建立投資組合的數學模型

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指數追蹤最主要的目的在於建立出一組投資組合，其成長率與追蹤目標指數 有一樣的走勢，但這也意味著投資組合與追蹤目標具有相同的成長和衰退。

為使投資組合在各種狀況下都能有相當好的成長率，Yao、Zhang 與 Zhou (2006)提出以幾何布朗運動模擬未來股價的方式來進行目標追蹤，但是該模型卻 忽略交易成本和允許股票進行放空，使得該模型較不符合實際市場交易限制。

謝承哲(民 99)為改善上述缺失，使用股票的歷史資料建構追蹤特定目標線的 投資組合，考量了避險的概念，在投資組合中加入期貨以規避其價值隨市場衰退 而下降的風險；投資組合經過一段時間後，會逐漸偏離所追蹤的目標線，該論文 也提出調整投資組合的模型，透過新資料的加入，使用數學規劃進行投資組合的 調整，使提供投資組合能持續追蹤目標。

綜合上述概念，本論文以股票做為追蹤特定目標線的投資組合主要成分，此 外，為使投資者建立投資組合時能將未來的預測列入考慮，透過引進情境樹的方 式，將沒有放空限制的期貨及選擇權加入投資組合中進行避險，結合上述步驟提 出二階段隨機規劃模型，建立出符合追蹤、避險及反應投資者對於未來期望的投 資組合。

4.1 建立投資組合的數學模型

追蹤目標線的目的在於尋找一投資組合，其漲跌與否皆與目標線的情況一 致。本文以股票做為投資組合的主要成分，該部份投資組合在各時間點的價值表 示如下：



 n i

i itx V

1

,

t  1  , , T



0

xi , i



1 , ,n

其中，非負的決策變數x 表示投資在股票_i i 之數量，且不允許放空，

V

_it則代表股

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使投資組合的價值穩定成長。為因應此一狀況，考量避險的概念，應將對應整體 市場的指數期貨及指數選擇權納入考量，由於這兩類商品沒有放空限制，可以讓 投資組合在指數市場下跌時規避投資組合價值下跌的風險。雖然期貨和選擇權的 避險功能可以降低風險，但買進這類商品所支付的權利金與損益，也會在市場上 揚時抵銷掉部份報酬，使得投資報酬率降低，因此，投資組合需求是完全避險或 是部份避險，將依據投資者對於風險的忍受程度來設定避險比例。

透過參數



的引進，我們將投資金額分成 C



與(1

 

)C兩部份，前者做為第 一階段投資組合的投資總金額，後者則是做為以期貨及選擇權構成的第二階段投 資組合的投資總金額，並希望第二階段投資組合能提供避險能力並最大化到期時 的資產成長。

期貨部份，由於期貨的價值分成期貨總值及保證金，則在期貨總值和資產平 衡上有著不同於股票的表示法，如下式所示：

max M(w^



w^)



(F_TL



F_T)(w^



w^)

s.t. M(w^



w^)



(F_Th



K)(w^



w^)



(1

 

)C C

w w

M( )

0



^



^

 

 0





w w

} 0 { , ^

 N



 w w

其中， M 為期貨交易每口所需提存入保證金帳戶的保證金，

h

表示買賣期貨的 單位交易成本， K 為每口期貨交易的手續費，

w

^表示為期貨的多頭部位，

w

^表 示為空頭部位，F 表示每口期貨在時間_t t 的價格，



表示期貨保證金占投資組合 比重之上限，藉此控制投資者期望的避險比例，T



L表示在T 時購買的期貨在

L

T



到期；因為F_TL是一未知數，因此透過情境的引進將其改寫成：

L

GT

w w F w w M

Q(



)



( ^



^)



_( ^



^)



_ ,

   

其中(1)



表示所有可能出現結果的集合；(2)



表示所有可能出現的結果 (outcome)；(3) F 則表示結果_



發生時的期貨價格，為一隨機變數。

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F t 在時間 t 每口期貨的價格



i 股票 i 占投資組合比重之上限



期貨保證金占投資組合比重之上限



j 買權部位占投資組合比重之上限



k 賣權部位占投資組合比重之上限



股票在投資組合的比例

C

建立時的總資產

b

F i 在時間

T

買入股票 i 的每單位交易成本



買賣選擇權的單位交易手續費



買賣選擇權的每口固定手續費

M

期貨交易每口需要提存的保證金

h

在時間

T

買賣期貨的每單位交易手續費

K

期貨交易每口的手續費

G

t 依據投資組合期望價值成長率所設定的目標線

在第一階段模型裡，以股票部位作為追蹤指數的主要成分，限制式(4.2)定義 了股票價值與追蹤目標的正負偏差，並在目標函數(4.1)中最小化所有觀測時間點 的追蹤誤差及第二階段目標的期望值；限制式(4.3)中引進一個參數，做為將資 產分割成兩部份的比例參數，並將交易手續費納入考量，定義了購買股票的資產 平衡式；限制式(4.4)定義了個別資產的上限，藉由個別資產的投資上限將風險盡 可能的分散，以避免將資金投入少數股票甚至單一股票的極端情況。

在第二階段的模型中，最主要在於建立由不同履約價的選擇權及期貨的第二 階段投資組合進行追蹤，藉由限制式(4.8)定義出各種情境下的追蹤誤差，其目標 函數同樣在於最小化追蹤誤差；限制式(4.9)則反應了建立第二階段投資組合的資 產平衡，將總資產的

( 1   )

用於投資組合，其中也考量了期貨的保證金、每口期 貨手續費、固定手續費和選擇權的各種手續費；限制式(4.10)-(4.17)則是期貨及 買賣權的投資上限及自然限制。

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

0

xi , i



1 , ,n (4.6) }

0 { , ^

 N



 w

w (4.14)

0 ,

^



 j

j

y

y

,

j  1  , , m

(4.15) 0

, ^



 k

k z

z ,

k  1  , , p

(4.16) 0

, ^



 

 g

g (4.17)

在文檔中 追蹤穩定成長目標線的投資組合隨機最佳化模型 - 政大學術集成 (頁 37-45)