修正建立投資組合的數學模型

國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

在實證研究時，由於情境樹的節點數量過少，因此根據上一章節所提出的數 學模型建立的投資組合，其第二階段投資組合(期貨與選擇權部分)的價值，除了 隨著時間價值的遞減而下降外，也因為情境樹涵蓋的情境太少，使得投資組合的 建立有錯估形勢的情況發生，而此一狀況即使透過調整投資組合也無法防止惡 化。因此，為使第二階段投資組合能有效發會避險及提供額外成長性的能力，我 們將修正上一章節所提出的數學模型並進行實證分析。

楊靜宜(民 93)在其提出的選擇權交易策略的整數線性規劃模型中，除了給予 建立投資組合的套利限制外，也額外提供了四種修正版本的套利模型，分別是：

(一)到期日的股價大於下限

A

；(二)到期日的股價小於上限

B

；(三)到期日的股價 落在

A

與

B

之間；(四) 到期日的股價落在

A

與

B

之外。本章將改寫楊靜宜的第 四類型的投資組合建立模型作為修正後的第二階段模型，藉此讓投資組合在市場 上漲或下跌時提供額外的成長能力。

5.1 修正建立投資組合的數學模型

首先，我們加入以下的設定以進行數學模型的修正：(一)同時考慮相同履約 價 的 買 權 及 賣 權 ，

K

_j 代 表 第 j 個 選 擇 權 的 履 約 價 ， 其 中

j  1 , 2,  , m

，

Km

K₁







；

y

_j

 y

^_j

 y

^_j為選擇權組合中買權的數量；

z

_j

 z

^_j

 z

^_j為選擇權 組合中賣權的數量；c 代表履約價為_j K 的買權價格；_j p 代表履約價為_j K 的賣_j 權價格，

j  1 , 2,  , m

；(二)將到期日時的市場指數I 插入各履約價間，共有_T

m  1

種情形；(三) 為使第二階段投資組合在指數市場上漲或下跌時，不僅能達到避 險的功能，更能額外獲得成長性，因此，我們假設到期日時，標的指數會落在某 個區間

( A , B )

之外，意即I_T



A或B



I_T，其中K_r



A



K_r1、K_p



B



K_p1。

根據楊靜宜(民 93)的模型及上述假設，我們提出修正後的第二階段模型如 下：

‧

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

 0





w

w

(5.7)

C y

y

c

_{j j}



_j

 

_j

 (

^{ }

)

0

, j



1 , ,m (5.8)

C

z z

p

_{j j}



_j

 

_j

 (

^{ }

)

0

, j



1 , ,m (5.9) }

0 { , ^

 N



 w

w (5.10)

0 z , ,

,

^{  }





j j j

j

y z

y

, j



1 , ,m (5.11)

5.2 實證研究

本節採用的實證分析對象與上一章節的對象相同，雖數據多達 51 組，但礙 於篇幅，本章節僅針對，T 、₁

T

₂₇與T 三組時間段進行分析及比較不同調整頻率₅₁ 的投資組合績效。

T 時間段，指數在 5000 點至 6000 點內震盪，為盤整時期；1

T

₂₇時間段，指 數從 6500 點一路穩定上升至 8000 點；T 時間段，指數在前 25 週由 8000 點上₅₁ 升至 9000 點後，之後一路下降至 4500 點左右。

在此先針對模型中的參數做以下設定：

 建立投資組合的起始投資總金額為 20 億，即

C  2 , 000 , 000 , 000

。

 為達到有效分散風險目的，將每種股票投資金額上限設定為總資產的 10%，即



_i

 0 . 1

，

i  1  , , 1 05

。

 為了避免保證金餘額不足而被催繳保證金的情形經常發生，因此將每口 期貨的原始保證金提高設定為 30 萬，約為實證研究當時，期貨之維持 保證金 5.9 萬的五倍，即

M  300 , 000

。

 第一部分的投資組合投資總金額為總資產的 80%，即

 

0.8。

 設定期貨保證金提存總金額上限為總資產的 10%，即

  0 . 1

。

 設定每種選擇權個別投資總金額上限為總資產的 10%，即

    0 . 1

。

 買入股票的交易成本只有手續費，其為交易金額的 0.1425%；賣出股票 的交易成本則包含手續費與證券交易稅，為交易金額的 0.4425%，即

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

 期貨交易包含交易金額 0.004%的期貨交易稅與每口 100 元固定手續費 的交易成本，即

h  0 . 00004

、

K  100

。

 選擇權的交易成本交易金額的 0.1%的選擇權交易稅及每口 50 元的固定 手續費。

 選擇權的履約價格選用投資組合建構時，當時包含最接近市場指數的履 約價與上下各七個連續履約價，共十五組序列。



A

與

B

分別設定為最接近市場指數的履約價下上 325 點。

 情境樹的情境設定為在期貨及選擇權在到期日當天；為避開情境樹生成 的計算複雜度，設定到期日的指數價格為最高履約價加上 50 點、最低 履約價減去 50 點及連續兩個履約價之間的平均，共十六個情境。

 為了比較調整時機對於投資組合績效的差異，設定兩種不同調整方式：

每兩週調整一次，連續調整四次；每週調整一次，連續調整八次。

圖十六、圖十七與圖十八為三組時間段內，市場指數、目標線及投資組合的 市值變化折線圖。橫軸部分表示時間 t，以週為單位；縱軸部分則表示市場指數、

目標線及投資組合的市值。透過修正後的模型所得到的投資組合，雖成長性明顯 超越上一章節的建構模型所得到的投資組合，並且能夠超越市場指數，但在追蹤 的效果上的穩定度上仍有改善空間。

圖十六 T 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ₁

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

圖十八 T 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ₅₁

這三個時間段分別代表著市場盤整時期、上漲時期與下跌時期；觀察圖十六 與圖十七可以發現，由於第二階段投資組合無論買權或是賣權皆大量放空，因此 在盤整時期，第二階段投資組合的權利金價值波動雖然額外提供了投資組合的成 長性，但也失去了穩定追蹤的效果。

比較圖十七與圖十八，分別為上漲時期與下跌時期，投資組合的調整頻率反 使得第一階段投資組合的成長走勢反應出市場趨勢，因此，調整頻率的差異反映

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

外成長，但選擇權亦會雖著市場波動，其權利金價格也會快速變動，因此在下跌 時期投資組合無法有效追蹤，但在上揚時期卻能跟著市場的上升趨勢而追蹤到目 標線。

綜合上述討論，本章節提供的模型在建立投資組合時，為符合上漲與下跌時 的套利限制，第二階段投資組合為最大化利潤，經常會透過賣出選擇權來賺取權 利金，但市場的波動在選擇權平倉及調整時會反應到整體價值上，因此，看似最 大化的利潤內藏著因市場波動性帶來的風險。而與上一章節相比，本章節提出的 修正版投資組合能有效提供投資組合額外的資金，但在市場下跌時，會因放空選 擇權而導致平倉時損失慘重，因此，是否能因時制宜的限制選擇權只能買或賣，

便是未來可以討論的重點之一。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

本論文提出一個二階段混合整數非線性規劃模型，用以建立追蹤穩定成長目 標線的投資組合。但在實際的交易市場上，股票有著嚴格的放空限制，且考慮到 避險的概念，透過對未來市場的期望及想像，藉由情境樹將期貨及選擇權商品以 隨機規劃的形式也加入投資組合中。但投資組合建立一段時間後，如：選擇權隨 著時間經過經常會有時間價值快速下降的狀況，又部分股票可能出現週期性衰退 現象，而使得整體投資組合與目標線差異過大，引此本論文提出另一調整模型對 投資組合成分進行調整，使其恢復較佳的績效表現。

透過對台灣股票市場、期貨交易市場及選擇權市場的實證分析，發現投資組 合穩定追蹤目標線的困難性。透過更新資訊來調整股票的成份，雖然會損失交易 成本，卻能藉由賣出低成長性的股票和買入高度成長潛力股使投資組合維持一定 的成長率；期貨與選擇權部分，透過預測的方式使投資組合能避免市場下跌時的 風險，但過度簡化的預測方式是會導致誤判市場形勢，使其失去避險功能，進而 影響投資組合的成長。

在投資比例的討論中，過高的第二部份投資比例會導致投資組合價值的震盪 劇烈，雖能提供額外且大量的投資報酬，但多數時期會阻礙到投資組合的成長與 追蹤目標線，因此，能否因時制宜的調整投資比例成了重要關鍵。在報酬成長率 的設定中，過高或過低的報酬率都會影響到投資組合的成長，因為過高的報酬率 經常會購入風險性較高股票，因此上漲時表現亮眼，但下跌時也毫不留情；過低 的報酬率雖能保守投資使其價值不易下跌，但也意味著成長空間有限。

為了改善上述的缺陷，本文亦提出了一修正版的投資組合建構模型，透過將 改寫楊靜宜(民 93)提出選擇權套利限制，提出修正第二階段投資組合的數學模 型，建立出一組具有在市場上漲或下跌時，不僅能提供避險更能提供額外成長性 的投資組合。

透過同時間段的實證研究與討論，也進一步的發現套利假設經常透過賣出選

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

價值經常雖然較先前提出的模型穩定，但依舊與市場的波動有著一定程度敏感的 性。

本論文建立的投資組合雖然考量到股票、期貨及選擇權三類金融商品，且考 量到交易成本與放空資產的限制，但仍然有許多狀況未考量到，具體如下：

一、股票及選擇權部份的整數限制。

二、保證金不足與從保證金帳戶提存現金等實際市場操作。

三、選擇權方面，將二元樹的概念引入選擇權的價格計算上，藉此修正對於 投資組合價值的認定。

四、在二元情境樹上面進行動態決策及針對投資比例及目標線報酬等參數 透過統計方法得到調整方式。

五、透過對市場的觀察，進一步對選擇權部位的買入或賣出進行限制。

六、透過不同數學模型對於欲選取的金融商品進行過濾。

由於隨機規劃上有著為數眾多的模型與各式各樣求解演算法，在情境樹方 面，也有將歷史資料透過動差擬合、迴歸分析或是二元樹模型等等各類不同領域 上的生成方式，如何找出適當的模型架構與金融商品作為投資組合的成份亦是一 門重要的課題。此外，本論文因應投資組合的避險及對未來的預測而將期貨及選 擇權納入投資組合當中，但許多金融體系的投資組合建構尚有債券及各類奇異選 擇權能做為投資工具，因此針對不同投資工具提出相對應的規畫模型是件值得研 究的課題。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

Andrews, C., D. Ford, and K. Mallinson, The design of index funds and alternative methods of replication, The Investment Analyst 82 (October), 16-23 (1986).

Benders, J. F., Partitioning procedures for solving mixed-variable programming

Benders, J. F., Partitioning procedures for solving mixed-variable programming

在文檔中 追蹤穩定成長目標線的投資組合隨機最佳化模型 - 政大學術集成 (頁 67-0)