第三章 數學模型探討
3.2 指數追蹤的數學模型
Meade 與 Salkin (1989)提出兩種在決定建構指數基金時，各股票投資比例權 重的決定方式，而其追蹤誤差函數定義如下：
‧
‧
x
除了要滿足原限制條件(3.22)、(3.23)、(3.24)、(3.25)與(3.26)外，還需達到其追蹤誤差不比原先的追蹤誤差 Z 大太多的條件。再假設k 、j
k
j分別‧
‧
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l C h engchi U ni ve rs it y
T
歷史資料的期數 n 投資股票總數V
jt 在時間 t 每單位股票 j 的價格 F t 在時間 t 每口期貨的價格
j 股票 j 占投資組合比重之上限
期貨保證金占投資組合比重之上限C
建立時的總資產b
f
j 在時間T 買入股票 j 的每單位交易成本M
期貨交易每口需要提存的保證金h
在時間T
買賣期貨的每單位交易成本K
期貨交易每口的手續費G
t 依據投資組合期望價值成長率所設定的目標線限制(3.30)與(3.35)代表的是追蹤誤差的定義及非負限制；限制式(3.31)是建 立資產時的金額平衡，其中包含了股票與期貨的購買手續費及期貨的保證金；限 制式(3.32)與(3.33)是各股票及期貨保證金的投資金額比重限制；限制式(3.34)則 是期貨的買賣限制，為符合實際狀況及有效運用資產加入的非線性限制；限制式 (3.36)及(3.37)代表的是股票不能放空的限制及期貨部位的整數限制。
受到市場波動因素，由於指數追蹤投資組合的穩定追蹤能力會隨時間而降 低，因此，謝承哲(民 99)文中針對這個現象提出了調整模型如下：
模型 J：調整追蹤目標線投資組合的模型 min
Tt
t
t z
z z
1
) (
s.t.
( )
1
z V x M w w z
n j
j jt t
t (3.30)
t
t F w w G
F
( 1)( ) , t
1 , ,T‧
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限制式(3.38)表示調整時的投資金額平衡式，包含買進賣出的交易成本；限 制式(3.39)、(3.40)與(3.41)定義了調整投資組時候的買賣變數及自然限制。
謝承哲自台灣股價指數的成分股篩選了 105 種股票，並以台股期貨指數市場 做為實證研究的數據來源；文中對於投資組合在不同時間點的追蹤能力、在特定 時間點的調整模型績效與不同報酬及期貨比重對於投資組合表現的影響，均做了 詳盡的分析與討論。
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指數追蹤最主要的目的在於建立出一組投資組合，其成長率與追蹤目標指數 有一樣的走勢，但這也意味著投資組合與追蹤目標具有相同的成長和衰退。
為使投資組合在各種狀況下都能有相當好的成長率，Yao、Zhang 與 Zhou (2006)提出以幾何布朗運動模擬未來股價的方式來進行目標追蹤，但是該模型卻 忽略交易成本和允許股票進行放空，使得該模型較不符合實際市場交易限制。
謝承哲(民 99)為改善上述缺失，使用股票的歷史資料建構追蹤特定目標線的 投資組合，考量了避險的概念，在投資組合中加入期貨以規避其價值隨市場衰退 而下降的風險；投資組合經過一段時間後，會逐漸偏離所追蹤的目標線，該論文 也提出調整投資組合的模型，透過新資料的加入，使用數學規劃進行投資組合的 調整，使提供投資組合能持續追蹤目標。
綜合上述概念，本論文以股票做為追蹤特定目標線的投資組合主要成分，此 外，為使投資者建立投資組合時能將未來的預測列入考慮，透過引進情境樹的方 式，將沒有放空限制的期貨及選擇權加入投資組合中進行避險，結合上述步驟提 出二階段隨機規劃模型，建立出符合追蹤、避險及反應投資者對於未來期望的投 資組合。
4.1 建立投資組合的數學模型
追蹤目標線的目的在於尋找一投資組合，其漲跌與否皆與目標線的情況一 致。本文以股票做為投資組合的主要成分，該部份投資組合在各時間點的價值表 示如下：
n ii itx V
1
,
t 1 , , T
0xi , i
1 , ,n其中，非負的決策變數x 表示投資在股票i i 之數量，且不允許放空，
V
it則代表股‧
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使投資組合的價值穩定成長。為因應此一狀況，考量避險的概念，應將對應整體 市場的指數期貨及指數選擇權納入考量，由於這兩類商品沒有放空限制，可以讓 投資組合在指數市場下跌時規避投資組合價值下跌的風險。雖然期貨和選擇權的 避險功能可以降低風險，但買進這類商品所支付的權利金與損益，也會在市場上 揚時抵銷掉部份報酬，使得投資報酬率降低，因此，投資組合需求是完全避險或 是部份避險，將依據投資者對於風險的忍受程度來設定避險比例。
透過參數
的引進，我們將投資金額分成 C
與(1
)C兩部份，前者做為第 一階段投資組合的投資總金額，後者則是做為以期貨及選擇權構成的第二階段投 資組合的投資總金額，並希望第二階段投資組合能提供避險能力並最大化到期時 的資產成長。期貨部份，由於期貨的價值分成期貨總值及保證金，則在期貨總值和資產平 衡上有著不同於股票的表示法，如下式所示：
max M(w
w)
(FTL
FT)(w
w)s.t. M(w
w)
(FTh
K)(w
w)
(1
)C Cw w
M( )
0
0
w w
} 0 { ,
N
w w
其中， M 為期貨交易每口所需提存入保證金帳戶的保證金，
h
表示買賣期貨的 單位交易成本， K 為每口期貨交易的手續費，w
表示為期貨的多頭部位，w
表 示為空頭部位，F 表示每口期貨在時間t t 的價格，
表示期貨保證金占投資組合 比重之上限，藉此控制投資者期望的避險比例，T
L表示在T 時購買的期貨在L
T
到期；因為FTL是一未知數，因此透過情境的引進將其改寫成：L
GT
w w F w w M
Q(
)
(
)
(
)
,
其中(1)
表示所有可能出現結果的集合；(2)
表示所有可能出現的結果 (outcome)；(3) F 則表示結果
發生時的期貨價格，為一隨機變數。‧
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F t 在時間 t 每口期貨的價格
i 股票 i 占投資組合比重之上限
期貨保證金占投資組合比重之上限
j 買權部位占投資組合比重之上限
k 賣權部位占投資組合比重之上限
股票在投資組合的比例C
建立時的總資產b
F i 在時間
T
買入股票 i 的每單位交易成本
買賣選擇權的單位交易手續費
買賣選擇權的每口固定手續費M
期貨交易每口需要提存的保證金h
在時間T
買賣期貨的每單位交易手續費K
期貨交易每口的手續費G
t 依據投資組合期望價值成長率所設定的目標線在第一階段模型裡，以股票部位作為追蹤指數的主要成分，限制式(4.2)定義 了股票價值與追蹤目標的正負偏差，並在目標函數(4.1)中最小化所有觀測時間點 的追蹤誤差及第二階段目標的期望值；限制式(4.3)中引進一個參數，做為將資 產分割成兩部份的比例參數，並將交易手續費納入考量，定義了購買股票的資產 平衡式；限制式(4.4)定義了個別資產的上限，藉由個別資產的投資上限將風險盡 可能的分散，以避免將資金投入少數股票甚至單一股票的極端情況。
在第二階段的模型中，最主要在於建立由不同履約價的選擇權及期貨的第二 階段投資組合進行追蹤，藉由限制式(4.8)定義出各種情境下的追蹤誤差，其目標 函數同樣在於最小化追蹤誤差；限制式(4.9)則反應了建立第二階段投資組合的資 產平衡，將總資產的
( 1 )
用於投資組合，其中也考量了期貨的保證金、每口期 貨手續費、固定手續費和選擇權的各種手續費；限制式(4.10)-(4.17)則是期貨及 買賣權的投資上限及自然限制。‧
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0xi , i
1 , ,n (4.6) }0 { ,
N
w
w (4.14)
0 ,
j
j
y
y
,j 1 , , m
(4.15) 0,
k
k z
z ,
k 1 , , p
(4.16) 0,
g
g (4.17)
4.2 調整投資組合的數學模型
在使用模型建立投資組合一段時間後，其追蹤能力可能隨著時間流逝而不再 符合建構者的期待，且第二階段投資組合的避險效果可能也會大幅下降，此時，
就須要對投資組合進行調整，希望能再次找出追蹤效果最佳的投資組合。
在調整過程中，最小化的依舊是投資組合與追蹤成長線的追蹤誤差，且投資 組合必須仍然符合最初建構時的限制，如：分散風險、避險等等限制及要求，因 此，調整投資組合的模型與建構投資組合的模型之間，決定性的差異便是調整資 產時所額外產生的交易成本。以下分別對於股票、期貨及選擇權三個部分進行交 易成本的討論和列式：
假設投資組合調整前的股票資產為
X ( X
1, , X
n)
，而以F 、ib F 分別表示is 在 時 間T
買 進 及 賣 出 股 票 i 的 單 位 交 易 成 本 ， 當 投 資 組 合 從X
調 整 至) , , (x 1 xn
x
時需要考慮買與賣兩種狀況，且須限制同一資產僅能買或僅能 賣，在此定義d 與i d 分別表示股票 i 調整時的買進與賣出數量並滿足下列限制： ii i i
i d x X
d
,i 1 , , n
0
i i d
d ,
i 1 , , n
0,
i
i d
d ,
i 1 , , n
意即買進股票 i 時將使得
x
i X
i 0
，則di
0、di
0；反之賣出股票 i 時將使‧
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k k k k
} 0 { ,
N
w
w (4.14)
0 ,
j
j
y
y
, j
1 , ,m (4.15) 0,
k
k z
z , k
1 , ,p (4.16) 0,
g
g (4.17)
決策變數：
x i 股票 i 之投資數量
w
期貨的多頭部位數量w
期貨的空頭部位數量
y
j 第 j 個買權多頭部位之投資數量
y j 第 j 個買權空頭部位之投資數量
z k 第
k
個賣權多頭部位之投資數量
z k 第
k
個賣權空頭部位之投資數量
d i 股票 i 調整時的買進數量
d i 股票 i 調整時的賣出數量
h t 投資組合中，股票的價值和目標線之間的正偏差
t
h 投資組合中，股票的價值和目標線之間的負偏差
g 投資組合中，到期日時，期貨與選擇權價值和目標線之間的正偏差
g 投資組合中，到期日時，期貨與選擇權價值和目標線之間的負偏差 參數與符號：
T
歷史資料的期數 n 投資股票總數L
在時間點T
時所投資的期貨及選擇權剩餘履約日V
it 在時間 t 每單位股票 i 的價格F t 在時間 t 每口期貨的價格
i 股票 i 占投資組合比重之上限‧ 國
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N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
j 買權部位占投資組合比重之上限
k 賣權部位占投資組合比重之上限
股票在投資組合的比例C
建立時的總資產b
F i 在時間
T
買入股票 i 的每單位交易成本s
F i 在時間
T
賣出股票 i 的每單位交易成本
買賣選擇權的單位交易手續費
買賣選擇權的每口固定手續費 M 期貨交易每口需要提存的保證金h
在時間T
買賣期貨的每單位交易手續費K
期貨交易每口的手續費G
t 依據投資組合期望價值成長率所設定的目標線 X i 股票 i 調整前的投資數量W
期貨調整前的原投資數量Y
j 履約價為c
j的買權 j 調整前的投資數量 Z k 履約價為p 的賣權kk
調整前的投資數量此模型的目的是在最小化調整後的第一階段投資組合與目標線之間的絕對 值偏差總和和第二階段投資組合與目標線之間的絕對偏差之期望值的調整方
此模型的目的是在最小化調整後的第一階段投資組合與目標線之間的絕對 值偏差總和和第二階段投資組合與目標線之間的絕對偏差之期望值的調整方