第二章 文獻探討
第一節 低年級學童位值概念結構之探討
壹、兒童的認知發展
一、皮亞傑（Jean Piaget ）的認知發展論（Cognitive Developmental）
瑞士認知心理學家皮亞傑在自然的情境中，縝密且連續的觀察紀錄 自己的三個孩子在不同的年齡階段中對於處理事物之反應，並深入托兒 所、幼稚園和國小進行相關研究；採用的是質變重於量變的研究取向。（卞 瑞賢，1980；張春興，2001）
皮亞傑所提出的知識是由生理或心理作用在物體、圖像或象徵物的 過程，兒童會用自己熟悉的規律認識周遭的一切，物體可透過對生活世 界的直接接觸，但，圖像或象徵物就不一定是來自於「真實世界」，而是 來自於記憶。（莊稼嬰、默瑞．湯馬斯、汪欲仙，1998）皮亞傑認為，知 識是由個人與環境交互作用所建構而成，不相信認知是個人被動的經由 環境而接受與拷貝知識的說法；他認為個人找到知識會予以組織，並將 該知識同化為自己原本就已具備的知識狀態內。（王文科，1989）
皮亞傑雖把兒童的認知發展分為如下九個階段：
（一）感覺動作期（Sensorimotor Period）：又細分為六個階段。
1、運用現成的感覺動作基模：0～1 個月。
2、初級循環反應：1～4 個月。
3、次級循環反應：4～8 個月。
4、協調次級基模：8～12 個月。
5、第三級循環反應：12～18 個月。
6、經由心智的聯合發明手段：18～24 個月。
（二）運思前期（Preoperational Period）：2～7 歲。
（三）具體運思期（Concrete Operations Period）：7～11 歲。
（四）形式運思期（Formal Operations Period）：11～15 歲。
但，他認為，心智發展是一種連續不斷的構造，像不斷擴展的螺旋，沒 有嚴格的分割點，無法把每一個階段確確實實的分割開。（王文科，1983，
1989）
站在皮亞傑對兒童認知的發展階段而言，一年級學童約屬於運思前 期到具體運思期的階段；運思前期的兒童已能使用符號代表實物，具體 運思期的兒童能根據具體經驗的思維來解決問題。（王文科，1983，1989；
莊稼嬰等人，1998；張春興，2001）
二、布魯納（Jerome S. Bruner）的認知表徵（Cognitive Representation）
美國心理學家布魯納認為要了解兒童的學習行為，就要進入教室中
（symbolic representation）此三個階段，卻不主張按年級或年齡依循 此三階段來教導學生（張春興，2001），他反對以兒童的生理年齡來區分 其發展階段，也不視為刺激與反應的聯結而逐漸複雜化的量的連續過程，
他認為是與構造異同的三階段所成立的質的過程；要促進這三個階段的 進行，有賴於環境、教育的作用，尤其言語記號更是發展的原動力。（陳 伯璋、陳伯達，1975；陳峰津，1982）
布魯納認為認知的過程就是用符號表示知識的獲得與組織形成的過 程；符號可分為語言符號及數字符號兩種，這兩種符號是開展新經驗和 獲得新能力所不可或缺的工具。認知的過程是學習者的內在動機，而非 外鑠，若要引起學習數學的興趣及培養數學能力，則要使學童感覺此種 活動具有追求真理的價值，引導學童思考，解決問題，才是引起學習興 趣的關鍵。並主張「螺旋式課程」，就課程的安排是採取螺旋式的型態；
對於教授同一種概念，採用螺旋型式數次反復上昇排列；此種排列方式 的原則為：第一次螺旋屬於動作次元，第二次螺旋屬於形像次元，第三 次螺旋屬於符號次元……等反復上昇。（陳峰津，1982）
貳、位值的認知概念探討
「位值」乃指運用 0、1……9 此十個數碼在書寫時所形成的數字，
其各數碼所在位置的代表數量；而利用數字中的相關位置來溝通各數碼 的意義，稱之位值概念。例如，數字「54」是「5」與「4」兩個數碼所 組成的，「5」的位值是十，「4」的位值是一。（82 年版數學教學指引 一下，1999；羅素貞、林怡君、陳佳宜，2007）
一、甯自強之低年級數概念運思
甯自強依據文獻分析，並透過實際與兒童在教學晤談中的表現，對
兒童在量的合成的運思方式說明如下：（甯自強，1992c，1992d，1992e，
1993a，1995；82 年版國編課程國小數學教學指引第一到三冊，2000，1999，
1997）
（一）合成運思（integration operations）：針對每一個數字都由「1」
開始，一一的進行點數；是數個 1 個的合成認知，以形成一個集聚 單 位 。 又 稱 「 序 列 性 的 合 成 運 思 （ sequential integration operations）」。
（二）累進性合成運思（progressive integration operation）：能將 數字視為一個整體、一個集聚單位，而非是數個 1 個的認知；點數 時，以某一數字為起點，採一個一數的方式計數，為「又一」的點 數方式，若採十個一數的方式計數，為「又十」的點數方式。
（三）部分—全體運思（part-whole operations）：能明顯地區分「一」
單位與其他種集聚單位（例如：一個「五」、一個「八」……等），
且在混合使用兩種以上的單位時，不會混淆各種單位的意義，可以 將數個「集聚單位」和數個「一」合而為一，形成新的集聚單位。
假如兒童可將「十」視為「可重複複製的十結構」時，可將十位位 值看成幾個「十」，個位位值看成幾個「一」，採以高階單位—「十」
相加，低階單位—「一」相加，再合併；此即視為直式計算的基礎。
二、Fuson , Werane , Hiebert 與 Murry 之學童二位數的
概念結構發展層次
例如，「17」是17個「一」所形成的集合。
（二）十與一的概念（decade and ones conception）：兒童可以將數字
「23」看成是由「20」與「3」兩個部分組成，唯獨在數詞與數字的 轉換上，容易直接將「二十三」寫成「203」。
（三）序列的十與一的概念（sequence tens and ones conception）：
此時兒童能以「十個一數」的方式，如「十、二十……」來計數物 體時，且還能在一堆量中「看到」十的集合，並選擇以十的集合進 行數十的動作。
（四）分立的十與一的概念結構（separate tens and ones conception）：
此時的兒童能將一堆量分成十個一組的集合，採以集合的數目做計 數，而不是數集合中的內容物數量。例如，將40個物體分成十個一 組，共分成四組時，兒童則數「一、二、三、四，四個十是四十」。
（五）序列—分立的十與一的整合概念（sequence-separate tens and ones conception）：此概念結構的兒童能建立「十」與「一」之間的雙
定積木所表徵的數值為「35」後，詢問學童，如果再加上「22」，會得 到多少？請學童採以操作積木的方式解題。而，學童拿出「22」個積木 來計算總和的策略，可分為如下四種：
1、
全部都數策略：採用此策略的學童，是從「1」開始點數原來所提供的 積木—「35個一」後，再接著點數「22個一」，而得到57。2、
以第一個數為起點，累加第二個數：學童先製作「22個一」的集合，接著從數字「35」往上數，逐一的累加「22個一」，而得到最後的集 合為57。
3、
十位加十位後，再點數個位：學童將「35」看成「30」和「5」，「22」看成「20」和「2」，再將「30」和「20」合在一起，得到「50」，接 著從「50」開始，採往上數的方式，逐一累加「5個一」進入50的集合 中，得到55，逐一累加「2個一」到55的集合中，最後得到57的集合。
4、
幾個「十」加幾個「十」，幾個「一」加幾個「一」：採取此策略的 學童，是將「35」看成「3個十」和「5個一」，「22」看成「2個十」和「2個一」，再將相同單位的數合在一起，得到「5個十」和「7個一」，
接著再合成為57。
研究結果發現，一年級中約有四分之一的學童，二、三年級則各約有 三分之一的學童是採取第四種策略：「幾個『十』加幾個『十』，幾個『一』
加幾個『一』」，換句話說，這些學童已能將一個二位數看成由二個單位—
「十」與「一」所合成的數。
1、
全部都數策略：採用此策略的學童，是從「1」開始點數原來所提供的年級也有約 20%的學童出現此情況。
叁、小結
皮亞傑及布魯納針對兒童的認知概念發展都提出了各階段與階段間 的交換進階點是沒有絕對的時間點存在，且，心智發展像不斷擴展的螺旋；
由羅素貞等人（2007）的研究甚至可發現，假如題目難度提升，部分學童 會退回之前的階段中做運算，這是否說明了，學童對於解決較難的題目時，
是採以由低層次概念推展至高層次概念中來解題的，如同螺旋式的擴展解 法？或者，是因為遺忘了此研究的表徵方式，造成年級越高退回至以「一」
為基礎之運算策略的學童越多？甚至可說是因學童進入形式運思期後，已 習慣了深一層的概念運思，而遺忘了具體運思期時學習用具體物的解法了
？這是否也說明了，學童的運思是受教學呈現方式的影響，當時學習的教 材模式會影響學童當時的解題策略？