第四章、 研究架構與方法
第三節、 使用 BTT 評價障礙選擇權的一個二期的範例
2 ) *
1 ( ) )(
1 (
) * 1 1 (
2
2
d
m B
K m S
u K d S
u
B dv K v S dv
K d S
u
T T
m d u T
m T
(4-13)
其中m 為在 Y 樹公司資產與障礙重合的節點所代表的公司資產；u 為在 Y 樹公司資產與障礙重合的節點加上
Y t所代表的公司資產；d 為在 Y 樹 公司資產與障礙重合的節點減去
Y t所代表的公司資產；S
T K
為在到 期日選擇權的報酬；B 為公司資產障礙。 *第三節、使用 BTT 評價障礙選擇權的一個二期的範例
以下討論一個二期的樹的範例在FPM 模型下評價可違約下出局障礙買 權，其中公司資產違約門檻為公司其他債務加上選擇權報酬(
D * c
)，參數如下：股價S=40、履約價 K=30、障礙 B=35、障礙折現率
0.01、公司資產在期初 V=100、公司的其他債務 D*=90、距離到期日 T=3 年、股價波動率
S 0.2、公 司資產波動率
V 0.2、公司資產與股價相關係數
0、無風險利率r=0.05、破產成本
0 . 25
。而根據上面參數，我們可以計算每一期間隔時間
t 1 . 5
、 t 1.22、 45. 2
2 t 、X 隨機變數的均數X
0 . 15
、Y 隨機變數的均數Y 0 . 15
。 首先我們先使用BTT 三元樹展開 X 樹並計算障礙選擇權，圖 4-6 為我們評 價過程。我們先將每一期的障礙計算出來：X = 0
有了每一期的障礙以後，我們現在可以利用BTT 來建立三元樹。由於 照Crama’s rule 可解得式(2-2)及式(2-3)。我們首先計算式(2-3)：
然後我們可由式(2-2)求得機率：
則更新MaxY，相反的，如果需要的 Y 軸節點比已存的 MinY 還小，則更新 MinY。
如果選擇權出局了(即圖 4-6 的灰色節點)，則該 X 節點上面的選擇權價值都是 0，
計算MaxY 和 MinY 是沒有意義的，因此在本例中我們沒有列出灰色節點的 MaxX 和 MinY。
現在整棵樹我們都建構完成，可以使用倒推法計算可違約選擇權的價值，
圖4-7 為計算可違約選擇權的過程。
m
d
圖 4-7、一個二期的可違約障礙選擇權折現過程
我們一樣先在到期日計算每一個節點的報酬，如果交易對手的公司資產大 於門檻，則可違約選擇權的報酬即為障礙選擇權的報酬，如果交易對手的公司資 產碰觸到門檻，則我們會計算清算後可拿回多少錢。圖4-7 到期日的立方柱為我 們的計算結果，立方柱的粗實線以上為交易對手沒有違約的情況，粗實線以下為 計算清算後可拿回多少報酬，我們加註一個標籤DF(Default)以標示該報酬為清 算後的報酬，此外我們也標註了在該節點對應的股價S、公司資產 V 及對應的 Y 值。
以X=1.782 的立方柱為例，該立方柱的選擇權報酬為 27.125，Y=3.24、Y=5.68 兩個節點因為在違約門檻之上，所以可違約選擇權的報酬就是27.125。當 Y=0.79 時，則因為公司資產碰觸到違約門檻，交易對手發生違約，該節點的值我們使用 X=1.707，Y=2.99 連接到到期日 X=4.231 的機率。由之前的計算可知，該節點的 中間節點將會接到下一期編號為0 的 Y 樹節點，由 Y 樹的資訊我們可求得
~
、
~、當我們在求倒推法時需要引用到公司違約的Y 軸節點，則我們使用對應的 違約評價公式計算。本例的違約公式為：
) (
* ) ) (
( ) 1
( ( )
V T
r V
V e D c
V c
V
，
其中c(
V)是在時間點
V的選擇權價值、V(
V)是在時間點
V的公司資產價值。以第一期X=1.707、Y=0.55 的節點為例，此時c(
V)28.019、 52. 111 ) ( V
V
、er(TV)D*83.497、破產成本 0 . 25
，帶入違約公式可得 015. 019 21
. 28 497 . 83
019 . 52 28
. 111 ) 25 . 0 1
(
。
最後，我們可以不斷重複上述倒推法的步驟求得期初的可違約選擇權價值 7.337。