樹狀結構

本論文提供的樹狀結構的演算法大致如下：

1. 將兩個有相依性的隨機過程做正交化，產生兩個新的互相獨立的隨機 過程X、Y。

2. 將選擇權所代表的隨機過程(以本論文為例為 X)展開樹狀結構，並對樹 狀結構每一節點，以該節點做為參數，計算公司資產所代表的隨機過 程(以本論文為例為 Y)的障礙。

3. 從時間點 0 開始，以下一期的障礙為基礎每隔2



_Y t 建立格子點，並 以BTT 樹中的三元樹部分尋找目前結點會接到下一期的哪一個節點，

順向展開整棵DFPM-HWT 所有節點。

4. 計算最後一期所有點的值，然後開始做倒推法一直到第 0 期。其中折 現的機率為X 樹的機率乘上對應 Y 樹的機率。

以下每一節分別對每一個步驟做推導以建構本論文所提出的樹狀結構。

1、正交化

由第三章的模型假設，公司資產V 與選擇權標的資產 S 隨機過程為

V VdZ V rdt

dV  



,

S SdZ S rdt

dS  



,

其中dZV 與 dZS 的相關係數為



，r 為無風險利率。由 Ito’s lemma 可得

V V V

V

V

dZ d V t r dt dZ

V rdt

dV

 

  



 



 







 ln ( ) 2

2

S S S

S

SdZ d S t r dt dZ

S rdt

dS

 

 









 







 ln ( ) 2

2

因為公司價值與標的資產有關聯性，因此透過正交化可將造樹過程簡化。令

令X(0)0、Y(0)0，將式(4-3)式(4-4)積分可寫為

圖 4-1、一期 CRR 示意圖。

而上漲的機率p 與下跌的機率_u p 必須要滿足求期望值後要符合 X 隨機變_d 數的均數(mean)，即滿足 p_uu'p_d u' X₀



_Xt。p 與_u p 可由下列式子求得，_d 就可讓CRR 建立出來的樹狀結構符合X 隨機變數的均數，證明請見附錄 B。

u d

u X

p p

p t







  1

2 1



2-2. 利用中央極限定理建立隨機漫步

本節將使用Shreve，Stochastic Calculus for Finance II 一書中的定理 3.2.1 (Central limit)來建立 X 隨機漫步過程。

令0~T 時間切N 期，W ^T (t)

N



 





為一個scaled random work，由 Central limit (Shreve Theorem 3.2.1)可知，對於任一時間

t  0

，當N ，W ^T (t)

N



 





會收斂到 一個平均值為0 且變異數為 t 的常態分配。即

) , 0 (

~ ) (

limW ^T t N t

N

n



 









而當我們決定好N 以後，每一期的時間間格

N t T

 。圖4-2 為一個 3 期的示意

圖，其中N=3，t 1 3 0.33。

0 0 X

t X

u ' 

₀



_X



t X

d ' 

₀



_X



圖 4-2、一個 3 期的 scaled random work，其中 N=3，Δt=0.33。

圖 4-3、調整後的 scaled random work。

0

2-3. 利用 BTT 建立樹狀結構

如果要評價一個障礙隨時間變動的障礙選擇權，可以使用BTT 三元樹的部 分來建構評價樹以避免非線性誤差。圖4-4 為一個障礙隨時間變動的選擇權以 BTT 所建構的樹狀結構示意圖。

圖 4-4、以 BTT 三元樹的部分評價障礙隨時間變動的障礙選擇權。

我們由X(0)0開始到到期日T 建立 X 樹。任一節點 X(t)加上 mean 後要接 到下一期的中間節點，且該中間節點距離下一期的障礙X_middle(tt)倍2



_X t 的距離，則我們可以推導出式(4-9)以計算X_middle(tt)：



 



 











 



 0.5

2

) ( )

) (

( t

t t B t t t X

t X

X

middle



X



(4-9)

其中

B

_X

( t   t )

為下一期的障礙由股價S 空間轉換到正交化後的 X 空間的價值。

X(t)

) ( t t B

_X

 

t t

t X t t

B

_X

(   ) 

_middle

(   )  2

_X



3、Barrier

如果是歐式買權，可以用 Black-Sholes Formula 來評價。B-S 選擇權評價 公式如下：

3-2. 利用 X(t) 樹倒推法折現

由式(4-5)

) 0 (

) ln ( ) 1

( S

t t S

X



S

 ，X(t)樹僅相依於 S(t)的資訊，因此我們可以藉由 已經展開的X(t)樹，取得每個節點上的 S(t)，最後利用倒推法取得 c(t)。

在到期日T 時，我們有 X(T)，其選擇權的價格為



^



^{ }



^



^

 S T K S e K T

c( ) ( ) (0) ^SX(T)

然後使用倒推法，利用當初建構X(t)樹的機率求期望值和無風險利率折現。

由於 Barrier 僅需要 X(t) 的資訊，因此可以利用上一步驟的結果計算每一個 X(t) 上的B(t)，再由此資訊在 Y 軸上每隔2



_Y t建立一個節點。

4、建構 Y(t)樹

對於Y(t) 樹，我們將使用本章第一節 2-3 小節的方式建立樹狀結構。由於 BTT 要求每個節點的間距必須為2



_Y t，但每個時間點障礙間的落差並不一定 剛好是2



_Y t的整數倍，因此格子點間並不會對齊，示意圖如圖4-5。

圖 4-5、Y 樹建構示意圖。

對於時間點t 上的節點 A，我們尋找 t+1 上最接近Ae^Yt的點M，及 M 的 上面一點U、M 下面一點 D，最後記錄每一個 X(t)節點所需要的最大及最小 Y 值在第幾格。

Y

t

X

Y

t

Y t

 2

pu

pm

pd

A

U M

D

X1

X

X X2

5、倒推法(Backward induction)

在到期日T 時，我們可以展開 X-Y 平面上所有的點，並且所有節點的值皆可 以計算出來。因此對於

t  T  1

所形成的X-Y 平面上的點，都可以由時間 T 的點 求期望值並折現回來。

因為我們已經進行正交化，因此每個點的機率只需要將Y 樹的機率乘上 X 樹的機率即可求得。

如果發生違約(Default)，則我們使用以下公式計算違約後的公司價值：

) (

* ) ) (

0 ( ) 1 (

) (

* ) ) ( ( ) 1 ( ) (

) ( ) (

1 ²

t c D

t e c

V

t c D

t t c V t

t X t Y V

V

 



 





  









其中α 為破產成本。

在文檔中 在首次通透模型下評價可違約障礙選擇權 (頁 21-29)