料中干涉的情形. 亮暗紋也可以表示為：. I H ( x, z ) = I o {1 + V cos[K (sin θ O − sin θ R )x + K (cosθ O − cosθ R )z ]} = I o {1 + V cos[K (sin ϕ g x + cos g z )]}. (2.10). 因為感光材料受光後會有化學或是物理變化，使的其介電常數 ε(relative dielectric constant)或是導電率σ(conductivity)會改變，而將亮暗的變化記錄下來成為一個全像光柵。假設這些變化的程度與受光量成正比，則在感光材料的介電常數跟導電率受到調變後，光柵的空間中分佈可用介電常數與導電率來表示： v v ε = ε 0 + ε 1 cos(K ⋅ X ) (2.11.a) v v σ = σ 0 + σ 1 cos(K ⋅ X ) (2.11.b). ⎡ sin ϕ g ⎤ ⎡ x⎤ v 2π ⎢ v ⎢ ⎥ ⎥ 其中 X = y 為空間向量(radius vector)， K = 0 ⎥ 為光柵空間波向量 ⎢ ⎢ ⎥ Λ ⎢⎣cos ϕ g ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ (grating vector)， ε 0 為平均介電常數， ε 1 為介電常數受調變之振幅， σ 0 為平均導 5.

(18) 電率， σ 1 為導電率受調變之振幅。而介電常數與導電率也決定了材料的光學特性：折射率與吸收常數，其關係為：. n= ε. ，. α=. µcσ 2 ε. 其中 µ 為磁導率，c 為光速。假設介電常數與導電率在空間上的調變量都非常小，即. ε 0 >> ε 1. σ 0 >> σ 1. (2.12). 所以折射率及吸收率可表示為：. v v v v 1 ε1 cos(K ⋅ X ) n = ε = ε 0 + ε 1 cos(K ⋅ X ) ≈ ε 0 + 2 ε0 v v ≡ n0 + n1 cos(K ⋅ X ). (2.13.a). ⎛ 1 ε 1 ⎞⎟ ⎜ n0 ≡ ε 0 n1 ≡ ⎜ 2 ε 0 ⎟⎠ ⎝ v v v v µcσ µc[σ 0 + σ 1 cos(K ⋅ X )] µcσ 0 µcσ 1 cos(K ⋅ X ) α= = + v v ≈ 2 ε 2 ε 0 + ε 1 cos(K ⋅ X ) 2 ε 0 2 ε 0 v v ≡ α 0 + α1 cos(K ⋅ X ). (2.13.b). ⎛ ⎜ α 0 ≡ µcσ 0 ⎜ 2 ε0 ⎝. α1 ≡. µcσ 1 ⎞⎟ 2 ε 0 ⎟⎠. 其中 n0、α0 為平均折射率及吸收率，n1、α1 為折射率及吸收率在空間上被調變的振幅。如上所述，我們可以利用在 x-z 平面上的兩道平面波之干涉，在感光材料中寫入一個 x-z 平面上的全像光柵。當有任何偏振方向在 y 方向的光場入射感光材料中的光柵時，我們可以利用純量波函數(scalar wave equation)加以描述光在介質中傳播行為：. ∇2 E + k 2 E = 0. (2.14). 其中 E(x,z)為總電場在 y 方向以角頻率 ω 振動之複數振幅，且與 y 方向的位置無關。而 k 為複數傳播常數，可以用利用介電常數、導電率及角頻率表示為：. k2 =. ω2 c2. ε − iωµσ. (2.15). 可以看到，因為介電常數與導電率在空間上是受到調變的，所以複數傳播常數在空間上也是受到調變的。將(2.11)式代入(2.15)式可得：. 6.

(19) k = 2. = =. ω2 c2. ω2 c2. ω. ε − iωµσ. [ε. 0. )]. (. [. (. v v v v + ε 1 cos k ⋅ x − iωµ σ 0 + σ 1 cos k ⋅ x. [. ⎤ 1 ⎡ω ε 0 − iωµσ 0 + ⎢ 2 ε 1 − iωµσ 1 ⎥ e c 2⎣c ⎦ 2. 2. 2. (. vv. vv. = β 2 − 2iαβ + 2κβ e ik ⋅x + e −ik ⋅x. vv ik ⋅ x. )]. +e. vv − ik ⋅ x. ]. (2.16). ). 其中 κ 為耦合常數，定義為：. µcσ 1 ⎤ 1 ⎡ 2π ε 1 −i ⎥ 4 ⎢⎣ λ ε 0 ε 0 ⎥⎦. κ= ⎢. (2.17). β 為平均傳播常數，定義為：. β = 2π. ε0 n = 2π 0 λ λ. (2.18). λ 為光波波長。一般來說，材料的吸收都非常小，且吸收率及折射率在空間上的調變量都遠小於平均值，意即有以下之關係：. 2π. n0. λ. >> α 0. 2π. n0. λ. >> α1. n0 >> n1. (2.19). 我們將(2.13)式中的 n1 與α1 代入(2.17)式中，將耦合常數以折射率及吸收率表示，可得： 1 ⎡ 2π ε1 µcσ 1 ⎤ π ε1 µcσ 1 −i −i ⎥= 4 ⎢⎣ λ ε 0 4 ε0 ε 0 ⎥⎦ 2λ ε 0. κ= ⎢ =. π n1 α1 −i 2 λ. (2.20). 我們若令入射之平面波為參考光，以 R 表示，並用 S 表示經全像光柵所繞射出的光場，則耦合常數 κ 將描述入射參考光與繞射光之間的耦合大小。當 κ 為 0 時，入射參考光與繞射光之間的耦合大小為 0，即不會有繞射光輸出。由(2.20) 式我們可以看到，入射參考光與繞射光之間的耦合大小與折射率及吸收率在空間中的調變振幅有關。如上，為光柵中傳播常數與光柵之間的關係。我們進一步將光柵中的總電場表示如下： v v. E = R (z )e −iρ ⋅ x + S (z )e − iδ ⋅ x (2.21) v v v v v 其中 ρ 及 δ 分別表示入射參考光與繞射光的波向量。假設 ρ 、δ 及 K 符合布拉格條件(Bragg condition)，如圖(2.4a)所示，即 v v v δ =ρ−K (2.22) v v. 7.

(20) 假設入射參考光與記錄光柵時所使用的兩束光中的 AR 相同時，即 v v ρ = kR v v 可以發現， δ = kO 。以矩陣表示可得： v. ⎡ρx ⎤ ⎡ sin θ B ⎤ ⎢ ⎥ ρ = 0 = β⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ ρ z ⎦⎥ ⎣⎢cos θ B ⎦⎥. (2.23). K ⎤ ⎡ ⎢ sin θ B − β sin ϕ g ⎥ ⎡ sin θδ ⎤ ⎡δ x ⎤ v ⎥ 0 δ = ⎢ 0 ⎥ = β ⎢ 0 ⎥ = β ⎢⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢cos θ B − K cos ϕ g ⎥ ⎢⎣cos θδ ⎥⎦ ⎢⎣δ z ⎥⎦ β ⎥⎦ ⎢⎣. (2.24). => sin θ δ = sin θ B − =>. K. β. sin ϕ g. 1 K (sin θ B − sin θσ ) = 2 β 2 sin ϕ g =. 1 [sin θ B − sin(ϕ g − θ B − π )] 2 sin ϕ g v v v v (Q ρ = k R , δ = kO => θ B = θ R ,θσ = θ O => ϕ g =. θ R + θO 2. +. π. 2. =. θ B + θσ 2. +. π 2. ). =. 1 [sin θ B + sin(ϕ g − θ B )] 2 sin ϕ g. =. 1 [sin θ B + 2 sin ϕ g cosϕ g cosθ B − sin θ B cos 2ϕ g ] 2 sin ϕ g. = cos ϕ g cosθ B + sin ϕ g sin θ B = cos(ϕ g − θ )θ B => cos(ϕ g − θ B ) =. K 2β. (2.25). v. v. δ β. v. ρ. δ v K. β. v K ρ′ v. v. ρ. (b)接近布拉格條件. (a)符合布拉格條件圖 2.4 向量圖 8.

(21) (2.22)、(2.25)分別為入射參考光、繞射光及光柵空間波向量之間的布拉格條件，即入射參考光與繞射光之間的波向量差，必須等於光柵的空間波向量。但是當入射參考光因為波長或入射角度不符合布拉格條件時，會引進一個相位失配量 (dephasing)。譬如說入射參考光的波長符合布拉格條件，但是入射角度與布拉格條件有些微的偏差，即. θ = θ B + ∆θ. (2.26). 或是說，雖然入射參考光的入射角度符合布拉格條件，但是波長有些微的偏差，即：. λ = λB + ∆λ. (2.27). 事實上，角度的偏差與波長的偏差，對繞射光的強度有等效的影響。假設入射參考光偏離布拉格條件並不多，即 ∆θ << θ B. ∆λ << λB. (2.28). 那麼我們可以從(2.25)式得到兩者之間的關係：. cos(ϕ g − θ ) =. K 2β. => cos(ϕ g − θ B − ∆θ ) =. K λ B + ∆λ 2 2πn0. => cos(ϕ g − θ B )cos(∆θ ) + sin (ϕ g − θ B )sin(∆θ ) = => cos(ϕ g − θ B ) + sin (ϕ g − θ B )∆θ ≈ =>. K K ∆λ + 2 β 2 2πn0. K K ∆λ + 2 β 2 2πn0. 1 ∆θ K = ∆λ 4πn0 sin (ϕ g − θ B ). (2.29). 如圖(2.4b)所示，當入射參考光入射角度不符合布拉格條件時，繞射光波向量長度就不再是 β，因此我們可以定義相位失配量 ϑ 為：. ϑ≡. β 2 −δ 2 2β. (2.30). 此時(2.23)與(2.24)式中的 θ B 因為不符合布拉格條件的關係， θ B 用任意入射角 θ 代替，再分別將(2.24)、(2.25)、(2.26)、(2.27)代入(2.30)式： ⎞ ⎛ ⎞ K K β2 −δ 2 β2 ⎡ ⎛ = ϑ≡ ⎢1 − ⎜⎜ sin θ − sin ϕ g ⎟⎟ − ⎜⎜ cosθ − cos ϕ g ⎟⎟ 2β 2 β ⎢⎣ ⎝ β β ⎠ ⎝ ⎠ 2. 9. 2. ⎤ ⎥ ⎥⎦.

(22) ϑ=. β⎡. (. ). (. K2 2 2 − + − θ θ 1 sin cos sin 2 ϕ g + cos 2 ϕ g ⎢ β2 2⎣ +2. K. β. (sin θ sin ϕ. g. ). ⎤ + cos θ cos ϕ g )⎥ ⎦. K2 K2 = K cos(ϕ g − θ ) − = K cos(ϕ g − θ ) − λ 2β 4πn0 = K cos(ϕ g − θ B − ∆θ ) −. K2 (λB + ∆λ ) 4π n0. [. ]. = K cos(ϕ g − θ B )cos(∆θ ) + sin (ϕ g − θ B )sin (∆θ ) − ≈ Kcos(ϕ g − θ B ) −. K2 K2 λB − ∆λ 4π n0 4π n0. K2 K2 λB + Ksin (ϕ g − θ B )∆θ − ∆λ 4π n0 4π n0. ϑ = Ksin (ϕ g − θ B )∆θ −. K2 ∆λ 4π n0. (2.31). 可以看到，相位失配量 ϑ 與入射參考光入射的角度及波長與布拉格條件所給定的入射角度及波長的偏差值有關，而相位失配量 ϑ 會使繞射光產生改變。有了入射參考光與繞射光，以及光柵空間波向量之間的關係之後，我們將(2.21)式代入(2.14)式： vv v v ⎧ ∂E − iρ ⋅ x − iδ ⋅ x ( ) ( ) = − − ρ δ i R z e i S z e x x ⎪⎪ ∂x ⎨ vv v v ⎪ ∂E = [− iρ R( z ) + R′( z )]e −iρ ⋅ x + [− iδ S ( z ) + S ′( z )]e −iδ ⋅ x z z ⎪⎩ ∂z v v v v ⎧∂2E 2 − iρ ⋅ x − δ x2 S ( z )e −iρ ⋅x ⎪ 2 = − ρ x R( z )e ⎪ ∂x v v ⎪∂2E => ⎨ 2 = − ρ z2 R( z ) − 2iρ z R′( z ) + R′′(z ) e −iρ ⋅ x ⎪ ∂z vv ⎪ + − δ z2 R(z ) − 2iδ z S ′( z ) + S ′′(z ) e −iδ ⋅ x ⎪ ⎩. [. ] ]. [. 10.

(23) => ∇ 2 E + k 2 E = − ρ x2 R( z )e − iρ ⋅ x − δ x2 S ( z )e − iρ ⋅ x v v. [ + [− δ. v v. ] S ( z ) − 2iδ S ′(z ) + S ′′( z )]e. + − ρ z2 R( z ) − 2iρ z R′( z ) + R′′( z ) e − iρ ⋅ x. [. [. 2 z. z. (. v v. v v. v v. v v − iδ ⋅ x. )][. v v. + β − 2iαβ + 2κβ eik ⋅ x + e − ik ⋅ x R( z )e − iρ ⋅ x + S ( z )e − iδ ⋅ x 2. ( S ( z ) + (β. v v. ) ] − 2iαβ )S ( z )]e. = R′′( z ) − 2iρ z R′( z ) − ρ z2 R( z ) − ρ x2 R( z ) + β 2 − 2iαβ R( z ) e. [. + S ′′( z ) − 2iδ z S ′( z ) − δ z2 S ( z ) − δ x2 v v v. v v v. 2. v v v. v v − iρ ⋅ x. ]. v v − iδ ⋅ x v v v. + 2κβR( z )ei (k − ρ )⋅ x + 2κβS ( z )ei (k −δ )⋅ x + 2κβR( z )e − i (k + ρ )⋅ x + 2κβS ( z )e − i (k +δ )⋅ x. =0. (2.32). 由(2.22)式可得： v v v v v v K − ρ = −δ K +δ = ρ. (2.33). 假設大部份的繞射光都繞射到符合布拉格條件的方向上，所以將(2.32)式中 v v v v 的 K − δ 跟 K + ρ 兩個方向的繞射光忽略掉，並將(2.33)式及(2.23)、(2.24)式代入 (2.32)得：. [R ′′(z ) − 2iρ z R′(z ) − 2iαβR(z ) + 2κβS (z )]e −iρ ⋅x vv 2 + [S ′′(z ) − 2iδ z S ′(z ) + (β 2 − δ 2 )S (z ) − 2iαβS (z ) + 2κβR (z )]e −iδ ⋅x v v. =0. ( 2.34). 假設入射參考光與繞射光之間的能量耦合速度很慢，且能量被吸收的速率也很慢，所以忽略(2.34)式中的二階微分項，並將(2.30)式的相位失配量代入(2.34) 式得：. [− 2iρ z R ′(z ) − 2iαβR(z ) + 2κβS (z )]e −iρ ⋅x vv 2 + [− 2iδ z S ′(z ) + 2 βϑS (z ) − 2iαβS (z ) + 2κβR (z )]e −iδ ⋅x v v. =0. ( 2.35) v v. vv. (2.35)式成立的條件為兩個振盪項 e − iρ ⋅x e − iδ ⋅x 的系數皆為 0，並且由(2.23)、 (2.24)式，當參考光以任意角度 θ 入射時，分別定義 CR、CS：. ρz ⎧ C = = cos θ R ⎪⎪ β ⎨ ⎪CS = δ z = cos θ − K cos ϕ g ⎪⎩ β β. (2.36). 我們可以由(2.35)式得到一個耦合波方程組： ⎧C R R ′(z ) + αR (z ) = −iκS (z ) ⎨ ⎩CS S ′(z ) + (α + iϑ )R (z ) = −iκR (z ). (2.37). 由上式，我們可以看到因為 κ 的存在，使得入射參考光與繞射光之間產生耦合效應。而吸收常數 α 則造成入射參考光與繞射光的振幅隨著 z 軸改變。由(2.37) 11.

(24) 式之耦合波方程組及體積全像光柵的邊界條件，我們可以解得光波的繞射性質。我們假設(2.37)式的解為：. ⎧⎪ R (z ) = r1e γ 1z + r2 e γ 2 z ⎨ ⎪⎩ S (z ) = s1e γ 1z + s2 e γ 2 z. (2.38.a) (2.38.b). 將(2.38)式代(2.37)式，可得： ⎧⎪(C Rγ 1r1 + αr1 )eγ 1z + (C Rγ 2 r2 + αr2 )eγ 2 z = −iκs1eγ 1z − iκs2 eγ 2 z ⎨ ⎪⎩[C S γ 1 s1 + (α + iϑ )s1 ]e γ 1z + [C S γ 2 s2 + (α + iϑ )s2 ]e γ 2 z = − jκr1e γ 1z − iκr2 e γ 2 z (2.39.a) ⎧C Rγ i ri + αri = −iκsi => ⎨ (2.39.b) ⎩C S γ i si + (α + iϑ )si = −iκri. 將(2.39.a)與(2.39.b)兩式相乘可得：. (CRγ i + α )[CSγ i + (α + iϑ )] = −κ 2 2 ⇒ CRCSγ i + [α (CS + CR ) + iϑCR ]γ i + α (α + iϑ ) + κ 2 = 0 2 − [α (CS + CR ) + iϑCR ] ± [α (CS + CR ) + iϑCR ] − 4CRCS [α (α + iϑ ) + κ 2 ]. ⇒ γi =. 2CRCS. (2.40). [. ]. 將(2.40)式中的 [α (CS + C R ) + iϑCR ] − 4CRCS α (α + iϑ ) + κ 2 化簡為： 2. [α (C S + C R ) + iϑC R ]2 − 4C R C S [α (α + iϑ ) + κ 2 ] 2 2 = α 2 (C S + C R ) − C R ϑ 2 + i 2αϑC R (C S + C R ) − 4α 2C R C S − i 4αC R C Sϑ − 4C R C S κ 2 = α 2 (C S − C R ) − C R ϑ 2 − i 2αϑC R (C S + C R ) − 4C R C S κ 2 2. 2. = [α (C S − C R ) − iϑC R ] − 4C R C S κ 2 2. (2.41). 將(2.41)式代入(2.40)式，可得： γi =. − [α (C S + C R ) + iϑC R ] ±. [α (C S + C R ) + iϑC R ]2 − 4C R C S [α (α + iϑ ) + κ 2 ] 2C R C S. =− ±. 1 [α (C S + C R ) + jϑC R ] 2C R C S 1 2C R C S. [α (C S + C R ) + iϑC R ]2 − 4C R C S [α (α + iϑ ) + κ 2 ]. [. α ϑ ⎤ 1 1⎡ α 1 [α (C S − C R ) − iϑC R ]2 − 4C R C S κ 2 =− ⎢ + +i ⎥± C S ⎦ 2 C R 2CS 2 2 ⎣ CR CS 1⎡ α α ϑ ⎤ 1 =− ⎢ + +i ⎥± CS ⎦ 2 2 ⎣ CR CS. ]. 2. ⎛α α ϑ ⎞ κ2 ⎟⎟ − 4 ⎜⎜ − −i CS ⎠ CRCS ⎝ CR CS 12. (2.42).

(25) 假設入射參考光都是由 z = 0 往+z 方向傳播。考慮穿透式全像片，繞射光也是往+z 方向傳播，因此 CS>0。加上邊介條件：. R(0)=1. S(0)=0. (2.43). 將邊介條件代入(2.38)式，可得： ⎧r1 + r2 = 1 ⎨ ⎩ s1 + s2 = 0. (2.44). 將(2.39.a)與(2.39.b)兩式相加，並代入(2.44)之條件： C S (γ 1 s1 + γ 2 s2 ) + (s1 + s2 )(α + iϑ ) = −iκ (r1 + r2 ). (2.45). => C S (γ 1 s1 + γ 2 s2 ) = −iκ => s1 = - s2 = −. iκ C S (γ 1 − γ 2 ). (2.46). 將(2.46)式代入(2.38.b)式，可得：. S (d ) = i. κ. CS (γ 1 − γ 2. (e ). γ 2d. − eγ 1d. ). (2.47). (2.47)式即為穿透式全像片的通解。若考慮反射式全像片，繞射光則是往-z 方向傳播，因此 CS<0。加上邊介條件：. R(0)=1. S(d)=0. (2.48). 將邊介條件代入(2.37)式，可得： ⎧r1 + r2 = 1 ⎨ γ 1d γ 2d ⎩ s1e + s2 e = 0. (2.49.a) (2.49.b). 由(2.49.b)式，我們可得：. ( (. ) ). ⎧⎪ s1 e γ 2d − e γ 1d = (s1 + s2 ) e γ 2d ⎨ ⎪⎩ s2 e γ 2d − e γ 1d = −(s1 + s2 ) e γ 1d. (2.50.a) (2.50.b). 將(2.49.a)、(2.50)式代入(2.45)式： CS (γ 1s1 + γ 2 s2 ) + (s1 + s2 )(α + iϑ ) = −iκ (r1 + r2 ). => CS (γ 1s1 + γ 2 s2 ) + (s1 + s2 )(α + iϑ ) = −iκ. (. ). − CS γ 2 (s1 + s2 ) eγ 1d eγ 2 d − eγ 1d. (. ). − C S γ 2 eγ 1 d eγ 2 d − eγ 1 d. => CS γ 1 (s1 + s2 ) eγ 2 d eγ 2 d − eγ 1d + (s1 + s2 )(α + iϑ ) = −iκ. [. => (s1 + s2 ) CS γ 1eγ 2 d eγ 2 d − eγ 1d. −1. −1. (. (. 13. ). −1. ) + (α + iϑ )] = −iκ −1.

(26) [. (. => (s1 + s2 ) = −iκ CS γ 1eγ 2 d eγ 2 d − eγ 1d. ). (. −1. − C S γ 2 eγ 1 d e γ 2 d − eγ 1 d. − iκ γ 1eγ 2 d − γ 2eγ 1d (α + iϑ ) + CS γ 2 d γ 1d e −e − iκ => S (0 ) = γ 2d γ 1d (α + iϑ ) + CS γ 1e γ 2 d − γ γ21ed e −e. ) + (α + iϑ )]. −1. −1. =. (2.51). (2.51)式即為反射式全像片的通解。因為本文所使用的材料為感光高分子，其在受光後會有折射率的變化，而穿透率並沒有明顯的下降(見第三章穿透光譜之量測)，因此在此只考慮相位光柵。又在實驗上，若使用反射式光柵，在對稱系統下，即θO = -θR，會發現繞射光與反射光將會重疊，需要再多一個分光鏡才能將兩者分開，較為麻煩，所以我們只討論穿透式全像片。因此，我們只針對穿透式相位全像片加以討論。因此令 (2.20)、(2.42)式中的 α = α1 = 0 ，並將(2.42)式代入(2.47)式：. S (d ) = i. κ. C S (γ 1 − γ 2. (e ). γ 2d. − e γ 1d. κ. = −i. ϑ2. CS. C S2. +. κ. =i CS. 4C S2. +. ϑd 2 CS. ⎛ 1 ϑ2 4κ 2 ⎞⎟ d ⋅ 2 sin⎜ + ⎜ 2 C S2 C R C S ⎟ ⎠ ⎝. −i. ϑd 2 CS. e. ⎛ ϑ 2d 2 κ 2d 2 ⋅ sin⎜ + ⎜ 4C S2 C R C S ⎝. κ2. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. CRCS. κ. S (d ) = −i. ≡ −i. ϑ2. −i. e. 4κ 2 CRCS. ). −i. CS ϑ2 κ 1+ 2 CR 4C S. κ2. e. ϑd 2 CS. ⎛ ϑ 2d 2 κ 2d 2 ⋅ sin⎜ + ⎜ 4C S2 C R C S ⎝. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. CRCS. (. C R −iξ sin ν 2 + ξ 2 e CS ξ2 1+ 2. ). (2.52). ν. 其中. ν≡ ξ≡. κd CRCS. ϑd 2C S. =. =. πn1d λ CRCS. Kdsin (ϕ g − θ B ) 2C S. K 2d ∆θ − ∆λ 8π nC S. (2.53). ν 為材料特性跟光學架構之參數， ξ 則為相位失配量之參數。我們定義繞射 14.

(27) 效率η ≡. CS CR. SS ∗ 。因此穿透式體積全像相位光柵的繞射效率為：. ⎡ ⎢ sin ν 2 + ξ 2 η=⎢ ⎢ ξ2 1+ 2 ⎢ ν ⎣. (. ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦. ). 2. (2.54). 可以看到，繞射效率和相位失配量的關係為一個 sinc 函數，隨著相位失配量ϑ增加，繞射效率會很快的衰減下來。當符合布拉格條件時，相位失配量ϑ為零，此時繞射效率有最大值：. η = sin 2 ν. (2.55). 此時，因為符合布拉條件，所以稱之為布拉格繞射。假設讀取時的入射參考光，與在記錄時的平面波 AR 相同，且在記錄時所使用的系統為對稱系統，即θ≡θS. =θO=-θR，此時 ϕ g =. π. 2. ，則(2.55)式可改為：. ⎛ π n1d ⎝ λ cos θ S. η = sin 2 ν = sin 2 ⎜⎜. ⎞ ⎟⎟ ⎠. (2.56). 由(2.54)式我們可以得到，當相位失配量大到某個值時，繞射效率將會衰減至幾乎為零。因此，不管是透過改變入射角度或是改變波長的方式，我們只要想辦法使入射參考光不符合布拉格條件，那麼我們便可以在同一個位置儲存多個光柵，而不會互相產生串化雜訊(cross talk)，而兩個相鄰記錄之光柵之間所要需要的相位失配量的大小，則可以由(2.54)式給定。利用這個原理，我們便可以做到多工儲存系統。不過在本文中，我們將不使用兩個平面波所產生的全像光柵做為我們的多工儲存系統。而是由(2.56)式，利用量測材料穿透式體積全像的繞射效率大小、兩道記錄光之間的夾角、材料的厚度、波長等等參數，反推我們的材料的折射率變化大小 n1：. n1 =. λ cos θ S −1 sin η πd. (2.57). 而(2.54)式所給定的相位失配量之條件，則給定了實驗上對角度準確度之要求，此部份在第四章再詳細說明。不過必須注意的是，截至目前為止，我們都是假設材料的平均折射率與空氣相同，也就是沒有考慮光進入材料時的折射現象。若將折射現象考慮進來，則前面所考慮的角度都是指材料內部的角度，所以令材料外部的角度為 θ S′ 的話，則(2.57)式需要修正為：. n1 =. λ 1 1 − 2 sin 2 θ S′ sin −1 η πd n. (2.58). 0. 因此，由(2.58)便可以由繞射效率反推折射率的變化大小。 15.

(28) 2.2 位移多工資訊記錄原理在 2.1 節中，我們推導出利用兩平面波記錄的全像光柵繞射效率，也看到了利用兩平面波如何做到在材料的同一個地方，記錄多個全像光柵的多工方式。不過在這節中，我們將介紹使用球面波與平面波來記錄的位移多工全像儲存方式。使用球面波與平面波最大的不同是，當平面波入射材料表面時，平面波對於材料的表面具有空間對稱性，也就是說不管材料如何位移，只要材料沒有轉動，則在光束大小內所看到的平面波都是相同的。反觀球面波，有一個空間對稱的中心–圓心，當材料移動時，圓心相對於材料的位置便移動了。因此，使用球面波做為參考光的話，我們便可以利用移動材料與參考光的相對位置，來做到多工儲存，我們稱之為位移多工。在本節中，我們將推導出位移多工儲存系統的位移選擇性。不過我們將不用 2.1 節中的藕合波理論(Coupled Wave Theory)來推導，僅使用 1926 年波恩所建立的純量繞射近似(Born Scalar diffraction Approximation)，簡稱為波恩近似法(Born Approximation)[4]。此近似法是描述當光場入射一不均勻介質時，光波繞射的現象。不過此近似法是假設繞射光波的光強度遠小於入射光波的光強度，所以總繞射光波的分佈為入射光在材料不同地方的繞射光波的疊加，意即假設繞射光波不會減弱入射光，且不考慮繞射光波的二次繞射。其數學形式如下： 2. vv. v v k e jk r U ( r ) ≈ U i (r ) + 0 4π r 2. v − jkvd ⋅rv ' v 3 ′)e ( d r ' U r ∆ε ( r ' ) i ∫. (2.59). vv. v k e jk r v − jkvd ⋅rv ' v 3 ′)e ( U d (r ) ≡ 0 d r ' U r ∆ε ( r ' ) (2.60) i ∫ 4π r v v v 其中 U (r ) 為從介質出射的光場；U i (r ) 為入射介質的光場；U d (r ) 為繞射光 v v 場； r 為介質外的觀測點 P，到介質中心 O 的距離； r ′ 為介質中任一散射點 Q 與 v. 介質中心 O 的距離； kd 為繞射光的空間波向量； k = ω 為散射介質中的空間波向 v. c v 2 π 量； k0 = 為真空中的空間波向量； ∆ε ( r ' ) 為散射介質中折射率隨空間的分佈情. λ0. 形，作標定義如圖 2.4 所示。其物理意義為，從介質出射的光場等於入射光場(第一項)與散射光場(第二項)的總合。其中第二項散射光場的積分，是將散射介質中的每一點均視為一球面波，因此在散射介質遠處某處觀察到的散射光，等於將這些球面波從散射介質中心發散出來的疊加。 v v r′ − r. Q v r′. v r = rkˆd. O 圖 2.4. 散射介質空間作標定義 16. P.

(29) 因為我們是利用感光材料將兩道記錄光的干涉紋記錄下來，所以若我們令物光為 O(x,z)，記錄參考光為 R(x,z)，並假設折射率變化與曝光量成正比，則我們可以得到折射率變化與記錄光的關係為：. v v v ∆ε ( r ' ) ∝ R (r ′) * S ∗ (r ′). (2.61). 現在，我們將使用波恩近似法推導位移多工全像儲存系統的位移選擇性[5]。圖 2.5 為我們位移多工全像光柵的系統示意圖，為了方便討論，我們一樣先假設材料內外的折射率相同，即忽略光入射材料時角度受到折射率不同的改變。. δx δy. x. y(. f. xo. f. y1′. f. x′0. f. x1′. z′0. y′0 ). z1′. x1. θ O. yo. z. y1. 參考光. z0. 物體光. t 圖 2.5. 位移多工全像儲存系統示意圖. 圖 2.5 中的(x0,y0)為影像輸入平面， ( x1′ , y1′ ) 為影像的輸出平面，兩者關係為使用兩個焦距同為 f 的透鏡所構成的 4f 系統成像，且此 4f 系統的共焦點在材料中心處，此成像系統即為我們的物體光。另外，點 O 為距離材料 z0 的點光源，發射出一球面波自材料另一面入射材料，為我們的參考光。假設儲存影像時，輸入影像為 U 0 ( x0 , y0 )，則物體光在材料內部的光場分佈，恰為輸入影像的富氏轉換：. e jkf object = jλf e jkf = jλf. ∫∫ dx dy U (x , y )e 0. 0. 0. 0. −j. 0. ∫∫ dx dy U (x , y )e 0. 0. 0. 0. 2 π x0 x0′ λ f. −j. −j. e. 2π y 0 y0′ λ f. −j. e. x2 y2 2π ⎛ ⎜ 1− 0 − 0 λ ⎜⎝ 2 f 2 2 f 2. 2π x 0 ( − z sin θ + x cosθ ) − j 2π y0 y λ f λ f. e. 0. −j. e. ⎞ ⎟ z0′ ⎟ ⎠. x2 y2 2π ⎛ ⎜ 1− 0 − 0 λ ⎜⎝ 2 f 2 2 f 2. ⎞ ⎟ ( z cosθ + x sin θ ) ⎟ ⎠. (2.62) 另外，我們也做了一次作標轉換，將 ( x 0′ , y 0′ , z 0′ ) 用(x,y,z)作標加以表示，即 ⎧ x0′ = − z sin θ + x cos θ ⎪ ⎨ y 0′ = y ⎪ z ′ = z cos θ + x sin θ ⎩ 0. (2.63). 17.

(30) 而參考光的球面波，我們則可以表示為： − j 2π 1 R= e − jλ (z − z 0 ). z − z0. λ. − jπ. e. x2 + y2 λ ( z − z0 ). (2.64). 因此，材料中的折射率分佈可以表示為： v v v ∆ε ( r ' ) ∝ R (r ′) * S ∗ (r ′) e jkf = jλf. ∫∫ dx dy U (x , y )e 0. 0. 0. 0. j 2π 1 e × jλ (z − z0 ). z − z0. λ. 0. jπ. e. −j. 2π ⎛ x2 y2 2π x0 ( − z sinθ + x cosθ ) − j 2π y0 y − j λ ⎜⎜ 1− 0 2 − 0 2 λ f λ f ⎝ 2f 2f. e. e. ⎞ ⎟ ( z cosθ + x sinθ ) ⎟ ⎠. x2 + y 2. λ ( z − z0 ). (2.65). 如此，我們便將物體光與參考光的干涉訊息，記錄在材料內部了。重建時，我們用與 R 相同的球面波 I 入射，並令繞射光波的方向為： ⎡ 2π x ⎤ ⎡ 2π x1′ ⎤ x1′2 y1′2 ⎞ 2π ⎛ 1 ⎜ ⎟ sinθ ⎥ + − − cos 1 θ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎟ 2 ⎜ 2f ⎠ λ ⎝ 2f ⎢λ f ⎥ ⎢λ f ⎥ ⎥ ⎢ 2π y ′ ⎥ v ⎢ 2π y1 1 kd = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢λ f ⎥ ⎢λ f ⎥ ⎢ 2π ⎛ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 2 2 ′ ′ ⎞ ⎞ ′ ⎛ ⎢ ⎜1 − x1 2 − y1 2 ⎟⎥ ⎢− 2π x sinθ + 2π ⎜1 − x1 2 − y1 2 ⎟ cosθ ⎥ 2 f ⎟⎠⎥⎦ ⎢⎣ λ f λ ⎜⎝ 2 f 2 f ⎟⎠ ⎢⎣ λ ⎜⎝ 2 f ⎥⎦. (2.66). 同樣的，我們再次使用了作標轉換，將(x1,y1,z1)作標用 (x1′ , y1′ , z1′ ) 作標加以表示。不過重建時，參考光 I 可以往 x、y 方向分別移動，所以分別推導他們的位移選擇性： 1、x 方向當重建參考光沿著 x 方向有個位移量 δx 時，我們可以將重建參考光表示為： − j 2π 1 I= e − jλ (z − z0 ). z − z0. λ. − jπ. e. ( x −δ x )2 + y 2 λ ( z − z0 ). − j 2π 1 e = − jλ (z − z 0 ). z − z0. λ. − jπ. e. x 2 − 2 xδ x +δ x2 + y 2 λ ( z − z0 ). (2.67). 將(2.65)、(2.66)、(2.67)式代入(2.60)：. ⎧⎪ − j 2π z − z0 − jπ x λ ′ ′ U d ( x1 , y1 ) ∝ ∫ d r ⎨e e ⎪⎩ 3. ×e. 2. − 2 xδ x +δ x2 + y 2 λ ( z − z0 ). e. ⎡ 2π x1′ x′ 2 y′2 2π ⎛ − j⎢ cosθ + ⎜⎜ 1− 1 2 − 1 2 λ ⎝ 2f 2f ⎢⎣ λ f. ⎡ 2π x ′ x1′ 2 y1′ 2 2π ⎛⎜ ⎡ 2π y1′ ⎤ − j⎢ ⎥ y − j ⎢ − λ f sin θ + λ ⎜ 1− 2 f 2 − 2 f 2 ⎢ λ f ⎝ ⎣ ⎦ ⎣. e. × ∫∫ dx0 dy0U 0 (x0 , y0 )e. −j. ⎤ ⎞ ⎟ cosθ ⎥ z ⎟ ⎥⎦ ⎠. 2 π x0 ( − z sin θ + x cosθ ) − j 2π y0 λ f λ f. e. 18. e. −j. e. j 2π. z − z0. λ. jπ. e. ⎤ ⎞ ⎟ sin θ ⎥ x ⎟ ⎥⎦ ⎠. x2 + y2. λ ( z − z0 ). y2 2π ⎛⎜ 1− 2 − 0 2 ⎜ λ ⎝ 2f 2f x02. ⎞ ⎟ ( z cosθ + x sin θ ) ⎟ ⎠. ⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭.

(31) U d ( x 1′ , y 1′ ) ≈. ∫∫ dx. 0. dy 0 U 0 ( x 0 , y 0 )∫ dx e × ∫ dy e. =. ∫∫. ⎛ x ⎞ − j⎢ dx 0 dy 0 U 0 ( x 0 , y 0 ) ∫ dx rect ⎜ ⎟ e ⎣⎢ ⎝a⎠ −∞. λ. f. cos θ +. 2 π x 02 − x1′ 2 + y 02 − y 1′ 2. λ. 2f. 2. sin θ +. 2π δ x ⎤ ⎥x λ z 0 ⎦⎥. ⎡ 2 π x1′ + x 0 ⎤ 2 π x 02 − x1′ 2 + y 02 − y 1′ 2 sin θ + cos θ ⎥ z λ λ f 2f2 ⎥⎦. ⎡ 2 π y 1′ + y 0 ⎤ ∞ ⎥y λ f ⎦. ⎛ y ⎞ − j⎢ × ∫ dy rect ⎜ ⎟ e ⎣ ⎝b⎠ −∞. ∫∫. ∫ dz e. ⎡ 2 π x1′ + x 0 ⎤ 2 π x 02 − x1′ 2 + y 02 − y 1′ 2 sin θ + cos θ ⎥ z − j ⎢− λ f 2f2 ⎥⎦ ⎣⎢ λ. ⎡ 2 π x1′ + x 0. ∞. ∞. ≈. ⎡ 2 π y 1′ + y 0 ⎤ − j⎢ ⎥y f ⎦ ⎣ λ. ⎡ 2 π x1′ + x 0 2 π x 02 − x1′ 2 + y 02 − y 1′ 2 2π δ x ⎤ cos θ + sin θ + − j⎢ ⎥x λ λ f λ z 0 ⎦⎥ 2f2 ⎣⎢. ⎛ z ⎞ − j ⎢⎣⎢ − dz rect ⎜ ⎟e ∫ ⎝t ⎠ −∞. ⎧⎪ ⎡ x ′ + x 0 x 2 − x 1′ 2 + y 02 − y 1′ 2 δ x ⎤ ⎫⎪ dx 0 dy 0 U 0 ( x 0 , y 0 )a ⋅ b ⋅ t sinc ⎨ a ⎢ 1 θ + cos θ + 0 sin ⎥⎬ λ z 0 ⎦ ⎪⎭ 2λf 2 ⎪⎩ ⎣ λ f ⎧⎪ ⎡ x 1′ + x 0 ⎤ ⎫⎪ ⎧ ⎡ y ′ + y0 ⎤⎫ x 02 − x 1′ 2 + y 02 − y 1′ 2 + sinc t sin θ cos θ ⎥ ⎬ − × sinc ⎨ b ⎢ 1 ⎨ ⎢ ⎥⎬ 2 λf 2λf ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎪⎭ ⎩ ⎣ λf ⎦⎭. (2.68) 假設物體光的空間頻率很小，所以聚焦在材料中心時，聚焦點大小遠小於材料在 x、y 方向的寬度，所以(2.68)式中 x、y 方向的 sinc 函數可以用 δ 1 ⎛ ⎞ 函數代替，並假設為近軸近似，即 (sin θ << 1) 、 ⎜ cos θ ≈ 1 − sin 2 θ ⎟ ，因此 2 ⎝ ⎠ (2.68)式可以簡化為： ⎧ ⎡ x ′ + x0 x 2 − x1′2 + y 02 − y1′2 δ ⎤⎫ U d ( x1′ , y1′ ) ≈ ∫∫ dx 0 dy 0U 0 ( x 0 , y 0 )abt δ ⎨a ⎢ 1 cosθ + 0 sin θ + x ⎥ ⎬ 2 λz 0 ⎦ ⎭ 2 λf ⎩ ⎣ λf ⎧ ⎡ x1′ + x 0 ⎧ ⎡ y ′ + y0 ⎤ ⎫ ⎤⎫ x 02 − x1′ 2 + y 02 − y1′2 − + θ sinc t sin cosθ ⎥ ⎬ × δ ⎨b ⎢ 1 ⎬ ⎨⎢ 2 ⎥ λf 2 λf ⎦⎭ ⎩ ⎣ λf ⎦ ⎭ ⎩⎣ ⎧⎪ ⎡ δ ⎞ ⎛ f ≈ U 0 ⎜⎜ − x1′ − δ x ,− y1′ ⎟⎟ ⋅ sinc⎨t ⎢ x z0 ⎪⎩ ⎣ λz 0 ⎠ ⎝. x′ ⎛ ⎞⎤ ⎪⎫ ⎜⎜ sin θ + 1 cosθ ⎟⎟⎥ ⎬ f ⎝ ⎠⎦ ⎪⎭. ( 2.69). 可以看到，當位移量 δx= 0 時，即重建參考光 I≡R 時，繞射光場完全等於輸入光場。但是若位移量 δx≠0 時，可以看到繞射光場的振幅會隨著 δx 呈 f sinc 函數的變化，而且在 x 方向有 δ x 的偏移量。若我們將光場振幅平方， z0 則可以得到繞射影像的強度隨著 δx 呈 sinc 函數的平方變化。當 sinc 函數內的值為整數時，sinc 函數為零，若只考慮入射影像的中心，即 x1′ = 0 ，則：. tδ x sin θ = m λz 0 => δ x = m. λz 0 t sin θ. (2.70). 其中 m 為任易整數。當位移量 δx 符合(2.70)式時，sinc 函數為 0，意即繞射強度為 0。所以，假如我們在記錄時，將參考光移動量 δx 符合(2.70)式的話，則相鄰兩頁的影像彼此的串化雜訊(cross talk)可降至最低。因此，我 19.

(32) 們可以利用此原理在 x 方向上做到位移多工儲存系統。我們再加以定義 x 方向的位移選擇性 ∆δ x 為串化雜訊最小時，所需的最小位移量，則. ∆δ x =. λz 0 t sin θ. (2.71). 2、 y 方向同樣的，當重建參考光往 y 方向有個位移量 δy 時，我們可以將重建參考光表示為： − j 2π 1 I= e − jλ (z − z0 ). z − z0. λ. − jπ. (. x 2 + y −δ y. e. λ ( z − z0 ). )2. − j 2π 1 = e − jλ (z − z0 ). z − z0. λ. − jπ. e. x 2 + y 2 − 2 yδ y +δ y2. λ ( z − z0 ). (2.72) 將(2.65)、(2.66)、(2.72)式代入(2.60)：. ⎧ − j 2 π z − z 0 − jπ x ⎪ λ U d ( x1′ , y1′ ) ∝ ∫ d r ⎨e e ⎪⎩. 2. 3. ×e. λ ( z − z0 ). e. ⎡ 2π x1′ 2 π ⎛ x′ 2 y ′ 2 cosθ + ⎜⎜ 1− 1 2 − 1 2 − j⎢ λ ⎝ 2f 2f ⎢⎣ λ f. ⎡ 2 π x′ 2π ⎛⎜ x1′2 y1′2 ⎡ 2π y1′ ⎤ − j⎢ ⎥ y − j ⎢ − λ f sin θ + λ ⎜ 1− 2 f 2 − 2 f 2 ⎢⎣ ⎝ ⎣ λ f ⎦. e. ∫∫ dx dy U (x , y )e 0. + y 2 − 2 yδ y +δ y2. 0. 0. 0. ≈ ∫∫ dx0 dy0U 0 ( x0 , y0 )∫ dxe. −j. ⎤ ⎞ ⎟ cosθ ⎥ z ⎟ ⎠ ⎦⎥. e. 2π x0 ( − z sin θ + x cosθ ) − j 2π y0 λ f λ f. e. 0. ⎡ 2π x1′ + x0 ⎤ 2π x02 − x1′2 + y02 − y1′2 sin θ ⎥ x cosθ + − j⎢ λ λ f 2f2 ⎣⎢ ⎦⎥. ∫ dze. j 2π. −j. e. z − z0. λ. jπ. e. ⎤ ⎞ ⎟ sin θ ⎥ x ⎟ ⎥⎦ ⎠. x2 + y 2. λ ( z − z0 ). 2π ⎛⎜ x2 y2 1− 0 − 0 λ ⎜⎝ 2 f 2 2 f 2. ∫ dye. ⎞ ⎟ ⎟ ( z cosθ + x sin θ ) ⎠. ⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭. ⎡ 2π y1′ + y0 2π δ y ⎤ − j⎢ + ⎥y λ z0 ⎦ f ⎣ λ. ⎡ 2π x1′ + x0 ⎤ 2π x02 − x1′2 + y02 − y1′2 cosθ ⎥ z − j ⎢− sin θ + λ λ f 2f2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ 2π x1′ + x0 ⎤ 2π x02 − x1′2 + y02 − y1′2 sin θ ⎥ x cosθ + λ f 2f2 ⎦⎥. ∞. ⎛ x ⎞ − j⎢ λ = ∫∫ dx0 dy0U 0 ( x0 , y0 ) ∫ dx rect ⎜ ⎟ e ⎣⎢ ⎝a⎠ −∞ ∞. U d ( x1′ , y1′ ) ≈. ⎡ 2π x1′ + x0 ⎤ 2π x02 − x1′2 + y02 − y1′2 sin θ + cosθ ⎥ z λ f 2f2 ⎦⎥. ⎡ 2π y1′ + y0 2π δ y ⎤ ∞ + ⎥y λ z0 ⎦ f. ⎛ y ⎞ − j⎢ λ × ∫ dy rect⎜ ⎟ e ⎣ ⎝b⎠ −∞. ⎛ z ⎞ − j ⎢⎣⎢ − λ dz rect ⎜ ⎟e ∫ ⎝t⎠ −∞. ⎧ ⎡ x1′ + x 0 ⎤⎫ x 02 − x1′ 2 + y 02 − y1′ 2 ( ) ⋅ ⋅ + dx dy U x y a b t θ , sinc a cos sin θ ⎥ ⎬ ⎨ ⎢ 2 ∫∫ 0 0 0 0 0 2λ f ⎦⎭ ⎩ ⎣ λf ⎧ ⎡ y ′ + y 0 2π δ y ⎤ ⎫ × sinc ⎨ b ⎢ 1 + ⎬ λ z 0 ⎥⎦ ⎭ ⎩ ⎣ λf ⎧ ⎡ x ′ + x0 ⎤⎫ x 2 − x1′ 2 + y 02 − y1′ 2 × sinc ⎨ t ⎢ − 1 sin θ + 0 cos θ ⎥ ⎬ 2 λf 2λ f ⎦⎭ ⎩ ⎣. 20. (2.73).

(33) 假設物體光的空間頻率很小，所以聚焦在材料中心時，聚焦點大小遠小於材料在 x、y 方向的寬度，所以(2.73)式中 x、y 方向的 sinc 函數可以用 δ 1 ⎞ ⎛ 函數代替，並假定為近軸近似，即 (sin θ << 1)、⎜ cos θ ≈ 1 − sin 2 θ ⎟，則(2.73) 2 ⎠ ⎝ 式可以簡化為： ⎧ ⎡ ′. ′2 + y 02 − y1′2 ⎤⎫ sin θ ⎥ ⎬ 2 2 λf ⎦⎭. x + x0 x − x1 U d ( x1′ , y1′ ) ≈ ∫∫ dx 0 dy 0U 0 ( x 0 , y 0 )abt δ ⎨a ⎢ 1 cosθ + 0 2. ⎩ ⎣ λf. ⎧ ⎡ x1′ + x 0 ⎧ ⎡ y ′ + y 0 2π δ y ⎤ ⎫ ⎤⎫ x 02 − x1′ 2 + y 02 − y1′2 × δ ⎨b ⎢ 1 + − + θ sinc t sin cosθ ⎥ ⎬ ⎬ ⎨⎢ ⎥ 2 λ z0 ⎦ ⎭ λf 2 λf ⎦⎭ ⎩ ⎣ λf ⎩⎣ ⎧⎪ ⎡ δ y2 y1′δ y ⎛ ⎞ f ′ ′ ≈ U 0 ⎜⎜ − x1 ,− y1 − δ y ⎟⎟ ⋅ sinc ⎨t ⎢ + 2 z0 ⎠ ⎪⎩ ⎢⎣ 2λz 0 λz 0 f ⎝. ⎤ ⎫⎪ ⎥⎬ ⎥⎦ ⎪⎭. ( 2.74). 可以看到，當位移量 δy= 0 時，即重建參考光 I≡R 時，繞射光場完全等於輸入光場。但是若位移量 δy≠0 時，可以看到繞射光場的振幅也會隨著 δy f 呈 sinc 函數的變化，而且在 y 方向有 δ y 的偏移量。若我們將光場振幅平 z0 方，則可以得到繞射影像的強度隨著 δy 呈 sinc 函數的平方變化，考慮入射影像的中心，即 y1′ = 0 ，當 sinc 函數內的值為整數時，sinc 函數為零，即：. ⎡ δ y2 y1′δ y ⎤ + t⎢ ⎥=m 2 ⎣⎢ 2λz 0 λz 0 f ⎦⎥ => δ y = m. 2λ z0 t. (2.75). 其中 m 為任易整數。當位移量 δy 符合(2.75)式時，sinc 函數為 0，意即繞射強度為 0。所以，假如我們在記錄時，將參考光移動符合(2.75)式的位移量 δy 的話，則相鄰兩頁的影像彼此的串化雜訊(cross talk)可降至最低。因此，我們可以利用此原理在 y 方向上做到位移多工儲存系統。我們再加以定義 y 方向的位移選擇性 ∆δ y 為串化雜訊最小時，所需的最小位移量，則 ∆δ y =. 2λ z0 t. (2.76). 在第四章中，我們的系統參數為：z0=3.5cm， θ = 30o ，λ=532nm，厚度為 1、2、4、8mm。根據(2.69)、(2.74)，我們可以畫出繞射光的繞射效率與參考光的位移量的關係圖如圖(2.6)所示：. 21.

(34) 圖 2.6. 繞射效率與參考光位移關係圖. 並且算出 x、y 方向的位移選擇性如表 2.1：. 1mm. 2mm. ∆δx 37.2µm. 4mm. 8mm. 18.6µm 9.31µm 4.66µm. ∆δy 1140µm 807µm 表 2.1. 571µm. 404µm. 位移選擇性. 不過如上的推導是建立在材料折射率與空氣相同的前提下，可是實際上材料折射率與空氣不同，會造成物體光入射的實際角度會改變，所以我們必須透過司耐爾定律(snell’s law)加以修正。同 2.1 節得定義，令 θ ′ 為空氣中物體光的入射角，則. sin θ ′ = n0 sin θ. (2.77). 將(2.77)式代入(2.71)式，可以得到修正的 x 方向的位移選擇性為：. ∆δ x =. n0 λz0 t sin θ ′. (2.78). 而 y 方向的位移選擇性因為與物體光的入射角度無關，所以不需要做修正。因此，表 2.1 的位移選擇性應該修正如表 2.2 所示：. 1mm δx 55µm. 2mm. 4mm. 8mm. 27.8µm 13.9µm 6.94µm. δy 1.14mm 807µm 571µm 404µm 表 2.2. 考慮斯耐爾定律後的位移選擇性. 22.

(35) 有了位移選擇性的大小後，我們可以估計出我們儲存系統的儲存容量。為了能夠與現在較為普遍的光儲存方式，例如 VCD、DVD 做比較，所以我們並不使用體積儲存容量(單位體積中可儲存的資訊量)，而使用表面儲存容量(即單位面積可儲存的資訊量)。我們定義表面儲存容量為 DA(單位面積可儲存的張數)為： [1][6][7]. DA =. M ( frames / area ) A. (2.79). 其中 M 為材料儲存影像時，同一個光束大小的範圍內可儲存的張數，A 為光束大小。假設我們儲存的影像的最高空間頻率為 umax，則材料上的光束大小為 (2λfumax)，所以. A=(2λf umax)2. (2.80). 假設我們同時使用 x、y 方向的位移來實現位移多工，則同一個光束大小內儲存的張數為： M=. A. (2.81). δ xδ y. 將(2.80)與(2.81)式代入(2.79)式得： DA =. 1. (2.82). δ xδ y. 若我們的位移量都使用了最小位移量 ∆δ x 、 ∆δ y ，則. DA =. t sin θ n0 λz 02. t ( frames / area ) 2λ. (2.83). 不過假如我們只使用 x 方向的位移量，且位移量使用了最小位移量 ∆δ x ，則 (2.81)式修正為：. M=. A 2 ∆δ x. =. 2λfu max t sin θ f u max = 2 n 0 λz 0 n0 z 0 t sin θ. (2.83). 代入(2.79)式得：. DA =. t sin θ f u max n0 z 0. (2λf u max ). 2. =. t sin θ ( frames / area) 4λ n0 z0 f u max 2. (2.84). 可以看到，儲存容度與厚度呈線性關係，所以材料越厚，所能儲存的量越多。假如我們利用棋盤格的方式，以黑的(不透光)表示 0、以白的(透光)表示 1，則我們用可以將數位資料一頁頁的儲存，如圖 2.7 所示：. 23.

(36) 原始檔案10101100……. 圖 2.7. 數位資料顯示. 假設每一頁共有 N p2 個圖素，且每個圖素的大小為 b，並假設我們只使用 x 方向的位移量，且位移量使用了最小位移量 ∆δ x 。則 (2.84) 中最高空間頻率為 1 ( u max = )，因此數位影像的儲存容量可以由(2.84)式修正為： b. DD =. N p2bt sin θ 4λ2 n0 z0 f. (bits / area). (2.85). 不過如上的討論只考慮了光學系統的參數，並沒有考慮到材料因素。有可能光學系統容許在同一個面積中儲存 100 頁，可是材料實際上能參與反應的分子有限，可能沒辦法曝光那麼多次，此時就算光學系統有如此的容量，但是材料卻沒辦法達到。因此，我們需要另一個參數來描述材料的儲存容量。通常，我們以動態範圍 M/#(M number)來描述材料的儲存容量，定義為： M. M # = ∑ ηi. (2.86). i =1. 是指說在同一個位置上，儲存 M 張全像，每一張的繞射效率ηi 的開根號的總合。意義上是指當有許多張全像儲存在材料的同一個地方時，材料的總反應量 [8] 。所以當光學系統光源光強度給定，光偵測器最小能偵測到的光強度給定，則所需要的繞射效率 ηi 則為光源的光強度分之光偵測器最小能偵測到的光強度。因此，當材料的動態範圍 M/#給定時，則張數 M 也給定了。所以我們可以算出假如只在 x 方向移動的話，每一頁所要位移的量為：. δM =. A M. (2.87). 上式的位移量 δ M 可能大於或小於 ∆δ x ，也就是說限制了一個光束內能夠儲存的張數的條件，不一定來自光學系統參數 ∆δ x ，也有可能來自材料參數 δ M 。必須取較小者，才能表達容量真正的大小。因此真正的儲存容量應該表示為：類比影像： D A =. 數位資料： DD =. 1. max (δ M , δ x ) A. N p2. max (δ M , δ x ) A. ( frames / area ). (2.88). (bits / area ). (2.89). 24.