追蹤穩定成長目標線的投資組合隨機最佳化模型 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學系碩士學位論文. ‧ 國. 學. 政治大追蹤穩定成長目標線的立投資組合隨機最佳化模型 ‧. Stochastic Portfolio Optimization y. Nat. er. io. sit. Models for the Stable Growth n. al v i Benchmark Tracking n C hengchi U. 碩士班學生：林澤佑撰指導教授：劉明郎博士中華民國一百零一年七月三日.

(2) 謝辭「一切都是短暫的，一切都將過去，而過去的一切也將成為美好。」 -俄國詩人普希金. 首先，感謝我的指導教授. 劉明郎老師；兩年來，劉老師總會適時提點我要. 做什麼以及該做什麼，還有許多寫論文的細節和做學問的方向；最後，感謝老師在最後兩個月不厭其煩的關注進度和校正論文，讓我在最後能順利口試。. 在此感謝在我低潮時經常關心我的陳天進老師，綠色瓶子是我們共同的回憶；. 政治大有加上張穎泓就能一起共鳴的余屹正老師，雖然很糟糕但是卻也學到很多。立. 帶領我進入不可測咖啡世界的蔡炎龍老師，或許是因為咖啡裡包含選擇公理；還. ‧ 國. 學. 感謝我的好朋友－李威德，和你輪流去台大聽複幾何的日子著實令人懷念，. ‧. 能有這樣的好友一同奮鬥是件美妙的事，尤其是當我們一起趕論文時，一通電話就讓你立馬出門的表情實在有趣。順帶一提，謝辭裡面的 LaTeX，你竟然忘了大. Nat. sit. y. 寫 X，希望蔡老師沒有發現這件事。最後，感謝你在論文謝辭的最後一句祝福，. er. io. 我會努力交到女朋友的，總有一天。. al. n. v i n Ch 最後，我要特別感謝 B 咖啡的老闆－詹明哲，我碩士生涯有近三分之一都 engchi U 在他的店裡面度過，阿哲是位不斷相信我是政大高材生、經常鼓勵我的大叔，雖然他的鐵漢柔情總讓人忍不住吐槽一下，但是在那裡，我能感到永遠的安心。希望 B 咖啡和阿哲會一直在那，或許，每個人都需要一個祕密基地吧！. 最後的最後，要感謝的人太多，那只好感謝讓我誕生在這世上的雙親吧！. 林澤佑. 謹誌于. 國立政治大學應用數學系中華民國一百零一年七月. iv.

(3) 追蹤穩定成長目標線的投資組合隨機最佳化模型林澤佑摘要本論文提出追蹤特定目標線的二階段混合整數非線性隨機規劃模型，以建立追蹤目標線的投資組合。藉由引進情境樹(scenario tree)，我們將此類二階段隨機規劃問題，轉換成為等價的非隨機規劃模型。在金融商品的價格波動及交互作用. 政治大. 下，所建立的投資組合在經過一段時間後，其追蹤目標線的能力可能會日趨降低，. 立. 所以本論文亦提出調整投資組合的規劃模型。為符合實務考量，本論文同時考慮. ‧ 國. 學. 交易成本、股票放空的限制，並且加入期貨進行避險。為了反應投資者的預期心理，也引進了選擇權及情境樹。最後，我們使用台灣股票市場、期貨交易市場及. ‧. 台指選擇權市場的資料進行實證研究，亦探討不同成長率設定之目標線與投資比例對於投資組合的影響。. sit. y. Nat. al. er. io. 關鍵字：目標線追蹤問題、期貨避險、投資組合調整、混合整數非線性規劃、二. n. 階段隨機規劃、情境樹. Ch. engchi. v. i n U. v.

(4) Stochastic Portfolio Optimization Models for the Stable Growth Benchmark Tracking Lin, Tse-Yu Abstract To construct a portfolio tracking specific target line, this thesis studies how to do it via two-stage stochastic mixed-integer nonlinear model. We introduce scenario tree. 政治大 volatility of price and the interaction of each financial derivatives, the performance of 立 the tracking portfolio may get worse when time elapses, this thesis proposes another to convert this stochastic model into an deterministic equivalent model. Under the. ‧ 國. 學. mathematical model to rebalance the tracking portfolio. These models consider the transactions cost and the limitation of shorting a stock, and the tracking portfolio will. ‧. include a futures as a hedge position. To reflect the expectation of investors, we introduce scenario tree and also include a options as a hedge position. Finally, an. y. Nat. sit. empirical study will be performed by the data from Taiwan stock market, the futures. al. er. io. market and the options market to explore the performance of the proposed models. We. v. n. will analyze how the different benchmarks settings and invest ratio will affect the value of the tracking portfolio.. Ch. engchi. i n U. Keywords ： benchmark tracking problem, futures hedging, portfolio rebalance, mixed-integer. nonlinear. programming,. programming, scenario tree. vi. two-stage. stochastic.

(5) 目錄謝辭 ····························································································· iv 摘要 ·····························································································. v. Abstract························································································ vi 目錄 ····························································································· vii 表目錄 ·························································································· viii 圖目錄 ·························································································· ix. 第一章緒論 ·················································································. 1. 1.1. 研究動機 ··········································································. 1. 1.2. 研究目的與架構 ·································································. 3. 2.1. 資產配置 ··········································································. 學. ‧ 國. 第二章. 政治大文獻回顧··········································································· 立. 4 4. 2.2. 指數追蹤 ··········································································. 6. 2.3. 隨機規劃 ··········································································. 9. ‧. 第三章數學模型探討 ···································································· 11. y. Nat. 3.2. 指數追蹤的數學模型 ··························································· 22. n. al. er. sit. 資產配置的數學模型 ··························································· 11. io. 3.1. Ch. i n U. v. 第四章建立追蹤目標線投資組合的數學模型與實證研究 ······················· 30. engchi. 4.1. 建立投資組合的數學模型 ····················································· 30. 4.2. 調整投資組合的數學模型 ····················································· 38. 4.3. 實證研究 ·········································································· 44. 第五章模型的修正與實證研究 ························································ 60 5.1. 修正建立投資組合的數學模型··············································· 60. 5.2. 實證研究 ·········································································· 62. 第六章結論與建議········································································ 66 參考文獻 ······················································································· 68 附錄附表 ···················································································· 70. vii.

(6) 表目錄表一. T1 至 T51 時間段投資組合與目標線市值之追蹤誤差百分比平均值 ······· 46. 表二. T1 至 T51 時間段投資組合與市場指數市值之偏差百分比平均值 ·········· 47. 附表一不同時間段資料的起迄日 ····················································· 70. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. viii. i n U. v.

(7) 圖目錄圖一. T1 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ···················· 47. 圖二. T2 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ···················· 48. 圖三. T27 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ·················· 49. 圖四. T28 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ·················· 49. 圖五. T52 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ··················· 50. 圖六 A 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ···················· 52. 政治大 A 時間段不同投資比例的市值變化比較圖 ··································· 54 立. 圖七 B 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ···················· 53 圖八. ‧ 國. 學. 圖九 A 時間段不同投資比例的市值變化比較圖 ··································· 54 圖十 A 時間段   0.95 對不同目標報酬率的市值變化比較圖 ·················· 56. ‧. 圖十一 A 時間段   0.9 對不同目標報酬率的市值變化比較圖 ················· 56. sit. y. Nat. 圖十二 A 時間段   0.8 對不同目標報酬率的市值變化比較圖 ················· 57. al. er. io. 圖十三 B 時間段   0.95 對不同目標報酬率的市值變化比較圖 ··············· 57. n. 圖十四 B 時間段   0.9 對不同目標報酬率的市值變化比較圖 ················· 58. Ch. engchi. i n U. v. 圖十五 B 時間段   0.8 對不同目標報酬率的市值變化比較圖 ················· 58 圖十六. T1 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ················· 63. 圖十七. T1 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ················· 64. 圖十八. T1 時間段市場指數、目標線及投資組合的市值變化圖 ················· 64. ix.

(8) 第一章. 緒論. 1.1 研究動機自 Markowitz (1952)提出以數學規劃模型來處理投資組合選擇理論(portfolio selection problem)以來，投資決策成為了一門新的學科，其衍生出許多不同的規劃模型或理論，而這些往往都是為了達到相同或相似的目的－控制風險並追求高投資報酬率或等價地－給定報酬下追求最小風險。而不論是最佳化理論、隨機控制理論或是啟發式演算法等等，在當代的金融體系裡，總能看見有許多的數學規劃模型被廣泛使用，而隨著金融市場越趨複雜及金融商品間的交互作用，越來越. 政治大. 多不同特性的金融商品一一問世，從早期單純的存款、股票到近年來十分熱門的. 立. 期貨、選擇權及共同基金，投資者該如何從眾多投資工具當中挑選適用於自己的. ‧ 國. 學. 金融商品，並將資金有效的分配在這些金融商品上，是一個十分重要的課題。. ‧. 為了描述金融市場的不確定性(uncertainty)，Frauendorfer (1995)、Steinbach (1998)延伸了 Markowitz 的投資組合模型，提出了情境樹(scenario tree)為主的隨. y. Nat. sit. 機規劃模型，以過去的歷史資料生進行未來時間的情境生成(scenario generation). n. al. er. io. 來決定投資組合策略。而藉由將情境樹視為離散的隨機變數，許多機率論及機率. i n U. v. 規劃的技巧也被隨之引進。自此，描述不確定性的預測類模型也在此時蓬勃發. Ch. engchi. 展，也提供了許多投資者一個能符合過去歷史資料的預測方法。. 相對於 Markowitz 是以控制風險並追求高投資報酬率為目的而建立投資組合模型，後進學者們如：Andrews、Ford 與 Mallinson (1986)和 Meade 與 Salkin (1989)，是以指數追蹤的技巧來建構投資組合，指數追蹤投資組合的目的在於使投資組合的成長率能與設定的目標成長率一致，常見的追蹤法為完全複製(full replication)、分層法(stratification)、抽樣法(sampling)這三種。近年來，十分熱門的指數型股票基金(Exchange Traded Fund, ETF)便是以完全複製法所建構的投資組合，然而，因其組成指數的股票種類龐大，對於使用完全複製法建構的投資組合，其相對應的管理較為繁瑣，因此，如何透過數學規劃的方式來挑選少量股票以建構投資組合，也是近期的指數追蹤模型裡的課題之一。. 1.

(9) 在投資組合的建構上，高風險與高報酬往往是一體兩面，而槓桿效應的存在，使得避險(hedge)的概念應運而生，而股價指數期貨及選擇權便是能運用其中的兩項金融商品。透過這兩項金融商品，投資者不僅可以避險，更可以藉此觀察對應的投資標的物，其價格波動及市場走勢，將這些納入建構投資組合中，更能提高投資報酬率，因此，透過選用不同的避險比例，不論是風險愛好者(risk lover)、風險中立者(risk neutral)或風險趨避者(risk aversion)皆能透過這兩類金融商品控管投資者所能承受的風險。. 無論是單期(single-period)或是多期(multi-period)的投資組合，在建構一段時間後，投資組合的成效會跟著市場的波動隨之變動，因此，如何調整投資組合也. 政治大原則來進行效率研究，如：定期調整或觀測投資組合表現等等。除了持續滿足風立漸漸受到投資人關注。為使投資報酬在長時間內極大化，學者們透過不同的調整. ‧. ‧ 國. 進來。. 學. 險控管下的高報酬外，為了符合現實狀況，交易成本也經常在調整的過程被考慮. 結合過去學者所提出的模型與技術，本論文考慮使用股票建立投資組合提出. Nat. sit. y. 追蹤特定目標線的數學規劃模型。為了提升投資組合的追蹤能力，使用情境樹將. al. er. io. 期貨及選擇權的隨機報酬特性納入模型中，加入期貨與選擇權的避險功能建立包. n. 含股票、期貨與選擇權的投資組合。納入情境樹的數學規畫模型為二階段隨機整數非線性規劃模型。. Ch. engchi. 2. i n U. v.

(10) 1.2 研究目的與架構本論文是以指數追蹤的技巧來追蹤固定成長率的目標線，尋求一種穩定成長的投資組合。為改善投資組合的追蹤能力，引進情境樹和隨機規劃的概念來提高投資組合的報酬及避險能力，並在經歷一段時間後重新調整，使其能有良好的追蹤效果。我們提出雙階段隨機混合整數規劃(two-stage stochastic mixed-integer programming, SMINP)模型建構與調整投資組合。考慮到股票的放空限制和流動性，為了改善純股票組成的投資組合難以在市場下跌仍保有穩定成長率，因此加入沒有放空限制的期貨以避險，藉此提高成長率；除此之外，引進情境樹的概念並將選擇權納入投資組合中，針對選擇權的部分進行隨機規劃，這將提供投資組. 政治大權市場做為實驗資料來源，並針對我們所提出的數學規劃模型給予實證分析。立. 合額外的避險與成長能力。最後，我們將以台灣股票市場、期貨市場和台指選擇. ‧ 國. 學. 此篇論文的主要架構簡述如下：. 研究架構。. ‧. 第一章為緒論。介紹本論文的研究動機，並進一步說明此論文的研究目的及. y. Nat. sit. 第二章為文獻回顧。針對研究資產配置問題、指數追蹤問題及隨機規劃的相. er. io. 關文獻，作一系列的發展回顧。. al. v i n Ch 題之相關數學模型的發展歷程；第二部分介紹指數追蹤問題之相關規劃模型的演 engchi U n. 第三章為數學模型的探討。此章節共有為三部分：第一部分介紹資產配置問. 進過程；第三部分介紹隨機規劃問題之歷史發展及各種模型。. 第四章為追蹤目標線的數學規劃模型。此章分為兩部分：第一部分介紹建構追蹤目標線的投資組合數學模型；第二部分介紹調整投資組合的規劃模型。第五章為實證研究的結果與討論。以台灣股票市場、期貨市場和選擇權市場作為實證的資料來源，應用第四章的混合整數非線性數學規劃模型建構及調整投資組合，並針對重要參數做綜合性分析。第六章為結論與建議。此章綜合性歸納整理本論文獲得的研究結果，並提出後續相關研究的建議。. 3.

(11) 第二章. 文獻回顧. 本章主要針對資產配置(asset allocation)、指數追蹤(index tracking)及隨機規劃(stochastic programming)的相關文獻做一系列整理與回顧，藉以闡述這三類模型之間的關係及涵義。. 2.1 資產配置資產配置問題是根據風險控管下的高投資報酬為原則，挑選並分散投資在各種不同的金融商品上，該如何控管風險及投資報酬門檻的設立，是研究資產配置. 政治大. 理論的核心精神。在 1952 年，投資組合的破冰者－Markowitz 建構出平均變異. 立. 數模型(mean-variance model, MV model)，使用報酬的變異數為風險，其目的是在. ‧ 國. 學. 這樣的設定下最大化報酬或在給定報酬下最小化風險，然而，此模型為一個二次規劃問題，其計算較為複雜造成實務使用上較為不方便。. ‧. 自 Markowitz 以後，投資組合最佳化的研究日趨進步；而後進學者 Konno. y. Nat. sit. 與 Yamazaki (1991)提出了平均絕對偏差模型(mean absolute deviation mode, MAD. n. al. er. io. model)改善平均變異數模型的缺點，該文定義報酬的絕對偏差為投資組合的風險. i n U. v. 值，新的風險定義將模型改寫成線性規劃模型，大幅降低平均變異數模型在實務. Ch. engchi. 上求解的困難。此外，該文所定義的絕對偏差可視為 L1 函數，而 Markowitz (1959) 的變異數可視為 L2 函數。Konno 與 Yamazaki (1991)並在此論文中證明兩者在目標報酬呈現多元常態分配下為等價的。. Speranza (1993)考慮到不同風險偏好者對於風險承受度的不同，將 Konno 與 Yamazaki 提出的 L1 風險函數分解為高於平均報酬及低於平均報酬的兩部分，分別定義為上方風險(upside risk)及下方風險(downside risk)，而文中使用以不同的權重組合這兩者所得到的風險函數的模型，則稱為半絕對平均偏差模型(mean semi-absolute deviation model)。同樣地，文中也指出在風險趨避的適當設定下，L1 函數和半絕對偏差可視為等價。除此之外，Speranza 觀察到不同時間點的歷史資. 4.

(12) 料，對於投資組合的影響不一，因而將時間權重加入模型之中，以反應不同時間點的資料對於投資組合的影響程度。. 在 Konno 與 Yamazaki 的線性規劃模型中，共有 2T  2 條限制式，以線性規劃的觀點，該模型的解至多 2T  2 種股票，其中 T 代表過去資料觀測時間長度； Feinstein 與 Thapa (1993)為降低解空間的大小以提升求解效率，藉由引進兩組偏差變數的方式，改寫了 MAD 模型的目標函數及合併限制式，將原本 2T  2 個限制式降低為 T  2 條，進一步降低非零資產的個數。在投資數量無上限的假設下，這之間的差異除了降低問題規模以增加求解速率外，更藉由限制式的數量來控制投資資產的個數。. 政治大 Young (1998)定義了風險忍受程度較小的 L 風險函數，提出以大中取小投資立 . ‧ 國. 學. 組合選擇方法(minimax portfolio selection rule)。大中取小的原則是在給定報酬下，最小化過去各觀測時間點的最大偏差；換言之，找出一組最穩定的投資組合，. ‧. 使其各時間點的最大偏差是最小的；等價的來說，如果考慮報酬為負的風險，則模型將採用小中取大原則。同樣地，文中亦指出 L 及 L2 函數在目標報酬呈現多. y. Nat. er. io. sit. 元常態分配下的等價性。. al. v i n Ch 型，最後將交易成本納入並改寫楊靜宜(民 e n g c93)提出的整數線性規劃模型，並於實 hi U n. 陳明瑩(民 96)考慮選擇權構成投資組合的交易策略，考慮各類投資決策模. 證分析研究該投資組合模型的套利空間。. 有別與使用過去歷史資料構成投資組合，以處理不確定性問題為主的隨機規劃通常加入對於未來市場不確定情境的預測資料來進行投資組合配置。二階段隨機規劃即是將問題畫分為確定性(deterministic)及隨機性(stochastic)兩階段問題的規劃模型，藉由離散情境的引進可以進一步改寫成非隨機性等價模型；Gülpınar、 Rustem 與 Settergren (2003)提出的多階段平均變異數模型就是以在這樣的想法下應運而生。. 5.

(13) 2.2 指數追蹤有別於傳統資產配置的建立投資組合方法以控制風險並追求高報酬或給定報酬下的最小風險為原則，指數追蹤是以最小化與目標的追蹤誤差為目的。. 指數的概念是以證券市場上以一固定原則選定符合原則的證券，藉由客觀標準(成交量、資本、股本…等)或主觀標準(成長性、市場評估差異…等)的原則設立，將符合這些原則的證券共同組合成一個指數，而在多數市場投資人的保守策略下，指數基金(index fund)應運而生；指數基金是根據某一指數的組成成份來建立相似或相同比例的投資組合。Meade 與 Salkin (1989)將指數基金的建構方式分. 政治大完全複製法雖然可以完美追蹤指數，但隨著指數組成成份的複雜，卻也伴隨著高立. 為：完全複製(full replication)、分層法(stratification)、抽樣法(sampling)這三類；. ‧ 國. 學. 管理成本，而其於兩法嚴重缺乏追蹤能力，卻也因為不斷修正投資組合構成所帶來高交易成本。. ‧. Meade 與 Salkin 藉由最小化投資組合與市場間的成長誤差為目標，將數學. Nat. sit. y. 規劃模型引進指數追蹤的世界裡。文中也提出以前者使用統計方法來決定各類股. er. io. 票比例的估計係數法(estimated coefficients)及使用公司市值加權資本額來做為股. al. v. n. 票比例的市值加權法(capitalization-weighted)等兩種方法。文中並加入產業分層限. i n C 制與否做為探討，在這四類方法上進行實證分析。 hengchi U. 由於上述追蹤誤差函數為二次函數，與 Markowitz 的模型相似，計算上較為困難；參考修正自 MA 模型的 MAD 模型，莊智祥(民 87)定義了絕對追蹤誤差做為指數追蹤誤差函數  2 (P) ，並使用 Feinstein 與 Thapa 修正 MAD 模型的方式進行目標規劃，因為該模型考慮了購買數量上的限制，因此是一個混合整數線性規劃(mixed-integer linear programming, MILP)模型。 2 (P) 的定義提供了三項重要的性質，其二是該函數的凸性(convexity)保證了全域最佳解，其二是藉由修改  2 (P) 的正負變數可以改善求解速度，其三是  2 (P) 的片段線性性質解決了求解上最根本的複雜度問題。白惠琦(民 91)提出一套啟發式演算法(heuristic algorithm)以處理莊智祥(民 87)建構指數基金的 MILP 模型。在計算該模型時，首先考慮局部放. 6.

(14) 鬆的 MILP 模型，切平面法(cutting-plane method)及合理不等式(valid inequality) 的引進可以加快計算效率，而根據對偶性質計算出各變數加入解集合對於目標函數的貢獻度，再根據貢獻度設計原本模型的近似整數解。實證研究顯示，該演算法提升演算效率且最佳解與近似解誤差很小。. 由於投資組合建立一段時間後，就可能無法再滿足建立時所設的各種限制條件，因此，蘇代利(民 93)提出一套建立調整指數基金的混合整數線性規劃模型，在建立指數基金一段時間後，根據最新資料對指數基金的配置作調整，使其恢復良好的追蹤效能。此模型將最小交易單位、最小交易批量、交易成本及固定交易費用比率等台灣股票市場實際交易的限制條件均納入考量，以此建立出調整時有最小交易成本的投資組合。. 立. 政治大. Yao、Zhang 與 Zhou (2006)則考慮追蹤固定成長率與市場指數等兩種不同追. ‧ 國. 學. 蹤目標。文中捨棄過去以根據歷史資料的走勢來建立投資組合，而是透過幾何布. ‧. 朗運動(geometric Brownian motion, GBM)建立出隨機線性二次控制模型，使用 algebraic Riccati equation 證明了單純求解的不可能，最後將該模型轉換成半正定. Nat. sit. y. 規劃(semidefinite programming)來求解。該文也提出僅以少量目標指數的組成成. al. er. io. 分來追蹤指數，藉由隨機挑選了 5 種股票來建立追蹤指數投資組合。該投資組合. n. 建立模型允許股票放空及忽略股票交易費用。除了分析兩種追蹤模型的表現好壞. Ch. 外，還對投資組合的調整週期作不同測試比較。. engchi. i n U. v. Canakogz 與 Beasley (2008)引進迴歸分析的概念，透過 MILP 模型來建立追蹤指數與超越指數的投資組合。文中利用最小平方法(ordinary least squares)求取各股票報酬率與指數報酬率間的線性迴歸線之截距(intercept)和斜率(slope)，再藉由依據各股票的投資比重進行作線性組合，取得整個投資組合和指數間的迴歸係數。其考量追蹤績效的指標是利用投資組合與市場指數報酬率間的線性迴歸的斜率作參考，若斜率愈靠近 1 表示投資組合變動與市場指數變動愈相似；而超越指數的部分則利用迴歸直線的截距來判斷，若截距愈大則表示愈能夠超越指數。以此目的進行目標規劃並最小化交易成本，用以建立指數追蹤的三階段混合整數線性規劃模型。. 7.

(15) Canakogz 與 Beasley 針對香港恆生指數、DAX100、FTSE100、標準普爾 100、 Nikkei225、標準普爾 500、Russel2000 與 Russel3000 等八項指數進行一系列實證分析。首先將資料分為內樣本(in-sample)與外樣本(out-of-sample)時間，討論在內樣本時間符合追蹤限制的投資組合是否在外樣本能延續追蹤能力，並比較不同交易限制下，指數追蹤的績效表現好壞和求解時間的長短，而藉由給予不同超額報酬，來驗證投資組合的表現是否能夠超越指數。. 承襲 Yao、Zhang 與 Zhou (2006)追蹤穩定成長線的想法，謝承哲(民 99)提出以穩定成長線為其目標的追蹤模型，加入避險的概念，將期貨納入其追蹤成長線. 政治大調整投資組合的想法，以定期調整的方式來維持追蹤能力。立. 的投資組合，考慮到追蹤能力受時間和市場波動而下降，結合了蘇代利(民 93). ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 8. i n U. v.

(16) 2.3 隨機規劃隨機規劃是為牽涉到不確定性(uncertainty)的最佳化問題的一種概念，其下有許多的模型如：隨機規劃、機率規劃(probability programming)、隨機最佳化 (stochastic optimization)等。. 二階段隨機規劃(two-stage stochastic programming)是在眾多隨機規劃模型中最常使用的一類，由必須在現在時間點決定的確定性部分為第一階段(first stage) 問題，而在第一階段決定後才能觀察到的隨機部分為第二階段(second stage)問題，結合第一段的決策及面對第二階段的不確定性，合併考慮求取最小期望成本. 政治大廠設立或是流程設計等大規模工業工程問題。立. 或最大期望效益的模型二階段隨機規劃模型。其發展背景是來自於水壩建立、工. ‧ 國. 學. 為了描述不確定性，從離散情境(discrete scenario)開始萌芽進而成長到樹的. ‧. 情境樹(scenario tree)，是在處理隨機規劃時最常被使用的技術；在特殊情況下，情境樹的引進可以使得隨機規劃轉變成等價的確定性模型，回到傳統的確定性規. Nat. sit. y. 劃裡，。而藉由將規劃問題畫分成確定性及隨機性的方式，二階段隨機規劃是在. al. er. io. 情境樹的引進後最容易被處理的一類模型，使用 Bender’s decomposition (1962). v. n. 在這類型的二階段隨機規劃問題上，發展出適合各種應用的演算法。. Ch. engchi. i n U. Bender 分解演算法是將二階段隨機規劃改寫成主問題(master problem)及包含情境樹的子問題(sub-problem)，藉由不斷處理子問題所獲得的上下限，回饋到主問題的一類演算法；由於演算過程中，限制式矩陣會隨著主、子問題的不斷增加成為一下三角矩陣，所以在不同領域裡，Bender 分解經常被稱為 L-shaped 法。. 90 年代，隨機規劃模型在財務市場上的使用蓬勃發展，各種技巧因應著不同的需求而有所發展。Steinbach (1998)提出了以情境樹為主的隨機規劃模型，將情境樹的結構、生成及各類情境樹下的誤差分析。. Gulpinar、Settergren 與 Rustem (2004)提出多階段隨機二次規劃(Multi-stage. 9.

(17) stochastic quadratic model, SQ model)模型，考慮交易成本並以 Markowitz 的單階段規劃模型為出發點，將其擴充成為多階段的投資組合建構模型。文中給定了許多隨機規劃在建構與電腦計算上的技巧，能有效降低計算複雜度，其中亦實際探討不同情境數量下的計算效率，計算時間都能有效控制在六分鐘內，除此之外，文中亦討論交易成本的考量對於投資組合表現的好壞。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 10. i n U. v.

(18) 第三章. 數學模型探討. 本章將按照文獻回顧提到過去學者的數學模型及演進過程，主要分為資產配置及指數追蹤兩部分來介紹。. 第一節以資產配置的數學模型為主：從投資組合選擇問題的先驅－ Markowitz (1952)提出的 MV 模型開始；由學者 Konno 與 Yamazaki (1991)提出的 MAD 模型及其相關發展，進展到 Young (1998)提出的大中取小原則為核心的投資組合選擇方法；回顧陳明瑩(民 96)的選擇權交易策略模型，最後以二階段隨機規劃的簡介及 Gülpınar、Rustem 與 Settergren (2003)考慮交易成本的多階段 MV. 政治大. 模型做結。第二節以指數追蹤的數學模型為主：從莊智祥(民 87)以其定義的追蹤. 立. 誤差函數  2 (P) 所建立的 MILP 模型為起始；白惠琦(民 91) 發展出一套啟發式演. ‧ 國. 學. 算法，透過前者的對偶模型及切平面法來解決求解上的困難；蘇代利(民 93)則建立調整指數基金的最小成本模型，使追蹤誤差能保持良好水準；Yao、Zhang 與. ‧. Zhou (2006)藉由隨機控制的概念建立出隨機線性二次控制模型，並利用半正定規劃來求解；Canakogz 與 Beasley (2008)則引進迴歸分析的的概念來建立指數基. y. Nat. n. al. er. io. 及其調整模型。. sit. 金，謝承哲(民 99) 考量了避險，將期貨納入其提出的追蹤穩定成長目標線模型. 3.1 資產配置的數學模型. Ch. engchi. i n U. v. 首先介紹的是 Markowitz 的投資組合選擇模型，做為投資決策理論的起始點，Markowitz (1952，1959)提出的平均變異數模型(以下稱 MV 模型)除了成為後繼學者的典範及參考外，影響後世最深的就是報酬函數及風險函數的概念， Markowitz 定義報酬函數為各資產的期望報酬之線性組合，具體表示法如下： n n  n 投資組合的報酬函數為： r (x)  E  R j x j    E[ R j ]x j   r j x j  j 1  j 1 j 1. 其中 x  ( x1 , , xn ) 為資產決策變數， x j 代表配置在資產 j 的金額， E[ R j ] 則表示為第 j 資產的期望報酬。Markowitz 定義其風險函數為期望報酬的變異數。. 11.

(19) 定義 3.1 (Markowitz，1952) L2 風險函數 σ 2 (x) 為投資組合報酬之變異數，延續上面的數學符號，其表示式如下： 2  n n      σ 2 (x)  E  R j x j  E  R j x j      j 1     j 1  n. n. n.   σ 2j x 2j  2 σij xi x j j 1 n. j 1 i  j. n.   σij xi x j j 1 i 1. 模型 A：Markowitz 的 MV 模型 n. min. n.  ij xi x j. 立. j 1i 1. 政治大. n. ‧ 國. 學.  rj x j   C. s.t.. j 1. ‧. n. xj C j 1. y. Nat. al. n. xj. 資產 j 之投資金額. 參數及符號：. (3.2) (3.3). er. io. 決策變數：. sit. 0  x j  U j , j  1, , n. (3.1). Ch. engchi. i n U. v. n. 資產投資總數. rj. 資產 j 投資報酬率之期望值，即 r j  E[ R j ].  ij. 資產 i 與資產 j 報酬率之共變異數，即  ij  E[( Ri  ri )( R j  r j )]. . 投資者所期望之最小投資報酬率. C. 原始投資總金額. Uj. 資產 j 的投資金額上限. Markowitz 在其 MV 模型中將風險函數，亦即就是投資組合的變異數，設為目標函數，各限制式分別代表門檻限制、變數限制或財務平衡等；限制式(3.1). 12.

(20) 表示投資組合的總報酬必須大過投資者設定的投資報酬；限制式(3.2)表示投資總金額為 C ；限制式(3.3)則表示資產 j 的投資上限。. MV 模型確實成為了當代資產決策理論的基礎模型，但由於其目標函數為非線性二次函數，所以在實際求解上有計算效率上的問題。因此，Konno 與 Yamazaki (1991)提出了 MAD 模型以改善 MV 模型計算較麻煩的不便性；其定義的 L1 風險函數取代了 Markowitz 的 L2 風險函數，並於文中指出兩者在常態分配下的等價性，因此最小化 L1 風險函數等價於最小化 L2 風險函數。. 定義 3.2 (Konno 與 Yamazaki，1991) L1 風險函數 K (x) 為投資組合報酬率的平均. 政治大. 絕對偏差(mean-absolute deviation)，其定義如下：. 立. ‧ 國. 學. n  n  K (x)  E |  R j x j  E[  R j x j ] |  j 1  j 1. .  ( x). io. sit. 2. er. Nat. K ( x) . y. ‧. 定理 3.3 (Konno 與 Yamazaki，1991) 當 ( R1,  , Rn ) 呈多元常態分配時，則. al. v i n Ch 變數，原始模型將可改寫成線性規劃模型。我們透過歷史資料估計隨機變數 Rj， engchi U n. 雖然經過等價的轉換，但 L1 風險函數仍是非線性函數；藉由引進一組偏差. 取得第 t 期的報酬率 r jt ，並令 r j 為所有時間內的平均報酬率，再以 a jt 來表示第 t 期報酬率 r jt 與平均報酬率 r j 之間的差。因此 L1 風險函數可改寫為： n  n  1 T n 1 T n K (x)  E |  R j x j  E[  R j x j ] |   |  (r jt  r j ) x j |   |  a jt x j | T t 1 j 1  j 1  T t 1 j 1 j 1. 為了將此風險函數改為線性函數，需再加入一組變數 yt  0 ，使得 n. yt  |  a jt x j | , t  1, , T j 1. 接著根據絕對的線性化過程，將上式分解成兩條線性限制式：. 13.

(21) n. n. j 1. j 1. yt   a jt x j  0 , yt   a jt x j  0 , t  1, , T. 在這兩條限制條件下，最小化線性函數. 1 T  yt 等同於最小化 L1 風險函數。 T t 1. 模型 B：Konno 與 Yamazaki 的 MAD 模型 min. 1 T  yt T t 1 n.  rj x j   C. s.t.. (3.1). j 1. 政治大. n. xj C j 1. 立. 0  x j  U j , j  1, , n. (3.2) (3.3). ‧ 國. 學. n. yt   a jt x j  0 , t  1, , T. (3.4). ‧. j 1 n. yt   a jt x j  0 , t  1, , T. y. Nat. (3.5). sit. j 1. al. n. 決策變數：. Ch. xj. 資產 j 之投資金額. yt. 偏差變數. (3.6). er. io. yt  0 , t  1, , T. engchi. i n U. v. 參數及符號： T. 歷史資料的期數. r jt. 資產 j 在時間 t 的報酬率. rj. 資產 j 投資報酬率之期望值，即 r j  E[ R j ] . a jt. 第 t 期報酬率 r jt 與平均報酬率 r j 之間的差，即 a jt  r jt  r j. 1 T  r jt T t 1. 與 MV 模型相比，MAD 模型除了是線性規劃模型外，最大的優點是避開了. 14.

(22) 共變異數矩陣的估計及計算，大大降低計算上的複雜度。除此之外，將 L1 風險函數根據絕對值的拆解，可以改寫成： n  n  K (x)  E   R j x j  E[  R j x j ]   j 1  j 1.    E  min  0,   . n     max  0, R x  E [ R x ]  j j  j j  j 1 j 1   n. n n        E max 0, E[  R j x j ]   R j x j   max  0,     j 1 j 1   . n  R x  E [ R x ]  j j  j j  j 1 j 1  n.   R j x j  E[  R j x j ] j 1 j 1  n. n. 期望值裡的第一項代表實際報酬低於期望報酬的下方風險(downside risk)，第二項則代表實際報酬高於期望報酬的上方風險(upside risk)；對於兩項具有部同. 政治大. 意易風險函數，不同的投資決策人有不同的承受程度，但 Konno 與 Yamazaki 僅. 立. 將其相加做為一函數來考量，並未具體顯示其差異性，因此 Speranza (1993)給予. ‧ 國. 學. 兩項風險不同的權重，重新定義一個風險函數：. n. al. Ch. engchi. y. er. io. 其中，  與  表示上下方風險接受程度的權重。. n  R x  E [ R x ]  j j  j j  j 1 j 1  n. sit. n      max  0, R x  E [ R x ]  j j  j j  j 1 j 1   n. Nat.   N (x)  E   min  0,   . ‧. 定義 3.4 (Speranza，1993) 風險函數 N (x) 定義如下：. i n U. v. 對於不同類型的投資者，可以藉由調整風險權重  和  ，來滿足各自的風險喜好。文中亦證明此風險函數與 L1 風險函數之間存在的關係：. 定理 3.5 (Speranza，1993) ( R1 , , Rn ) 在任一機率分配之下，皆滿足 N ( x) .   2. K ( x). 從上述定理，令     1 ，就能得到 Speranza (1993)的模型等價於 MAD 模型此一重要結論。. Speranza 發現到歷史資料的遠近關係對投資組合有不同程度的影響，因此，. 15.

(23) 加入時間參數來反應新舊資料的影響。Speranza 定義必然發生的時間因素及投資者對未來投資遠景作預測所產生的兩種不同的時間參數，透過估計資產在下一期的報酬率，並建構出最小化下方風險的投資組合。. 當投資者面對的一序列到期日相同但不同履約價格( k1  k 2    k n )的買權及賣權時，楊靜宜(民 93)在這樣的狀況下，針對選擇權交易策略提出了一個整數線性規劃模型，該文亦提出了由選擇權構成的投資組合在何種狀況下具有套利機會並透過實務研究驗證了模型的可行性。. 定理 3.6 (楊靜宜，民 93) 若一投資組合 ( X , Y ) 滿足下列條件： n.  ( x j  x j )  0. 立. j 1 n. 政治大 n. n. ‧ 國. j 1. j 1. 學.  (k j  p j )( y j  y j )   c j ( x j  x j )  0 l 1. j  l 1. ‧.  (k j  kl  p j )( y j  y j )   (kl  k j  c j )( x j  x j )  0 , l  1, , n j 1. Nat. er. io. sit. y. 則具有套利機會。. al. 但楊靜宜(民 93)藉由上者定理提出的模型並沒有考慮到交易成本，為符合實. n. v i n Ch 務交易狀況，陳明瑩(民 96)剖析了選擇權最佳投資策略的規劃模型，使用兩種不 engchi U 同的模型來進行改寫並考慮不同型態的交易成本如下：模型 D：陳明瑩的大中取小選擇權投資組合模型 min. v n. s.t..  ( x j  x j )  0. (3.7). j 1 n. n. j 1. j 1.  (k j  p j )( y j  y j )   c j ( xj  xj ) n. n. j 1. j 1.   ( p j   )( y j  y j )   (c j   )( x j  x j )  0. 16. (3.8).

(24) n. l 1. j  l 1. j 1.  (k j  kl  p j )( y j  y j )   (kl  k j  c j )( x j  x j ). L. n. n. j 1. j 1. (3.9).   ( p j   )( y j  y j )   (c j   )( x j  x j )  d l , l  1, , n. `. d l  v , d l  L , l  1, , n. (3.10). x j  x j  M , j  1, , n. (3.11). y j  y j  M , j  1, , n. (3.12). x j , x j , y j , y j  0 , j  1, , n. (3.13). 決策變數：. 政治大. 第 j 個買權的買入數量. x j. 第 j 個買權的放空數量. y j. 第 j 個賣權的買入數量. y j. 第 j 個賣權的放空數量. dl. 履約價為 k l 下的選擇權投資組合報酬與虛擬報酬之負偏差. ‧. ‧ 國. 立. 學. x j. y. Nat. sit. 參數及符號：. kj. 第 j 項選擇權的履約價， k1  k 2    k n. cj. 履約價為 k j 的買權價格. pj. 履約價為 k j 的賣權價格. M. 買權與賣權的購買數量上下限. L. 投資者所設定的虛擬目標報酬. . 比例制交易成本. . 固定制交易成本. n. al. er. 選擇權總數. io. n. Ch. engchi. i n U. v. 限制式(3.7)與(3.8)是套利機會存在的限制式；限制式(3.9)與(3.10)定義最大負偏差；限制式(3.11)、(3.12)與(3.23)則為選擇權本身的自然限制。文中給定了交易成本函數，並由實證研究當中發現套利機會確實存在。. 17.

(25) 為了敘述下一個模型，首先介紹二階段隨機線性規劃(two-stage stochastic linear programming, SLP)的基本型。最基本的 SLP 模型敘述如下：. 模型 D：SLP 的標準型 min. z  cT x  E [Q( x,  )]. s.t.. Ax  b x0. 其中 Q( x,  )  min dT y s.t.. T x  W y  h y0. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 在給定的機率空間 (, P) 上，  代表的是定義在這個機率空間上的情境 (scenario)或可能發生的結果， E 在此代表對於情境  的期望值。此時， x 稱為. ‧. 第一階段變數(first stage variable)，必須在情境  發生前所做的決策變數； y 則稱為第二階段隨機變數(second-stage stochastic variable)，是在  發生後因應不同情. y. Nat. er. io. sit. 境下的決策變數。. al. v i n Ch 演，考慮離散機率分配 P ，我們可以給出 i U e n g Ec h具體的形式如下： n. 根據機率分配的性質，許多機率論的技巧可以被引進規劃模型裡頭進行推 . E [Q( x,  )] .  p( )Q( x,) ,. p( ) 代表情境  發生的機率. . 在滿足給定機率分配是離散的假設及上述表示法下，我們可以目標函數的期望值部分以機率表示法取代，因此，我們可以將 SLP 改寫成等價確定性模型如下：模型 E：SLP 的等價確定性線性模型 min. z  cT x .  p( )Q( x, ). . s.t.. Ax  b. T x  W y  h ,    18.

(26) x  0 , y  0. 在給定離散情境  後，透過改寫 SLP 而得到的等價確定性模型可以在電腦上進行演算法的編寫及計算，Kalvelagen (2003)提供了在數學軟體 GAMS 下使用情境樹計算上述等價確定性線性模型的方式及 Bender (1962)分解演算法的實例。. 透過情境樹的設立及推廣，我們可以將二階段隨機規劃擴充成多階段隨機規劃模型。Gülpınar、Rustem 與 Settergren (2003)改寫 Markowitz 的單階段 MV 模型，建構一多階段隨機二次規劃模型(multi-stage stochastic quadratic programming model, MSQP model)。其多階段隨機模型如下：. 政治大模型 F：Gülpınar、Rustem 與 Settergren 的 MSQP 模型立 T. n n   P  e   ( ie, j  ri r j )( xa(e), i  xa(e), i )( xa(e), j  xa(e), j ) e Nt  i 1 j 1 . t 1. p j  (1  cb )b0, j  (1  cs )s0, j  x0, j , j  1, , n n. n. n. j 1. j  1, , n. j 1. (3.14) (3.15). sit. j 1. Nat.  b0 j   s0, j  1   p j ,. y. s.t.. ‧. ‧ 國.  t. 學. min. al. n. n. er. io.  re, j xa(e), j  (1  cb )be, j  (1  cs )se, j  xe, j , e  N I , j  1, , n (3.16) n.  be, j   se, j  0 , e N I j 1. j 1. Ch. engchi.  n  P  e   re, j ( xa(e), j  x e Nt  j 1. . a (e), j ). . i n U. W. v. (3.17). (3.18). Le, j  xe, j  U e, j , e  N , j  1, , n. (3.19). 0  be, j  U eb, j , e  N I  0 , j  1, , n. (3.20). 0  se, j  U es, j , e  N I  0 , j  1, , n. (3.21). 決策變數：. x. 各資產在投資組合的數量. b. 股票的買進數量. s. 股票的賣出數量. 19.

(27) 參數與符號： T. 投資組合的持有長度. t. 在時間點 t 的隨機資訊向量. t.  {1 ,  2 , , t } －直到時間點 t 時所有發生的歷史資訊. N. 情境樹上的點構成的集合. Nt. 在時間點 t 時所有可能情境所構成的集合. NI.  N  N 0  NT  －情境樹上的所有內點 i.e.不包含根部和葉子. s. 對應情境的指標. e.  ( s, t ) －在時間點 t 的情境. a(e). 事件 e 的父輩. pe. 政治大事件 e 的分支機率： p  prob[e | a(e)] 立 e. t. E. 對  的期望值. pj. 最初持有的投資組合中，資產 j 的比例向量. cb. 購買股票的單位買進成本向量. cs. 購買股票的單位賣出成本向量. j 1. n. engchi. sit er. io. Ch. y. Nat. al. rt (  t ) 資產所構成的隨機報酬向量. ‧. ‧ 國. 事件 e 的機率：若 e  (s, t ) ,則 Pe   p( s, j ). 學. Pe. i n U. v.  ie, j. 資產 i 與資產 j 在事件 e 時的共變異數. re, j. 資產 j 在事件 e 時的隨機報酬： re ~ N (rt (  t ),  ej , j ).  re, j.  E (re, j ( t |  t 1 )) －事件 e 下給定  t 1 之 rt (  t ) 資產 j 的條件報酬. x. 市場基準點. . 為 w 、 w  、 b 與 s 的指標，不是 t  1, , T 就是 e N. W. 在時間點 t  T ，給定的最小目標報酬. 模型是考慮在 t  0 建立投資組合，並在 t  1, , T  1 這幾個時間點進行自我融資(self-financing)，並在 t  T 時希望持有的投資組合報酬超越基準點加上給定. 20.

(28) 的超額報酬。. 由於上述 MSQP 模型是改寫自 MV 模型，因此目標函數是最小化變異數函數，  t 是針對各時間點變異數的時間參數；限制式(3.14)是在 t  0 時，投資組合與買賣成分股的平衡式，其中包含買進及賣出的交易成本 cb 和 c s ；限制式(3.15) 是起始投資組合的比例平衡式；限制式(3.16)是投資組合在情境樹之內的價值；限制式(3.17)是在內點做動態平衡的時候，滿足自我融資的限制；限制式(3.18) 就如同(3.1)一樣，是要求最終報酬大過給定投資報酬的限制，但由於不確定性及情境樹的合併，因此以期望值的形式要求不小於給定報酬；其餘限制式是決策變數的天然限制或人工限制。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 21. i n U. v.

(29) 3.2 指數追蹤的數學模型 Meade 與 Salkin (1989)提出兩種在決定建構指數基金時，各股票投資比例權重的決定方式，而其追蹤誤差函數定義如下：. 定義 3.7 (Meade 與 Salkin，1989) 追蹤誤差 1 : R n  R 是測量投資組合 P 與市場指數之間報酬率差距的一種函數。令 RtI 和 RtV 分別代表市場指數和投資組合在第. t 期的報酬率，則傳統追蹤誤差之定義為：. 1 (P) . 其中， RtI . I t  I t 1 I t 1. T.  ( RtV  RtI ) 2. 政治大 V V ，R  立 V ， I 和 V 分別代表市場指數和投資組合在 V t. t 1. t 1. t. t. t 1. t. ‧ 國. 學. 第 t 期的價值。. ‧. 如同 L2 計算上的困難，1 (P) 也具有同樣的特性而不易計算，因此莊智祥(民. y. Nat. 87)使用 Konno 與 Yamazaki 定義 L1 函數並改寫 MV 模型的方式，重新定義投資. io. sit. 組合價格與市場指數價格的絕對偏差為  2 (P) 追蹤誤差函數，並改寫成線性函數. n. al. er. 以增加求解效率，其定義如下：. Ch. engchi. i n U. v. 定義 3.8 (莊智祥，民 87) 令 p jt  R ， x j  N  {0} ， p jt 和 x j 分別表示股票 j 在第 t 期的價格及股票 j 的購買數量。則追蹤誤差為： T. T. n.  2 (P)   | Vt  I t |   |  p jt x j  I t | t 1. t 1 j 1. 莊智祥(民 87)透過最小化設定追蹤誤差為目標，應用了 Feinstein 與 Thapa (1993)改善 MAD 模型的方式，引進了正、負偏差變數 d t 及 d t 以改善求解效率。但由於股票 j 的購買數量為非負整數，且以 0-1 變數 y j 表示該股票的持有與否，因此建立出一個整數規劃的問題。. 22.

(30) 模型 G：莊智祥的指數追蹤模型 T. min. z   (d t  d t ) t 1. n. d t  d t   p jt x j  I t , t  1, , T. s.t.. (3.22). j 1. n.  y j  N0. (3.23). x j  M j y j , j  1, , n. (3.24). x j  N  {0} , y j {0, 1} , j  1, , n. (3.25). d t , d t  0 , t  1, , T. (3.26). j 1. 決策變數：. 立. 政治大. 股票 j 的購買數量. d t. 在時間 t 投資組合價值與市場指數價值間的正偏差. d t. 在時間 t 投資組合價值與市場指數價值間的負偏差. ‧. ‧ 國. 學. xj. sit. n. al. er. io. 參數及符號：. y. Nat. 1 當 x j  0 yj   0 其他. p jt. 股票 j 在時間 t 的價格. It. 市場指數在時間 t 的價值. N0. 投資組合所選取的不同股票數上限. Mj. 表一正數，即 M j . Ch. engchi. i n U. v. max t {I t }  W j ， W j 為股票 j 之資本額權重 min t { p jt }. 此數學模型的目標是最小化投資組合在觀察期間內與市場指數的偏差總和；限制式(3.23)表示總投資股票種類數不超過 N 0 ；限制式(3.24)表示若投資股票 j 則 y j  1，且可購買數量不超過 M j；倘若不購買股票 j 則 y j  0。限制式(3.25) 表示各股票皆不能放空且投資數量為整數。. 23.

(31) 由於投資組合建立一段時間後，就可能無法再滿足建立時所設的各種限制條件，但過去的數學模型在建立投資組合後，並不會討論到後續時間點重新調整投資組合的狀況，因此，投資者將面臨調整投資組合的問題。蘇代利(民 93)在建立指數基金一段時間後，根據最新資料對指數基金的配置作調整，提出一套建立調整指數基金的最小交易成本模型。. 首先利用模型 G 來建立指數基金，並假設所得的最小追蹤誤差為 Z ，即. Z  min z ，此時所建立的投資組合為 X  ( X 1 , , X n ) 。而調整後的新投資組合. x  ( x1 , , xn ) 除了要滿足原限制條件(3.22)、(3.23)、(3.24)、(3.25)與(3.26)外，還需達到其追蹤誤差不比原先的追蹤誤差 Z 大太多的條件。再假設 k j 、 k j 分別. 政治大. 為股票 j 每單位買進、賣出的交易成本，考慮指數基金從 X 調整至 x 所需的交易. 立. n. n. j 1. j 1. 學. ‧ 國. 成本 C (x  X) ：. C (x  X)   k j ( x j  X j )    k j ( x j  X j ) . ‧. 其中    max(  ,0) ,    max(  ,0) ，由於最大值函數為非線性，因此引進兩組. al. er. io. sit. y. Nat. 變數 u j 與 v j 使得 u j  v j  x j  X j , u j  0 , v j  0 , u j v j  0 , j  1, , n. n. 根據互補限制式(complementarity constraints)的性質，u j v j  0 , j  1, , n 限. Ch. engchi. 制式可以消去，得到下列 MILP 模型：. i n U. v. 模型 H：蘇代利的指數基金調整模型 min. n. n. j 1. j 1. C (x  X)   k j u j   k j v j T. s.t..  (d t  d t )  Z (1   ). (3.27). t 1. n. d t  d t   p jt x j  I t , t  1, , T. (3.22). j 1. n.  y j  N0. (3.23). j 1. 24.

(32) x j  M j y j , j  1, , n. (3.24). x j  N  {0} , y j {0, 1} , j  1, , n. (3.25). d t , d t  0 , t  1, , T. (3.26). u j  v j  x j  X j , j  1, , n. (3.28). u j , v j  0 , j  1, , n. (3.29). 決策變數：. xj. 股票 j 在新投資組合中的投資數量. d t. 在時間 t 投資組合價值與市場指數價值間的正偏差. d t. 在時間 t 投資組合價值與市場指數價值間的負偏差. uj. 調整時股票 j 的買進數量. vj. 調整時股票 j 的賣出數量. 學. ‧ 國. 立. 政治大. 1 當 x j  0 yj   0 其他. ‧. 參數及符號：. 股票 j 在時間 t 的價格. It. 市場指數在時間 t 的價值. N0. 投資組合所選取的不同股票數上限. Mj. 表一正數，即 M j . k j. 買進每單位股票 j 的交易成本. k j. 賣出每單位股票 j 的交易成本. Xj. 股票 j 在原投資組合中的投資數量. Z. 原指數基金投資組合所具有的最小追蹤誤差值. . 投資者所能容忍的誤差程度，即  . sit. n. er. io. al. y. Nat. p jt. i n U. v. C h max t {I t } e n p c} hWij ， W j 為股票 j 之資本額權重 min t {g jt. zZ Z. 此數學模型的目標在於使調整投資組合時的交易成本最小。限制式(3.27)表示將新投資組合的追蹤誤差限制在最佳誤差的可容忍變動範圍內。限制式(3.28). 25.

(33) 表示投資組合各資產買進賣出的調整，若 x j  X j ，則再買進股票 j ，這時 u j  0 、 v j  0 ，反之亦然。. 謝承哲(民 99)參考了 Yao、Zhang 與 Zhou (2006)追蹤穩定成長目標線的想法，提出了以追蹤穩定成長線為目標的追蹤模型，該模型裡結合了避險的概念，加入了期貨做為投資組合的成分資產，謝承哲的追蹤穩定成長目標線模型如下：. 模型 I：建立追蹤目標線投資組合的模型 T. min. z   ( zt  zt ) t 1. zt. n.  V jt x j. 立. j 1. 治政大  M (w  w ) . . (3.30). 學.  ( Ft  F1 )(w  w )  Gt , t  1, , T. ‧ 國. s.t..  zt. n. (3.31). 0  V jT x j  δ j C , j  1, , n. (3.32). ‧.  (1  f jb )V jT x j  (M  FT h  K )(w  w )  C. Nat. n. al. er. io. w w  0. sit. 0  M ( w  w )   C. y. j 1. Ch. zt , zt  0 , t  1, , T x j  0 , j  1, , n. engchi U. w , w  N  {0}. v ni. (3.33) (3.34) (3.35) (3.36) (3.37). 決策變數： xj. 股票 j 之投資數量. z t. 投資組合價值和目標線之間的正偏差. z t. 投資組合價值和目標線之間的負偏差. w. 期貨的多頭部位數量. w. 期貨的空頭部位數量. 參數及符號：. 26.

(34) T. 歷史資料的期數. n. 投資股票總數. V jt. 在時間 t 每單位股票 j 的價格. Ft. 在時間 t 每口期貨的價格. j. 股票 j 占投資組合比重之上限. . 期貨保證金占投資組合比重之上限. C. 建立時的總資產. f jb. 在時間 T 買入股票 j 的每單位交易成本. M. 期貨交易每口需要提存的保證金. h. 在時間 T 買賣期貨的每單位交易成本. K. 學. ‧ 國. Gt. 政治大期貨交易每口的手續費立依據投資組合期望價值成長率所設定的目標線. 限制(3.30)與(3.35)代表的是追蹤誤差的定義及非負限制；限制式(3.31)是建. ‧. 立資產時的金額平衡，其中包含了股票與期貨的購買手續費及期貨的保證金；限. sit. y. Nat. 制式(3.32)與(3.33)是各股票及期貨保證金的投資金額比重限制；限制式(3.34)則. io. al. er. 是期貨的買賣限制，為符合實際狀況及有效運用資產加入的非線性限制；限制式. n. (3.36)及(3.37)代表的是股票不能放空的限制及期貨部位的整數限制。. Ch. engchi. i n U. v. 受到市場波動因素，由於指數追蹤投資組合的穩定追蹤能力會隨時間而降低，因此，謝承哲(民 99)文中針對這個現象提出了調整模型如下：. 模型 J：調整追蹤目標線投資組合的模型 T. min. z   ( zt  zt ) t 1. n. s.t.. zt  zt  V jt x j  M ( w  w ) j 1.  ( Ft  F1 )(w  w )  Gt , t  1, , T. 27. (3.30).

(35) n. n. j 1. j 1. V jT x j  M (w  w )  C  ViT ( f jb d j  f js d j ). (3.38).  ( FT h  K )(w  w  W ) 0  V jT x j  δ j C , j  1, , n. (3.32). 0  M ( w  w )   C. (3.33). w w  0. (3.34). d j  d j  x j  X j , j  1, , n. (3.39). d j d j  0 , j  1, , n. (3.40). zt , zt  0 , t  1, , T. (3.35). x j  0 , j  1, , n. (3.36). 立. w  N  {0}. 政治大. (3.37). ‧ 國. 學. d j , d j  0 , j  1, , n. 決策變數：. ‧. 股票 j 之投資數量. zt. 投資組合價值和目標線之間的正偏差. z t. 投資組合價值和目標線之間的負偏差. w. 期貨的多頭部位數量. n. al. Ch. engchi. 期貨的空頭部位數量. d j. 股票 i 調整時的賣出數量. d j. 股票 i 調整時的賣出數量. y. sit. i n U. 參數及符號： f jb. 在時間 T 買入股票 j 的每單位交易成本. f js. 在時間 T 賣出股票 j 的每單位交易成本. Xj. 股票 j 調整前的原投資數量. W. 期貨調整前的原投資數量. 28. er. io. w. . Nat. xj. v. (3.41).

(36) 限制式(3.38)表示調整時的投資金額平衡式，包含買進賣出的交易成本；限制式(3.39)、(3.40)與(3.41)定義了調整投資組時候的買賣變數及自然限制。. 謝承哲自台灣股價指數的成分股篩選了 105 種股票，並以台股期貨指數市場做為實證研究的數據來源；文中對於投資組合在不同時間點的追蹤能力、在特定時間點的調整模型績效與不同報酬及期貨比重對於投資組合表現的影響，均做了詳盡的分析與討論。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 29. i n U. v.

(37) 第四章. 建立追蹤目標線投資組合的數學模型與實證研究. 指數追蹤最主要的目的在於建立出一組投資組合，其成長率與追蹤目標指數有一樣的走勢，但這也意味著投資組合與追蹤目標具有相同的成長和衰退。. 為使投資組合在各種狀況下都能有相當好的成長率，Yao、Zhang 與 Zhou (2006)提出以幾何布朗運動模擬未來股價的方式來進行目標追蹤，但是該模型卻忽略交易成本和允許股票進行放空，使得該模型較不符合實際市場交易限制。. 謝承哲(民 99)為改善上述缺失，使用股票的歷史資料建構追蹤特定目標線的. 政治大. 投資組合，考量了避險的概念，在投資組合中加入期貨以規避其價值隨市場衰退. 立. 而下降的風險；投資組合經過一段時間後，會逐漸偏離所追蹤的目標線，該論文. ‧ 國. 學. 也提出調整投資組合的模型，透過新資料的加入，使用數學規劃進行投資組合的調整，使提供投資組合能持續追蹤目標。. ‧. 綜合上述概念，本論文以股票做為追蹤特定目標線的投資組合主要成分，此. y. Nat. sit. 外，為使投資者建立投資組合時能將未來的預測列入考慮，透過引進情境樹的方. n. al. er. io. 式，將沒有放空限制的期貨及選擇權加入投資組合中進行避險，結合上述步驟提. v. 出二階段隨機規劃模型，建立出符合追蹤、避險及反應投資者對於未來期望的投資組合。. Ch. engchi. i n U. 4.1 建立投資組合的數學模型追蹤目標線的目的在於尋找一投資組合，其漲跌與否皆與目標線的情況一致。本文以股票做為投資組合的主要成分，該部份投資組合在各時間點的價值表示如下： n. Vit xi ,. t  1, , T. i 1. xi  0 , i  1, , n 其中，非負的決策變數 xi 表示投資在股票 i 之數量，且不允許放空，Vit 則代表股. 30.