第一章 緒論
1.1 研究動機
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1.1 研究動機
自 Markowitz (1952)提出以數學規劃模型來處理投資組合選擇理論(portfolio selection problem)以來，投資決策成為了一門新的學科，其衍生出許多不同的規 劃模型或理論，而這些往往都是為了達到相同或相似的目的－控制風險並追求高 投資報酬率或等價地－給定報酬下追求最小風險。而不論是最佳化理論、隨機控 制理論或是啟發式演算法等等，在當代的金融體系裡，總能看見有許多的數學規 劃模型被廣泛使用，而隨著金融市場越趨複雜及金融商品間的交互作用，越來越 多不同特性的金融商品一一問世，從早期單純的存款、股票到近年來十分熱門的 期貨、選擇權及共同基金，投資者該如何從眾多投資工具當中挑選適用於自己的 金融商品，並將資金有效的分配在這些金融商品上，是一個十分重要的課題。
為了描述金融市場的不確定性(uncertainty)，Frauendorfer (1995)、Steinbach (1998)延伸了 Markowitz 的投資組合模型，提出了情境樹(scenario tree)為主的隨 機規劃模型，以過去的歷史資料生進行未來時間的情境生成(scenario generation) 來決定投資組合策略。而藉由將情境樹視為離散的隨機變數，許多機率論及機率 規劃的技巧也被隨之引進。自此，描述不確定性的預測類模型也在此時蓬勃發 展，也提供了許多投資者一個能符合過去歷史資料的預測方法。
相對於 Markowitz 是以控制風險並追求高投資報酬率為目的而建立投資組 合模型，後進學者們如：Andrews、Ford 與 Mallinson (1986)和 Meade 與 Salkin (1989)，是以指數追蹤的技巧來建構投資組合，指數追蹤投資組合的目的在於使 投資組合的成長率能與設定的目標成長率一致，常見的追蹤法為完全複製(full replication)、分層法(stratification)、抽樣法(sampling)這三種。近年來，十分熱門 的指數型股票基金(Exchange Traded Fund, ETF)便是以完全複製法所建構的投資 組合，然而，因其組成指數的股票種類龐大，對於使用完全複製法建構的投資組 合，其相對應的管理較為繁瑣，因此，如何透過數學規劃的方式來挑選少量股票 以建構投資組合，也是近期的指數追蹤模型裡的課題之一。
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在，使得避險(hedge)的概念應運而生，而股價指數期貨及選擇權便是能運用其中 的兩項金融商品。透過這兩項金融商品，投資者不僅可以避險，更可以藉此觀察 對應的投資標的物，其價格波動及市場走勢，將這些納入建構投資組合中，更能 提高投資報酬率，因此，透過選用不同的避險比例，不論是風險愛好者(risk lover)、風險中立者(risk neutral)或風險趨避者(risk aversion)皆能透過這兩類金融 商品控管投資者所能承受的風險。
無論是單期(single-period)或是多期(multi-period)的投資組合，在建構一段時 間後，投資組合的成效會跟著市場的波動隨之變動，因此，如何調整投資組合也 漸漸受到投資人關注。為使投資報酬在長時間內極大化，學者們透過不同的調整 原則來進行效率研究，如：定期調整或觀測投資組合表現等等。除了持續滿足風 險控管下的高報酬外，為了符合現實狀況，交易成本也經常在調整的過程被考慮 進來。
結合過去學者所提出的模型與技術，本論文考慮使用股票建立投資組合提出 追蹤特定目標線的數學規劃模型。為了提升投資組合的追蹤能力，使用情境樹將 期貨及選擇權的隨機報酬特性納入模型中，加入期貨與選擇權的避險功能建立包 含股票、期貨與選擇權的投資組合。納入情境樹的數學規畫模型為二階段隨機整 數非線性規劃模型。
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本論文是以指數追蹤的技巧來追蹤固定成長率的目標線，尋求一種穩定成長 的投資組合。為改善投資組合的追蹤能力，引進情境樹和隨機規劃的概念來提高 投資組合的報酬及避險能力，並在經歷一段時間後重新調整，使其能有良好的追 蹤效果。我們提出雙階段隨機混合整數規劃(two-stage stochastic mixed-integer programming, SMINP)模型建構與調整投資組合。考慮到股票的放空限制和流動 性，為了改善純股票組成的投資組合難以在市場下跌仍保有穩定成長率，因此加 入沒有放空限制的期貨以避險，藉此提高成長率；除此之外，引進情境樹的概念 並將選擇權納入投資組合中，針對選擇權的部分進行隨機規劃，這將提供投資組 合額外的避險與成長能力。最後，我們將以台灣股票市場、期貨市場和台指選擇 權市場做為實驗資料來源，並針對我們所提出的數學規劃模型給予實證分析。
此篇論文的主要架構簡述如下：
第一章為緒論。介紹本論文的研究動機，並進一步說明此論文的研究目的及 研究架構。
第二章為文獻回顧。針對研究資產配置問題、指數追蹤問題及隨機規劃的相 關文獻，作一系列的發展回顧。
第三章為數學模型的探討。此章節共有為三部分：第一部分介紹資產配置問 題之相關數學模型的發展歷程；第二部分介紹指數追蹤問題之相關規劃模型的演 進過程；第三部分介紹隨機規劃問題之歷史發展及各種模型。
第四章為追蹤目標線的數學規劃模型。此章分為兩部分：第一部分介紹建構 追蹤目標線的投資組合數學模型；第二部分介紹調整投資組合的規劃模型。
第五章為實證研究的結果與討論。以台灣股票市場、期貨市場和選擇權市場 作為實證的資料來源，應用第四章的混合整數非線性數學規劃模型建構及調整投 資組合，並針對重要參數做綜合性分析。
第六章為結論與建議。此章綜合性歸納整理本論文獲得的研究結果，並提出 後續相關研究的建議。
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第二章 文獻回顧
本章主要針對資產配置(asset allocation)、指數追蹤(index tracking)及隨機規 劃(stochastic programming)的相關文獻做一系列整理與回顧，藉以闡述這三類模 型之間的關係及涵義。
2.1 資產配置
資產配置問題是根據風險控管下的高投資報酬為原則，挑選並分散投資在各 種不同的金融商品上，該如何控管風險及投資報酬門檻的設立，是研究資產配置 理論的核心精神。在 1952 年，投資組合的破冰者－Markowitz 建構出平均變異 數模型(mean-variance model, MV model)，使用報酬的變異數為風險，其目的是在 這樣的設定下最大化報酬或在給定報酬下最小化風險，然而，此模型為一個二次 規劃問題，其計算較為複雜造成實務使用上較為不方便。
自 Markowitz 以後，投資組合最佳化的研究日趨進步；而後進學者 Konno 與 Yamazaki (1991)提出了平均絕對偏差模型(mean absolute deviation mode, MAD model)改善平均變異數模型的缺點，該文定義報酬的絕對偏差為投資組合的風險 值，新的風險定義將模型改寫成線性規劃模型，大幅降低平均變異數模型在實務 上求解的困難。此外，該文所定義的絕對偏差可視為L 函數，而 Markowitz (1959)1 的變異數可視為L 函數。Konno 與 Yamazaki (1991)並在此論文中證明兩者在目2 標報酬呈現多元常態分配下為等價的。
Speranza (1993)考慮到不同風險偏好者對於風險承受度的不同，將 Konno 與 Yamazaki 提出的L 風險函數分解為高於平均報酬及低於平均報酬的兩部分，分1 別定義為上方風險(upside risk)及下方風險(downside risk)，而文中使用以不同的 權重組合這兩者所得到的風險函數的模型，則稱為半絕對平均偏差模型(mean semi-absolute deviation model)。同樣地，文中也指出在風險趨避的適當設定下，L1 函數和半絕對偏差可視為等價。除此之外，Speranza 觀察到不同時間點的歷史資
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料，對於投資組合的影響不一，因而將時間權重加入模型之中，以反應不同時間 點的資料對於投資組合的影響程度。
在 Konno 與 Yamazaki 的線性規劃模型中，共有2T
2條限制式，以線性規 劃的觀點，該模型的解至多2T
2種股票，其中T 代表過去資料觀測時間長度；Feinstein 與 Thapa (1993)為降低解空間的大小以提升求解效率，藉由引進兩組偏 差變數的方式，改寫了 MAD 模型的目標函數及合併限制式，將原本2T
2個限 制式降低為T
2條，進一步降低非零資產的個數。在投資數量無上限的假設下，這之間的差異除了降低問題規模以增加求解速率外，更藉由限制式的數量來控制 投資資產的個數。
Young (1998)定義了風險忍受程度較小的L 風險函數，提出以大中取小投資 組合選擇方法(minimax portfolio selection rule)。大中取小的原則是在給定報酬 下，最小化過去各觀測時間點的最大偏差；換言之，找出一組最穩定的投資組合，
使其各時間點的最大偏差是最小的；等價的來說，如果考慮報酬為負的風險，則 模型將採用小中取大原則。同樣地，文中亦指出L 及 L 函數在目標報酬呈現多2 元常態分配下的等價性。
陳明瑩(民 96)考慮選擇權構成投資組合的交易策略，考慮各類投資決策模 型，最後將交易成本納入並改寫楊靜宜(民 93)提出的整數線性規劃模型，並於實 證分析研究該投資組合模型的套利空間。
有別與使用過去歷史資料構成投資組合，以處理不確定性問題為主的隨機規 劃通常加入對於未來市場不確定情境的預測資料來進行投資組合配置。二階段隨 機規劃即是將問題畫分為確定性(deterministic)及隨機性(stochastic)兩階段問題的 規劃模型，藉由離散情境的引進可以進一步改寫成非隨機性等價模型；Gülpınar、
Rustem 與 Settergren (2003)提出的多階段平均變異數模型就是以在這樣的想法下 應運而生。
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2.2 指數追蹤
有別於傳統資產配置的建立投資組合方法以控制風險並追求高報酬或給定 報酬下的最小風險為原則，指數追蹤是以最小化與目標的追蹤誤差為目的。
指數的概念是以證券市場上以一固定原則選定符合原則的證券，藉由客觀標 準(成交量、資本、股本…等)或主觀標準(成長性、市場評估差異…等)的原則設 立，將符合這些原則的證券共同組合成一個指數，而在多數市場投資人的保守策
指數的概念是以證券市場上以一固定原則選定符合原則的證券，藉由客觀標 準(成交量、資本、股本…等)或主觀標準(成長性、市場評估差異…等)的原則設 立，將符合這些原則的證券共同組合成一個指數，而在多數市場投資人的保守策