第一節、可違約選擇權(Vulnerable Option)
Johnson and Stulz (1987)首先意識到選擇權賣方在到期日可能違約的重要 性，他們將選擇權在到期日的價值視為選擇權賣方在到期日的違約門檻，且在到 期日時將選擇權分為三種情況：當股價在到期日大於履約價
S
T K
時，且選擇 權賣方資產足夠支付選擇權報酬 V
T S
T K
，則買方獲得選擇權報酬；若股價 在到期日大於履約價，但賣方無法支付選擇權報酬，則買方獲得公司全部資產；如果買權低於履約價，選擇權沒有價值，買方不會履約。
Klein (1996) 延伸了 Johnson and Stulz(1987)的架構，考慮賣方除了選擇權 以外有其他債務(D*)，且該債務為一個常數，選擇權的報酬對於賣方的債務結構 沒有影響，因此將賣方公司資產的違約門檻設定為賣方的債務；Klein (1996)亦 考慮了破產成本(bankruptcy cost)，當破產時選擇權持有人依照債權比例
ST K D*
分配賣方破產後剩餘的資產。
Klein and Inglis (2001) 則再延伸了 Klein(1996)的模型，假設選擇權報酬對 於賣方債務結構具有影響性，因此將賣方的違約門檻設定為賣方的其他債務(不 含選擇權)加上選擇權報酬
D*
ST K
。當賣方違約時計算債務比例的總債 務也使用相同的設定
ST K
D*
ST K
。Johnson and Stulz(1987)與 Klein(1996)皆有解析解(analytical solution)，Klein and Inglis(2001)則因為其違約門檻會隨著選擇權而變動，因此無法沒有解析解，
只能由數值方法逼近來計算其價值。Klein and Inglis(2001)也提供了其模型的近 似解析解(approximate analytical solution)來與數值方法的結果比較。
第二節、DFPM-HWT 樹狀結構
陳博宇(2009)提出了 DFPM-HWT 樹狀結構，該樹狀結構可處理兩個有相關 係數的隨機過程無法求得聯合機率的問題，並利用Lyuu and Dai(2006)的 BTT 樹 狀結構中的三元樹部分，讓節點剛好與障礙重合，以減少非線性誤差。
非線性誤差是因為選擇權價格函數的非線性而產生的評價誤差(Figlewski and Gao(1999))。第一個障礙生效的節點稱為外部節點(outer node，其值為 0)，而 障礙生效前的節點稱為內部結點(inner node，有值)，此時障礙在內部節點(不包 含該點)到外部節點(包含該節點)範圍間的效果是一樣的，因此我們可以認為障礙 位於障礙第一個生效的節點稱為有效障礙(effective barrier)。隨著期數越高，樹的
節點所在位置也會有所改變，障礙也會隨著外部節點的跳動而有所變動。在這樣 的情況下，使用樹狀結構計算出來的價值也會有所跳動。
圖2-1 為非線性誤差的一個示例，圖 2-1 (a)為切三期的情況，圖 2-1 (b)為 切四期的情況。L 為真實的障礙，而圖(a)的有效障礙為 L1，圖(b)的有效障礙為 L2。
圖 2-1、非線性誤差示例，節點應和障礙重合，以減少非線性誤差
Dai and Lyuu (2010)提出 Bino-Trinomial Tree (BTT)來處理非線性誤差的問 題。他們首先建立一個CRR 樹並且在最後一期讓節點與障礙重合，但這個二元 樹在第0 期時未必會和期初價格重合，因此他們提出了一個三元樹將 CRR 產生 的結果可以接回期初價格。圖2-2 為使用 BTT 評價一個障礙選擇權的示意圖。
圖 2-2、使用 BTT 評價障礙選擇權範例
L
L1 L2
(a) (b)
Barrier SA
SB
SC
S0
t
2t
t
t
參考圖2-2，當我們從最後一期開始做倒推法(Backward induction)一直做到