第一節、結構式模型 (Structural model)
Merton(1974)將公司結構視為股東權益和一零息債券組合而成，債券到期日 為T，面額為 D。股東權益好比歐式買權價值，到期日為 T，履約價格為 D。套 入Black and Scholes(1973)的選擇權評價公式來對股東權益及公司債進行評價。
如圖3-1，在到期日時，只有線 4 違約。
圖 3-1、Merton 與 FPM 示意圖。
在 Merton 模型下在到期日只有線 4 違約；在 FPM 模型下線 2 和線 4 在到期日前因為碰到障礙而 違約。
Black and Cox (1976)改進 Merton(1974)模型，提出與時間相關的破產門檻，
當公司資產低於該門檻時違約(如線 2,4)，故違約有可能發生在到期日之前，股 東權益及公司債可用障礙選擇權公式評價。
當我們以傳統FPM 模型評價信用風險時，計算的是關聯標的物的風險 (reference entity risk)，而另外一種信用風險為交易對手的違約風險(counterparty risk)。本論文評價的信用風險為交易對手的違約風險，將選擇權買方的名義請求 權(nominal claim)視為一個標的物為所購買的選擇權的選擇權，並利用障礙選擇 權公式來評價此名義請求權。
Klein and Inglis (2001)只有在到期日時才考慮選擇權賣方是否違約，本論文 將引入上述首次通過模型，在每一期都檢查選擇權賣方的資產是否足以支付選擇 權賣方的負債。
第二節、模型的基礎假設
我們使用Klein and Inglis (2001)的模型，其基礎假設根據 Merton (1974)、Black and Cox (1976)、及 Johnson and Stulz (1987)。
假設 1：選擇權賣方資產的市場價值 V 的隨機過程定義為
V V
Vdt dZ
V
dV
,其中
V為選擇權賣方資產的期望報酬，
V為資產的波動度(假設為常數)，Z 為V 標準維納過程(Wiener process)。假設 2：選擇權標的資產的市場價值 S 的隨機過程定義為
S S
Sdt dZ
S
dS
,其中
S為選擇權標的資產的期望報酬，
S為標的資產波動度(假設為常數)，Z 為S 標準維納過程。Z 與V Z 的瞬間相關係數為S
VS。假設 3：假設市場為完美市場(perfect)與無摩擦(frictionless)市場，即沒有交易成 本(transaction cost)或課稅，且假設在連續時間下進行交易。
假設 4：當選擇權賣方資產V 等於小於一個門檻值(threshold)t e(Tt)D*ct時發生 違約(Default)，其中c 為選擇權在時間點 t 時的價值且 D*為選擇權賣方在到期日t 時其他債務的價值。
假設 5：選擇權買方的名義請求權(nominal claim)為選擇權在時間點 t 時的價值。
假設 6：當公司清算後，選擇權買方收到(1w)乘上名義請求權，其中w 表示名 義請求權減記(write-down)的百分比，可由破產成本推導而來。
假設 7：選擇權買方名義請求權減記的百分比為w1(1
)Vt/(e(Tt)D*ct)， 其中 表示破產成本(deadweight costs)，以占選擇權賣方資產價值的百分比表示。第三節、評價公式
根據Cox and Ross (1976) 及 Harrison and Pliska (1981)的風險中立評價方 法，最適合V 和 S 的風險中立過程為 聯合對數常態分配(joint lognormal)。基於這個分配，我們可以將可違約買權 (vulnerable call)價值寫為選擇權在時間 T 的報酬加上因為公司違約清算產生的預 期損失的期望值的折現。
基於第一節的定義，Johnson and Stulz(1987)、Klein (1996)、Klein and Inglis (2001) 分別可寫為：
Johnson and Stulz(1987)：
清算，扣除完破產成本後再依選擇權占總負債的比例償還給選擇權買方。
這三篇論文皆使用Merton 的模型。Johnson and Stulz(1987)將選擇權到期日 的報酬視為違約門檻，若選擇權買方違約，則可以獲得所有公司資產。Klein(1996) 則考慮了公司有其他債務D*的情況，且選擇權報酬對於公司債務沒有影響，因 此D*為一個常數。當違約發生時，他亦考慮破產成本以及依照債務比例來分配 公司資產。Klein and Inglis(2001)則繼承了 Klein(1996)的模型，但將公司債務改 為與選擇權報酬有關。
此外，Klein and Inglis (2001)可以縮減 Johnson and Stulz(1987)與 Klein(1996) 的模型：當
D * S
T K
時，會縮減為Johnson and Stulz(1987)的模型；當K S
D *
T
時，會縮減為Klein(1996)的模型。而我們除了上述的一般選擇權評價公式以外也分別對Klein(1996)與 Klein and Inglis(2001)加入了 FPM 模型，另外我們也將計算障礙選擇權於 Merton 與 FPM 兩種模型的評價公式。
在FPM 模型之下，公司債務考慮選擇權報酬，一般選擇權的評價公式為：