以生成規則分析國小一年級學童使用算則之情況

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：. 黃一泓博士. 以生成規則分析國小一年級學童使用算則之情況. 研究生：鄧佳珍撰. 中華民國一○一年六月.

(2) 謝辭在握住部編版國小數學領域教材的尾巴下，完成了此份論文；論文完成的同時，部編版也正式的退出了國小低年級的教科書行列中了～前人的努力結晶、花費多年的心血，並沒因部編版的結束而畫上句號，我們知道現在數學領域的教科書就是因為有眾多前人學習、研究多年所成，感謝前人們的付出及努力。此外，也感謝臺中教育大學，感謝數教所的師資群，感謝您們默默的付出，感謝您們提供的資源及教導，感謝您們提供了一個充電站，讓我們這些在教育現場的人，能有機會再次進修以提升我們的教學能力，在此致上深深的感謝！感謝努力不懈的指導教授黃一泓老師，感謝您提供的分析方法，感謝您在我論文內容中的指導，感謝您對我的鼓勵，也感謝口試委員們的指教及建議，讓我能完成我的論文。感謝陪伴我兩年的研究所同學們，感謝你們提供的協助及歡笑，期盼這份同學情不因畢業而結束，期盼這份同學情能持續成長～感謝參與此次研究的二十六位小朋友，你們真的很努力的完成此次測驗；施測的時候，你們絞盡腦汁努力完成的容貌依然在我的腦海中，並未消逝。真心的感謝你們的協助！感謝我的同事們，感謝我的朋友們，感謝我的家人們，感謝這兩年在我生活中出現的所有人，也感謝在我人生旅途中的每一個人，不論任何一個點點滴滴都是促成我能順利完成論文的動力，感謝所有出現在我生活中的人、事、物！感謝！感謝！再感謝！在說不盡的感謝聲中，或許只能如陳之藩先生所言，要感謝的人太多了，所以只好謝天！感謝上天的保佑！並，期望大家永遠平安、快樂。.

(3) 以生成規則分析國小一年級學童使用算則之情況. 摘要本研究以九十九學年度中部地區採用數學領域國小低年級部編版教科書之某班國小一年級學童為主要研究對象，並以ACT-R理論的生成規則（production rules）來進行此次的實驗及分析。實驗流程為全班進行兩種算則教學後，即分為Ａ、Ｂ兩組（每組13人）進行練習及第一次測驗，七天後再進行第二次測驗。探討當受試者以橫式多步驟加法或直式加法算則來計算不進位與進位加法題目之操作表現。其研究結果如下：一、在橫式多步驟加法算則中，學童呈現的錯誤情況可分為：對算則呈現格式不明瞭、對高階單位—十及低階單位—一的認知概念不足、對加法的認知概念不足。二、在直式加法算則中，學童呈現的錯誤情況可分為：對算則呈現格式不明瞭、對數值的認知概念不足、對進位記號的認知概念不明瞭、對高階單位—十及低階單位—一的位值概念認知不足。三、Ａ組為第一次採用橫式多步驟加法算則者，其在第二次測驗時有11人採用此算則計算；Ｂ組為第一次採用直式加法算則者，其在第二次測驗中則仍為使用直式加法算則。四、在第一次測驗中，Ａ組的答題正確率為80.00%，Ｂ組的答題正確率為 71.54%。在第二次測驗中，Ａ組的答題正確率為91.54%，Ｂ組的答題正確率為79.17%。五、學童答錯情形以二位數加二位數的進位題型為最多，其中使用直式加法算則之錯誤率高於使用橫式多步驟加法算則。最後，本研究也針對橫式多步驟加法與直式加法算則之錯誤情況，提供一些教學建議，供教學現場教師參考。. 關鍵詞：橫式多步驟加法算則、直式加法算則、生成規則. I.

(4) Use Production Rules to analyze the use of addition algorithm for Elementary School First Grade students. Abstract The main object of this study was the 99 school year grade one students who used the lower grade math textbooks written by National Academy for Educational Research. These students were from an elementary school located in central Taiwan. This study used ACT-R production rules to carry out the experiment and analysis. The procedure of the experiment was after giving lessons of two addition operation processes, the students were divided into group A and group B, each with 13 students. After having some practice, the groups received the first test and the second test given seven days later.. The. result of the test takers’ performance on the use of horizontal multi-step addition or vertical addition to calculate the problem of carrying a number to a greater place value or not to carrying a number is as followings:. 1.In horizontal multi-step addition, the mistakes students made are: not understand the format of addition operation process, insufficient in the number concepts of tens and units, and insufficient in the cognitive concepts of addition. 2.In vertical addition, the mistakes students made are: not understand the format of addition operation process, insufficient in the number concept of value, not understand the cognitive concept of decimal notation, and insufficient in the cognitive concepts of tens and units place value. 3.The students in Group A used horizontal multi-step addition in their first test, among them eleven students still used it in their second test; the students in group B used vertical addition in the first test, all of them still used it in the second test. 4.In the first test, Group A’s accuracy rate is 80% and Group B’s is 71.54%. In the second test, Group A’s accuracy rate is 91.54% and Group B’s is 79.17%.. II.

(5) 5.The most mistakes students made are the two-digit plus two-digit carrying to a greater place value problems and the mistake rate is higher in the use of vertical addition than the use of horizontal multi-step addition.. Finally, this study is also aimed at the mistakes in horizontal multi-step addition and vertical addition, and provides some teaching suggestions for the field teachers’ reference.. Key words: Horizontal multi-step addition, Vertical addition, Production rules. III.

(6) 目錄第一章. 緒論 ……………………………………………………………1. 第一節. 研究背景 ……………………………………………………1. 第二節. 研究目的 ……………………………………………………2. 第三節. 名詞界定 ……………………………………………………2. 第四節. 研究限制 ……………………………………………………3. 壹、研究對象的限制 ……………………………………………3 貳、研究工具的限制 ……………………………………………3 叁、研究方法的限制 ……………………………………………3 第五節. 第二章. 章節簡介 ……………………………………………………3. 文獻探討 ………………………………………………………5. 第一節. 低年級學童位值概念結構之探討 …………………………5. 壹、兒童的認知發展 ……………………………………………5 貳、位值的認知概念探討 ………………………………………7 叁、小結…………………………………………………………12 第二節. 82 年版國編課程及 92 年版部編課程內容之課程架構探究……………………………………………………………12. 壹、螺旋式課程的編排說明……………………………………12 貳、以表徵觀點進行課程探究…………………………………13 叁、 82 年版國編課程相關內容之編排架構…………………14 肆、部編版課程相關內容之編排架構…………………………18 伍、 82 年版國編課程及部編版課程編排之差異……………22 第三節. 橫式多步驟加法及直式加法算則之介紹…………………23. 壹、橫式多步驟加法算則之介紹………………………………23 貳、直式加法算則之介紹………………………………………24 IV.

(7) 第四節. ACT-R 的生成規則…………………………………………26. 壹、 ACT-R 理論…………………………………………………26 貳、生成規則（production rules）…………………………28. 第三章. 研究方法 ……………………………………………………31. 第一節. 研究對象……………………………………………………31. 第二節. 研究工具……………………………………………………33. 壹、第一、二次測驗題目類型分析……………………………33 貳、生成規則的採用方式………………………………………35 第三節. 研究實施程序………………………………………………36. 第四節. 資料處理……………………………………………………40. 第四章. 研究結果與討論……………………………………………43. 第一節. 第一次測驗資料分析………………………………………43. 壹、橫式多步驟加法算則分析…………………………………43 貳、直式加法算則分析…………………………………………48 叁、學童採用橫式多步驟加法與直式加法算則的作答情形之比較……………………………………………………………58 第二節. 第二次測驗資料分析………………………………………60. 壹、橫式多步驟加法算則分析…………………………………60 貳、直式加法算則分析…………………………………………66 叁、學童採用橫式多步驟加法與直式加法算則的作答情形之比較……………………………………………………………73 第三節. 第一、二次測驗資料比較分析……………………………75. 壹、使用方式的統計……………………………………………75 貳、兩種算則的生成規則類型比較……………………………78. 第五章. 結論與建議…………………………………………………83 V.

(8) 第一節. 研究結論……………………………………………………83. 壹、前後兩次測驗之研究結果…………………………………83 貳、前後兩次測驗之比較………………………………………86 第二節. 研究建議……………………………………………………87. 壹、對教育實務的建議…………………………………………88 貳、對未來研究的建議…………………………………………89. 參考文獻……………………………………………………………………91 壹、中文部分……………………………………………………91 貳、英文部分……………………………………………………95. 附錄………………………………………………………………………97. VI.

(9) 表次表 3-1. 國小數學領域部編版教科書第二冊第一到五單元的內容（取自：部編版國小數學課本第二冊第 2、3 頁）………………32. 表 3-2. 第一、二次測驗題目類型分析…………………………………34. 表 3-3. 教導受試者的生成規則…………………………………………35. 表 4-1. 第一次測驗—橫式多步驟加法算則之七種類型………………43. 表 4-2. 第一次測驗—直式加法算則之十種類型………………………49. 表 4-3. 第一次測驗—對計算不同進位題型之比較……………………59. 表 4-4. 第二次測驗—橫式多步驟加法算則之十種類型………………61. 表 4-5. 第二次測驗—直式加法算則之九種類型………………………67. 表 4-6. 第二次測驗—對計算不同進位題型之比較……………………74. 表 4-7. 兩次測驗使用方式的分類說明…………………………………76. 表 4-8. Ａ、Ｂ兩組答題錯誤數之比較…………………………………77. 表 4-9. 橫式多步驟加法算則的生成規則類型比較……………………79. 表 4-10. 直式加法算則的生成規則類型比較……………………………80. VII.

(10) 圖次圖 2-1. （國編版課本第一冊第 51 頁）…………………………………15. 圖 2-2. （國編版課本第二冊第 59 頁）…………………………………15. 圖 2-3. （國編版課本第三冊第 39 頁）…………………………………16. 圖 2-4. （國編版課本第三冊第 40 頁）…………………………………17. 圖 2-5. （國編版課本第三冊第 40 頁）…………………………………17. 圖 2-6. （國編版課本第三冊第 53 頁）…………………………………17. 圖 2-7. （國編版課本第三冊第 54 頁）…………………………………17. 圖 2-8. （部編版課本第一冊第 70 頁）…………………………………18. 圖 2-9. （部編版課本第一冊第 71 頁）…………………………………19. 圖 2-10. （部編版課本第一冊第 74 頁）…………………………………19. 圖 2-11. （部編版課本第二冊第 6 頁） …………………………………20. 圖 2-12. （部編版課本第二冊第 7 頁） …………………………………20. 圖 2-13. （部編版課本第二冊第 28 頁）…………………………………21. 圖 2-14. （部編版課本第二冊第 29 頁）…………………………………22. 圖 2-15. 不進位（部編版課本第二冊第 51 頁）…………………………23. 圖 2-16. 進位（部編版課本第二冊第 54 頁）……………………………24. 圖 2-17. （取自：http://203.71.239.19/math/courses/cs06/main. html）……………………………………………………………25. 圖 2-18. （取自：http://203.71.239.19/math/courses/cs06/main. html）……………………………………………………………26. 圖 3-1. 流程圖 ……………………………………………………………40. 圖 4-1. 第一次測驗：橫式多步驟加法算則—無誤型 …………………44. 圖 4-2. 第一次測驗：橫式多步驟加法算則—心算總合型 ……………44. 圖 4-3. 第一次測驗：橫式多步驟加法算則—十位個位混用型 ………45. VIII.

(11) 圖 4-4. 第一次測驗：橫式多步驟加法算則—省略加數十位型 ………45. 圖 4-5. 第一次測驗：橫式多步驟加法算則—心算十位和型 …………45. 圖 4-6. 第一次測驗：橫式多步驟加法算則—心算加數十位型 ………46. 圖 4-7. 第一次測驗：橫式多步驟加法算則—拆解一數型（被加數）…46. 圖 4-8. 第一次測驗：橫式多步驟加法算則—拆解一數型（加數）……46. 圖 4-9. 第一次測驗：直式加法算則—無誤型……………………………51. 圖 4-10. 第一次測驗：直式加法算則—二位數在上型……………………51. 圖 4-11. 第一次測驗：直式加法算則—一位數加二位數橫寫型…………52. 圖 4-12. 第一次測驗：直式加法算則—橫式寫法型………………………52. 圖 4-13. 第一次測驗：直式加法算則—加數十位縮小型…………………53. 圖 4-14. 第一次測驗：直式加法算則—加數十位畫記型…………………53. 圖 4-15. 第一次測驗：直式加法算則—皆有進位記號型…………………54. 圖 4-16. 第一次測驗：直式加法算則—忽視個位進位型（畫上進位記號）…………………………………………………………………54. 圖 4-17. 第一次測驗：直式加法算則—忽視個位進位型（不畫上進位記號）……………………………………………………………54. 圖 4-18. 第一次測驗：直式加法算則—進位記號心算型 ………………55. 圖 4-19. 第一次測驗：直式加法算則—採計不須進位型 ………………55. 圖 4-20. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—無誤型 …………………62. 圖 4-21. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—心算總和型 ……………62. 圖 4-22. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—位值數量混淆型 ………63. 圖 4-23. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—省略加數十位型 ………63. 圖 4-24. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—心算十位和型（位值無誤型）………………………………………………………………63. 圖 4-25. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—心算十位和型（位值錯誤型）………………………………………………………………64 IX.

(12) 圖 4-26. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—心算加數十位型 ………64. 圖 4-27. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—心算個位和型 …………64. 圖 4-28. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—拆解一數型（被加數）…65. 圖 4-29. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—十位個位分算型 ………65. 圖 4-30. 第二次測驗：橫式多步驟加法算則—個位分加型 ……………66. 圖 4-31. 第二次測驗：直式加法算則—無誤型 …………………………68. 圖 4-32. 第二次測驗：直式加法算則—二位數在上型 …………………68. 圖 4-33. 第二次測驗：直式加法算則—一位數加二位數橫寫型 ………69. 圖 4-34. 第二次測驗：直式加法算則—數碼加法型（不採計進位記號）…70. 圖 4-35. 第二次測驗：直式加法算則—數碼加法型（採計進位記號）…70. 圖 4-36. 第二次測驗：直式加法算則—基準線型 ………………………70. 圖 4-37. 第二次測驗：直式加法算則—十位畫記型 ……………………71. 圖 4-38. 第二次測驗：直式加法算則—皆有進位記號型 ………………71. 圖 4-39. 第二次測驗：直式加法算則—忽視個位進位型（不畫上進位記號）………………………………………………………………72. 圖 4-40. 第二次測驗：直式加法算則—進位記號心算型 ………………72. 圖 5-1. 小技巧的數字拆解方式 …………………………………………88. X.

(13) 第一章緒論本章主要在闡述此次研究的背景、目的、限制，並對此次研究的相關名詞作出明確的定義。本章共分為四個章節來作說明，第一節為研究背景，第二節為研究目的，第三節為名詞界定，第四節為研究限制。. 第一節研究背景每年評選教科書時，總是只可以看到上學期的課本內容，也只能以上學期內容作為主要評選依據，於是在前年評選一年級教科書時，跟書商要求一起將下學期（第二冊）課本、習作一併送來評選，某些書商們不僅很配合，且也將第三、四冊教科書一併送來；在數學領域部份，第一到四冊皆送來的版本為南一版、康軒版及部編版，雖僅三個版本，但卻發現在引入直式算則時出現了不同的方式；南一版及康軒版採以圖像思考的方式引出直式，部編版則是採以算則紀錄的方式引出直式。雖然，各版本都將直式當成是解題之後的紀錄，例如，在南一版第二冊第80頁「給親師的建議」：「此單元重點在學習以點數、畫. 和. 的方. 法解決二位數的加減，並會將結果用直式記錄下來。」康軒版第二冊第98 頁「親師溝通站」：「本活動透過生活情境引入加法直式紀錄，直式僅為解題後的紀錄，而非解題過程。」且，在第99頁中以點數、畫. 和. 的方. 式解出答案，再做直式紀錄；部編版在第二冊教師手冊第155頁「教學注意事項」：「本章所引入的直式紀錄，只是提供直式計算的前置經驗，並沒有計算的意涵。學生是先以橫式計算後，再寫成直式紀錄格式。」但是，引導的方式對學童的學習是否有影響呢？且，其中較令研究者感興趣的是，部編版所採用的算則紀錄教學形式；因為，該年齡層的學童其大部分的認知能力應還屬於圖像思考階段，以算則引出另一種算則的方式合乎學童的認知嗎？依教科書民編化的歷程來看，部編版可說是教科書內容設計的一個主軸；出現這一大差異，是因 1.

(14) 為部編版的課程編排可讓學童具備更具體之該相關的認知能力呢？還是，對學童而言，含有另一層次的思考邏輯存在呢？在此疑問下，跟黃教授討論後，決定採以ACT-R理論來分析，並針對使用部編版的學童來進行研究、分析，探討一年級學童在具備該相關能力後，施行橫式多步驟加法、直式加法時，他們對算則紀錄的認知型式，或許可以解開一些疑惑，因而進行了此次的研究。. 第二節研究目的希望此次研究可以探討對於使用部編版的一年級學童在開始學習第二冊第五單元「二位數的加法」前，學童使用算則來做加法計算的能力；其中，算則型式分為橫式多步驟加法與直式加法此兩類型。本研究的目的為，以生成規則為分析方法，探討當受試者以橫式多步驟加法或直式加法算則來計算不進位與進位加法題目之操作表現。根據上述的分析方法及研究目的，本研究探討的待答問題有：一、使用橫式多步驟加法算則時，學童之操作表現情況為何？二、使用直式加法算則時，學童之操作表現情況為何？三、對於計算尚未進行教學的不進位與進位之加法題目時，學童之操作表現情況為何？. 第三節名詞界定為了讓本研究內容能更加明確，故釐定出研究時所涉及的特定名詞之定義與說明，其界定如下：一、橫式多步驟加法算則本研究的橫式多步驟加法算則之算式記錄方式，是依照部編版課本及教學指引（2011）所說明之，個位與十位先分別計算總和，且先算個位和再算十位和，之後再加總個位和及十位和。. 2.

(15) 二、直式加法算則本研究的直式加法算則之算式紀錄方式，為直式中的個位數對齊個位數，十位數對齊十位數，進位記號標記於被加數的十位數下方。. 三、生成規則（production rules）受試者依其認知模式，在已具備的基模下，表現出其一連串的解決策略。. 第四節研究限制壹、研究對象的限制受限於時間、地點及人力，本研究對象僅限於臺中市某公立國小一年級的一個班級學童，因此無法做普遍性推論。. 貳、研究工具的限制本研究所設計的題目僅限於一位數加二位數、二位數加一位數及二位數加二位數，故研究結果不宜做過度推論。. 叁、研究方法的限制本研究採用ACT-R理論的生成規則來進行此次的實驗及分析；受試者依生成規則的限定，展現出的計算步驟也有所受限。. 第五節章節簡介以下研究者將分別於第二章文獻探討中介紹低年級學童具備的相關位值概念、82年版國編課程及92年版部編課程之相關內容進行分析，並解釋橫式多步驟加法算則、直式加法算則及ACT-R理論的生成規則；第三章研究方法與步驟中介紹研究流程及研究工具；第四章分析研究結果；第五. 3.

(16) 章則提出結論與建議。. 4.

(17) 第二章文獻探討本章將針對國內外相關文獻進行探討。全章共分為四節，第一節先探討低年級學童位值概念結構之認知發展，第二節將針對 82 年版的國編課程及此次實驗採用的部編版課程內容進行相關課程架構探究，第三節則針對橫式多步驟加法及直式加法算則兩種計算方式做說明，最後，第四節則以 ACT-R 的生成規則進行說明。. 第一節低年級學童位值概念結構之探討壹、兒童的認知發展一、皮亞傑（Jean Piaget ）的認知發展論（Cognitive Developmental）瑞士認知心理學家皮亞傑在自然的情境中，縝密且連續的觀察紀錄自己的三個孩子在不同的年齡階段中對於處理事物之反應，並深入托兒所、幼稚園和國小進行相關研究；採用的是質變重於量變的研究取向。（卞瑞賢，1980；張春興，2001）皮亞傑所提出的知識是由生理或心理作用在物體、圖像或象徵物的過程，兒童會用自己熟悉的規律認識周遭的一切，物體可透過對生活世界的直接接觸，但，圖像或象徵物就不一定是來自於「真實世界」，而是來自於記憶。（莊稼嬰、默瑞．湯馬斯、汪欲仙，1998）皮亞傑認為，知識是由個人與環境交互作用所建構而成，不相信認知是個人被動的經由環境而接受與拷貝知識的說法；他認為個人找到知識會予以組織，並將該知識同化為自己原本就已具備的知識狀態內。（王文科，1989）皮亞傑雖把兒童的認知發展分為如下九個階段：（一）感覺動作期（Sensorimotor Period）：又細分為六個階段。 5.

(18) 1、運用現成的感覺動作基模：0～1 個月。 2、初級循環反應：1～4 個月。 3、次級循環反應：4～8 個月。 4、協調次級基模：8～12 個月。 5、第三級循環反應：12～18 個月。 6、經由心智的聯合發明手段：18～24 個月。（二）運思前期（Preoperational Period）：2～7 歲。（三）具體運思期（Concrete Operations Period）：7～11 歲。（四）形式運思期（Formal Operations Period）：11～15 歲。但，他認為，心智發展是一種連續不斷的構造，像不斷擴展的螺旋，沒有嚴格的分割點，無法把每一個階段確確實實的分割開。（王文科，1983， 1989）站在皮亞傑對兒童認知的發展階段而言，一年級學童約屬於運思前期到具體運思期的階段；運思前期的兒童已能使用符號代表實物，具體運思期的兒童能根據具體經驗的思維來解決問題。（王文科，1983，1989；莊稼嬰等人，1998；張春興，2001）. 二、布魯納（Jerome S. Bruner）的認知表徵（Cognitive Representation）美國心理學家布魯納認為要了解兒童的學習行為，就要進入教室中研究其行為表現。（張春興，2001）並提出，學習不是只要讓學童了解知識，適應某個生活環境，而是要讓學童能更容易的適應未來的各種場合。（陳伯璋、陳伯達，1975）布魯納認為兒童認知的發展可分為動作表徵（ enactive representation ）、形像表徵（iconic representation ）及符號表徵 6.

(19) （symbolic representation）此三個階段，卻不主張按年級或年齡依循此三階段來教導學生（張春興，2001），他反對以兒童的生理年齡來區分其發展階段，也不視為刺激與反應的聯結而逐漸複雜化的量的連續過程，他認為是與構造異同的三階段所成立的質的過程；要促進這三個階段的進行，有賴於環境、教育的作用，尤其言語記號更是發展的原動力。（陳伯璋、陳伯達，1975；陳峰津，1982）布魯納認為認知的過程就是用符號表示知識的獲得與組織形成的過程；符號可分為語言符號及數字符號兩種，這兩種符號是開展新經驗和獲得新能力所不可或缺的工具。認知的過程是學習者的內在動機，而非外鑠，若要引起學習數學的興趣及培養數學能力，則要使學童感覺此種活動具有追求真理的價值，引導學童思考，解決問題，才是引起學習興趣的關鍵。並主張「螺旋式課程」，就課程的安排是採取螺旋式的型態；對於教授同一種概念，採用螺旋型式數次反復上昇排列；此種排列方式的原則為：第一次螺旋屬於動作次元，第二次螺旋屬於形像次元，第三次螺旋屬於符號次元……等反復上昇。（陳峰津，1982）. 貳、位值的認知概念探討「位值」乃指運用 0、1……9 此十個數碼在書寫時所形成的數字，其各數碼所在位置的代表數量；而利用數字中的相關位置來溝通各數碼的意義，稱之位值概念。例如，數字「54」是「5」與「4」兩個數碼所組成的，「5」的位值是十，「4」的位值是一。（82 年版數學教學指引一下，1999；羅素貞、林怡君、陳佳宜，2007）. 一、甯自強之低年級數概念運思甯自強依據文獻分析，並透過實際與兒童在教學晤談中的表現，對 7.

(20) 兒童在量的合成的運思方式說明如下：（甯自強，1992c，1992d，1992e， 1993a，1995；82 年版國編課程國小數學教學指引第一到三冊，2000，1999， 1997）（一）合成運思（integration operations）：針對每一個數字都由「1」開始，一一的進行點數；是數個 1 個的合成認知，以形成一個集聚單位。又稱「序列性的合成運思（ sequential integration operations）」。（二）累進性合成運思（progressive integration operation）：能將數字視為一個整體、一個集聚單位，而非是數個 1 個的認知；點數時，以某一數字為起點，採一個一數的方式計數，為「又一」的點數方式，若採十個一數的方式計數，為「又十」的點數方式。（三）部分—全體運思（part-whole operations）：能明顯地區分「一」單位與其他種集聚單位（例如：一個「五」、一個「八」……等），且在混合使用兩種以上的單位時，不會混淆各種單位的意義，可以將數個「集聚單位」和數個「一」合而為一，形成新的集聚單位。假如兒童可將「十」視為「可重複複製的十結構」時，可將十位位值看成幾個「十」，個位位值看成幾個「一」，採以高階單位—「十」相加，低階單位—「一」相加，再合併；此即視為直式計算的基礎。. 二、Fuson , Werane , Hiebert 與 Murry 之學童二位數的概念結構發展層次 Fuson 等人提出五種有關二位數的概念結構發展層次說明如下：（Fuson 等人，1997；羅素貞等人，2007）（一）單位一的多數碼概念（unitary multidigit conception）：此概念結構的兒童僅將數字視為是單位「一」的個位數概念結構的擴充。 8.

(21) 例如，「17」是17個「一」所形成的集合。（二）十與一的概念（decade and ones conception）：兒童可以將數字「23」看成是由「20」與「3」兩個部分組成，唯獨在數詞與數字的轉換上，容易直接將「二十三」寫成「203」。（三）序列的十與一的概念（sequence tens and ones conception）：此時兒童能以「十個一數」的方式，如「十、二十……」來計數物體時，且還能在一堆量中「看到」十的集合，並選擇以十的集合進行數十的動作。（四）分立的十與一的概念結構（separate tens and ones conception）：此時的兒童能將一堆量分成十個一組的集合，採以集合的數目做計數，而不是數集合中的內容物數量。例如，將40個物體分成十個一組，共分成四組時，兒童則數「一、二、三、四，四個十是四十」。（五）序列—分立的十與一的整合概念（sequence-separate tens and ones conception）：此概念結構的兒童能建立「十」與「一」之間的雙向關係，能知道「四個十」是「四十」個一，或「四十」個一是「四個十」。（六）已連結的單一數碼的概念結構（ concatenated single-digit conception）：此時的兒童不僅擁有適當的二位數概念，而且也能將一個二位數分成兩個單一數碼，因此，兒童能正確的解決二位數的加法或減法的直式問題。. 三、羅素貞等人（2007）針對高屏地區國小一到三年級學童進行加法概念之研究結果：（一）加法問題（不須進位）測驗進行方式是，呈現 3 個「十」和 5 個「一」的積木，當學童確 9.

(22) 定積木所表徵的數值為「35」後，詢問學童，如果再加上「22」，會得到多少？請學童採以操作積木的方式解題。而，學童拿出「22」個積木來計算總和的策略，可分為如下四種： 1、全部都數策略：採用此策略的學童，是從「1」開始點數原來所提供的. 積木—「35個一」後，再接著點數「22個一」，而得到57。 2、以第一個數為起點，累加第二個數：學童先製作「22個一」的集合，. 接著從數字「35」往上數，逐一的累加「22個一」，而得到最後的集合為57。 3、十位加十位後，再點數個位：學童將「35」看成「30」和「5」，「22」. 看成「20」和「2」，再將「30」和「20」合在一起，得到「50」，接著從「50」開始，採往上數的方式，逐一累加「5個一」進入50的集合中，得到55，逐一累加「2個一」到55的集合中，最後得到57的集合。 4、幾個「十」加幾個「十」，幾個「一」加幾個「一」：採取此策略的. 學童，是將「35」看成「3個十」和「5個一」，「22」看成「2個十」和「2個一」，再將相同單位的數合在一起，得到「5個十」和「7個一」，接著再合成為57。研究結果發現，一年級中約有四分之一的學童，二、三年級則各約有三分之一的學童是採取第四種策略：「幾個『十』加幾個『十』，幾個『一』加幾個『一』」，換句話說，這些學童已能將一個二位數看成由二個單位— 「十」與「一」所合成的數。. （二）加法問題（須進位）測驗進行方式是，呈現 2 個「十」和 8 個「一」的積木，當學童確定積木所表徵的數值為「28」後，詢問學童，如果再加上「15」，會得到多少？請學童採以操作積木的方式解題；此題，學童必須處理進位問題。而，學童拿出「15」個積木來計算總和的策略，可分為如下五種： 10.

(23) 1、全部都數策略：採用此策略的學童，是從「1」開始點數原來所提供的. 積木—「28個一」後，再接著點數「15個一」，而得到43。 2、以第一個數為起點，累加第二個數：學童先製作「15個一」的集合，. 接著從數字「28」往上數，逐一的累加「15個一」，而得到最後的集合43。 3、合「十」策略：學童先在「15」中拿出「2」，將「28」湊成整十—「30」. 後，再將15所剩餘的部分—「13」，逐一累加至「30」的集合中，而得到最後的集合43。 4、十位加十位後，再點數個位：學童將「28」看成「20」和「8」，「15」. 看成「10」和「5」，再將「20」和「10」合在一起，得到「30」，接著從「30」開始，採往上數的方式，逐一累加「8個一」進入30的集合中，得到38，再逐一累加「5個一」到38的集合中，最後得到43的集合。 5、幾個「十」加幾個「十」，幾個「一」加幾個「一」：採取此策略的. 學童，是將「28」看成「2個十」和「8個一」，「15」看成「1個十」和「5個一」，再將相同單位的數合在一起，得到「3個十」和「13個一」後，則將「13個一」看成「1個十」和「3個一」，而得到「4個十」和「3個一」，並進而合成為43。研究結果發現，一年級中約有三分之一的學童，二年級則約有二分之一的學童，三年級則超過40％的學童是採取第五種策略：「幾個『十』加幾個『十』，幾個『一』加幾個『一』」，換句話說，這些學童在二位數的概念結構上，已相當成熟。. （三）兩次研究結果比較當加法問題從「不須進位」轉變成「須進位」的題型時，一年級學童在兩次測驗上的解題策略大致不變，但，二年級卻有約 10%的學童從原可同時操弄兩個單位，退回至以「一」為基礎的運算策略，同樣的，三 11.

(24) 年級也有約 20%的學童出現此情況。. 叁、小結皮亞傑及布魯納針對兒童的認知概念發展都提出了各階段與階段間的交換進階點是沒有絕對的時間點存在，且，心智發展像不斷擴展的螺旋；由羅素貞等人（2007）的研究甚至可發現，假如題目難度提升，部分學童會退回之前的階段中做運算，這是否說明了，學童對於解決較難的題目時，是採以由低層次概念推展至高層次概念中來解題的，如同螺旋式的擴展解法？或者，是因為遺忘了此研究的表徵方式，造成年級越高退回至以「一」為基礎之運算策略的學童越多？甚至可說是因學童進入形式運思期後，已習慣了深一層的概念運思，而遺忘了具體運思期時學習用具體物的解法了？這是否也說明了，學童的運思是受教學呈現方式的影響，當時學習的教材模式會影響學童當時的解題策略？. 第二節. 82年版國編課程及92年版部編課程內容之課程架構探究. 本節將先探討兩次課程編排所採用的螺旋式課程及表徵方式，再分別針對82年版的數學科國編課程及此次實驗採用的部編版課程內容進行相關課程編排架構之探究。. 壹、螺旋式課程的編排說明螺旋式課程（Spiral Curriculum）的基本假設是，倘若尊重成長中兒童的思想方法，將有興趣的教材內容轉換為適合兒童的認知形式，以激發其進步向上，以此，我們可以把各種觀念和方法提早教給兒童，也. 12.

(25) 就是說，任何的教材都可以採用某種合理的形式，教導給在每一個發展階段的兒童。而，課程與教材則蘊含著從古至今人類思考的寶貴結晶，教材的優劣對兒童的認知發展具有決定性的影響。（陳伯璋、陳伯達，1975；张爱卿，2001）這與德國哲學家黑格爾提出的「辯證論」有相似的看法；辯證論是一種解釋世界變化的方法，應用此法，則某個命題必然受到一個相對有理且有相反提議的反命題之抗爭，而兩者之間的矛盾最後會由第三提議—綜合命題，在最高層次的真理中得到解決。黑格爾認為這個從命題到反命題，及最終的綜合命題的規律是思維的定律。（莊稼嬰等人，1998）假如我們藉由學童的認知概念給予協調及不協調的兩種認知教材，經由螺旋式的反覆上昇，配合學童的已知概念及思維，讓其能發展調和，取得吻合，在一次又一次的學習中以達進展，就能使學童的認知程度愈加豐富、完整。. 貳、以表徵觀點進行課程探討表徵是以某一種型式，用動作、話語或書寫等方式將一件事、物或想法表現出來，以達成溝通的目的。布魯納認為表徵是運思的材料，運思時可以心像或符號展現，屬個人活動，不一定要與外人溝通，其所分類出的三個類別（動作表徵、形像表徵、符號表徵）代表著運思的抽象程度，可說是用運思材料的觀點進行表徵類別的分類；而，Lesh 則可說是用溝通的觀點來描述表徵的類別，他將表徵分為：實物情境（real-world situations）、操作具體物（manipulative aids）、圖畫（puctures）、口語符號（spoken symbols）和書寫符號（written symbols）此五種，且認為學童若能在不同的表徵型式中自由轉譯，又不失原本刺激的意義，則此過程將有助於學童學習數學或解決問題。（蔣治邦，1994）. 13.

(26) 此外，Carpenter（1985）指出學童在小學二年級之前，所使用的解題策略通常會與題目中所描述的行為或關係一致。根據不同的問題情境，學童會產生不同的表徵或解題方式；所以，當學童面對問題時的理解模式，以及解題時採用的策略，都會受到運思方式的制約。（Carpenter， 1985；李盈萩，2009）如同在杭生所譯的《思維、學習與教學》（1987）一書第 223 至 224 頁中指出：「『數學關係由人建立且只存在於人的頭腦中，頭腦和材料之間的相互作用為建立這些邏輯關係所必不可少。』使兒童全神貫注於建立位值關係，有各種各樣的材料可資利用。每種材料都有助於兒童理解，然而，在應用上可能有局限。儘管材料完全是物質的，但其中的再現水平卻有一個變動範圍。……在富有意義的場合中，多種材料的陳列卻鼓勵兒童從任何特定的材料中分離出關係，這種關係僅僅建立在用抽象符號表達的相應位置上。」 82 年版的課程著重學童將其心智認知以表徵方式實際展現出，透過學童的表徵及教師、課程反覆的引導，同儕之間的互相觀摩學習，提升學童的認知概念，並達熟練。部編版課程則著重學童能將其表徵方式內化，以數字方式展現出。. 叁、82 年版國編課程相關內容之編排架構 82 年版《國民小學數學教學指引第一冊》（2000），在第 64 頁中指出：「學童此時尚未將數詞（字）系統化，每一個數字詞（字）都是一個獨立的符號（例如，13 不是數字 1 和 3 合起來形成的，而是一個完整不能分割的獨立符號），用來描述一個特定數量的群體。」因此，第一冊主要以數數活動為基礎，介紹 20 以內的各數，認識各個數詞；並在教學指引中指出（第一冊第 64 頁）：「透過合成、分解、標示及比較的活動，來經驗數詞與數詞之間的關係。」學童透過教學活動可學習運用運算符號及. 14.

(27) 數字來作紀錄，以獲得運算符號的具體意義，如下圖 2-1 所示。. 圖 2-1（國編版課本第一冊第 51 頁）. 第二冊先延續第一冊的數概念至 30 以內的各數，加深學童對「0、1、 2、3……8、9」的序列規則，掌握數詞序列的規則；另，又以「又一」的合成問題介紹 30 到 50 的各數，使學童在活動中可以注意到「31 是 30 又 1」、「32 是 30 又 2 個 1」……「42 是 40 又 2 個 1」、「43 是 40 又 3 個 1」……；此時尚須進行累進性合成運思活動，發展將數視為一整體的概念，以簡化做數的活動。介紹 51～100 的數時，才引入高階單位—「十」，透過「又十」的合成活動，逐漸讓學童將「十」也視為另一種計數單位，以「十」為單位進行累進性合成運思活動；並透過具體物認識高低階單位—「十」和「一」的區別，將 10 個「一」聚為 1 個「十」，如下圖 2-2 所示。. 圖 2-2（國編版課本第二冊第 59 頁）. 15.

(28) 當學童經驗一個數可以聚集為幾個「十」和幾個「一」，再介紹「個位」和「十位」的位名，引入「位值」的概念；並透過生活中的「拾元」硬幣，引入另一種高階單位—「十」的計數具體物，將 1 個「拾元」換成 10 個「壹元」，除建立貨幣性質上的等價關係，也加深兩位階的化聚觀念。而，「伍元」硬幣則是另一高階單位—「五」的引入介紹方式；此時學童學習了「一」、「五」和「十」此三個集聚單位。在第三冊的教材中，期望學童能逐漸發展出「又十」的累進性合成運思，並將具體物轉為備用工具，且將倍數概念以「四」、「八」……等其他的集聚關係呈現，奠定往後學習乘法運算的基礎，也豐富了學童的累進性合成運思經驗；期望學童能由「又一」的累進性合成運思擴展為「又十」的累進性合成運思概念（如下圖 2-3 之右邊女孩所示），或其他的集聚概念（如下圖 2-4），進而透過橫式算則紀錄下解題過程（如下圖 2-5），再引出直式算則，與之做比較（如下圖 2-6、2-7）。. 圖 2-3（國編版課本第三冊第 39 頁）. 16.

(29) 圖 2-4（國編版課本第三冊第 40 頁）. 圖 2-5（國編版課本第三冊第 40 頁）. 圖 2-6（國編版課本第三冊第 53 頁）. 圖 2-7（國編版課本第三冊第 54 頁） 17.

(30) 肆、部編版課程相關內容之編排架構部編版在第一冊（2010）第九章開始介紹 11 到 20 的數，並以生活化的圖像及學具—橘色積木（其長度相當於 10 個白色積木），做為代表「十」的具體物，如下圖 2-8 所示。. 圖 2-8（部編版課本第一冊第 70 頁）. 此章 9-1 節「11 到 20 的數」的課程編排由「9 加 1」開始重新介紹「10」（如上圖 2-8），並由 10 開始往上，一個一個依序介紹到 20，不僅採用不同的生活化圖像—小朋友、黑羊、雞蛋、魚鬆罐、彩色筆、鑰匙、蘋果、捲心酥、棒棒糖、捲心蛋糕、玫瑰花，將十個一組排列出，且配合橘色積木及白色積木，一一介紹每一個數詞，如下圖 2-9（介紹數詞 13、 14、15、16）所示之列舉。. 18.

(31) 圖 2-9（部編版課本第一冊第 71 頁）. 9-2 節「一元、五元和十元」則採以與生活密不可分的錢幣引出位值換算概念，雖不以十進位為絕對的進位概念，但卻也為未來的進退位加減運算留下了伏筆，如下圖 2-10 所示。. 圖 2-10（部編版課本第一冊第 74 頁）. 第一冊（2010）將學習 20 以內各數視為認數教學的第一個階段，第二冊（2011）則將對數的認識擴展到 100 以內，增多並增大數值，根據. 19.

(32) 學生已有的經驗，採用學具的操作—橘色積木和白色積木、火柴棒、串珠圖卡等（如下圖 2-11 所示之列舉），並輔以生活情境圖像—車、船等（如下圖 2-12 所示之列舉），數出 100 以內的物體，以確實掌握 100 的基數含義，也讓學生透過此活動認識計數單位—「一」和「十」。如同在第二冊的教師手冊中第 21 頁所說明之：「在數的組成、讀數、寫數等教學中，都是讓學生透過觀察、操作學具來認識 100 以內各數是由幾個『十』和幾個『一』組成的，最後要理解位值的意義，領會讀數、寫數的法則。」. 圖 2-11（部編版課本第二冊第 6 頁）. 圖 2-12（部編版課本第二冊第 7 頁） 20.

(33) 隨後則引出位值表，認識個位、十位，如同在第二冊的教師手冊中第 21 頁「活動方式」所說明之：「應及時引導學生將具體的活動抽象為相映的數學概念。如『位值』的教學，讓學生透過應用實物→計在位值表上→抽象的數來理解『十位』和『個位』。為後面學習比較萬以內數的大小打下堅實的基礎。」在此章除了透過位值表理解個位和十位的意義，知道 100 以內的數值是由幾個十和幾個一組成之外，也安排了 2 個一數、 5 個一數、10 個一數的教學活動，不僅為學童建立不同的數數概念，並又為進退位加減運算留下伏筆。第一章並不以錢幣的情境教學，錢幣的部分留待在第二章中介紹。第二章不僅符應了之前的 1 個一數、2 個一數、5 個一數、10 個一數的數數概念，也以生活化的情境，透過簡單的買賣活動，提高學生在學習數學的數數和位值換算的興趣。第三章「20 以內的加減」採以「合 10」的方式，為學生建立數學加法的十進位概念，如下圖 2-13 所示；也為學童建立了加法交換律的概念，如下圖 2-14 所示。. 圖 2-13（部編版課本第二冊第 28 頁）. 21.

(34) 圖 2-14（部編版課本第二冊第 29 頁）. 依此螺旋式的編排原則，反覆讓學童練習，並逐步加深學童對「十」與「一」集聚概念的認知，在不同的數數概念下，讓學童能建立岀數學運算時的十進位概念，以達到綜合命題的思想規律。. 伍、82年版國編課程及部編版課程編排之差異 82年版國編課程著重於讓學童能具備多種類型的集聚概念，例如：「四」、「五」、「八」、「十」、「十二」……等集聚單位，並透過乘法的基本概念教學進行；期盼透過一年級到三年級之加法相關教學活動中，學童能依其自己的認知概念，由序列性合成運思（如上圖2-1之左圖所示）進展到「又一」的累進性合成運思（如上圖2-1之右圖所示）、連續地「又十」的累進性合成運思（如上圖2-3之右邊女孩所示）、分解再結合的策略（如上圖2-4所示），引出橫式多步驟加法（如上圖2-5所示），最後能到達採以「十」、「一」兩階單位的運算策略（如上圖2-6、2-7所示）。（82年版國小數學教學指引二上，1997）部編版雖有提到多種類型的集聚概念，但僅先著重於「十」與「一」集聚概念的認知，待學童對此兩集聚單位具備充足認知，能確實執行二位數的直式加、減法運算後，在第三冊中再以乘法引出其他類型的集聚單位概念。. 22.

(35) 第三節橫式多步驟加法及直式加法算則之介紹本節將分別針對此次研究所採用的橫式多步驟加法及直式加法算則進行介紹、說明。. 壹、橫式多步驟加法算則之介紹蔣治邦（1994）提出橫式多步驟加法算則記錄方式是摘要了學童整個運思方式及結果，也可用算式來描述解題活動中的重要步驟及各步驟的結果，所以算式記錄不只唯一，例如學童在解「49+22=（. ）」時，算. 式記錄為「49+10=59；59+10=69；69+2=71」，或「49+20=69；69+2=71」。部編版第二冊（2011）第五單元所提出的橫式多步驟加法算則之算式記錄，如下圖 2- 15：不進位（部編版課本第二冊第 51 頁）、圖 2-16：進位（部編版課本第二冊第 54 頁）。. 圖 2-15：不進位（部編版課本第二冊第 51 頁）. 23.

(36) 圖 2-16：進位（部編版課本第二冊第 54 頁）. 課本雖未指明此記錄方式是否為唯一方法，但在教學指引中所列教學目標為「能在具體情境中，用先加個位再加十位的方法做二位數加二位數的不進位加法計算。」、「能在具體情境中，用先加個位再加十位的方法做二位數加一位數的進位加法計算。」且其教學注意事項中指出「在不進位加法中，先算十位還是個位並無差異，但為了日後學習進位加法的需要，應讓學生熟悉先算個位，再算十位的順序。」、「有些學生會先加幾個十，再加幾個一。雖然直式目前尚未引入，教師還是要再次提醒學生，免得學生養成習慣後，未來在學習直式計算時會出現問題。」依照部編版教學指引所說明之，橫式多步驟加法算則之算式記錄非蔣治邦（1994）所提記錄學童運思的多種步驟方式，而是上圖 2-15、圖 2-16 所舉例說明的記錄方式，本文所提之橫式多步驟加法算則記錄方式即以現行部編版所提之方式為之。. 貳、直式加法算則之介紹國家教育研究院籌備處—國中小數學教師專業成長影集《整數概念與加減運算篇》（取自： http://203.71.239.19/math/courses/cs06/ main.html）指出：「當解題過程中指涉及一個單位的計算時，我們常使用橫式來紀錄；當解題過程中涉及多個單位時，為了區分不同單位的計 24.

(37) 算活動，我們常使用直式來紀錄。因為成人都是利用多個單位的想法解決加減問題，此種解題策略適合使用直式來紀錄，因此我們稱多單位的解題策略為『直式算則』。」影集中指出學童如採用下圖 2-17 所示的，是屬以「一」一種單位的觀點來轉記在直式格式上，所以不屬於直式算則。. 圖 2-17（取自： http://203.71.239.19/math/courses/cs06/main.html）. 直式算則（如下圖2-18所示）是採用多單位的觀點來計算；其記錄步驟在影集中（取自： http://203.71.239.19/math/courses/cs06/main. html）指出為：「學童先算出8個『一』和5個『一』合起來是13個『一』，並將13個『一』聚成1個『十』和3個『一』，將3記在個位，1記在十位。學童再算出3個『十』和2個『十』合起來是5個『十』，將5記在十位。接著將1個『十』和5個『十』合起來得到6個『十』，將6記在十位，再將上面的3個『1』的3記在個位，得到6個『十』和3個『一』的答案，最後再將6個『十』和3個『一』化成63個『一』，得到答案是63。為了方便，我們常省略直式中間步驟的紀錄，直接將上面（即下圖2-18中之左邊的直式記錄）的直式改記成下面（即下圖2-18中之右邊的直式記錄）的直式。」. 25.

(38) 圖2-18（取自： http://203.71.239.19/math/courses/cs06/main.html）. 本文所提之直式加法算則之算式記錄即以此影集所提之方式為主，但因此次研究題目設計之故，為避免學童混淆數字與進位記號的關係，因此將進位記號置於加數的十位下方，來進行本次研究。. 第四節. ACT-R的生成規則. 本節將針對 ACT-R 理論及其生成規則進行說明。. 壹、ACT-R 理論 ACT-R（Adaptive Control of Thought-Rational）理論是美國人工智慧及心理學專家 John R. Anderson 等人整合多項認知理論所提出，其理論的基本觀點是認為複雜認知（complex cognition）是須由相對簡單的知識單元（knowledge units）組成，而知識單元則是由另些更簡單的原理（principles）所獲得的；即，相信人們的知識是由許多的信息塊（chunks）所聯結而成的，當人們須學習或再認時，假如已擁有較多相同的信息塊，則越容易遷移或提取出相關的複雜認知；總之，知識的結合是以信息塊建立出小型知識單位，讓其自然增長或轉變，以產出複雜的認知型態。（Anderson, J. R. , 1982 , 1993 , 1995 , 1996 ；Anderson, J. R., & Schunn, C.D. , 2000；Rittle-Johnson, B. & Koedinger, K.. 26.

(39) R. , 2001；李素卿，2003；Steven Ritte , 2007）其也認同當人們在解決問題時，會先對問題空間進行搜索，以便找到一條由問題的起始狀態到目標狀態的通路，也就是說要找到一定的運算序列，搜索或選擇運算則要靠策略的引導；一個問題可用多種不同的策略來解決，採用哪種策略除了依賴問題的性質和內容來選取，也依賴人們的知識和經驗。（Koedinger, K. R. & Terao, A. , 2002；王甦、汪安聖，2004）不論採用的策略為何，這個產生過程可以是外顯的，也可以是內隱的。（Anderson, J. R. , 1982 , 1993 , 1995 , 1996；Anderson, J. R., & Schunn, C.D. , 2000；Anderson, J. R. et al., 2004；Steven Ritte , 2007） ACT-R 理論將知識（Knowledge）分為兩類：一、陳述性知識（declarative knowledge）：指人們知道並且可以表達的真實信息；其獲得的模式有兩種；一為，透過環境所接收到的信息進行編碼，另一為，透過先前的經驗記憶所獲得的。二、程序性知識（procedural knowledge）：是透過參考舊問題以解決新問題時所獲得的知識；也就是指用來提取陳述性信息塊的規則性單元，此過程稱為生成（production）；生成規則的獲得主要是靠類比（analogy）的過程，而，要觸發類比過程需要兩個前提，一為，解決某個新問題的動機，另一為，擁有一個解決類似新問題的範例。 ACT-R 理論還提出兩個假設（Assumptions）—操作假設（performance assumptions）和學習假設（learning assumptions），認為人們是運用已知的知識或經由學習，轉換陳述性知識和程序性知識，來獲得新知；也提出兩個水準（level）—符號水準（symbolic level）和子符號水準（sub-symbolic level），解釋陳述性知識信息塊的提取效率與程序性知識生成規則的應用功效。（Anderson, J. R. , 1982 , 1993 , 1995 , 1996； Anderson, J. R., & Schunn, C.D. , 2000；Anderson, J. R. et al., 27.

(40) 2004；Steven Ritte , 2007）. 貳、生成規則（production rules） ACT-R 理論的優點是包含了各種知識的表徵，有陳述性知識的命題網絡表徵、物體的心像及相對應的空間關係和時間次序等，也有程序性知識的產出系統表徵，其對訊息的處理方式是採以逐一處理（ serial processing）的觀點，透過工作分析（task analysis）來呈現其認知過程。（Anderson, J. R. , 1982 , 1993 , 1995 , 1996；Anderson, J. R., & Schunn, C.D. , 2000；Rittle-Johnson, B. & Koedinger, K. R. , 2001； Anderson, J. R. et al., 2004；李素卿，2003；鄭麗玉，2006；Steven Ritte , 2007） ACT-R 理論認為當遇到問題時，會先搜尋以前遇過的類似問題進行類比機制作用，以形成能解決新問題的新生成規則；舉例來說，當學童在解數學題時，會根據之前所教導的陳述性知識來產出一些次要目標，透過這些次目標的產生，以「If-Then」的形式表現出，建立一個新的生成規則。而，生成規則的獲得可分為如下三個階段：一、解釋性階段（interpretive procedures）：此階段是將特定領域的陳述性知識應用於一些非特定領域的生成規則上，例如，先將目標分解或逆向推理等方式來解決問題。二、知識編輯階段（knowledge compilation）：此階段是將陳述性知識推展到使用程序性知識的過程，其具有程序化（proceduraliazation）和合成（composition）兩個子階段。三、自動化階段（autonomous stage）：在此階段時，程序性知識將更為自動化，其展現在速度與精確度兩方面上。（Anderson, J. R. , 1982 , 1993 , 1995 , 1996；Anderson, J. R.,. 28.

(41) & Schunn, C.D. , 2000；Rittle-Johnson, B. et al. , 2001；Anderson, J. R. et al., 2004；李素卿，2003；鄭麗玉，2006；Steven Ritte , 2007）本次研究即採取了生成規則的形式來解譯學生解決問題的過程，期望藉由此生成規則的觀點來評估問題解決方式，分析每一步驟，評估出錯的問題點，尋找可能的解決方式，或許可用來解決學生在操作橫式多步驟加法與直式加法算則時所遇到的問題。. 29.

(42) 30.

(43) 第三章研究方法本章節主要說明研究樣本、研究設計和實施的程序，全章共分為四節；第一節描述研究對象的相關資料，第二節描述採用的研究工具，第三節描述研究實施的程序，第四節則在說明資料處理的方法。. 第一節研究對象本研究以九十九學年度中部地區採用數學領域國小低年級部編版教科書之某班國小一年級學童為主要研究對象，採立意取樣法(purposive sampling)。因為，國小數學領域部編版教科書第二冊第一到五單元的內容為如下表 3-1 所示（國家教育研究院籌備處，2011）：. 31.

(44) 表 3-1 國小數學領域部編版教科書第二冊第一到五單元的內容（取自：部編版國小數學課本第二冊第 2、3 頁）單元. 單元名稱. 活動. 活動名稱. 第一單元. 100 以內的數. 1-1. 10 個一數. 1-2. 幾個十幾個一. 1-3. 位值表. 1-4. 數的順序. 1-5. 2 個一數，5 個一數. 1-6. 比較數的大小. 2-1. 數錢. 2-2. 25 元的組合. 2-3. 解題. 3-1. 十幾減幾. 3-2. 向下數. 3-3. 基本加法. 3-4. 基本減法. 3-5. 分與合. 3-6. 解題. 4-1. 上午到中午. 4-2. 中午到晚上. 4-3. 日曆和月曆. 4-4. 認識年曆. 4-5. 年曆的應用. 5-1. 向上數. 5-2. 二位數加二位數（不進位）. 5-3. 二位數加一位數（進位）. 5-4. 解題. 5-5. 三個數相加. 第二單元. 第三單元. 第四單元. 第五單元. 錢幣. 20 以內的加減. 時間和日期. 二位數的加法. 32.

(45) 且，此次實驗以第五單元所進行之橫式多步驟加法算則為主，該單元又以第一到三單元為主要學習能力之延伸，為避免產生霍桑效應（Hawthorne effect）（王文科、王智弘，2007），因此在不告知受試者的情形下，針對平時卷及第一次學習總評量（範圍皆為第一到三單元）的表現做為此次實驗相關能力之認定。該班在下學期數學領域第一到三單元的平時卷之平均分數為 97.85 分，高標為 100.00 分，低標為 94.00 分；第一次學習總評量之平均分數為 98.73 分，高標為 100.00 分，低標為 96.00 分。合計受試學童共 26 人，其中男生 12 人，女生 14 人。. 第二節研究工具本研究主要藉由 ACT-R 理論之生成規則（production rules）（Anderson, J. R. , 1982 , 1993 , 1995 , 1996；Anderson, J. R., & Schunn, C.D. , 2000；Rittle-Johnson, B. et al. , 2001；Anderson, J. R. et al., 2004；李素卿，2003；鄭麗玉，2006；Steven Ritte , 2007）來評估受試者採用橫式多步驟加法算則與直式加法算則時所產生的生成規則。以下先對此次測驗題目進行類型分析，再敘述此次實驗分析方式。. 壹、第一、二次測驗題目類型分析第一、二次測驗題目類型如下表 3-2 所示。. 33.

(46) 表 3-2 第一、二次測驗題目類型分析題號第一次施測題目第二次施測題目題目類型 1. 16+3=(. ). 11+4=(. ). 二位數加一位數，不進位. 2. 5+74=(. ). 6+82=(. ). 一位數加二位數，不進位. 3. 87+7=(. ). 69+4=(. ). 二位數加一位數，個位進位. 4. 8+22=(. ). 5+35=(. ). 一位數加二位數，個位進位. 5. 13+15=(. ). 23+14=(. ). 二位數加二位數，不進位. 6. 61+28=(. ). 76+22=(. ). 二位數加二位數，不進位. 7. 28+19=(. ). 43+17=(. ). 二位數加二位數，個位進位. 8. 53+37=(. ). 45+39=(. ). 二位數加二位數，個位進位. 9. 71+30=(. ). 67+52=(. ). 二位數加二位數，十位進位. 10. 86+19=(. ). 65+38=(. ). 二位數加二位數，個位與十位皆進位. 第 1 到 4 題為二位數與一位數相加的類型，其中第 1、3 題為二位數加一位數的題型，第 2、4 題為一位數加二位數的題型；而，第 5 到 10 題則皆為二位數加二位數的題型。第 1、2、5、6 題此四題為不進位的題型，其餘則皆為需進位之類型題目，但，第 3、4、7、8 題此四題為個位進位至十位的題型，第 9 題為十位進位至百位的題型，第 10 題為個位進位至十位且十位也需進位至百位的題型。其中，第 1、3 題為施測前教導學童，並請學童練習之題型。. 34.

(47) 貳、生成規則的採用方式施測前先教導受試者一種生成規則，並以二位數加一位數（進位及不進位）的題型讓受試者練習，確定受試者會使用此生成規則後，即進行測驗。. 一、教導受試者的生成規則如下表 3-3 所示。. 表 3-3 教導受試者的生成規則. 生成規. 橫式多步驟加法算則. 直式加法算則. 1. 被加數的個位與加數的個位. 1. 先寫被加數。. 相加。. 2. 再寫加數。. 2. 被加數的十位與加數的十位. 3. 位數要對齊。. 相加。. 4. 寫上＋和＝號。. 則. 3. 個位和與十位和相加。. 5. 先算個位這行：個位加個位。. 的. 4. 寫上答案。. 6. 個位寫在個位之下。. 步. 7. 十位寫在十位之下（進位記. 驟. 號）。 8. 再算十位這行：十位加十位。 9. 十位寫在十位之下。 10. 寫上答案。. 二、實驗分析方式依據 Anderson（1982 , 1993 , 1995 , 1996）所提出的看法，教學過程中將建立受教者本身的認知模型，並觸發其建立某些生成規則。此 35.

(48) 次實驗以此論點來解譯受試者面對問題時所採取的解決過程。進行實驗結果分析時，依據受試者答題的生成規則予以歸類，其分別由第一次測驗的橫式多步驟加法算則、第一次測驗的直式加法算則、第二次測驗的橫式多步驟加法算則及第二次測驗的直式加法算則之運算情形進行此四項分析，再由此四項中各題的生成規則分類出此次實驗產生之生成規則，由這些生成規則進行比較、分析；並針對各算則及Ａ、Ｂ兩組對題目進行運算時之答錯率，進行比較、分析。實驗前對受試者所說明的橫式多步驟加法及直式加法算則之生成規則步驟則當成此次分析的依據，當受試者的運算答題情況與此生成規則相同時，稱之為「無誤型」，其餘生成規則則依據其主要呈現之生成規則步驟做為命名依據。實驗過程中及其結果並不評價受試者，僅對答題運算情況進行討論，按照生成規則分析每一步驟，評估學童出錯的問題點，尋找可能的解決方式，期盼能解決學童在操作橫式多步驟加法與直式加法算則時所遇到的問題，以供教學現場的教師參考。. 第三節研究實施程序此次研究主要在探討國小一年級學童使用橫式多步驟加法算則與直式加法算則時，對計算不進位與進位的加法題目之操作表現；旨要以此主題相關的能力為考量，當進行完第一到三單元後，即學生已具備該有的相關數與量能力後，對此兩種類型加法進行教學及測驗，分析其所呈現的操作型式。因此，此次研究對象採第一到三單元總結性評量時分數表現較高的班級進行測驗，測驗時間為第五單元尚未進行教學之前，以避免因學習了第五單元後所產生的不必要影響因素。. 36.

(49) 進行施測前，全班一起進行了兩題二位數加一位數的加法教學，題目如下所示：一、不進位的題型：12+3=( 15 ) 二、進位的題型：18+5=( 23 ). 並將橫式多步驟加法與直式加法此兩種算則之運算方法進行全班教學，教學進行方式分別如下之說明：一、橫式多步驟加法算則之教學以部編版第二冊（2011）第五單元的教學目標為主要計算方式，進行橫式多步驟加法算則教學： 1. 12+3=(. ) ：被加數的個位與加數的個位相加 → 2+3=5 被加數的十位與加數的十位相加個位和與十位和相加 → 10+5=15 寫上答案 → 15. 2. 18+5=(. ) ：被加數的個位與加數的個位相加→ 8+5=13 被加數的十位與加數的十位相加個位和與十位和相加 → 10+13=23 寫上答案 → 23. 二、直式加法算則之教學以國家教育研究院籌備處—國中小數學教師專業成長影集《整數概念與加減運算篇》（http://203.71.239.19/math/courses/cs06/main. html）之直式加法算則的運算記錄寫法為主要依據的生成規則，並以此主要的記錄過程來進行直式加法算則教學： 1. 12+3=(. ) ：先寫被加數 → 12 再寫加數 → 3 37.