調整投資組合的數學模型

國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y



0

xi , i



1 , ,n (4.6) }

0 { , ^

 N



 w

w (4.14)

0 ,

^



 j

j

y

y

,

j  1  , , m

(4.15) 0

, ^



 k

k z

z ,

k  1  , , p

(4.16) 0

, ^



 

 g

g (4.17)

4.2 調整投資組合的數學模型

在使用模型建立投資組合一段時間後，其追蹤能力可能隨著時間流逝而不再 符合建構者的期待，且第二階段投資組合的避險效果可能也會大幅下降，此時，

就須要對投資組合進行調整，希望能再次找出追蹤效果最佳的投資組合。

在調整過程中，最小化的依舊是投資組合與追蹤成長線的追蹤誤差，且投資 組合必須仍然符合最初建構時的限制，如：分散風險、避險等等限制及要求，因 此，調整投資組合的模型與建構投資組合的模型之間，決定性的差異便是調整資 產時所額外產生的交易成本。以下分別對於股票、期貨及選擇權三個部分進行交 易成本的討論和列式：

假設投資組合調整前的股票資產為

X  ( X 

₁

, , X

_n

)

，而以F 、_i^b F 分別表示_i^s 在 時 間

T

買 進 及 賣 出 股 票 i 的 單 位 交 易 成 本 ， 當 投 資 組 合 從

X

調 整 至

) , , (x ₁ x_n



x

時需要考慮買與賣兩種狀況，且須限制同一資產僅能買或僅能 賣，在此定義d 與_i^ d 分別表示股票 i 調整時的買進與賣出數量並滿足下列限制： _i^

i i i

i d x X

d^



^

 

,

i  1  , , n



0



 i i d

d ,

i  1  , , n

0

, ^



 i

i d

d ,

i  1  , , n

意即買進股票 i 時將使得

x

_i

 X

_i

 0

，則d_i^



0、d_i^



0；反之賣出股票 i 時將使

‧

‧

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

k k k k

} 0 { , ^

 N



 w

w (4.14)

0 ,

^



 j

j

y

y

, j



1 , ,m (4.15) 0

, ^



 k

k z

z , k



1 , ,p (4.16) 0

, ^



 

 g

g (4.17)

決策變數：

x i 股票 i 之投資數量

w

 期貨的多頭部位數量

w

 期貨的空頭部位數量



y

j 第 j 個買權多頭部位之投資數量



y j 第 j 個買權空頭部位之投資數量



z k 第

k

個賣權多頭部位之投資數量



z k 第

k

個賣權空頭部位之投資數量



d i 股票 i 調整時的買進數量



d i 股票 i 調整時的賣出數量



h t 投資組合中，股票的價值和目標線之間的正偏差

t

h 投資組合中，股票的價值和目標線之間的負偏差



g 投資組合中，到期日時，期貨與選擇權價值和目標線之間的正偏差



g 投資組合中，到期日時，期貨與選擇權價值和目標線之間的負偏差 參數與符號：

T

歷史資料的期數 n 投資股票總數

L

在時間點

T

時所投資的期貨及選擇權剩餘履約日

V

it 在時間 t 每單位股票 i 的價格

F t 在時間 t 每口期貨的價格



i 股票 i 占投資組合比重之上限

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y



j 買權部位占投資組合比重之上限



k 賣權部位占投資組合比重之上限



股票在投資組合的比例

C

建立時的總資產

b

F i 在時間

T

買入股票 i 的每單位交易成本

s

F i 在時間

T

賣出股票 i 的每單位交易成本



買賣選擇權的單位交易手續費



買賣選擇權的每口固定手續費 M 期貨交易每口需要提存的保證金

h

在時間

T

買賣期貨的每單位交易手續費

K

期貨交易每口的手續費

G

t 依據投資組合期望價值成長率所設定的目標線 X i 股票 i 調整前的投資數量

W

期貨調整前的原投資數量

Y

j 履約價為

c

_j的買權 j 調整前的投資數量 Z k 履約價為p 的賣權_k

k

調整前的投資數量

此模型的目的是在最小化調整後的第一階段投資組合與目標線之間的絕對 值偏差總和和第二階段投資組合與目標線之間的絕對偏差之期望值的調整方 式。限制式(4.19)為調整前後資產價值的平衡式，讓調整後股票總值與交易成本 的和等於右式的投資金額。由於沒有新的資金投入，因此左右兩式需要相等，達 到資金平衡的效果，該一限制又稱做自我融資限制式。限制式(4.20)與(4.22)是將 調整時股票調整數量分解為買進數量d 與賣出數量_i^ d 兩非負變數之差。但實務_i^ 上不會同時買賣相同股票，故需加入限制式(4.21)以避免兩者同為非零解。

同模型一，透過離散情境的引進，將其改寫為非隨機性等價模型，考慮離散 情境

  { 

₁

, 

₂

, 

₃

,  }

及對應的機率值

P

_，以下給定模型三的確定性等價模型：

‧

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

0 ,

^



 j

j

y

y

,

j  1  , , m

(4.15) 0

, ^



 k

k z

z ,

k  1  , , p

(4.16) 0

, ^



 

 g

g (4.17)

0 , ^



 i

i d

d ,

i  1  , , n

(4.22)

在文檔中 追蹤穩定成長目標線的投資組合隨機最佳化模型 - 政大學術集成 (頁 45-51)