年版國編課程及 92 年版部編課程內容之課程架構探

本節將先探討兩次課程編排所採用的螺旋式課程及表徵方式，再分別 針對82年版的數學科國編課程及此次實驗採用的部編版課程內容進行相 關課程編排架構之探究。

就是說，任何的教材都可以採用某種合理的形式，教導給在每一個發展

（real-world situations）、操作具體物（manipulative aids）、圖畫

（puctures）、口語符號（spoken symbols）和書寫符號（written symbols）

此五種，且認為學童若能在不同的表徵型式中自由轉譯，又不失原本刺 激的意義，則此過程將有助於學童學習數學或解決問題。（蔣治邦，1994）

此外，Carpenter（1985）指出學童在小學二年級之前，所使用的解 題策略通常會與題目中所描述的行為或關係一致。根據不同的問題情境，

學童會產生不同的表徵或解題方式；所以，當學童面對問題時的理解模 式，以及解題時採用的策略，都會受到運思方式的制約。（Carpenter，

1985；李盈萩，2009）如同在杭生所譯的《思維、學習與教學》（1987）

一書第 223 至 224 頁中指出：「『數學關係由人建立且只存在於人的頭腦 中，頭腦和材料之間的相互作用為建立這些邏輯關係所必不可少。』使 兒童全神貫注於建立位值關係，有各種各樣的材料可資利用。每種材料 都有助於兒童理解，然而，在應用上可能有局限。儘管材料完全是物質 的，但其中的再現水平卻有一個變動範圍。……在富有意義的場合中，

多種材料的陳列卻鼓勵兒童從任何特定的材料中分離出關係，這種關係 僅僅建立在用抽象符號表達的相應位置上。」

82 年版的課程著重學童將其心智認知以表徵方式實際展現出，透過 學童的表徵及教師、課程反覆的引導，同儕之間的互相觀摩學習，提升 學童的認知概念，並達熟練。部編版課程則著重學童能將其表徵方式內 化，以數字方式展現出。

叁、82 年版國編課程相關內容之編排架構

82 年版《國民小學數學教學指引第一冊》（2000），在第 64 頁中指出：

「學童此時尚未將數詞（字）系統化，每一個數字詞（字）都是一個獨 立的符號（例如，13 不是數字 1 和 3 合起來形成的，而是一個完整不能

數字來作紀錄，以獲得運算符號的具體意義，如下圖 2-1 所示。

圖 2-1（國編版課本第一冊第 51 頁）

第二冊先延續第一冊的數概念至 30 以內的各數，加深學童對「0、1、

2、3……8、9」的序列規則，掌握數詞序列的規則；另，又以「又一」

的合成問題介紹 30 到 50 的各數，使學童在活動中可以注意到「31 是 30 又 1」、「32 是 30 又 2 個 1」……「42 是 40 又 2 個 1」、「43 是 40 又 3 個 1」……；此時尚須進行累進性合成運思活動，發展將數視為一整體的概 念，以簡化做數的活動。

介紹 51～100 的數時，才引入高階單位—「十」，透過「又十」的合 成活動，逐漸讓學童將「十」也視為另一種計數單位，以「十」為單位 進行累進性合成運思活動；並透過具體物認識高低階單位—「十」和「一」

的區別，將 10 個「一」聚為 1 個「十」，如下圖 2-2 所示。

圖 2-2（國編版課本第二冊第 59 頁）

當學童經驗一個數可以聚集為幾個「十」和幾個「一」，再介紹「個位」

和「十位」的位名，引入「位值」的概念；並透過生活中的「拾元」硬 幣，引入另一種高階單位—「十」的計數具體物，將 1 個「拾元」換成 10 個「壹元」，除建立貨幣性質上的等價關係，也加深兩位階的化聚觀念。

而，「伍元」硬幣則是另一高階單位—「五」的引入介紹方式；此時學童 學習了「一」、「五」和「十」此三個集聚單位。

在第三冊的教材中，期望學童能逐漸發展出「又十」的累進性合成 運思，並將具體物轉為備用工具，且將倍數概念以「四」、「八」……等 其他的集聚關係呈現，奠定往後學習乘法運算的基礎，也豐富了學童的 累進性合成運思經驗；期望學童能由「又一」的累進性合成運思擴展為

「又十」的累進性合成運思概念（如下圖 2-3 之右邊女孩所示），或其他 的集聚概念（如下圖 2-4），進而透過橫式算則紀錄下解題過程（如下圖 2-5），再引出直式算則，與之做比較（如下圖 2-6、2-7）。

圖 2-3（國編版課本第三冊第 39 頁）

圖 2-4（國編版課本第三冊第 40 頁）

圖 2-5（國編版課本第三冊第 40 頁）

圖 2-6（國編版課本第三冊第 53 頁）

圖 2-7（國編版課本第三冊第 54 頁）

肆、部編版課程相關內容之編排架構

部編版在第一冊（2010）第九章開始介紹 11 到 20 的數，並以生活 化的圖像及學具—橘色積木（其長度相當於 10 個白色積木），做為代表

「十」的具體物，如下圖 2-8 所示。

圖 2-8（部編版課本第一冊第 70 頁）

此章 9-1 節「11 到 20 的數」的課程編排由「9 加 1」開始重新介紹「10」

（如上圖 2-8），並由 10 開始往上，一個一個依序介紹到 20，不僅採用 不同的生活化圖像—小朋友、黑羊、雞蛋、魚鬆罐、彩色筆、鑰匙、蘋 果、捲心酥、棒棒糖、捲心蛋糕、玫瑰花，將十個一組排列出，且配合 橘色積木及白色積木，一一介紹每一個數詞，如下圖 2-9（介紹數詞 13、

14、15、16）所示之列舉。

圖 2-9（部編版課本第一冊第 71 頁）

9-2 節「一元、五元和十元」則採以與生活密不可分的錢幣引出位值 換算概念，雖不以十進位為絕對的進位概念，但卻也為未來的進退位加 減運算留下了伏筆，如下圖 2-10 所示。

圖 2-10（部編版課本第一冊第 74 頁）

第一冊（2010）將學習 20 以內各數視為認數教學的第一個階段，第 二冊（2011）則將對數的認識擴展到 100 以內，增多並增大數值，根據

學生已有的經驗，採用學具的操作—橘色積木和白色積木、火柴棒、串 珠圖卡等（如下圖 2-11 所示之列舉），並輔以生活情境圖像—車、船等

（如下圖 2-12 所示之列舉），數出 100 以內的物體，以確實掌握 100 的 基數含義，也讓學生透過此活動認識計數單位—「一」和「十」。如同在 第二冊的教師手冊中第 21 頁所說明之：「在數的組成、讀數、寫數等教 學中，都是讓學生透過觀察、操作學具來認識 100 以內各數是由幾個『十』

和幾個『一』組成的，最後要理解位值的意義，領會讀數、寫數的法則。」

圖 2-11（部編版課本第二冊第 6 頁）

隨後則引出位值表，認識個位、十位，如同在第二冊的教師手冊中 第 21 頁「活動方式」所說明之：「應及時引導學生將具體的活動抽象為 相映的數學概念。如『位值』的教學，讓學生透過應用實物→計在位值 表上→抽象的數來理解『十位』和『個位』。為後面學習比較萬以內數的 大小打下堅實的基礎。」在此章除了透過位值表理解個位和十位的意義，

知道 100 以內的數值是由幾個十和幾個一組成之外，也安排了 2 個一數、

5 個一數、10 個一數的教學活動，不僅為學童建立不同的數數概念，並 又為進退位加減運算留下伏筆。

第一章並不以錢幣的情境教學，錢幣的部分留待在第二章中介紹。

第二章不僅符應了之前的 1 個一數、2 個一數、5 個一數、10 個一數的數 數概念，也以生活化的情境，透過簡單的買賣活動，提高學生在學習數 學的數數和位值換算的興趣。

第三章「20 以內的加減」採以「合 10」的方式，為學生建立數學加 法的十進位概念，如下圖 2-13 所示；也為學童建立了加法交換律的概念，

如下圖 2-14 所示。

圖 2-13（部編版課本第二冊第 28 頁）

圖 2-14（部編版課本第二冊第 29 頁）

依此螺旋式的編排原則，反覆讓學童練習，並逐步加深學童對「十」

與「一」集聚概念的認知，在不同的數數概念下，讓學童能建立岀數學運 算時的十進位概念，以達到綜合命題的思想規律。

伍、82年版國編課程及部編版課程編排之差異

82年版國編課程著重於讓學童能具備多種類型的集聚概念，例如：

「四」、「五」、「八」、「十」、「十二」……等集聚單位，並透過乘法的基本 概念教學進行；期盼透過一年級到三年級之加法相關教學活動中，學童能 依其自己的認知概念，由序列性合成運思（如上圖2-1之左圖所示）進展 到「又一」的累進性合成運思（如上圖2-1之右圖所示）、連續地「又十」

的累進性合成運思（如上圖2-3之右邊女孩所示）、分解再結合的策略（如 上圖2-4所示），引出橫式多步驟加法（如上圖2-5所示），最後能到達採以

「十」、「一」兩階單位的運算策略（如上圖2-6、2-7所示）。（82年版國小 數學教學指引二上，1997）

部編版雖有提到多種類型的集聚概念，但僅先著重於「十」與「一」

第三節 橫式多步驟加法及直式加法算則 之介紹

本節將分別針對此次研究所採用的橫式多步驟加法及直式加法算則 進行介紹、說明。

壹、橫式多步驟加法算則之介紹

蔣治邦（1994）提出橫式多步驟加法算則記錄方式是摘要了學童整 個運思方式及結果，也可用算式來描述解題活動中的重要步驟及各步驟 的結果，所以算式記錄不只唯一，例如學童在解「49+22=（ ）」時，算 式記錄為「49+10=59；59+10=69；69+2=71」，或「49+20=69；69+2=71」。 部編版第二冊（2011）第五單元所提出的橫式多步驟加法算則之算 式記錄，如下圖 2- 15：不進位（部編版課本第二冊第 51 頁）、圖 2-16：

進位（部編版課本第二冊第 54 頁）。

圖 2-15：不進位（部編版課本第二冊第 51 頁）

圖 2-16：進位（部編版課本第二冊第 54 頁）

課本雖未指明此記錄方式是否為唯一方法，但在教學指引中所列教學目 標為「能在具體情境中，用先加個位再加十位的方法做二位數加二位數 的不進位加法計算。」、「能在具體情境中，用先加個位再加十位的方法 做二位數加一位數的進位加法計算。」且其教學注意事項中指出「在不 進位加法中，先算十位還是個位並無差異，但為了日後學習進位加法的 需要，應讓學生熟悉先算個位，再算十位的順序。」、「有些學生會先加 幾個十，再加幾個一。雖然直式目前尚未引入，教師還是要再次提醒學 生，免得學生養成習慣後，未來在學習直式計算時會出現問題。」

依照部編版教學指引所說明之，橫式多步驟加法算則之算式記錄非 蔣治邦（1994）所提記錄學童運思的多種步驟方式，而是上圖 2-15、圖 2-16 所舉例說明的記錄方式，本文所提之橫式多步驟加法算則記錄方式 即以現行部編版所提之方式為之。

貳、直式加法算則之介紹

算活動，我們常使用直式來紀錄。因為成人都是利用多個單位的想法解 決加減問題，此種解題策略適合使用直式來紀錄，因此我們稱多單位的

算活動，我們常使用直式來紀錄。因為成人都是利用多個單位的想法解 決加減問題，此種解題策略適合使用直式來紀錄，因此我們稱多單位的