位移選擇性

為了驗證(2.71)式與(2.76)式：

θ δ λ

sin

0 0

t z n

x =

∆ (4.7)

0

2 z

y t δ = λ

∆ (4.8)

如圖 4.11，為所架設的光學系統，其中 f =25cm，f0=16cm，z0=3.5cm，

n0=1.49cm。

圖4.11 位移選擇性量測光路圖

30°

532nm

擴束器

Nd:Yag 雷射

633nm He-Ne 雷射

擴束器

半波片

光偵測器 快門

偏振分光鏡 反射鏡

快門 半波片

反射鏡

反射鏡

反射鏡

反射鏡

反射鏡 分光鏡

屏幕 透鏡

透鏡

透鏡 精密平移台

f0 z0

f

f

我們先將各個參數代入(4.7)、(4.8)式，得到位移選擇量如表 4.3：

1mm 2mm 4mm 8mm

δx 55 .5µm 27.8µm 13.9µm 6.94µm δ 1.14mm 807µm 571µm 404µmy

該系統使用了一個發散的球面波做為參考光，另外以一個共焦點與球面波相 交於材料中央的 4f 系統做為物體光，偏振方向同為垂直偏振。使用的光強度，

參考光的強度為 100mW/cm²，經過透鏡後照在材料表面的強度為 6mW/cm² 左 右；而物體光因為聚焦的關係，我們調整偏振分光鏡前的半波片，使物體光的強 度幾乎為0，如此聚焦在材料時的光強度才不會遠大於參考光的強度。記錄下一 張全像後，移動平移台，量測繞射效率與位移量的關係。因為物體光聚焦在材料 內部，所以除非參考光的球面波與聚無的物體光的截面積是相同的，否則大部份 的參考光是沒有與物體光相交而浪費掉了。但是這個要求是很難達到，所以在此 處繞射效率的絕對值不代表材料的繞射效率，繞射效率隨材料位移的變化才是我 們要注意的重點。另外，因為所使用的精密平移台是New Focus 公司，Model 8732 控制器，Model 8095 精密平移台。該精密平移台的工作原理是使用壓電材料控 制，利用壓電材料與螺絲之間靜、動摩擦力的不同，達到以很小的旋轉量來轉動 移動平移台的螺絲。雖然壓電材料能夠做到微小的變化，而有很小的位移量 (≦30nm)，但是卻不能保證每次所位移的量是相同的，甚至來回移動相同步數時 並不會回到原點，當步數累積時，誤差也會跟著累積。為了解決位移量不準的問 題，我們在平移台上架設了一面反射鏡，並使用 633nm 的紅光架設了一個麥克 生干涉儀，利用干涉的原理來量測平移台的位移量。我們知道，麥克生干涉儀兩 臂之間的光程差有如下的關係時為亮紋：

2 1

2 1

2 2

l m l

l m l

+

=

=>

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − λ

λ

λ _(4.9)

其中l1、l2分別為兩臂長，m 為任意整數。假設 l1為架設在精密平移台上的 反射鏡與分光鏡的距離，l2為不動的反射鏡與分光鏡的距離。可以發現，當亮紋 由亮紋變成暗紋又變回亮紋時，l1的位移量為半個波長，所以我們所架設的干涉 儀精密度可達316nm，與表 4.3 理論位移量的值相比較，可以發現 y 方向的位移 選擇量遠大於干涉儀的精密度，為幾百µm 到幾 mm，若要使用精密平移台，需 要移動非常多步，而且麥克生干涉儀的位置必須改變，甚至必須架設一個懸空的 反射鏡，來量測平移台上下移動的位移量。反觀手動的三向平移台的精確度也可 以達到10µm 的等級，所以在 y 方向上其實使用三向平移台是比較方便的，因此

表4.3 位移選擇性理論值

在y 方向的量測上，我們是將精密平移台用三向平移台代替。

4.2.1.2 實驗結果與討論

如圖4.12~圖 4.19 分別為厚度 1mm、2mm、4mm、8mm 材料在 x、y 方向與 位移量與繞射效率的關係圖。我們將每一條曲線用sinc 函數的平方：

P3 4 P2 -sinc x

*

1 P

P

DE +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= (4.10)

做迴歸分析，P1 為繞射效率的最大值，因為我們沒有用繞射效率的最大值 做歸一化，所以P1 不等於 1；P2 為偏移量；P3 為 sinc 函數的寬度，即我們所要 求的位移選擇性；P4 為雜訊。我們真正關心的是位移選擇性，即 P3 是唯一有用 的參數。我們將沒條曲線做完迴歸分析後，將相同厚度相同方向的P3 作平均。

結果如表4.4 所示：

1mm 2mm 4mm 8mm

δx 64.85µm 31.79µm 15.71µm 7.63µm δy 839.75µm 589.79µm 618.22µm 636.54µm

我們將表4.4 的平均值與理論值比較，如表 4.5 所示：

t 1mm 2mm 4mm 8mm

δx 17.91% 14.35% 13.02% 9.94%

δy -26.34% -26.92% 8.27% 57.56%

先觀察 x 方向的位移選擇性，誤差都在百分之十幾左右。誤差來源有三:厚 度的不準度、z0的不準度、θ 的不準度。因為厚度的不準度與 x 方向的位移選擇 性成反比，也就是說位移選擇性的誤差為正的時候，厚度的誤差應該為負。可是 材料的製作上，因為是用隔片來控制厚度，所以厚度只有可能更厚，不可能更薄

（見第 3.3.2 節），所以誤差來源不會來自厚度。再來是 z0 的不準度，因為 z0=3.5cm，10％的誤差為 3.5mm。實際量測 z0時，雖然用的布尺最準可到1mm，

可是量測時，並不能很準確的對齊材料中心與透鏡焦點，所以實際的誤差會比 1mm 還來的大，3mm 的誤差應屬合理範圍。再者是物體光入射角θ 的不準度，

表4.4 位移選擇性實驗值

表4.5 位移選擇性誤差

假設實際角度θ 與理論角度θ₀差了∆θ ，則我們估計角度的誤差值為：

( )

0 0

0

0 0

0

sin

% 1 sin 113

cos cos

sin

1

30 其中

sin

% 1 sin 113

1

θ θ

θ θ

θ

θ θ θ

θ

∆ ≈ +

=> ∆

=

∆ ≈

+ ^o

81o

. 3

sin

% 1 cos 113

sin 1

0 0

0

≈

∆

=>

∆ ≈

=> + θ

θ θ

θ θ

也就是說，若角度上有將近 4°的誤差，此亦為合理的誤差範圍。因為角度 的量測上，並沒有很精確的去量測，而只是簡單的用光學桌上的螺絲孔或是同量 測 z0 的方法用布尺估計反射鏡與材料中心的距離，然後再使用餘弦定理估計角 度，所以角度的準確度是較低的。而且因為在實驗時，更換不同厚度時，精密平 移台或三向平移台是無法移動的，但是為了要使物體光與記錄參考光在材料中相 交干涉，所以是有稍微調整一下物體光的入射角度。因此可以看到不同厚度的誤 差值有一點點的差異，不過基本上還是在一個範圍以內。

再來是 y 方向的誤差，其實是非常大的。直接觀察曲線而不看迴歸後的 P3 的話，其實有些看起來根本不向 sinc 函數。原因應該在於，我們選擇的 z0讓 y 方向的位於選擇性約在幾百個微米。不管是對精密選轉台也好，對三向平台也 好，其實位移量已經不算小了，也就是說實驗時必須將材料移動一段不小的距 離。因此，較長的移動距離會引入較多的誤差，譬如說對光上不是那麼準確，所 以移動平台的x、y、z 軸與理論要求的 x、y、z 軸沒有真的對很準，所以實驗上 平移台雖然是在y 軸上移動，可是實際上可能有 x 軸或 z 軸的分量，甚至說角度 的旋轉種種因素。在如x 方向的位移量不大的情形下，誤差並不明顯，但是在 y 方向位移量較大時，就看到較大的誤差值了。

0 50 100 150 200 250 300 350 400 0.0

1.0x10^-7 2.0x10^-7 3.0x10^-7 4.0x10^-7 5.0x10^-7

6.0x10^-7 Data: A1mmx12_B

Chi^2/DoF = 8.2295E-16 R^2 = 0.97304

P1 5.5655E-7 ?

P2 107.131 ?

P3 64.45162 ?

P4 3.0975E-8 ? .6868E-9

power(W)

position(um)

B

0 100 200 300 400

0.00E+000 5.00E-008 1.00E-007 1.50E-007 2.00E-007 2.50E-007 3.00E-007 3.50E-007 4.00E-007

Data: A1mmx22_B

Chi^2/DoF = 3.0689E-16 R^2 = 0.96972

P1 3.3685E-7 ?

P2 229.92297 ?

P3 63.97254 ?

P4 1.9685E-8 ? .5306E-9

power(W)

position(um)

B

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0.0 2.0x10^-7 4.0x10^-7 6.0x10^-7 8.0x10^-7

Data: A1mmx32_B

Chi^2/DoF = 9.7644E-16 R^2 = 0.98171

P1 7.8995E-7 ? P2 169.11477 ?

P3 66.13321 ?

P4 1.7802E-8 ? .8291E-9

power(W)

position(um)

B

0 50 100 150 200 250

0.0 1.0x10^-7 2.0x10^-7 3.0x10^-7 4.0x10^-7 5.0x10^-7 6.0x10^-7 7.0x10^-7 8.0x10^-7

Data: A2mmx92_B Chi^2/DoF = 8.5666E-16 R^2 = 0.97949

P1 7.4349E-7 ? .5341E-9 P2 134.12793 ? .17448 P3 32.65094 ? .42738 P4 1.6849E-8 ? .7125E-9

power(W)

position(um)

B

0 50 100 150 200 250

0.00E+000 5.00E-008 1.00E-007 1.50E-007

2.00E-007 Data: A2mmx112_B

Chi^2/DoF = 4.3494E-17 R^2 = 0.98146

P1 1.7956E-7 ? .1717E-9 P2 132.89695 ? .16072 P3 31.82718 ? .39242 P4 2.5361E-8 ? .0113E-10

power(W)

position(um)

B

0 50 100 150 200 250

0.0 2.0x10^-7 4.0x10^-7 6.0x10^-7 8.0x10^-7 1.0x10^-6 1.2x10^-6 1.4x10^-6 1.6x10^-6 1.8x10^-6

Data: A2mmx122_B Chi^2/DoF = 3.8653E-16 R^2 = 0.99811

P1 1.6935E-6 ? .5634E-9 P2 126.9994 ? .05006 P3 30.9062 ? .12239 P4 1.1624E-8 ? .8178E-9

power(W)

position(um)

B

第一次 64.45μm 第二次 63.91μm 第三次 66.13μm 平均 64.85μm 圖4.12 t=1mm x 方向

圖4.13 t=2mm x 方向

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0.00E+000

5.00E-008 1.00E-007 1.50E-007 2.00E-007 2.50E-007 3.00E-007

Data: A4mmx132_B Chi^2/DoF = 3.4883E-17 R^2 = 0.9889

P1 2.455E-7 ? .7839E-9 P2 82.89025 ? .07239 P3 15.03745 ? .17276 P4 5.7009E-9 ? .0972E-10

power(W)

position(um)

B

0 20 40 60 80 100 120 140

-2.00E-008 0.00E+000 2.00E-008 4.00E-008 6.00E-008 8.00E-008 1.00E-007 1.20E-007

Data: A4mmx142_B

Chi^2/DoF = 4.8071E-18 R^2 = 0.995

P1 1.1798E-7 ? .0242E-9 P2 70.66835 ? .0571 P3 15.69043 ? .13871 P4 -2.0588E-10 ? .714E-10

power(W)

position(um)

B

0 50 100 150 200

0.00E+000 5.00E-008 1.00E-007 1.50E-007 2.00E-007 2.50E-007 3.00E-007

Data: A4mmx152_B Chi^2/DoF = 2.0082E-17 R^2 = 0.99325

P1 2.3698E-7 ? .0242E-9 P2 95.56485 ? .05944 P3 16.40025 ? .142 P4 1.321E-9 ? .5008E-10

power(W)

position(um)

B

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0.0 1.0x10^-7 2.0x10^-7 3.0x10^-7 4.0x10^-7 5.0x10^-7 6.0x10^-7

Data: A8mmx22_B Chi^2/DoF = 1.0107E-16 R^2 = 0.9927

P1 4.627E-7 ? .9458E-9 P2 33.31519 ? .02124 P3 7.94285 ? .05146 P4 1.7953E-8 ? .5868E-10

power(W)

position(um)

B

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0.0 1.0x10^-7 2.0x10^-7 3.0x10^-7 4.0x10^-7 5.0x10^-7

Data: A8mmx32_B Chi^2/DoF = 6.1647E-17 R^2 = 0.99391

P1 4.0954E-7 ? .3716E-9 P2 33.88702 ? .01812 P3 7.42193 ? .0437 P4 1.4482E-8 ? .8308E-10

power(W)

position(um)

B

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0.00E+000 5.00E-008 1.00E-007 1.50E-007 2.00E-007 2.50E-007 3.00E-007

Data: A8mmx42_B Chi^2/DoF = 3.2723E-17 R^2 = 0.99172

P1 2.5557E-7 ? .7155E-9 P2 35.47821 ? .0213 P3 7.52568 ? .05139 P4 1.1751E-8 ? .2236E-10

power(W)

position(um)

B

第一次 15.04μm 第二次 15.69μm 第三次 16.40μm 平均 15.71μm

第一次 7.94μm 第二次 7.42μm 第三次 7.52μm 平均 7.63μm 圖4.14 t=4mm x 方向

圖4.15 t=8mm x 方向

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0.0

2.0x10^-7 4.0x10^-7 6.0x10^-7 8.0x10^-7 1.0x10^-6 1.2x10^-6 1.4x10^-6

1.6x10^-6 Data: A1mmy22_B

Chi^2/DoF = 4.4165E-15 R^2 = 0.98605

P1 1.5515E-6 ? .5076E-8 P2 1335.90128 ? .70254 P3 928.54773 ? 5.40185 P4 -3.7686E-8 ? .2132E-8

power(W)

position(um)

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.00E+000

Data: A1mmy42_B Chi^2/DoF = 3.4219E-18 R^2 = 0.99266

P1 6.1342E-8 ? .2105E-10 P2 1353.95373 ? .79026 P3 828.60039 ? 0.19053 P4 -1.1259E-9 ? .2816E-10

power(W)

position(um)

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

0.0 2.0x10^-7 4.0x10^-7 6.0x10^-7 8.0x10^-7 1.0x10^-6 1.2x10^-6 1.4x10^-6 1.6x10^-6

Data: A1mmy52_B Chi^2/DoF = 2.8341E-15 R^2 = 0.98968

P1 1.5334E-6 ? .1307E-8 P2 1317.8044 ? .18264 P3 762.09949 ? 0.88499 P4 -1.7815E-8 ? .818E-9

power(W)

position(um)

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-5.00E-008

Data: A2mmy22_B

Chi^2/DoF = 6.276E-17 R^2 = 0.99344

P1 3.0835E-7 ? .1918E-9 P2 1367.68316 ? .75165 P3 610.55324 ? .45831 P4 -8.5987E-9 ? .0661E-10

power(W)

position(um)

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-1.00E-008

Data: A2mmy32_B

Chi^2/DoF = 3.5356E-18 R^2 = 0.98932

P1 6.2135E-8 ? .8234E-10 P2 1370.66922 ? .01766 P3 569.03065 ? .11125 P4 -4.8756E-9 ? .8837E-10

power(W)

position(um)

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-1.00E-008

Data: A2mmy42_B

Chi^2/DoF = 3.6959E-18 R^2 = 0.98522

P1 5.0731E-8 ? .4581E-10 P2 1347.99515 ? .574 P3 589.78473 ? .44247 P4 -4.7149E-9 ? .9451E-10

power(W)

0 500 1000 1500 2000 0.0

1.0x10^-7 2.0x10^-7 3.0x10^-7 4.0x10^-7 5.0x10^-7 6.0x10^-7

Data: A4mmy52_B Chi^2/DoF = 6.2275E-16 R^2 = 0.98005

P1 5.0528E-7 ? .6166E-9 P2 897.04472 ? .42822 P3 562.41955 ? .81129 P4 -9.3875E-9 ? .4628E-9

power(W)

position(um)

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.00E+000 5.00E-008 1.00E-007 1.50E-007 2.00E-007 2.50E-007 3.00E-007

Data: A4mmy72_B Chi^2/DoF = 9.4299E-17 R^2 = 0.98479

P1 2.434E-7 ? .6385E-9 P2 1430.50888 ? .78593 P3 640.40223 ? .10249 P4 -2.0194E-9 ? .9687E-10

power(W)

position(um)

B

.

0 500 1000 1500 2000

0.0 2.0x10^-6 4.0x10^-6 6.0x10^-6 8.0x10^-6 1.0x10^-5 1.2x10^-5

Data: A4mmy22_B Chi^2/DoF = 4.5271E-13 R^2 = 0.9584

P1 8.9529E-6 ? .9251E-7 P2 788.92924 ? .30296 P3 651.8259 ? 4.87882 P4 -9.761E-8 ? .001E-7

power(W)

position(um)

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.00E+000 1.00E-008 2.00E-008 3.00E-008

Data: A8mmy52_B Chi^2/DoF = 4.1896E-18 R^2 = 0.88383

P1 1.8479E-8 ? .9169E-10 P2 1602.63272 ? .40365 P3 577.41763 ? 8.56039 P4 2.198E-9 ? .0531E-10

power(W)

position(um)

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.00E+000 1.00E-008 2.00E-008 3.00E-008 4.00E-008 5.00E-008

6.00E-008 Data: A8mmy62_B

Chi^2/DoF = 1.7885E-17 R^2 = 0.8786

P1 3.2778E-8 ? .0329E-9 P2 1468.09577 ? 0.47284 P3 864.06831 ? 8.25628 P4 6.4526E-9 ? .8534E-10

power(W)

position(um)

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.00E+000 1.00E-008 2.00E-008 3.00E-008 4.00E-008 5.00E-008 6.00E-008 7.00E-008 8.00E-008

Data: A8mmy72_B

Chi^2/DoF = 2.1777E-17 R^2 = 0.96311

P1 7.2531E-8 ? .2285E-9 P2 1246.29118 ? .6833 P3 695.66157 ? 2.11924 P4 -7.9063E-10 ? .9247E-10

power(W)

position(um)

B

第一次 562.42μm

第二次 640.40μm

第一次 577.42μm

第二次 865.07μm 圖4.18 t=4mm y 方向

圖4.19 t=8mm y 方向

如上之討論，是實驗量測時所產生的誤差。但是除了實驗量測所引進的誤差 之外，我們亦可從位移選擇性的理論來討論誤差的來源。由第二章我們可以知 道，我們是利用波恩近似法的理論，推導出繞射效率與記錄材料位移量呈 sinc 函數的分佈。在推導過程中，我們使用了幾個假設：

1、繞射光波遠小於入射光波–此乃波恩近似法所要求的假設。

2、參考光為理想球面波，即參考光光源為一個理想點光源。

3、做為參考光光源的理想點光源與記錄材料的距離 z0很遠，因此我們才可 以將該球面波的光場分佈以近軸近似表示之。

4、我們只考慮入射影像的中心，即x₀ = y₀ =x₁′= y₁′=0。

但是在實驗時，我們的實驗架設不一定符合如上的假設，因此會引進與理論 不同的誤差。所以，我們分別討論實驗架設不符合這些假設時，所引入的誤差為 何：

1、假設一–繞射光波遠小於入射光波：

實驗所使用的入射光強度約為6mW/cm²，繞射光的強度約為0.1μW/cm² 的等級，如圖4.12～4.19 的 P1 所示，意即繞射光強度遠小於入射光強度。

因此，我們的實驗裝置是符合波恩近似法所要求的假設。

2、假設二–參考光為理想球面波：

實驗時，我們是利用平面波經過凸透鏡聚焦再發散後，做為我們的球面 波。但是由波動光學我們可以知道，經過透鏡聚焦後的光點大小為：

2 f /#

size NA

spot = λ =λ⋅

(4.11) 也就是說，利用透鏡聚焦所得的光點，實際上是一群理想點光源。因此，

只要記錄材料的位移量小於聚焦光點的大小，在一群理想點光源中必定存 在至少有一個點光源是符合布拉格條件。換言之，記錄材料的位移量至少 要大於聚焦光點的大小。所以，最小位移量δ必須修正如下：

size

Bragg +spot

=δ

δ (4.12)

我們所使用的波長為532nm，f/#為 3。因此修正後的位移量應該為：

m

nm _Bragg

Bragg δ µ

δ

δ = +532 ×3= +1.6 (4.13) 3、假設三–做為參考光光源的理想點光源與記錄材料的距離 z0很遠：

在第二章的推導中，我們使用了z0遠大於材料厚度的假設。以x 方向的 位移量的推導為例，在(2.68)式中：

( )

^{( )} (4.15)式了，此時，(4.15)式應該修正為：

( ) ( )

-2 2 4 6 0.2

0.4 0.6 0.8 1

3、假設四–只考慮入射影像中心：

由(2.69)、(2.74)式：

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ′

+

⎟⎟⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− ′− − ′

′ ≈

′ θ θ

λ

δ , sinc t δ sin cos

, ¹

0 1

0 1 0 1

1 f

x y z

z x f U y x

U_{dx x} ^x (4.17)

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ′

+

⎟⎟⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− ′ − ′−

′ ≈

′ z f

y z z

y f x U y x

U_{dy y} ^{y y}

0 1 2 0 2

0 1 1 0 1

1, , sinc t 2

λ δ λ

δ δ (4.18)

可以看到，繞射強度除了與位移量δx、δy 有關之外，與影像的位子

(

x₁′, y₁′

)

也有關係，也就是說實際重建出來的影像的亮度並不是均勻的。在第 二章的推導中，我們只考慮了影像中心的點，即x₀ =y₀ =x₁′= y₁′=0。但是 實際做實驗時，我們量測的不只是影像中心的亮度，而是使用光偵測器量 測整個影像的平均亮度。所以，若要理論計算與實際較為符合的最小位移 量，必須考慮影像內所有的點

(

x₁′, y₁′

)

，以(4.17)、(4.18)式計算所有的點分別 重建的光強度後，取平均值與δx跟δy作圖。

圖4.21、4.22 為繞射光的平均強度與記錄材料的位移量的關係，圖 4.23 為厚度為 8mm 的記錄材料在 y 方向移動 0.2mm 時，繞射光強度在空間中 的分佈情形。我們所使用的系統參數與圖 4.11 中的系統架設相同，且假設

圖4.21、4.22 為繞射光的平均強度與記錄材料的位移量的關係，圖 4.23 為厚度為 8mm 的記錄材料在 y 方向移動 0.2mm 時，繞射光強度在空間中 的分佈情形。我們所使用的系統參數與圖 4.11 中的系統架設相同，且假設

在文檔中 PQ:PMMA高分子全像片之製作與全像儲存特性的研究 (頁 63-76)